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向心力一、使用教材本节课《向心力》选自广东教育出版社出版的粤教版高中物理必修二的第二章圆周运动的第２节、适用于高中一年级学生下学期学习。
二、实验器材１、有机玻璃板框架;2、数显测力计;3、５7步进电机控制装置;４、５7步进电机;5、电机转速控制装置;6、转速显示器;７、有机玻璃弧形轨道;8、连接线;9、不同质量槽码;1０、刻度尺;11、8字环;12、滑轮;1３、电机联轴器、三、实验改进要点在高中物理教学中关于向心力公式的得出是个难点,该公式的理论推导过程对学生来说过于抽象,不易理解、而圆周运动这一章在高中物理中有着重要的作用和我们的生活联系也十分紧密。
使用电动向心力定量分析演示仪能够让学生通过实验探究,亲身感受什么是匀速圆周运动？什么是向心力？向心力由于那些因素有关,这比理论分析更有说服力。
传统的“向心力实验演示仪"仅仅是半定量的,同时误差较大,从而只能定性地说明向心力大小与相关变量有关,而无法定量地测出向心力与半径、线速度和质量有关,即准确性难以控制为了解决上述问题。
笔者设计制作了探究向心力演示仪,将向心力定性演示实验改进为定量操作实验。
本演示仪利用调速装置和测力装置,通过实际演示可分别改变质量、角速度、半径,实时读出向心力和转速的数值,分别探究上述物理量与向心力的关系,帮助学生更好地理解圆周运动的特点以及向心力公式。
本演示仪还针对传统电动向心力定量分析演示仪所存在的不足做了以下几点改进:一是,电机选用的是高精度的步进电机,调速方便,利用电机驱动装置和控制装置实时调节转速,转速精度高还可通过显示器直截了当读出转速、二是,固定槽码的细线与数显测力计的连接是在渔具中使用到的高速轴承转环,如此能够防止细线在旋转的过程中因扭转而产生的缠绕。
三是,在轨道的中心位置安装了一个定滑轮,将水平弧形轨道中的槽码连线转９０°与竖直方向的高速轴承转环连接。
四是,采纳了精度更高的工业用数显测力计,使向心力的测量更加准确,测量时既可动态读数又可将测量数据进行存储,还能与计算机相连实现实验数据的实时输出,并能够方便、快捷读取平均值。
第2节 向心力教学过程（一）、向心力1、演示实验：在光滑水平桌面的O 点固定一根钉子，把绳的一端套在钉子上，另一端系一个小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动2、讨论：a ： 小球此时受到哪些力的作用？b ： 合外力是哪个力？这个力的方向有什么特点？3、 结论 ：做匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的拉力的作用，这个力叫向心力。
向心力的方向不断变化，但总是沿着半径指向圆心，而物体运动的方向沿切线方向，所以向心力的方向总与物体运动的方向垂直。
4、向心力的作用效果——只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。
向心力指向圆心，而物体运动的方向总是沿圆周上的切线方向，二者互相垂直。
物体在运动方向上所受的合外力为零，在这个方向上无加速度，速度大小不会改变。
所以向心力只改变速度的方向。
5、向心力的大小（1）体验向心力的大小a ：每组学生发用细线联结的钢球、木球各一个，让学生拉住绳的一端，让小球尽量做匀速圆周运动，改变转动的快慢、细线的长短多做几次。
b ：引导学生猜想：向心力可能与物体的质量、角速度、半径有关。
（2）【演示实验】用向心力演示器演示向心力的大小与什么因素有关。
用控制变量法。
介绍向心力演示器的构造和使用方法操作方法：a ：用质量不同的钢球和铝球做实验，使两球运动的半径r 和角速度ω相同→观察得到：向心力的大小与质量有关，质量越大，向心力就越大。
b ：用两个质量相同的小球做实验，保持运动半径相同，观察向心力与角速度之间的关系。
可以看出，角速度越大，所需向心力就越大。
c ：仍用两个质量相同的小球做实验，保持两球运动角速度相同，观察向心力的大小与运动半径之间的关系。
可以看出，运动半径越大，所需向心力就越大。
（3）总结得到：向心力的大小跟物体的质量m 、圆周半径r 和角速度ω都有关系。
匀速圆周运动所需的向心力大小为F ＝mr ω2（4）学生根据r v =ω推导向心力的另一表达式r v m F 2=【注意】向心力是根据力的作用效果来命名的，不是一种新的、特殊的力。
第1课时 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系一、实验目的1．定性感知向心力的大小与什么因素有关． 2．学会使用向心力演示器．3．探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系． 二、实验方法：控制变量法 三、实验方案1．用细绳和物体定性感知向心力的大小．(1)实验原理：如图1所示，细线穿在圆珠笔的杆中，一端拴住小物体，另一端用一只手牵住，另一只手抓住圆珠笔杆并用力转动，使小物体做圆周运动，可近似地认为作用在小物体上的细线的拉力，提供了圆周运动所需的向心力，而细线的拉力可用牵住细线的手的感觉来判断．图1(2)器材：质量不同的小物体若干，空心圆珠笔杆，细线(长约60 cm)． (3)实验过程：①在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验． ②在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变物体的角速度进行实验． ③换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作．(4)结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．2．用向心力演示器定量探究(1)实验原理如图2所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动．这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力．同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小．图2(2)器材：向心力演示器．(3)实验过程①把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样，探究向心力的大小与角速度的关系．②保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系．③换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系．④重复几次以上实验．(4)数据处理①m、r一定②m、ω一定③r、ω一定④分别作出F向－ω2、F向－r、F向－m的图象．⑤实验结论a．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比．b．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．c．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比．四、注意事项1．定性感知实验中，小物体受到的重力与拉力相比可忽略．2．使用向心力演示器时应注意：(1)将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故．(2)摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个测力计的格数．达到预定格数时，即保持转速均匀恒定.一、影响向心力大小因素的定性分析例1如图3所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空气中甩动，使杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力．图3(1)下列说法中正确的是________．A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大(2)如图甲，绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小．操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：____________________相同，向心力大小与________有关；②物理学中此种实验方法叫________________法．③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”．你认为该同学的说法是否正确，为什么？答案(1)BD(2)①角速度、半径质量②控制变量③说法不对，该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心．解析(1)由题意，根据向心力公式，F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有F T＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确；(2)根据向心力公式F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有F T＝mω2r；操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关；物理学中此种实验方法叫控制变量法．该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与“向心力”大小相等，方向相反，背离圆心．二、影响向心力大小因素的定量研究例2用如图4所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．图4(1)本实验采用的科学方法是________．A．控制变量法B．累积法C．微元法D．放大法(2)图示情景正在探究的是________．A．向心力的大小与半径的关系B．向心力的大小与线速度大小的关系C．向心力的大小与角速度大小的关系D．向心力的大小与物体质量的关系(3)通过本实验可以得到的结论是________．A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比答案(1)A (2)D (3)C解析(1)在这两个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确；(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，所以D选项正确；(3)通过控制变量法，得到的结论为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以C选项正确．例3一物理兴趣小组利用学校实验室的数学实验系统探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系.(1)首先，他们让一砝码做半径r＝0.08 m的圆周运动，数学实验系统通过测量和计算得到若干组向心力F和对应的角速度ω，如表，请你根据表中的数据在图5甲上绘出F－ω的关系图象．图5(2)通过对图象的观察，兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比，你认为，可以通过进一步转换，作出____________关系图象来确定他们的猜测是否正确．(3)在证实了F∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条F－ω图象，他们将三次实验得到的图象放在一个坐标系中，如图乙所示，通过对三条图象的比较、分析、讨论，他们得出F∝r的结论．你认为他们的依据是______________________________________________________．(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．答案(1)(2)F－ω2(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3(4)0.038 kg解析 (1)由题中的数据描点，用平滑曲线连线，如图所示．(2)若兴趣小组的同学猜测F 与ω2成正比，则可画出F －ω2关系图象来确定，若F －ω2关系图线是一条过原点的倾斜直线，即可证明猜测是正确的．(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3，若与图象的交点中力的数值之比满足1∶2∶3，则他们可以得出F ∝r 的结论． (4)由F 、ω、r 的单位可得出k 的单位为kg ，即是物体的质量，再由k ＝Fr ω2，将F 、ω的数据代入求解出k 的平均值为0.038.1．(向心力演示器)向心力演示器如图6所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小．图6(1)现将小球分别放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度大小的关系，下列做法正确的是( )A ．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的钢球做实验B ．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的钢球做实验C ．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的钢球做实验D ．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的钢球做实验(2)在该实验中应用了________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m 、角速度ω和半径r 之间的关系． 答案 (1)A (2)控制变量法解析 (1)要探究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A 正确，B 、C 、D 错误．(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法．2．(影响向心力大小因素的定量研究)如图7所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在转盘A 、B 上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1.a 、b 分别是与A 盘、B 盘同轴的轮．a 、b 的轮半径之比为1∶2，用皮带连接a 、b 两轮转动时，钢球①②所受的向心力之比为( )图7A ．8∶1B ．4∶1C ．2∶1D ．1∶2答案 A解析 皮带传动，边缘上的点线速度大小相等，所以v a ＝v b ，a 轮、b 轮半径之比为1∶2，所以由v ＝r ω得ωa ωb ＝r b r a ＝21，共轴的点角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，则ω1ω2＝21.据向心加速度a ＝r ω2，则知a 1a 2＝81.钢球的质量相等，由F ＝ma 得，向心力之比为F 1F 2＝81，所以A 正确，B 、C 、D 错误． 3．(影响向心力大小因素的定性分析)两个同学做体验性实验来粗略地验证向心力公式F ＝m v 2r 和F ＝m ω2r .他们的做法如下：如图8甲，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，绳上离小沙袋重心40 cm 的地方打一个绳结A,80 cm 的地方打另一个绳结B .同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：图8操作一：手握绳结A，如图乙，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小．操作二：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周，体会此时绳子拉力的大小．操作三：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小．根据以上操作步骤填空：操作一与操作三__________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作一”或“操作三”)绳子拉力比较大；操作二与操作三____________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作二”或“操作三”)绳子拉力比较大．答案角速度操作三线速度操作二解析操作一和操作三，都是每秒转动一圈，则角速度相等，根据F＝mω2r知，半径大时所需的向心力大，则拉力大，知操作三感到向心力较大；操作三和操作二比较，操作三1 s内转过的弧长为2πr，操作二1 s内转过的弧长为2×2π×r2＝2πr，知线速度相同，根据F＝mv2r知，半径小时向心力大，则操作二感到向心力较大．4．(影响向心力大小因素的定量研究)某兴趣小组用如图9甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为________________．(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知：曲线①对应的砝码质量________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．图9答案 (1)dr Δt(2)小于解析 (1)物体转动的线速度v ＝dΔt由ω＝v r计算得出ω＝dr Δt.(2)图中抛物线说明：向心力F 和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F ＝ma 可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．5．(影响向心力大小因素的定量研究)如图10甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS 实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m ，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r ，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，以下是所得数据和图乙所示的F －v 、F －v 2、F －v 3三个图象：图1011(1)数据表和图乙的三个图象是在用实验探究向心力F 和圆柱体线速度v 的关系时保持圆柱体质量不变，半径r ＝0.1 m 的条件下得到的．研究图象后，可得出向心力F 和圆柱体速度v 的关系式：__________________.(2)为了研究F 与r 成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量________不变．(3)若已知向心力的表达式为F ＝m v 2r，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________．答案 (1)F ＝0.88v 2 (2)线速度 (3)0.088 kg解析 (1)研究数据表和图乙中B 图不难得出F ∝v 2，进一步研究知图乙斜率k ＝ΔF Δv 2≈0.88，故F 与v 的关系式为F ＝0.88v 2.(2)线速度v .(3)由F ＝m v 2r＝0.88v 2，r ＝0.1 m ，所以m ＝0.088 kg.。
第1课时 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系一、实验目的1．定性感知向心力的大小与什么因素有关． 2．学会使用向心力演示器．3．探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系． 二、实验方法：控制变量法 三、实验方案1．用细绳和物体定性感知向心力的大小．(1)实验原理：如图1所示，细线穿在圆珠笔的杆中，一端拴住小物体，另一端用一只手牵住，另一只手抓住圆珠笔杆并用力转动，使小物体做圆周运动，可近似地认为作用在小物体上的细线的拉力，提供了圆周运动所需的向心力，而细线的拉力可用牵住细线的手的感觉来判断．图1(2)器材：质量不同的小物体若干，空心圆珠笔杆，细线(长约60 cm)． (3)实验过程：①在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验． ②在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变物体的角速度进行实验． ③换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作． (4)结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．2．用向心力演示器定量探究(1)实验原理如图2所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动．这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力．同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套筒里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小．图2(2)器材：向心力演示器．(3)实验过程①把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样，探究向心力的大小与角速度的关系．②保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系．③换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同．调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系．④重复几次以上实验．(4)数据处理①m、r一定②m、ω一定③r、ω一定④分别作出F向－ω2、F向－r、F向－m的图象．⑤实验结论a．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比．b．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．c．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比．四、注意事项1．定性感知实验中，小物体受到的重力与拉力相比可忽略．2．使用向心力演示器时应注意：(1)将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故．(2)摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个测力计的格数．达到预定格数时，即保持转速均匀恒定.一、影响向心力大小因素的定性分析例1如图3所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空气中甩动，使杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力．图3(1)下列说法中正确的是________．A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大(2)如图甲，绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小．操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小．①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：____________________相同，向心力大小与________有关；②物理学中此种实验方法叫________________法．③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”．你认为该同学的说法是否正确，为什么？答案(1)BD(2)①角速度、半径质量②控制变量③说法不对，该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心．解析(1)由题意，根据向心力公式，F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有F T＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确；(2)根据向心力公式F向＝mω2r，由牛顿第二定律，则有F T＝mω2r；操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关；物理学中此种实验方法叫控制变量法．该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯，细线的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心．细线对手的拉力与“向心力”大小相等，方向相反，背离圆心．二、影响向心力大小因素的定量研究例2用如图4所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关．图4(1)本实验采用的科学方法是________．A．控制变量法B．累积法C．微元法D．放大法(2)图示情景正在探究的是________．A．向心力的大小与半径的关系B．向心力的大小与线速度大小的关系C．向心力的大小与角速度大小的关系D．向心力的大小与物体质量的关系(3)通过本实验可以得到的结论是________．A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比答案(1)A (2)D (3)C解析(1)在这两个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确；(2)控制半径、角速度不变，只改变质量，来探究向心力与质量之间的关系，所以D选项正确；(3)通过控制变量法，得到的结论为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以C选项正确．例3一物理兴趣小组利用学校实验室的数学实验系统探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系.(1)首先，他们让一砝码做半径r＝0.08 m的圆周运动，数学实验系统通过测量和计算得到若干组向心力F和对应的角速度ω，如表，请你根据表中的数据在图5甲上绘出F－ω的关系图象．图5(2)通过对图象的观察，兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比，你认为，可以通过进一步转换，作出____________关系图象来确定他们的猜测是否正确．(3)在证实了F∝ω2之后，他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m，又得到了两条F－ω图象，他们将三次实验得到的图象放在一个坐标系中，如图乙所示，通过对三条图象的比较、分析、讨论，他们得出F∝r的结论．你认为他们的依据是______________________________________________________．(4)通过上述实验，他们得出：做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F＝kω2r，其中比例系数k的大小为________，单位是________．答案(1)(2)F－ω2(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3(4)0.038 kg解析(1)由题中的数据描点，用平滑曲线连线，如图所示．(2)若兴趣小组的同学猜测F 与ω2成正比，则可画出F －ω2关系图象来确定，若F －ω2关系图线是一条过原点的倾斜直线，即可证明猜测是正确的．(3)作一条平行于纵轴的辅助线，观察和图象的交点中力的数值之比是否为1∶2∶3，若与图象的交点中力的数值之比满足1∶2∶3，则他们可以得出F ∝r 的结论． (4)由F 、ω、r 的单位可得出k 的单位为kg ，即是物体的质量，再由k ＝Fr ω2，将F 、ω的数据代入求解出k 的平均值为0.038.1．(向心力演示器)向心力演示器如图6所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小．图6(1)现将小球分别放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度大小的关系，下列做法正确的是( )A ．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的钢球做实验B ．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的钢球做实验C ．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的钢球做实验D ．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的钢球做实验(2)在该实验中应用了________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m 、角速度ω和半径r 之间的关系．答案 (1)A (2)控制变量法解析 (1)要探究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A 正确，B 、C 、D 错误．(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法．2．(影响向心力大小因素的定量研究)如图7所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在转盘A 、B 上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1.a 、b 分别是与A 盘、B 盘同轴的轮．a 、b 的轮半径之比为1∶2，用皮带连接a 、b 两轮转动时，钢球①②所受的向心力之比为( )图7A ．8∶1B ．4∶1C ．2∶1D ．1∶2答案 A解析 皮带传动，边缘上的点线速度大小相等，所以v a ＝v b ，a 轮、b 轮半径之比为1∶2，所以由v ＝r ω得ωa ωb ＝r b r a ＝21，共轴的点角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，则ω1ω2＝21.据向心加速度a ＝r ω2，则知a 1a 2＝81.钢球的质量相等，由F ＝ma 得，向心力之比为F 1F 2＝81，所以A 正确，B 、C 、D 错误．3．(影响向心力大小因素的定性分析)两个同学做体验性实验来粗略地验证向心力公式F ＝mv 2r和F ＝m ω2r .他们的做法如下：如图8甲，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，绳上离小沙袋重心40 cm 的地方打一个绳结A,80 cm 的地方打另一个绳结B .同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：图8操作一：手握绳结A ，如图乙，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小．操作二：手仍然握绳结A ，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周，体会此时绳子拉力的大小． 操作三：改为手握绳结B ，使沙袋在水平方向上每秒运动1周，体会此时绳子拉力的大小． 根据以上操作步骤填空：操作一与操作三__________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作一”或“操作三”)绳子拉力比较大；操作二与操作三____________(填“线速度”或“角速度”)相同，同学乙感到____________(填“操作二”或“操作三”)绳子拉力比较大．答案 角速度 操作三 线速度 操作二解析 操作一和操作三，都是每秒转动一圈，则角速度相等，根据F ＝m ω2r 知，半径大时所需的向心力大，则拉力大，知操作三感到向心力较大；操作三和操作二比较，操作三1 s 内转过的弧长为2πr ，操作二1 s 内转过的弧长为2×2π×r2＝2πr ，知线速度相同，根据F＝mv 2r知，半径小时向心力大，则操作二感到向心力较大． 4．(影响向心力大小因素的定量研究)某兴趣小组用如图9甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素．实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力．(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d 、挡光杆通过光电门的时间Δt 、挡光杆做圆周运动的半径r ，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为________________．(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知：曲线①对应的砝码质量________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量．图9答案 (1)dr Δt(2)小于解析 (1)物体转动的线速度v ＝dΔt由ω＝v r计算得出ω＝dr Δt.(2)图中抛物线说明：向心力F 和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F ＝ma 可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量．5．(影响向心力大小因素的定量研究)如图10甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS 实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m ，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r ，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，以下是所得数据和图乙所示的F －v 、F －v 2、F －v 3三个图象：图10(1)数据表和图乙的三个图象是在用实验探究向心力F 和圆柱体线速度v 的关系时保持圆柱体质量不变，半径r ＝0.1 m 的条件下得到的．研究图象后，可得出向心力F 和圆柱体速度v 的关系式：__________________.(2)为了研究F 与r 成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持物理量________不变．11 (3)若已知向心力的表达式为F ＝m v 2r，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________．答案 (1)F ＝0.88v 2 (2)线速度 (3)0.088 kg解析 (1)研究数据表和图乙中B 图不难得出F ∝v 2，进一步研究知图乙斜率k ＝ΔFΔv 2≈0.88，故F 与v 的关系式为F ＝0.88v 2.(2)线速度v .(3)由F ＝m v 2r ＝0.88v 2，r ＝0.1 m ，所以m ＝0.088 kg.。
