概率统计试卷B

华中农业大学本科课程考试参考答案与评分标准考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 试卷类型：B 考试日期：一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

）1. 设随机变量X 的概率密度)1(1)(2x x p +=π，则X Y 2=的分布密度为 . 【 b 】 (a))41(12x +π； (b) )4(22x +π； (c) )1(12x +π； (d) x arctan 1π．2. 设随机变量序列x 1, x 2,…, x n …相互独立,并且都服从参数为1/2的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=ni i x n 11的概率分布近似服从 . 【 b 】(a) N(2,4) (b) N(2,4/n) (c) N(1/2,1/4n) (d) N(2n,4n) 3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σμ，其中μ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是总体X 的一个 简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 C 】（a ）321X X X ++； （b ）)X ,X ,X min(321； （c ）∑=σ31i 22i X ； （d ）μ+2X ．4．在假设检验问题中，检验水平α意义是 ． 【 a 】 （a ）原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率； （b ）原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率； （c ）原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率； （d ）原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率．5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 d 】（a ）SSR 越大，SSE 越小； （b ）SSE 越小，回归效果越好； （c ）r 越大，回归效果越好； （d ）r 越小，SSR 越大．二、填空题（将答案写在该题横线上。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题2分，共10分。

① 任意实数； ② 1； ③ 2； ④ 12.3．若随机变量X 的概率密度为(),()xf x aex -=-∞<<+∞，则=a （ 2 ）. ① 12-； ②12； ③1； ④ 32.4．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ 3 ）.① ()P a X b <≤=)()(a F b F -； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F a F b <<≠-； ④ ()0.P X a ==.5．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ 4 ）。

① 8； ② 16； ③ 28； ④ 44. 三、某校入学考试的数学成绩近似服从正态分布(65,100)N .若85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几?(8分)解: 设X 表示考生的数学成绩，则 ~ (65,100)X N 近似，于是858565{85}1{85}1{}1010X P X P X P -->=-≤=-≤ (4分)1(2)10.9772 2.28%≈-Φ=-= (8分)即数学成绩“优秀”的考生大致占总人数的2.28%。

四、某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%，从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：（1）两个灯泡寿命均大于2500小时；（2）两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；（3）两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小时.（12分）解：用B A ,分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独立.(1) 72.09.08.0)()()(=⨯==B P A P AB P , (4分)22,()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，33,0()0,y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，写出二维随机变量(), X Y 的联合密度函数(), f x y ，并求概率(2,1)P X Y <>. （10分） 解：由随机变量X 与Y 相互独立，得(23)0,0,6,(,)()().0,x y X Y x y e f x y f x f y else -+>>⎧==⎨⎩(5分) 2(23)1(2,1)6x y P X Y dx edy +∞-+<>=⎰⎰(8分) 2234316()()(1)0.0489xyedx edy e e+∞----==-≈⎰⎰(10分)八、 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于10户且不多于26户的概率的近似值。

东华大学2018~ 2019学年第 二 学期期_末__试题踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 概率论与数理统计A(理工类)（B 卷）使用专业 全校各专业查表数据： 75.1)15(05.0 t ，74.1)16(05.0 t ，13.2)15(025.0 t ，11.2)16(025.0 t ，99.0)2.33(，89.0)2.05(，975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)28.1((一) 填充题（每题4分，共5题）1.有0.005的男子与0.0025的女子是色盲，且男子与女子的总数相等，现随机地选一人，发现是色盲者，则P（男子|色盲）=______________。

2.设随机变量),3(~),,2(~p B p B ，如果95)1(P ，则 )1( P ___________. 3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X~B （16，）， Y 服从于参数为 9 的泊松分布，则D (X −2Y +1)=_________________。

4.设总体X 的概率密度为f (x )=e | | (−∞<x <+∞)，X ，X …，X 为总体的随机简单样本，其方差为S ，则E (S )=__________________。

5. 设n ,1是从正态母体),(2a N 中抽取的简单子样， 和2n S 分别表示它的子样的均值和子样方差，又设ξ ~N(μ,α )且与n ,1独立，统计量____________~11 n n S nn .（二）选择题（每题4分，共5题，全部是单选题）1.一批产品中有30%的一级品，现进行放回抽样检查，共取4个样品，则取出的4个样品中恰有2个一级品的概率是（ ）（A）0.168 （B）0.2646 （C）0.309 （D）0.3602.设随机变量X~N(μ，σ )，则随σ增大，P (|X −μ|<σ)（ ）。

学号：姓名：班级：..........................................................密.......................................................封...........................................................线..........................................................专业本科各专业年级2007级班2008~2009学年第 1 学期概率论与数理统计课程期末试卷试卷类型：B 卷青岛理工大学试卷纸共 4 页第 1 页试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须..........................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线....................................................................................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................2008年下学期概率统计试卷(B)参考答案1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 发生, B , C 中至少有一个不发生表示为(空1) .2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y . 则P {Y =2}=(空2) . 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4} =41×(0+21+31+41)=4813. 3. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 则常数c = (空3) . 概率}0|1{≠<X X P =(空4) .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以3516c =. 所求概率为P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 4. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计{|2|P X Y +≥12}=(空5) .解 {2}2()()22(4)E X Y E X E Y +=+=⨯+-=,{2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-⨯840.5124=-⨯⨯⨯=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤2411236=. 5. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ 的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 则常数k =(空6) . 解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.1.设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A) ()()()P A P AB P AB =+. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C) ()()()P A B P A P B -=-. (D) ()()()P AB P A P B =.解 由文氏图易知本题应选(D).2. 设事件A 与B 独立, 则下面的结论中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P P P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).3. 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为随机变量X 的分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-. (C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).4. 设随机变量X 服从标准正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=. 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) /2u α . (B) 1/2u α- . (C) (1)/2u α-. (D) α-1u . 解 答案是(C).5. 设连续型随机变量X 的概率密度为f (x ), 则31Y X =+的概率密度为g (y )为( ).(A)111()333f y -. (B) 3(31)f y +. (C) 3()1f y +. (D) 1133()f y -.解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). 6. 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布，则().E X np =(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解 )1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 7. 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D). 8. 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ 的样本, 则下列结论中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C) 22().E S σ= (D) 以上全不对.解 选(C).9. 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则下列结论中正确的是( ).(A) X +Y 服从标准正态分布. (B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C) X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解 因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).10. 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).三、(10分)在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球取自第二箱的概率. 解 以A 表示“取得的球是白球”，i H 表示“取得的球来自第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. ...................... 4分 (1) 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. ............ 4分(2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==. .................. 2分 四、(10分) 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}22P Y X ≤≤；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由. 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩ ............................. 2分当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰; 当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 ............................... 2分(2) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. ............................. 4分 (3) 因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以X 与Y 是否独立. …………………………………2分 五、(10分)设随机变量(X , Y )的分布律为若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 和协方差Cov(X ,Y ). 解 首先，由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次，由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，得3.0=b . 进而1.0=a . ...................................................... 2分由此可得边缘分布律于是 4.14.026.01)(=⨯+⨯=X E , 5.05.015.00)(=⨯+⨯=Y E .故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=. ...................... 4分六、(10分)设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解 设进货量为a 单位, 则经销商店所获利润为500300()300200,30,500100()600100,10.a a X a X a a X M X a X X a X a +-=+<=--=-⎧⎨⎩≤≤≤ ............ 4分 需求量X 的概率密度为()1,1030,200,.f x x =⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 ........................... 2分 由此可得利润的期望值为30301010111()(600100)(300200)202020a a a aE M M dx x a dx x a dx =-++=⎰⎰⎰ .............. 2分 21535052502a a =-++依题意, 有21535052502a a -++≥9280,即21535040302a a -+≤0, 解得623≤a ≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单位~26单位. ................................................................ 2分七、(10分) 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求：(1) 未知参数λ的矩估计量; (2) 极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. ................................ 4分 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏, ...................... 2分取对数1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 4分八、(12分)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布(,1)N μ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm.(1) 取显著性水平α=0.05时, 是否可以认为μ=41？ (2) 求μ的置信水平为0.95的置信区间;(3) 问题(1)和(2)的条件与结论之间有什么关系? 解 (1) 提出假设 H 0: μ=μ0=41; H 1:μ≠μ0 . ................................... 2分 对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量X z =拒绝域为|z |>z 0.025=1.96 ............... 2分代入数据n =16, x =40, σ=1, 得到||x z ===4>1.96. 所以拒绝原假设, 不能认为μ=41 2分(2) 已知x =40, σ =1,α = 0.05, 查表可得0.025 1.96,z z α==所求置信区间为22()(40 1.96,40 1.96),x z x αα+=(39.51,40.49).= ..... 4分(3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； .. 1分μ的双侧假设检验的接受域与μ的置信水平为0.95的置信区间相同...................... 1分 注意：题目参考数据: t 0.025(24)=2.0639, t 0.025(23)=2.0687, t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(23)=1.7139z 0.025=1.96, z 0.05=1.65。

昆明理工大学试卷（历年试题）考试科目： 概率统计B(48学时) 考试日期： 命题教师：2013年概率统计试题一、填空题（每小题4分，共40分）1.设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有两个发生可表示为 。

2.已知1()4p A =，1(|)2p A B =，1(|)3p B A =，则()p A B ⋃= 。

3.设事件A,B 互不相容，且1()2p A =，1()3p B =，则()p AB = 。

4．进行独立重复实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为1p -,将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示实验次数，则()p X k == 。

5．已知随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，即(2)X P :，则(0)p X == 。

6．已知随机变量(2,1)X N -:，(2,1)Y N :且,X Y 相互独立，则2X Y -服从的分布是 。

7．若随机变量X 满足()1,()2,E X D X =-=则2(31)E X -= 。

8．设12,X X 是来自于总体X 的样本，1121233X X μ=+)，2121122X X μ=+)为总体均值μ的无偏估计，则12,μμ))中较有效的是 。

9．设12,,n X X X L 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ已知，则212()nii XX σ=-∑服从的分布是 ，212()nii Xμσ=-∑服从的分布是 。

10．设12,,n X X X L 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ未知，则μ的1α-的置信区间是为 。

一、 填空题（每小题4分，共40分）1．AB BC AC U U 2. 13 3.124. ()p X k ==1(1)k p p -- 1,2,k =L5. 2e -6.(6,5)N -7. 88. 2μ)9. 22(1),()n n χχ-10. 2(_(1),(1))x n x n αα-- 二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30。

东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）2011 --2012 学年第二学期一、填空题（共70分 每空2分）2、已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则=)(B P 0.7 。

3、.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的点数),则这两颗骰子的点数和为5的概率是91。

4、袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只。

如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为158；如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为 0.48 。

5、已知某对夫妇有四个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,4(B ，恰有两个男孩的概率为83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为1514。

10、一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为 0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心 极限定理可得，整个系统正常工作的概率为 0.5 。

13、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010 ,)(2x kx x f ， 则=k 3 .，=2EX 53。

14、设二维随机向量),(Y X 的联合分布密度函数=)(x f XY ⎩⎨⎧≤≤-其它, 00 ,y x e y ，则X 的密度函数=)(x f X ⎩⎨⎧<≥-0,00 ,x x e x ，Y X 与的独立性为不独立。

15、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。

如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过0.025，则该超市购进的牛奶量至少为239.2公斤。

16、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤+=其它 ,010 )1()(x x x f θθ，则参数θ的矩估计量=θ XX --112 17、设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量3211X X X T -+=，)(313212X X X T ++=，3213614121X X X T ++=， )(21214X X T +=中， 总体均值的无偏估计量为421,,T T T ， 在上述无偏估计量中最有效的一个为 2T18、在假设检验中，显著性水平α＝0.01时拒绝H 0，则当显著水平α＝0.05时应 拒绝 （拒绝、接收、有时拒绝有时接收）H 0。

华东理工大学2009–2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷B 答案 2010.01开课学院： 理学院， 专业：大面积， 考试形式：闭卷， 所需时间120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评卷人附表：975.0)96.1(=Φ;0860.2)20(975.0=t ;59.3)11,9(,91.3)9,11(975.0975.0==F F 。

一、（共8分）已知有3个箱子，第一个箱子中有4个黑球，2个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球，第三个箱子中有5个黑球，1个白球，现随机取一个球。

（1）求取出的为黑球的概率；（2）已知取出的为黑球，求此球来源于第一个箱子的概率。

二．（共8分）某单位设置一台电话总机,共有200个分机。

设每个分机在任一时刻使用外线通话的概率为5%,各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线,才能以97.5%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？三．（共9分）设),(ηξ的联合概率分布表为η ξ -1 0 10 181 121x 41 y 41如果已知0),cov(=ηξ，求：（1）y x ,；（2）)),(max(ηξE ;(3) ηξ,独立吗？四．填空题：（3分一题，共24分）1)向单位圆122<+y x 内随机地投下3点，则这3点恰有2点落在同一象限内的概率为___。

2)设总体 ξ 的概率分布为ξ-1 0 1 }{k P =ξt0.20.3则D ξ=_________。

3)设~ξ)6,0(U ，η=⎩⎨⎧>≤404,1ξξ ，则η的数学期望E η=______。

4) 设ηξ,为两个随机变量，满足,73}0{}0{,72}0,0{=≥=≥=≥≥ηξηξP P P 则{max(,)0}P ξη<=________。

5)已知随机变量ξ,η满足2,2,1,4,0.5,E E D D ξηξηξηρ=-====-用切比雪夫不等式估计{6}P ξη+≥≤______。

概率统计考试试卷B（答案）系(院)：专业：年级及班级：姓名：学号： .密封线1、五个考签中有⼀个难签，甲、⼄、丙三个考⽣依次从中抽出⼀张考签，设他们抽到难签的概率分别为1p ，2p ，3p ，则（ B ） (A)321p p p (B)1p =2p =3p (C)321p p p (D)不能排⼤⼩解：抽签概率均为51，与顺序⽆关。

故选（B ）2、同时掷3枚均匀硬币，恰有两枚正⾯向上的概率为（D ）(A)0.5 (B)0.25 (C)0.125 (D)0.375解：375.0832121223==??? ????? ??C ，故选（D ）3 、设(),,021Φ=A A B P 则（ B ）成⽴(A)()01 B A P (B)()[]()()B A P B A P B A A P 2121+=+ (C)()02≠B A A P (D)()121=B A A P解：条件概率具有⼀般概率性质，当A 1A 2互斥时，和的条件概率等于条件概率之和。

故选（B ）课程名称：《概率论与数理统计》试卷类别：考试形式：开卷考试时间：120 分钟适⽤层次：本科适⽤专业：阅卷须知：阅卷⽤红⾊墨⽔笔书写，⼩题得分写在相应⼩题题号前，⽤正分表⽰；⼤题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流⽔作业。

系(院)：专业：年级及班级：姓名：学号： .密封线4、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每⼈购买⼀张，则前3个的购买者中恰有1⼈中奖的概率为（D ）(A)3.07.02321 解：310272313A A C C P ?==402189106733=，故选（D ） 5、每次试验成功的概率为p ，独⽴重复进⾏试验直到第n 次才取得()n r r ≤≤1次成功的概率为（B ）。

(A)()rn rn p p C --1 (B)()rn rr n p p C ----111(C)()rn r p p --1 (D) ()rn r r n p pC -----1111解：rn r r n r n r r n qp C q p C p ---+-----=?1111111，故选（B ）第n 次6、设随机变量X 的概率密度为)1(12x +π，则2X 的概率密度为（B ） (A))1(12x +π (B))4(22x +π (C))41(12x +π (D))x +π解：令()x g x y ==2 ()y h y x ==21 ()21='y h ()214112+=y y P Y π=()21442?+y π=()242y +π，故选（B ）7、如果随机变量X 的可能值充满区间（ A B ），⽽在此区间外等于零，则x sin 可能成为⼀随机变量的概率密度。

北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（B 卷）一．（本题满分8分）将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记X 为1号信箱内信的数目，Y 表示有信的信箱数目，求：二维随机变量()Y X ，的联合分布律（5分）及随机变量X 与Y 各自的边缘分布律（3分）．解：X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，2，3．()Y X ，的联合分布律以及X 与Y 各自的边缘分布律为YX123⋅i p 0643641864664271064964186427206490649364100641jp ⋅64464366424二．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ，的联合密度函数为()⎩⎨⎧<≤=其它，0122y x ycx y x f ⑴试确定常数c （4分）；⑵求随机变量X 的边缘密度函数()x f X （4分）．解：⑴()211214121x f x y dxdy dx cx ydy +∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰，所以，421=c ．⑵当11<<-x 时，()()()421218214212x x ydy x dy y x f x f xX -===⎰⎰+∞∞-，因此，X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它011182142x x x x f X 三．（本题满分8分）某人有n 把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试．令X 表示试开次数，求随机变量X 的数学期望()X E （4分）与方差()X D （4分）．解：随机变量X 的取值为n ,,2,1 ，并且{}nk X P 1==，()n k ,,2,1 =．(){}()2121111111+=+⋅=⋅=⨯==⨯=∑∑∑===n n n n k n n k k X P k X E n k nk nk ，(){}()()()()612161211111212122++=++⋅=⋅=⨯==⨯=∑∑∑===n n n n n n k n n k k X P k XE n k nk nk ，所以，()()()()()()1212161212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-=n n n n X E XE X D ．四．（本题满分8分）设随机变量()2,~σμN X ，再设μ-=X Y ．求随机变量Y 的数学期望()Y E （4分）与方差()Y D （4分）．解：随机变量X 的密度函数为()()22221σμσπ--=x X e x f ，()+∞<<∞-x ．所以，()()()()⎰⎰∞+∞---∞+∞--=-=-=dxe x dx xf x X E Y E x X 22221σμμσπμμ()()222xx eμσμμ-+∞-=-⎰，令σμ-=xu，则σdxdu=，代入上式，得()σππσσπ222222222=-==+∞-∞+-⎰uueduueYE，()()()222σμ==-=XDXEYE，所以，()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=πσσπσ21222222YEYEYD．五．（本题满分8分）设甲、乙两种电器的使用寿命X与Y都服从指数分布，其密度函数分别为()⎩⎨⎧≤>=-xxexfxXλλ与()⎩⎨⎧≤>=-yyeyfyYμμ其中0>λ，0>μ都是参数．并且X与Y相互独立．试求甲种电器的使用寿命不超过乙种电器的使用寿命的概率．解：因为随机变量X与Y相互独立，所以()YX,的联合密度函数()()()()⎩⎨⎧>>==+-其它,0,yxeyf xfyx fyxYXμλλμ．所求概率为()YXP≤，则有()()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-≤==≤,xyxyxdyedxdxdyyx fYXPμλλμ()()⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞+--+∞+∞--=-==dxedxeedyedxe xxyxxyxμλμλμλλλλμ()μλλμλλμλ+=+-=+∞+-xe．六．（本题满分8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记⎩⎨⎧=其它若抽到为一等品01X ⎩⎨⎧=其它若抽到为二等品1Y 试求X 与Y 的相关系数ρ，并判断X 与Y 是否相互独立？解：()Y X ，的联合分布律及各自的边缘分布律为YX01⋅i p 00.10.20.310.700.7jp ⋅0.80.2所以，()7.0=X E ，()21.0=X D ，()2.0=Y E ，()16.0=Y D ．又()0=XY E ，所以，()()()()()()14.0cov -=-=Y E X E XY E Y X ，()7638.016.021.014.0cov -=-==DYDX Y X ，ρ，由于0≠ρ，所以随机变量X 与Y 相关，从而随机变量X 与Y 不独立．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 满足：()2=X E ，()3=Y E ，()4=X D ，()16=Y D ，()14=XY E ，试用Chebyshev （切比雪夫）不等式估计概率{}323≥-Y X P ．解：()()()032232323=⨯-⨯=-=-Y E X E Y X E ，()()()()Y X Y D X D Y X D ,cov 2324923⨯⨯-+=-()()()()Y E X E XY E -⨯-⨯+⨯=1216449()4614126436=-⨯-+=，所以，由Chebyshev （切比雪夫）不等式，有{}()(){}32323323≥---=≥-Y X E Y X P Y X P ()94923=-≤Y X D ．八．（本题满分8分）设随机变量n X X ,,1 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X U ,,max 1 =，求U 的密度函数()x f U （4分）以及()U E （4分）．解：i X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x p ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x x x x F ．所以，随机变量U 的密度函数为()()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n n U ．所以，()()()1111+==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-n n dx x n dx nx x dx x xp U E nn n ．九．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立而且具有相同的分布，其中X 的分布律为X 012P313131令：()Y X U ,min =，()Y X V ,max =．求二维随机变量()V U ,的联合分布律，以及U 与V 各自的边缘分布律（6分）．并说明随机变量U 与V 是否相互独立（2分）．解：()V U ,的联合分布律以及U 与V 各自的边际分布律为VU12⋅i p 0919292951091929329191jp ⋅919395由于{}{}{}91910200,2⨯===≠===V P U P V U P ，所以，随机变量U 与V 不相互独立．十．（本题满分8分）一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[]2010，上的均匀分布，商店每售出一单位该商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商品可从其它商店调剂供应，这时每单位该商品可获利润500元，试求此商店经销该商品所得利润的数学期望．证明：由于X 与Y 相互独立，且都服从区间[]2010，上的均匀分布，所以()Y X ，的联合密度函数为．()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==其它，，0201020101001y x y f x f y x f Y X 再设Z 为商店所得利润，则有()⎩⎨⎧<-+≥=YX X Y X Y X Y Z 50010001000所以，()()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdyy x f y x h Z E ，，()⎰⎰=201020101001dxdyy x h ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰20201010201050010001001x x dy y x dx ydy dx 67.141667500320000=+=十一．（本题满分8分）向平面区域(){}0402≥-≤≤=x x y y x D ，：，内随机地投掷一点，即二维随机变量()Y X ,服从平面区域D 上的均匀分布．⑴.试求二维随机变量()Y X ,的联合密度函数；⑵.点()Y X ,到y 轴距离的概率密度函数；⑶.设()D Y X ∈，，过点()Y X ,作y 轴的平行线，设S 为此平行线与x 轴、y 轴以及曲线24x y -=所围成的曲边梯形的面积，求()S E ．解：⑴．平面区域D 的面积为()3164202=-=⎰dx x A 所以，二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=Dy x Dy x y x f ，，0163,⑵.点()Y X ,到y 轴距离的概率密度函数，即是分量X 的边缘密度函数，当20≤≤x 时，()()()24041631632x dy dy y x f x f x X -===⎰⎰-+∞∞-，所以，分量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它02041632x x x f X ⑶.由题设，所作曲边梯形的面积为()344302X X dx x S X-=-=⎰所以，()()⎰+∞∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dxx f x x X X E S E X 343433()384163342023=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x x x 十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．试求随机变量Z 的密度函数()z f Z ．解：由题意，得()2221x X ex f -=π()∞<<∞-x ，()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X Pz Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdyy f x f z Y X P z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdye 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdrerdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ 所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ．十三．（本题满分4分）设随机变量X 与Y 相互独立，都服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛21,μN ．求数学期望Y X E -．解：因为随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，所以其差Y X -也服从正态分布．而()()()0=-=-=-μμY E X E Y X E ，()()()12121=+=+=-Y D X D Y X D ，因此，()1,0~N Y X U -=．()ππππ22222210222222=-====-+∞-∞+-∞+∞--⎰⎰u u u e uedu eu U E Y X E ．。