甘肃省河西五市部分普通高中届高三数学第一次联合考试试卷理

俯视图侧视图正视图2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考数学 试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ） A ．{|2}x x ≥- B ．}1|{->x x C ．}1|{-<x x D ．}2|{-≤x x2.下面是关于复数i z -=12的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3.已知平面向量b a 与的夹角为3π，==+=,321（ ）A ．1B ．3C ．3D ．2 4.下列推断错误的是( )A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠” B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥ C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．312B ．336C ．327D ．66.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．4lg 1+7.若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．13D ．148.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ）A ．64B ．42C ．32D ．219.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin ()1x f x =m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的),(y x 图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617B ．325C ．61D ．48711.已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．212.已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题,共90分） 二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图： 则式子5324⊗+⊗=_________.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是____. 三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）17.(本题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19.（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．（1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)2a f x x x =+++（1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . （1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数错误！未找到引用源。

2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知会合 A={x||x| ＜ 2} ， B={ ﹣ 1， 0， 1， 2， 3} ，则 A ∩B= （）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 2．已知向量=（，），=（，），则∠ ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 45．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）=0.6826 ；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A ． 0B ． 2 C． 1 D ．37．要丈量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件9．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线2（ p＞ 0）上随意一点， M 是线段 PF y =2px上的点，且 |PM|=2|MF| ，则直线 OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．110．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A ．B ．C． D ．3 2 3 2 11．已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x ﹣x +a）+f（﹣ x +x ﹣a）≥ 2f（ 1）对 x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞ 1]12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k≤2m，a ，a a中12k 0 的个数许多于 1 的个数．若m=4，则不一样的“规范01 数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）记 U={1 ， 2，，100}n* ）和U 的子集T ，若T= ?，定义，对数列 {a } （ n∈NS T=0 ；若 T={t 1，t2，，t k} ，定义 S T= ++ + ．比如：T={1 ，3，66} 时，S T=a1+a3+a66．现设{a n} （ n∈ N *）是公比为 3 的等比数列，且当T={2 ， 4} 时， S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．18．（ 12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD ∥ BC ，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（Ⅰ ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明原因；（Ⅱ ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．19．（ 12 分）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到理量．y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．20．（ 12 分）已知椭圆上两个不一样的点A ， B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．21．（ 12 分）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g（ x） =（ x+1） f ′（ x）（此中 f ′（ x）为f（ x）的导函数），判断g（ x）在（﹣1，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22．（ 10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t≠ 0），l 与C1交与点A ， l 与C2交与点 B ，且 |AB|= ，求α的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知函数 f （ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式 f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．已知会合A={x||x| ＜2}，B={ ﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 【考点】交集及其运算．【剖析】先求出会合 A 和 B ，由此利用交集的定义能求出 A ∩ B．【解答】解：∵会合A={x||x| ＜ 2}={x| ﹣ 2＜x＜ 2} ，B={ ﹣1， 0， 1， 2， 3} ，∴A ∩B={ ﹣ 1，0，1}．应选： C．【评论】此题考察交集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °【考点】数目积表示两个向量的夹角．【剖析】依据向量的坐标即可求出，及的值，从而依据向量夹角余弦公式即可求出【解答】解：cos∠ ABC 的值，依据∠，ABC 的范围即可得出∠；ABC 的值．∴；又 0°≤∠ ABC ≤ 180°；∴∠ ABC=30° ．应选 A．【评论】考察向量数目积的坐标运算，依据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a【考点】对数值大小的比较．【剖析】化简= ，= = ，= =，从而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而 0＜＜2，∴a＞ b＞ c．应选： C．【评论】此题考察了函数的单一性、指数函数与对数函数的单一性、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 4【考点】二项式系数的性质．【剖析】利用二项睁开式的通项公式即可获得答案．【解答】解：（x+i ）6的睁开式中含x4的项为x4?i2=﹣15x4，应选： A．【评论】此题考察二项式定理，深刻理解二项睁开式的通项公式是快速作答的重点，属于中档题．5．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则 P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．7539 【考点】正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义．【剖析】求出P（ 0＜ X ≤1） =1﹣× 0.6826=1﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意P（ 0＜X ≤ 1） =1﹣× 0.6826=1﹣，则落入暗影部分点的个数的预计值为10000× 0.6587=6587 ．应选： B．【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，考察正态散布中两个量μ σ和的应用，考察曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0B．2C．1D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【剖析】议论当x＞ 0 时，运用一次函数的单一性，可得f（x）的范围；当x≤ 0 时，求出 f （x）的导数，单一区间和极大值，也为最大值，即可获得所求最大值．【解答】解：当x＞0 时， f（ x）=1﹣ 2x 递减，可得 f（ x）＜ 1；当 x≤ 0 时， f （x） =x 3﹣ 3x，导数 f ′（x） =3x 2﹣ 3=3（ x﹣ 1）（ x+1 ），当﹣ 1＜ x＜0 时， f ′（ x）＜ 0， f（ x）递减；当 x＜﹣ 1 时， f ′（ x）＞ 0，f （ x）递加．可得 x= ﹣ 1 处 f（ x）获得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则 f （x）的最大值为2．应选： B．【评论】此题考察分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考察分类议论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要丈量电视塔AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在 D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m【考点】解三角形的实质应用．【剖析】设出AB=x ，从而依据题意将BD、DC 用x 来表示，而后在△DBC 中利用余弦定理成立方程求得x，即可获得电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x ，则 BD= x， BC=x在△ DBC 中，∠ BCD=120°， CD=40 ，∴依据余弦定理，得BD 2 =BC 2+CD 2﹣2BC?CD?cos∠ DCB即：（2 2 2﹣2× 40?x?cos120°x） =（ 40）+x整理得 x2﹣ 20x﹣ 800=0，解之得x=40 或 x=﹣ 20（舍）即所求电视塔的高度为40 米．应选 B．【评论】此题给出实质应用问题，求电视塔的高度．侧重考察认识三角形的实质应用的知识，考察了运用数学知识、成立数学模型解决实质问题的能力．8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】简单线性规划的应用；必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】画出p， q 表示的平面地区，从而依据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 1）2≤ 2 表示以（ 1，1）为圆心，以为半径的圆内地区（包括界限）；知足的可行域如图有暗影部分所示，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： A【评论】此题考察的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线y2=2px （ p＞ 0）上随意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF| ，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．1【考点】抛物线的简单性质．【剖析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，联合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），明显当 y0＜0， k OM＜ 0；当 y0＞ 0， k OM＞0．要求 k OM的最大值，设y0＞ 0，则= + =+=+（﹣）=+=（+，），可得 k OM ==≤=，当且仅当y02 =2p2，获得等号．应选： C．【评论】此题考察抛物线的方程及运用，考察直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考察运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】依据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图以下图：此中底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE ， DF 为底面的垂线，且 AE=2 ， DF=1 ，∴V=V E﹣ABC +V C﹣ADFE =+=．应选 D．【评论】此题考察了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x3﹣x2+a）+f（﹣ x3+x 2 ﹣a）≥ 2f（ 1）对x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A ． [ ，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单一性的综合．【剖析】依据函数奇偶性和单一性的关系将不等式进行转变，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f（ x）在 [0， +∞）上递减，∴不等式 f （ x3﹣ x2+a）+f （﹣ x3+x 2﹣ a）≥ 2f（ 1）等价为 2f（ x3﹣ x2+a）≥ 2f（ 1）即 f （x3﹣ x2+a）≥ f（ 1）对 x∈ [0， 1]恒成立，3 2即﹣ 1≤ x ﹣ x +a≤1 对 x∈ [0， 1]恒成立，即﹣ 1﹣ a≤x3﹣x2≤ 1﹣ a 对 x∈ [0， 1]恒成立，设 g（ x）=x 3﹣x2，则 g′（ x） =3x2﹣2x=x （ 3x﹣ 2），则 g（ x）在 [0，）上递减，在（，1]上递加，∵g（ 0） =g（ 1） =0，g（） =﹣，∴g（ x）∈ [﹣，0]，即即，得﹣≤ a≤ 1，应选： B．【评论】此题主要考察不等式恒成立问题，依据函数奇偶性和单一性的性质将不等式进行转化，利用参数分别法联合导数法，结构函数求函数的最值是解决此题的重点．12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5【考点】正弦函数的对称性．【剖析】依据已知可得ω为正奇数，且ω≤ 12，联合 x=﹣为 f（x）的零点， x= 为 y=f（x）图象的对称轴，求出知足条件的分析式，并联合 f （x）在（，）上单一，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为 y=f （ x）图象的对称轴，∴，即，（ n∈ N）即ω=2n+1，（ n∈ N）即ω为正奇数，∵f （x）在（，）上单一，则﹣= ≤，即 T= ≥，解得：ω≤ 12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈ Z，∵|φ|≤，φ=，∴ ﹣此时 f（ x）在（，）不但一，不知足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ， k∈ Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时 f（ x）在（，）单一，知足题意；故ω的最大值为9，应选： B【评论】此题考察的知识点是正弦型函数的图象和性质，此题转变困难，难度较大．一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是9．【考点】程序框图．【剖析】依据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9 时，不知足a＞ b，故 a=5， b=7 ，当 a=5， b=7 时，不知足 a＞ b，故 a=9， b=5当 a=9， b=5 时，知足 a＞ b，故输出的 a 值为 9，故答案为： 9【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采纳模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】可令 x=c ，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A ，B ，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC| ，可得 a，b， c 的方程，运用离心率公式计算即可获得所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=± b=±，由题意可设 A （﹣ c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由 2|AB|=3|BC| ，可得2?=3?2c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2﹣a2，e= ，可得 2e2﹣ 3e﹣ 2=0，解得 e=2（负的舍去）．故答案为： 2．【评论】此题考察双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的重点，考察运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特色．【剖析】设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x ，由三角形相像求出x=96 cm ．推导出△ BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α， OA=x ，由三角形相像可得，解得 x=96 cm ．则=，解得α=60°，所以△ BOB′为正三角形，则 BB′=OB=96+48=144 cm ．由下列图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为： 144cm．是中档题，解题时要要仔细审题，注意圆【评论】此题考察矩形铁皮长边的最小值的求法，台的性质的合理运用．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k ≤2m， a ， a a中 0 的个数许多于 1 的个数．若 m=4，则不一样的“规范 01 数列”共有141 2 k个．【考点】摆列、组合的实质应用．【剖析】由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个1，而后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4 ，说明数列有 8 项，知足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1， 0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0， 0， 1， 1， 1， 0，1；0， 0， 1，0， 0， 1，1， 1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0， 1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0， 1， 1， 0， 0， 1，1；0， 1， 0，0， 0， 1，1， 1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0， 1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1， 0， 1， 0， 1， 0，1．共 14 个．故答案为14【评论】此题是新定义题，考察数列的应用，重点是对题意的理解，列举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?江苏）记U={1 ，2，，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若 T= ?，定义 S T=0 ；若 T={t 1， t2，，t k} ，定义S T=++ +．比如：T={1，3，66} 时，S T=a1 +a3+a66．现设 {a n}（ n∈ N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2 ，4} 时，S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．【考点】数列的应用；会合的包括关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【剖析】（1）依据题意，由S T的定义，剖析可得S T =a2+a4=a2+9a2=30 ，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）依据题意，由 S T的定义，剖析可得2 k ﹣1，由等比数列的前S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 + +3n 项和公式计算可得证明；（3）设 A= ?C（ C∩D ）， B= ?D（C∩D ），则 A ∩ B= ?，从而剖析能够将原命题转变为证明S C≥ 2S B，分 2 种状况进行议论：①、若B= ?，②、若 B≠ ?，能够证明获得 S A≥ 2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当 T={2 ， 4} 时， S T=a2+a4=a2+9a2=30 ，所以 a2=3，从而 a1 = =1，故 a n=3n﹣1，（2） S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 2 + +3 k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设 A= ?C（ C∩ D）， B= ?D（C∩ D），则 A ∩B= ?，剖析可得 S C=S A +S C∩D， S D=S B+S C∩D，则 S C+S C∩D﹣ 2S D =S A﹣ 2S B，所以原命题的等价于证明 S C≥2S B，由条件 S C≥ S D，可得 S A≥ S B，①、若 B=?，则 S B =0，故 S A≥2S B，②、若 B≠ ?，由 S A≥ S B可得 A ≠?，设 A 中最大元素为l， B 中最大元素为m，若 m≥ l+1 ，则其与S A＜ a i+1≤a m≤ S B相矛盾，因为 A ∩B= ?，所以 l≠ m，则 l≥ m+1，2 m﹣1≤=，即S A≥ 2S B，S B≤ a1+a2+ a m=1+3+3 + +3 =综上所述， S A≥2S B，故 S C+S C∩D≥ 2S D．【评论】此题考察数列的应用，波及新定义的内容，解题的重点是正确理解题目中对于新定义的描绘．18．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，AD ∥ BC，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ． E 为棱 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为90°．（Ⅰ）在平面 PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面 PBE ，并说明原因；（Ⅱ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判断．【剖析】（ I）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，由点 E 为 AD 的中点，可得AE=ED=AD ，由BC=CD= AD ，可得 ED=BC ，已知 ED∥ BC ．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD．利用线面平行的判断定理证明得直线CM ∥平面 PBE 即可．（I I ）以下图，由∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°AB ∩ CD=M ，可得 AP⊥平面 ABCD ．由 CD⊥PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD﹣ A 的平面角，大小为 45°．PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD=AD=1 ．可得 P（ 0， 0，2）， E（ 0， 1，0）， C（﹣ 1， 2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（ I ）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，∵点 E 为 AD 的中点，∴ AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ ED=BC ，∵AD ∥ BC ，即 ED ∥ BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥ CD．∵AB ∩ CD=M ，∴ M ∈ CD ，∴ CM ∥ BE，∵BE ? 平面 PBE，∴ CM ∥平面 PBE，∵M∈AB，AB ? 平面 PAB，∴M ∈平面 PAB ，故在平面PAB 内能够找到一点 M （M=AB ∩ CD），使得直线CM ∥平面PBE．（I I ）以下图，∵∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°，AB ∩ CD=M ，∴AP ⊥平面ABCD ．∴CD ⊥ PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD ﹣A 的平面角，大小为45°．∴PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD= AD=1 ．∴ P（ 0， 0， 2）， E（ 0，1， 0）， C（﹣ 1， 2， 0），∴ =（﹣ 1， 1， 0），=（0， 1，﹣ 2），=（ 0， 0， 2），设平面 PCE 的法向量为 = （ x， y，z），则，可得：．令 y=2 ，则 x=2 ， z=1，∴ =（ 2，2， 1）．设直线 PA 与平面 PCE 所成角为θ，则 sin θ====．【评论】此题考察了空间地点关系、空间角计算公式、法向量的性质，考察了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处理量．参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【剖析】（Ⅰ）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正有关关系，将已知数据代入有关系数方程，可得答案；（Ⅱ）依据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017 年对应的t 值为 10，代入可展望 2017 年我国生活垃圾无害化办理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正有关关系，∵y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，∴r ≈≈ ，∵＞，故 y 与 t 之间存在较强的正有关关系；（Ⅱ ）由≈ 1.331 及（Ⅰ）得 = ≈，=1.331 ﹣×．所以， y 对于 t 的回归方程为：=0.92+0.10t ．将 2017 年对应的t=10 代入回归方程得：=0.92+0.10 ×所以展望2017 年我国生活垃圾无害化办理量将约 1.92 亿吨．【评论】此题考察的知识点是线性回归方程，考察线性有关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要仔细．20．（12 分）（ 2015?浙江）已知椭圆上两个不一样的点A ，B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【剖析】（ 1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣ my+n ，代入椭圆方程可得（2 2 m +2 ） y﹣2mny+n 2﹣ 2=0 ，设 A （x ，y ）， B（ x ， y ）．可得△＞ 0，设线段 AB 的中点 P（ x ，1 12 2 0y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线 y=mx+ ，可得，代入△＞ 0，即可解出．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为n，可得 S△OAB = ，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x= ﹣ my+n ，代入椭圆方程，可得（ m2+2） y2﹣ 2mny+n2﹣2=0 ，设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）．由题意，△ =4m 2n2﹣ 4（ m2+2）（ n2﹣ 2） =8（ m2﹣n2+2 ）＞0，设线段AB 的中点 P（x0， y0），则． x0 =﹣m×+n= ，因为点P 在直线 y=mx+ 上，∴= + ，∴，代入△＞ 0，可得 3m4 +4m2﹣ 4＞0，解得 m2 ，∴或 m ．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，∴S△OAB = = |n|? = ，由均值不等式可得：n2（m2﹣ n2 +2）= ，∴S△AOB = ，当且仅当n2=m2﹣ n2+2 ，即2n2=m 2+2，又∵，解得m= ，当且仅当 m= 时， S△AOB获得最大值为．【评论】此题考察了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题转变为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直均分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考察了推理能力与计算能力，属于难题．21．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g x）=（x+1 f ′ x）（此中f ′ x）为f x）的导函数），判断g x）在（﹣1 （）（（（（，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单一性；函数零点的判断定理．【剖析】（ 1）对函数 f （x）求导后知g（x），对 g（ x）求导后获得单一性．（2）利用导函数求得F（ x）的单一性及最值，而后对a分状况议论，利用F（ x）无零点分别求得 a 的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵ f （x） =e﹣，∴f ′（ x）=﹣，∴g（ x） =（x+1）（﹣），∴g′（x） =[ （ x+3）﹣1]，当 x＞﹣ 1 时， g′（ x）＞ 0，∴g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加．（2）由 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 知， F′（x） =（﹣g（x）），1，+∞）由（ 1）知， g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加，且g（﹣ 1） =0 可知当x∈（﹣时， g（ x）∈（ 0，+∞），则 F′（ x） =（﹣g（x））有独一零点，设此零点为x=t ，易知 x∈（﹣ 1，t ）时， F′（ x）＞ 0， F（ x）单一递加；x∈（ t， +∞）时， F′（ t）＜ 0． F（ x）单一递减．知 F（ x）max=F（ t） =ln （ t+1 ）﹣ af（ t） +4 ，此中a= ，令 G（ x） =ln （ x+1 ）﹣+4，则 G′（ x） = ，易知f（ x）＞ 0 在（﹣1， +∞）上恒成立，∴G′（ x）＞ 0， G（ x）在（﹣1， +∞）上单一递加，且G（0） =0，①当0＜ a＜4 时， g（t） = ＞=g （ 0），由 g（ x）在（﹣1，+∞）上单一递加，知t＞ 0，则F（ x）max=F（ t） =G （ t）＞ G（0） =0，由 F（ x）在（﹣ 1， t）上单一递加，﹣1＜ e﹣4﹣ 1＜0＜ t， f （x）＞ 0，g（ t）＞ 0 在（﹣ 1，+∞）上均恒成立，则 F（ e﹣4﹣ 1） =﹣af（e﹣4﹣ 1）＜0，∴F（ t） F（ e﹣4﹣ 1）＜ 0∴F（ x）在（﹣ 1， t）上有零点，与条件不符；②当 a=4 时， g（ t） = = =g（ 0），由 g（x）的单一性可知t=0 ，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t） =G （0） =0，此时 F（ x）有一个零点，与条件不符；③当 a＞ 4 时， g（ t） =＜=g（ 0），由 g（ x）的单一性知t＜0，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t）＜ G（ 0） =0 ，此时 F（ x）没有零点．综上所述，当 F（ x）=ln（ x+1 ）﹣ af（ x）+4 无零点时，正数 a 的取值范围是a∈（ 4，+∞）．【评论】此题考察函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．（ 10 分）（ 2017?甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线 C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线 l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数， t≠ 0），l 与 C1交与点A ， l 与 C2交与点B ，且 |AB|= ，求α的值．【考点】参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）将曲线 C1的方程化为一般方程，而后转变求解C1的极坐标方程．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ，即可得出．1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（β为参数）．可得（ x﹣2 2， x= ρ cos，θy= ρ sin，θ1）+y =1∴C1的极坐标方程为2ρ﹣ 2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|= ，∴|OA| ﹣ |OB|=﹣ 2cosα=，即 cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【评论】此题考察了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为一般方程、两点之间的距离、圆的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-5：不等式选讲]23．（ 2017?甘肃一模）已知函数f（ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ ）若不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【剖析】（Ⅰ ）求出f（ x）的最小值，不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，可得a2﹣2a﹣ 1 ≤2，即可务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，利用剖析法的证明步骤，联合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解： f（x） =|2x﹣ 1|+|2x+1≥ |（ 2x﹣1）﹣（ 2x+1） |=2，∵不等式 f （ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，∴a2﹣2a﹣ 1≤ 2，∴a2﹣2a﹣ 3≤ 0，∴﹣ 1≤ a≤3；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，两边平方，整理即证（2m+1 ）（ 2n+1）≤ 4，即证 mn≤，又 m+n=1 ，∴mn≤=．故原不等式成立．【评论】此题考察剖析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。

2018年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1. 设全集U=R，A={x|x2−2x>0}，B={x|y=√x−1}，则A∪∁U B=()A.(2, +∞)B.(−∞, 0)∪(2, +∞)C.(−∞, 1)∪(2, +∞)D.(−∞, 0)【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}，然后进行并集、补集的运算即可．【解答】A={x|x<0, 或x>2}，B={x|x≥1}；∴∁U B={x|x<1}；∴A∪∁UB={x|x<1, 或x>2}=(−∞, 1)∪(2, +∞)．2. 已知复数z=31−2i（i是虚数单位），则z=()A.3 5+65i B.35−65i C.15−25i D.15+25i【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案案．【解答】∵z=31−2i =3(1+2i)(1−2i)(1+2i)=35+65i，∴z=35−65i，3. 已知向量m→=(λ+1,1),n→=(λ+2,2)，若(m→+n→)⊥(m→−n→)，则λ＝（）A.−4B.−3C.−2D.−1【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】m→+n→=(2λ+3,3),m→−n→=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3＝0，∴λ＝−3．4. 下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B.“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x>0，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x>0,均有x2+x+1≥0”D.命题“若x>y，则sinx>siny”的逆否命题为真命题【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题主要考查命题的否定以及必要条件、充要条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点.【解答】解：对于A：因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=−1⇒x2−5x−6=0，应为充分条件，故错误．对于D：因为逆否命题为若sinx≤siny，则x≤y,故错误．由排除法得到C正确．故选C．5. 如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S＝−12，则输出的S的值为（）A.4B.5C.8D.9【答案】C【考点】程序框图【解析】关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件S≤n，跳出循环，确定输出S的值【解答】由程序框图知：第一次循环S＝−12+2＝−10，n＝2；第二次循环S＝−10+4＝−6，n＝3；第三次循环S＝−6+6＝0，n＝4；第四次循环S＝0+8＝8，n＝5．不满足条件S≤n，跳出循环，输出S＝8．6. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A.60B.90C.150D.120【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】先分组5个尖子生分为(2, 2, 1)，再分配即可．【解答】5个尖子生分为(2, 2, 1)，故其分组的方法有C52C32C11A22=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.163π B.112π C.173π D.356π【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】判断三视图对应的解得组合体的形状，利用三视图数据求解几何体的体积即可．【解答】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此V=23πr3=16π3，8. 若(x+1x +1)n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x，y，满足y>sinx的概率为（）A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.12【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】由题意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=π×1=π，满足y≥sinx的点构成区域的面积为：S=∫πsinxdx=−cosx|0π=−cosπ+cos0=2，则满足y>sinx的概率为P=1−2π．故选：B．9. 已知函数f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)(ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是正三角形，为了得到g(x)=√3sin(ωx+π4)的图象，只需将f(x)的图象（）A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=2√3sin(ωx2−π8)cos(ωx2−π8)=√3sin(ωx−π4)，由△EFG是正三角形可知|FG|=T2=2，即T=4，得ω=π2．所以f(x)=√3sin(π2x−π4)=√3sin[π2(x−1)+π4]．又g(x)=√3sin(π2x+π4)，故只需将f(x)的图象向左平移1个单位长度，即可得到g(x)的图象．故选C．10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A.8πB.12πC.20πD.24π【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】由题意，PC为球O的直径，PC=√4+16=2√5，∴球O的半径为√5，∴球O的表面积为4π⋅5=20π，11. 直线y=2b与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右两支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A.√53B.√52C.√193D.√192【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】根据图形对称性即可求出∠AOC=60∘，求出C点坐标即可得出a，b的关系，从而得出双曲线的离心率．【解答】设直线y=2b与y轴交于D点，由对称性可知∠BOD=∠COD，又∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=2∠COD，又∠AOC+∠COD=90∘，∴∠AOC=60∘，把y=2b代入x2a2−y2b2=1可得x=±√5a，即C(√5a, 2b)，∴√5a =tan60∘=√3，即b2=15a24，∴e=√a2+b2a =√192．12. 已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x)，当−1≤x<1时，f(x)=sinπ2x，若函数g(x)=f(x)−log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A.(0, 15]∪(5, +∞) B.(0, 15)∪[5, +∞) C.(17, 15]∪(5, 7) D.(17, 15)∪[5, 7)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理 【解析】分a >1与0<a <1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可． 【解答】当a >1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|<1log a |5|<1， 故a >5；当0<a <1时，作函数f(x)与函数y =log a |x|的图象如下，，结合图象可知， {log a |−5|≥−1log a |5|≥−1 ， 故0<a ≤15．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．asinBcosC +csinBcosA =12b 且a >b ，则∠B =________． 【答案】 30∘【考点】两角和与差的三角函数 正弦定理 【解析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB 的值，由a 大于b 得到A 大于B ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 【解答】利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB ， ∵ sinB ≠0，∴ sinAcosC +cosAsinC =sin(A +C)=sinB =12，∵ a >b ，∴ ∠A >∠B ， ∴ ∠B =30∘．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________． 【答案】 甲【考点】进行简单的合情推理 【解析】利用反证法，即可得出结论． 【解答】假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；已知点P(x, y)满足{x +y ≤7y ≥x x ≥2 ，过点P 的直线与圆x 2+y 2=50相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为________． 【答案】 2√21 【考点】 简单线性规划直线与圆的位置关系 【解析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、圆的半径及弦长间的关系得答案． 【解答】由约束条件{x +y ≤7y ≥xx ≥2 作出可行域如图，联立{x =2x +y =7，解得A(2, 5)． 由图可知，可行域内的点中，A 1 到原点的距离最大，为√29， ∴ |AB|的最小值为2√50−29=2√21．设函数f(x)=32x 2−2ax(a >0)与g(x)=a 2lnx +b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为________． 【答案】12e 2【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设公共点坐标为(x 0, y 0)，求出两个函数的导数，利用f ′(x 0)=g ′(x 0)，推出b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0，然后构造函数，利用导函数单调性求解函数的最值即可．【解答】设公共点坐标为(x 0, y 0)，则f ′(x)=3x −2a,g ′(x)=a 2x，所以有f ′(x 0)=g ′(x 0)，即3x 0−2a =a 2x 0，解出x 0=a （x 0=−a3舍去），又y 0=f(x 0)=g(x 0)，所以有32x 02−2ax 0=a 2lnx 0+b ， 故b =32x 02−2ax 0−a 2lnx 0， 所以有b =−12a 2−a 2lna ，对b 求导有b ′=−2a(1+lna)， 故b 关于a 的函数在(0,1e )为增函数，在(1e ,+∞)为减函数， 所以当a =1e 时b 有最大值12e 2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{1a n}的前n 项和T n ，求得|T n −1|<11000成立的n 的最小值．【答案】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．【考点】数列的求和【解析】（1）由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，得到a n=2a n−1(n>1)．结合a1，a2+1，a3成等差数列列式求得a1=2．再由等比数列的通项公式求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得1a n =12n．利用等比数列的前n项和求得T n，代入|T n−1|<11000，去绝对值后求解指数不等式得答案．【解答】由已知S n=2a n−a1，有a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1(n>1)，即a n=2a n−1(n>1)．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)．∴a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n；由（1）得1a n =12n．∴T n=12+122+123+⋯+12n=12[1−(12)n]1−12=1−12n．由|T n−1|<11000，得|1−12n−1|<11000，即2n>1000．∵29=512<1000<1024=210，∴n≥10．于是，使|T n−1|<11000成立的n的最小值为10．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；(Ⅱ)现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60, 70)的学生人数X的分布列及数学期望．【答案】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．….. (Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人，现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人，由题意X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C22C52=110，X的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．(Ⅱ)由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】(Ⅰ)由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为：1000×3040=750人．…..(Ⅱ)体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中各有学生人数为2人和3人， 现从体育成绩在[60, 70)和[80, 90)的样本学生中随机抽取2人， 由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 32C 52=310，P(X =1)=C 21C31C 52=35，P(X =2)=C 22C 52=110，X 的分布列为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．…．如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中，AC =2，CE =1，平面ABC ⊥平面ACEF ． (1)在EF 上找一点M ，使BM ⊥AC ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角余弦值．【答案】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．【考点】用空间向量求平面间的夹角 两条直线垂直的判定 直线与平面垂直的判定 【解析】（1）分别取AC 、EF 的中点O 、M ，连接OM ，推导出AC ⊥BO ，AC ⊥OM ，从而AC ⊥面BOM ，由此能证明BM ⊥AC ．（2）由OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，由此能求出平面MAB 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解：(1)M 为线段EF 的中点，理由如下： 分别取AC ，EF 的中点O ，M ，连接OM ， 在等边三角形ABC 中，AC ⊥BO ，又OM 为矩形ACEF 的中位线，AC ⊥OM ， 而OM ∩OB =O ， ∴ AC ⊥平面BOM ， ∴ BM ⊥AC ；(2)由(1)知OA ，OB ，OM 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，AC =2，CE =1，三角形ABC 为等边三角形，O(0,0,0),B(0,√3,0),C(−1,0,0),E(−1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． ∴ CB →=(1,√3,0),CE →=(0,0,1)， 设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z)， ∴ {n →⋅CB →=0,n →⋅CE →=0,得{x +√3y =0,z =0,则平面BCE 的一个法向量n →=(√3,−1,0)， 又M 是线段EF 的中点， 则M 的坐标为M(0, 0, 1)，∴ AM →=(−1,0,1)，且AB →=(−1,√3,0)， 设平面ABM 的法向量m →=(a,b,c)， 由{m →⋅AB →=0,m →⋅AM →=0, 得{−a +c =0,−a +√3b =0,取a =√3，则b =1,c =√3，∴ 平面ABM 的一个法向量m →=(√3,1,√3)， ∴ cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√7=√77， ∴ 平面ABM 与平面CBE 所成锐二面角的余弦值为√77．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3， 又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t 2)(3+t 2)=48t(9+t 2)(9+t 2)2+12t 2=489+t 2t+12t 9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．【考点】 椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)根据题意，分析可得a ＝2c 且2ab ＝4√3，解可得a 、b 的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；(Ⅱ)令点M(4, t)，其中t >0，将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0，由根与系数的关系可以用t 表示x P 、y P ．再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0，同理可以用t 表示x Q 、y Q ．进而可以用t 表示四边形APBQ 的面积为S ，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，则有a ＝2c ， 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4√3，则有2ab ＝4√3，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）由于对称性，可令点M(4, t)，其中t >0． 将直线AM 的方程y =t6(x +2)代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108＝0， 由x A ⋅x P =4t 2−10827+t 2，x A ＝−2得x P =−2t 2−5427+t2，则y P =18t27+t 2． 再将直线BM 的方程y =t2(x −2)代入椭圆方程x 24+y 23=1得(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12＝0， 由x B ⋅x Q =4t 2−123+t 2，x B ＝2得x Q =2t 2−63+t2，则y Q =−6t3+t 2． 故四边形APBQ 的面积为S =12|AB||y P −y Q |＝2|y P −y Q |＝2(18t27+t 2+6t3+t 2)=48t(9+t 2)(27+t )(3+t )=48t(9+t 2)(9+t )+12t =489+t 2t+12t9+t 2．由于λ=9+t2t≥6，且λ+12λ在[6, +∞)上单调递增，故λ+12λ≥8，从而，有S =48λ+12λ≤6．当且仅当λ＝6，即t ＝3，也就是点M 的坐标为(4, 3)时，四边形APBQ 的面积取最大值6．已知f(x)=xlnx +mx ，且曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线斜率为1． （1）求实数m 的值；（2）设g(x)=f(x)−a2x 2−x +a(a ∈R)在其定义域内有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，已知λ>0，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，求λ的范围． 【答案】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1． 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）求出原函数的导函数，得到f′(1)，由f′(1)=1求得m 值；（2）求出g(x)，求其导函数，可得lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ恒成立，转化为lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx 1+λx 2恒成立，进一步转化为ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)，则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立．令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，求导可得满足条件的λ的范围． 【解答】f′(x)=1+lnx +m ，由题意知，f′(1)=1，即：m +1=1，解得 m =0；∵ e 1+λ<x 1⋅x 2λ 等价于1+λ<lnx 1+λlnx 2． g(x)=f(x)−a 2x 2−x +a =xlnx −a2x 2−x +a ，由题意可知x 1，x 2 分别是方程g′(x)=0，即：lnx −ax =0的两个根，即lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2．∴ 原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a(x 1+λx 2)， ∵ λ>0，0<x 1<x 2，∴ 原式等价于a >1+λx 1+λx 2．又由lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2． 作差得，ln x 1x 2=a(x 1−x 2)，即a =lnx 1x 2x 1−x 2．∴ 原式等价于lnx 1x 2x 1−x 2>1+λx1+λx 2，∵ 0<x 1<x 2，原式恒成立，即ln x1x 2<(1+λ)(x 1−x 2)x 1+λx 2恒成立．令t =x 1x 2，t ∈(0, 1)， 则不等式lnt <(1+λ)(t−1)t+λ在t ∈(0, 1)上恒成立． 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2，当λ2≥1时，可得t ∈(0, 1)时，ℎ′(t)>0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上单调增，又ℎ(1)=0， ℎ(t)<0在t ∈(0, 1)恒成立，符合题意．当λ2<1时，可得t ∈(0, λ2)时，ℎ′(t)>0，t ∈(λ2, 1)时，ℎ′(t)<0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, λ2)时单调增，在t ∈(λ2, 1)时单调减，又ℎ(1)=0， ∴ ℎ(t)在t ∈(0, 1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1+λ<x 1⋅x 2λ 恒成立，只须λ2≥1， 又λ>0，∴ λ≥1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知平面直角坐标系中，曲线C:x 2+y 2−6x −8y ＝0，直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3x −y =0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程；（2）若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积． 【答案】依题意，曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，∴ 曲线C 的参数方程是{x =3+5cosαy =4+5sinα （α为参数），∵ 直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，∴ l 1，l 2的极坐标方程为l 1:θ=π6(ρ∈R),l 2:θ=π3(ρ∈R)； ∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴ A(4+3√3,π6)， 把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴ B(3+4√3,π3)， ∴ S △AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB =12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）推导出曲线C ：(x −3)2+(y −4)2＝25，从而能求出曲线C 的参数方程，由直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3−y =0，能求出l 1，l 2的极坐标方程．（2）曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得B(3+4√3,π3)，由此能求出△AOB的面积．【解答】依题意，曲线C：(x−3)2+(y−4)2＝25，∴曲线C的参数方程是{x=3+5cosαy=4+5sinα（α为参数），∵直线l1:x−√3y=0，直线l2:√3−y=0，∴l1，l2的极坐标方程为l1:θ=π6(ρ∈R),l2:θ=π3(ρ∈R)；∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，把θ=π6代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ1=4+3√3，∴A(4+3√3,π6)，把θ=π3代入ρ＝6cosθ+8sinθ，得ρ2=3+4√3，∴B(3+4√3,π3)，∴S△AOB =12ρ1ρ2sin∠AOB=12(4+3√3)(3+4√3)sin(π3−π6)=12+25√34．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)=2−x2，g(x)=|x−a|．（1）若a=1，解不等式f(x)+g(x)≥3；（2）若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【答案】=0，得a=−94，数形结合知，当a≤−94时，不等式无负数解，则−94<a<0．当a=0时，满足f(x)>g(x)至少有一个负数解．当a>0时，g(x)的图象如折线②所示：此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，当a≥2时，不等式无负数解，则0<a<2．综上所述，若不等式f(x)>g(x)至少有一个负数解，则实数a的取值范围是(−94，．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式，解出即可； （2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出a 的范围即可． 【解答】若a =1，则不等式f(x)+g(x)≥3化为2−x 2+|x −1|≥3，当x ≥1时，2−x 2+x −1≥3，即x 2−x +2≤0，(x −12)2+74≤0不成立； 当x <1时，2−x 2−x +1≥3，即x 2+x ≤0，解得−1≤x ≤0． 综上，不等式f(x)+g(x)≥3的解集为{x|−1≤x ≤0}． 作出y =f(x)的图象。

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，= =，进而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f （x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）=[（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g （t ）===g （0），由g （x ）的单调性可知t=0，则F （x ）max =F （t ）=G （t ）=G （0）=0，此时F （x ）有一个零点，与条件不符；③当a ＞4时，g （t ）=＜=g （0），由g （x ）的单调性知t ＜0， 则F （x ）max =F （t ）=G （t ）＜G （0）=0，此时F （x ）没有零点．综上所述，当F （x ）=ln （x+1）﹣af （x ）+4无零点时，正数a 的取值范围是a ∈（4，+∞）． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），l 与C 1交与点A ，l 与C 2交与点B ，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C 1的方程化为普通方程，然后转化求解C 1的极坐标方程．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（β为参数）．可得（x ﹣1）2+y 2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。