3、自由落体和竖直上抛 追及相遇问题

竖直上抛运动的追及与相遇问题[摘要] 高考侧重于对学生基础知识、基本能力的考察；以及综合运用物理知识，分析、解决实际问题的能力。

竖直上抛运动是生活中常见的一种运动，学生建立物理模型也比较容易，也体现了高考题贴近生活的特点。

[关键词] 追及与相遇竖直上抛运动高考理综追及与相遇问题是运动学考察的重点，这与生活中的许多实际情况联系比较密切。

比如交通事故中的车辆碰撞的问题。

这正好体现了高考命题的特点，即联系生活实际。

在追及和相遇的问题中，考察的物理情景常常是水平面内的问题。

近两年的追及和相遇问题到了空中------竖直上抛运动的追及问题。

如2010年天津理综9（1），2011年山东理综18。

那么这是否与当前军事科技中的精确制导导弹，导弹防御系统等有关？虽然这些问题很复杂，但是从最简单的、最基本的问题入手是我们研究问题的基本方法。

我想这类追及问题更能考察学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等。

本文拟就竖直上抛问题中的相遇问题探讨解决的方法。

一、竖直上抛运动与平抛运动的相遇问题。

例1【2010，天津理综9（1），4分】如图1所示，在高为h的平台边缘抛出小球A，同时在水平地面上距台面边缘水平距离为s处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度为g。

若两球能在空中相遇，则小球A的初速度应大于，A、B两球初速度之比为。

图1解析：由于做平抛运动，水平方向：①竖直方向：②做竖直上抛运动，取向上为正方向：③当、相遇时，两者竖直方向上的位移之和为：即：④要使两球在空中相遇，所用时间必小于落到地的时间t，即⑤落到地的时间：⑥联立①⑤⑥知：所以。

联立①④和知：小结：根据题中的叙述建立平抛和竖直上抛运动的物理模型。

分析得出结论：当两者相遇时，轨迹必交于一点。

根据分解与合成的知识：与竖直方向位移的代数和为。

二、竖直上抛运动与自由落体运动的相遇问题。

例2【2011年山东理综，18,4分】、如图2所示，将小球从地面以初速度竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球从距地面处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）。

追击相遇、自由落体和竖直上抛专题一、追及相遇问题是两个物体运动相关联的问题，分析时应注意： 1．分析物体的运动形式，做出草图2．抓住相遇的特点：同时出现在同一位置，寻找位移的几何关系和时间关系 3．注意速度相等时距离有临界值例1．A 、B 两物体相距s=7m 时，A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以V A =4m/s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时在摩擦力作用下以初速度V B =10m/s 向右匀减速运动，加速度a=－2m/s 2，则经过多长时间A 追上B ？追上前两者最大距离是多大？例2． 甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。

为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。

在某次练习中，甲在接力区前S 0＝13.5m 处作了标记，并以V ＝9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。

乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棱。

已知接力区的长度为L ＝20m 。

求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a 。

（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

练习1.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 后警车发动起来，并以2.5m/s 2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问：（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ （2）警车发动后要多长时间才能追上货车？练习2.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中行驶距离S ，在上述过程中要使两车不相撞，则两车在匀速运动时，保持的距离至少应为：A. SB. 2SC. 3SD. 4S练习3.甲、乙两物体在同一水平轨道上，一前一后相距S ，乙在前，甲在后，某时刻两者同时开始运动，甲做初速度为v 0，加速度为a 1的匀加速运动，乙做初速度为零，加速度为a 2的匀加速运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是 ( ) A ．a 1=a 2，可能相遇一次B ．a 1<a 2，可能相遇二次C ．a 1>a 2，可能相遇二次D ．a 1<a 2，可能相遇一次或不相遇练习4．甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v t -图像如图所示，图中OPQ ∆和OQT ∆的面积分别为1s 和2s ()21s s >.初始时，甲车在乙车前方0s 处。

自由落体和竖直上抛运动相遇类型题1. 引子：天上掉下来的苹果你有没有想过，苹果为什么会从树上掉下来？当然，这只是个开场白，实际上我们今天要聊的是一个更有意思的话题——自由落体和竖直上抛运动的相遇。

说到这儿，或许你会想：“这不是物理课上才有的东西吗？”没错，但别急，让我们用一个轻松的故事来捋顺这道物理题。

1.1 自由落体：下落的快感想象一下，一个小球从高高的楼顶上掉下来。

咔嚓，咔嚓，落地的声音响起，瞬间吸引了路人的目光。

小球就像个调皮的小孩，任性地向下坠落。

根据物理学的说法，这种现象叫自由落体。

球体在重力的影响下，速度越来越快，听起来是不是有点像“向下的滑梯”？那么，这个小球从某个高度掉下去需要多长时间呢？这就得用到公式了：( s =frac{1{2gt^2 )。

别担心，我不是要给你上课，只是想让你知道，这个公式里的 ( g ) 是重力加速度，大约是 ( 9.8 , m/s^2 )。

简单说，就是每秒钟下落的速度都在增加，像极了个热爱冒险的年轻人，越往下越有劲儿。

1.2 竖直上抛：向上飞翔的梦现在我们换个场景，想象一下，一个小朋友兴奋地把一个气球向上抛去。

他的脸上挂着灿烂的笑容，仿佛在做梦。

这个时候，气球在向上飞，但很快也会被重力拖回地面。

竖直上抛运动就像这气球一样，开始的速度很快，但随着时间的推移，速度逐渐减小，最后停住，继而开始下落。

这里也有个公式可以帮我们理解：( h = v_0t frac{1{2gt^2 )。

别紧张，这个 ( v_0 ) 就是小朋友一开始抛气球的速度。

想象一下，气球在空中飞的那一刻，仿佛在向蓝天呼喊：“看，我能飞！”可是，梦总是会醒的，气球终究要回到地面。

2. 相遇的时刻：命中注定好戏来了，这两个运动之间的相遇就像是两个故事的交汇点。

我们来设想一下，某一天，那个从楼顶掉下的小球和小朋友抛出去的气球在空中碰面了。

这就成了一道经典的物理题：他们到底在什么时候、什么地方相遇呢？2.1 碰撞的时间假设小球从某个高度 ( h_0 ) 自由落体，气球以初速度 ( v_0 ) 向上抛。

题组一 自由落体和竖直上抛运动1．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s 听到石头落底声。

由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．10 mB ．20 mC ．30 mD ．40 m解析 从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式h ＝12gt 2可得h ＝12×10×22m ＝20 m 。

答案 B2．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为( ) A ．gt 2B.38gt 2C.34gt 2D.14gt 2解析 A 球下落高度为h A ＝12gt 2，B 球下落高度为h B ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝18gt 2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为Δh ＝h A －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22－h B ＝14gt 2，所以D 项正确。

答案 D3．(多选)在某一高度以v 0＝20 m/s 的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s 时，以下判断正确的是(g 取10 m/s 2)( ) A ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s ，方向向上 B ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s ，方向向下 C ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s ，方向向上 D ．小球的位移大小一定是15 m解析 小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式v ＝v 0＋v2求出，规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为10 m/s 、方向竖直向上时，v ＝10 m/s ，用公式求得平均速度为15 m/s ，方向竖直向上，A 正确；当小球的末速度大小为10 m/s 、方向竖直向下时，v ＝ －10 m/s ，用公式求得平均速度大小为5 m/s ，方向竖直向上，C 正确；由于末速度大小为10 m/s时，球的位置一定，距起点的位移h＝v20－v22g＝15 m，D正确。

第3课时自由落体和竖直上抛追及相遇问题基本技能练1．(2014·海南卷，3)将一物体以某一初速度竖直上抛。

物体在运动过程中受到一个大小不变的空气阻力作用，它从抛出点到最高点的运动时间为t1，再从最高点回到抛出点的运动时间为t2，如果没有空气阻力作用，它从抛出点到最高点所用的时间为t0，则() A．t1>t0t2<t1B．t1<t0t2>t1C．t2>t0t2>t1D．t1<t0t2<t1解析由题可知，空气阻力大小不变，故三段时间内均为匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的特点，将三个过程均看成初速度为零的匀变速直线运动，由h＝12at2可知，加速度大的用时短，故正确答案为B。

答案B2．某同学在实验室做了如图1所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为×10－3 s，g取10 m/s2，则小球开始下落的位置距光电门的距离为/()图1A．1 m B．1.25 m C．0.4 m D．1.5 m解析小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v＝xt＝5 m/s，由自由落体运动规律可知h＝v22g＝1.25 m，B正确。

答案B3．(多选)(2014·郑州第47中学高三第一次月考)甲、乙两物体，甲的质量为2 kg，乙的质量为4 kg，甲从20 m高处自由落下，1 s后乙从10 m高处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为10 m/s2。

在两物体落地之前，下列说法中正确的是() A．同一时刻甲的速度大B．同一时刻两物体的速度相同】C．两物体从起点各自下落1 m时的速度是相同的D．落地之前甲和乙的高度之差保持不变解析甲比乙先下落1秒，即t甲＝t乙＋1，由速度公式知，v甲＝gt甲>v乙＝gt乙，故A项正确，B项错误；由位移公式知，h甲－h乙＝12gt2甲－12gt2乙＝gt乙＋12g，故D项错误；由速度－位移关系式知，自起点各自下落1 m时的速度均为v＝2gh＝2×10×1 m/s＝2 5 m/s，故C项正确。

匀变速直线运动规律的应用—自由落体与竖直上抛1、自由落体运动是初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。

2、竖直上抛运动竖直上抛运动是匀变速直线运动，其上升阶段为匀减速运动，下落阶段为自由落体运动。

它有如下特点：（1）.上升和下降（至落回原处）的两个过程互为逆运动，具有对称性。

有下列结论： ①速度对称：上升和下降过程中质点经过同一位置的速度大小相等、方向相反。

②时间对称：上升和下降经历的时间相等。

（2）.竖直上抛运动的特征量：①上升最大高度：S m =gV 220.②上升最大高度和从最大高度点下落到抛出点两过程所经历的时间：gV t t 0==下上. （3）处理竖直上抛运动注意往返情况。

追及与相遇问题、极值与临界问题 一、追及和相遇问题1、追及和相遇问题的特点追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。

可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。

若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。

二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。

若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt ，则运动时间关系为t 甲=t 乙+Δt 。

要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。

2、追及和相遇问题的求解方法分析追及与相碰问题大致有两种方法即数学方法和物理方法。

首先分析各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据各物体的运动特点找出运动时间的关系。

方法1：利用不等式求解。

利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t ，两物体间的距离y=f(t),若对任何t ，均存在y=f(t)>0,则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t ，使得y=f(t)0≤,则这两个物体可能相遇。

其二是设在t 时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t 的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)=0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇。

二、匀变速直线运动的特例1．自由落体运动物体由静止开始，只在重力作用下的运动。

（1）特点：加速度为g ，初速度为零的匀加速直线运动。

（2）规律：v t =gt h =21gt 2 v t 2 =2gh 2．竖直上抛运动物体以某一初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。

（1）特点：初速度为v 0，加速度为 -g 的匀变速直线运动。

（2）规律：v t = v 0-gt h = v 0t-21gt 2 v t 2- v 02=－2gh 上升时间g v t 0=上，下降到抛出点的时间g v t 0=下，上升最大高度gv H m 22=（3）处理方法:一是将竖直上抛运动全过程分为上升和下降两个阶段来处理，要注意两个阶段运动的对称性。

二是将竖直上抛运动全过程视为初速度为v 0，加速度为 -g 的匀减速直线运动综合应用例析【例11】（1999年高考全国卷）一跳水运动员从离水面10m 高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计）从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是______s 。

（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g 取10m/s 2，结果保留二位数） 【例12】如图所示是我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿.跳台距水面高度为10 m ，此时她恰好到达最高位置，估计此时她的重心离跳台台面 的高度为1 m ，当她下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作， 这时她的重心离水面也是1 m.(取g =10 m/s 2)求：（1）从最高点到手触及水面的过程中其重心可以看作是自由落体运动，她在空中完成一系列动作可利用的时间为多长?（2）忽略运动员进入水面过程中受力的变化，入水之后，她的重心能下沉到离水面约2.5 m 处，试估算水对她的平均阻力约是她自身重力的几倍?三、针对训练1．骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1 s 、2 s 、3 s 、4 s 内，通过的路程分别为1 m 、2 m 、3 m 、4 m ，有关其运动的描述正确的是A ．4 s 内的平均速度是2.5 m/sB ．在第3、4 s 内平均速度是3.5 m/sC ．第3 s 末的即时速度一定是3 m/sD ．该运动一定是匀加速直线运动2．汽车以20 m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5 m/s2，那么开始刹车后2 s 与开始刹车后6 s 汽车通过的位移之比为 A ．1∶4B.3∶5C.3∶4D.5∶93．有一个物体开始时静止在O 点，先使它向东做匀加速直线运动，经过5 s ，使它的加速度方向立即改为向西，加速度的大小不改变，再经过5 s ，又使它的加速度方向改为向东，但加速度大小不改变，如此重复共历时20 s ，则这段时间内A ．物体运动方向时而向东时而向西B ．物体最后静止在O 点C ．物体运动时快时慢，一直向东运动D ．物体速度一直在增大4．物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s ，1 s 后速度的大小变为10 m/s ，关于该物体在这1 s 内的位移和加速度大小有下列说法①位移的大小可能小于4 m ②位移的大小可能大于10 m ③加速度的大小可能小于4 m/s 2 ④加速度的大小可能大于10 m/s 2 其中正确的说法是 A ．②④B.①④C.②③D.①③5．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经t s 到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为 A ．t 2B.tC.2tD.22t 6．做匀加速直线运动的物体，先后经过A 、B 两点时的速度分别为v 和7v ，经历的时间为t ，则 A ．前半程速度增加3.5 v B ．前2t时间内通过的位移为11 v t /4 C ．后2t时间内通过的位移为11v t /4 D ．后半程速度增加3v7．一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶nB．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶nC．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…8．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇9．做匀加速直线运动的火车，车头通过路基旁某电线杆时的速度是v1，车尾通过该电线杆时的速度是v2，那么，火车中心位置经过此电线杆时的速度是_______.10．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在第49 s内位移是48.5 m,则它在第60 s内位移是_______ m.11．一物体初速度为零，先以大小为a1的加速度做匀加速运动，后以大小为a2的加速度做匀减速运动直到静止.整个过程中物体的位移大小为s，则此物体在该直线运动过程中的最大速度为_______.12．如图所示为用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度的实验时记录下的一条纸带.纸带上选取1、2、3、4、5各点为记数点，将直尺靠在纸带边，零刻度与纸带上某一点0对齐.由0到1、2、3…点的距离分别用d1、d2、d3…表示，测量出d1、d2、d3…的值，填入表中.已知打点计时器所用交流电的频率为50 Hz，由测量数据计算出小车的加速度a和纸带上打下点3时小车的速度v3，并说明加速度的方向.加速度大小a=_______m/s2，方向_______，小车在点3时的速度大小v3=_______m/s.13．一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：（1）物体的加速度.（2）物体在5 s内的位移.14．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10 s 内下降高度为1800 m ，造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动.（1）求飞机在竖直方向上产生的加速度多大？（2）试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅.(g 取10 m/s 2)15．如图，一长为l 的长方形木块可在倾角为a 的斜面上无摩擦地滑下，连续经过1、2两点，1、2之间有一距离，物块通过1、2两点所用时间分别为t 1和t 2,那么物块前端P 在1、2之间运动所需时间为多少？参考答案1.AB2.C3.C4.B5.A6.C7.AC8.C9.22221v v + 10.59.5 11.v m =21212a a s a a + 12.0.58;与运动方向相反；0.13 13.利用相邻的相等时间里的位移差公式：Δs =aT 2,知Δs =4 m,T =1 s.a =2572Ts s - =2124⨯m/s 2=2m/s 2.再用位移公式可求得s 5=v 0t +21at 2=(0.5×5+21×2×52) m=27.5 m 14.由s =21at 2及：a =10001800222⨯=ts m/s 2=36 m/s 2. 由牛顿第二定律：F +mg =ma 得F =m (a -g )=1560 N,成年乘客的质量可取45 kg~65 kg,因此，F 相应的值为1170 N~1690 N 15.设P 端通过1后21t 时刻速度为v 1′，通过2后22t 时刻速度为v 2′,由匀变速运动规律有：v 1′=11t ,v 2′=21t .物体运动的加速度为a =g sin α, 21'-'t =)11(sin sin 1212t t g l g v v -='-'αα又t 1-1′=21t ,t 2-2′=22t ,故t 12=t 1-1′-t 2-2′+21'-'t =)11(sin 21221t t g L t t -+-α运动图象 追赶问题一、运动图象用图像研究物理现象、描述物理规律是物理学的重要方法，运动图象问题主要有：s-t 、v-t 、a-t 等图像。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题03 自由落体运动和竖直上抛运动特训目标特训内容目标1 自由落体运动四类常见问题（1T—8T）目标2 竖直上抛运动的基本规律及对称性（9T—12T）目标3 自由落体和竖直上抛运动的图像问题（13T—16T）目标4 自由落体和竖直上抛运动的相遇问题（17T—20T）目标5 两个竖直上抛运动的相遇问题（21T—24T）一、自由落体运动四类常见问题（1）曝光径迹问题1．利用手机的照相功能可以研究自由落体运动。

实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。

由于石子的运动，它在照片上留下了一条径迹，已知手机照相的曝光时间为0.02s，每块砖的平均厚度为6cm，估算石子释放点距地面的高度最接近（）A．2.3m B．2.5m C．1.8m D．2.0m【答案】A【详解】石子在曝光时间内的平均速度为22610m/s=6m/s 0.02x v t -⨯⨯==可近似将此速度看成是石子到A 点时的瞬间速度，取210m/s =g ，根据202v gh -=解得2601.8m 210h -==⨯释放总高度8 1.8m 80.06m 2.3m H h l =+=+⨯≈故选A 。

2．某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的小石子拍在照片中，如图所示，已知本次摄影的曝光时间是0.02s ，量得照片中石子运动轨迹的长度为0.8cm ，实际长度为100cm 的窗框在照片中的长度为4.0cm ，根据以上数据估算，该石子掉下来的位置距窗户上沿的高度约为（ ）A ．0.5mB ．3.6mC ．5.0mD ．125m【答案】C【详解】根据题意得21000.810m 0.2m 4x -=⨯⨯=；0.2m/s 10m/s 0.02x v t ===根据22v gh =解得5m h =故ABD 错误，C 正确。

故选C 。

（2）穿越时间问题3．如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h 处，空心管长为L ，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上。

自由落体与上抛的相遇问题的典型例题（8个）8-1、一小球被以30m/s的初速度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球，空气阻力可以忽略不计，空中各球不会相碰。

问：（1）最多能有几个小球同时在空中？（2）设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（）解：，小球在空中运动的时间为时，将第一个小球抛出，它在第末回到原处，同时第七个小球即将被抛出。

在第六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有6个小球，第七个小球抛出时，第一个小球已经落地，所以空中最多只有6个球。

第一个球时抛出，而第个球在后抛出，则在某一时刻这两个球的位移分别为（1）（2）两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即整理得其中表示第一个小球和后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。

当时，，这是与第二个小球相遇而过的时刻；当时，，这是与第三个小球相遇而过的时刻；当时，，这是与第四个小球相遇而过的时刻；当时，，这是与第五个小球相遇而过的时刻；当时，，这是与第六个小球相遇而过的时刻。

除上述分析计算法之外，还可用图像法解决本题。

根据题意，定性画出图像，如图所示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个小球在空中能与5个小球相遇，时间依次是，，，，。

当然第一问同样可以迎刀而解。

8-2. 一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：（1）相邻两个小球下落的时间间隔是s；（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10 m／s2）（答案0.5；35 m ）8-3. A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。

问：（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？解析：两球相遇时位移之和等于h。

即：gt2+（v0t－gt2）=h 所以：t=而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：t2=（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t＜t1，即＜，所以v0＞（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2即＜＜所以：＜v0＜8-4. 如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。

[题 组 自 测]题组一 自由落体和竖直上抛运动1．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s 听到石头落底声。

由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．10 mB ．20 mC ．30 mD ．40 m解析 从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式h ＝12gt 2可得h＝12×10×22m ＝20 m 。

答案 B2．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t 2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为( )A ．gt 2B.38gt 2C.34gt 2D.14gt 2 解析 A 球下落高度为h A ＝12gt 2，B 球下落高度为h B ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝18gt 2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为Δh ＝h A －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22－h B ＝14gt 2，所以D 项正确。

答案 D3．(多选)在某一高度以v 0＝20 m/s 的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s 时，以下判断正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s ，方向向上B ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s ，方向向下C ．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s ，方向向上D ．小球的位移大小一定是15 m解析 小球被竖直向上抛出，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式v ＝v 0＋v 2求出，规定竖直向上为正方向，当小球的末速度大小为10 m/s 、方向竖直向上时，v ＝10 m/s ，用公式求得平均速度为15 m/s ，方向竖直向上，A 正确；当小球的末速度大小为10 m/s 、方向竖直向下时，v ＝ －10 m/s ，用公式求得平均速度大小为5 m/s ，方向竖直向上，C 正确；由于末速度大小为10 m/s时，球的位置一定，距起点的位移h＝v20－v22g＝15 m，D正确。

自由落体和抛物线运动的相遇问题自由落体和抛物线运动是物理学中常见的力学问题。

当两种运动轨迹相交时，我们可以探讨它们之间的相遇问题。

本文将讨论自由落体和抛物线运动相遇的基本原理和求解方法。

自由落体运动自由落体是指物体受到重力作用下沿直线运动的运动方式。

在自由落体运动中，物体从静止开始，只受到重力的作用，没有其他外力的干扰。

根据物体运动的时间、位移和速度之间的关系，可以推导出自由落体的运动规律。

自由落体运动的基本方程为：$$y = \frac{1}{2}gt^2$$其中，$y$表示物体所处的高度，$g$表示重力加速度，$t$表示时间。

抛物线运动抛物线运动是指物体在竖直方向上受到重力的作用，同时在水平方向上受到初速度的作用。

在抛物线运动中，物体在竖直方向上呈自由落体运动，在水平方向上匀速运动。

抛物线运动的基本方程为：$$x = v_0 t$$$$y = \frac{1}{2}gt^2$$其中，$x$表示物体在水平方向上的位移，$v_0$表示物体的初速度，$g$表示重力加速度，$y$表示物体在竖直方向上的位移，$t$表示时间。

自由落体和抛物线运动的相遇问题当自由落体和抛物线运动的轨迹相交时，我们可以求解它们的相遇点。

为了求解相遇问题，我们需要将自由落体运动和抛物线运动的方程联立解方程组。

假设自由落体和抛物线运动的方程分别为：$$y = \frac{1}{2}gt^2$$$$x = v_0 t$$如果自由落体和抛物线的运动轨迹在某一时刻相交，说明它们在竖直方向上的位移和在水平方向上的位移相等，即$y = x$。

通过联立解方程组，我们可以求解出相交的时间$t$和相遇点$(x, y)$。

案例分析假设一个物体从高度为$h$的地方自由落体，在水平方向上以初速度$v_0$做抛物线运动。

我们希望求解自由落体和抛物线运动的相遇点。

根据自由落体运动的方程$y = \frac{1}{2}gt^2$，可以求解出自由落体的时间$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$。

教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间学科物理年级上课时间课时计划2h教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程第3课时自由落体和竖直上抛追及相遇问题[知识梳理]知识点一、自由落体运动1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。

2．运动性质：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。

3．基本规律(1)速度公式：v＝gt。

(2)位移公式：h＝12gt2。

(3)速度位移关系式：v2＝2gh。

知识点二、竖直上抛运动1．运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。

2．基本规律(1)速度公式：v＝v0－gt。

(2)位移公式：h＝v0t－12gt2。

(3)速度位移关系式：v2－v20＝－2gh。

(4)上升的最大高度：H＝v202g。

(5)上升到最高点所用时间t＝v0g。

思维深化判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

(1)雨滴随风飘落，就是我们常说的自由落体运动中的一种。

()(2)羽毛下落得比玻璃球慢，是因为空气阻力的影响。

()(3)只要物体运动的加速度a＝9.8 m/s2，此物体的运动不是自由落体运动，就是竖直上抛运动。

( )答案 (1)× (2)√ (3)×[题 组 自 测]题组一 自由落体和竖直上抛运动1．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s 听到石头落底声。

由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m B ．20 m C ．30 m D ．40 m解析 从井口由静止释放，石头做自由落体运动，由运动学公式h ＝12gt 2可得h ＝12×10×22m ＝20 m 。

答案 B2．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为( ) A ．gt 2 B.38gt 2 C.34gt 2 D.14gt 2解析 A 球下落高度为h A ＝12gt 2，B 球下落高度为h B ＝12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝18gt 2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为Δh ＝h A －12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22－h B ＝14gt 2，所以D 项正确。

自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧一．自由落体运动1.知识清单：一、自由落体运动。

1、什么是自由落体运动。

任何一个物体在重力作用下下落时都会受到空气阻力的作用，从而使运动情况变的复杂。

若想办法排除空气阻力的影响（如：改变物体形状和大小，也可以把下落的物体置于真空的环境之中），让物体下落时之受重力的作用，那么物体的下落运动就是自由落体运动。

物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。

2、自由落体运动的特点。

从自由落体运动的定义出发，显然自由落体运动是初速度为零的直线运动；因为下落物体只受重力的作用，而对于每一个物体它所受的重力在地面附近是恒定不变的，因此它在下落过程中的加速度也是保持恒定的。

而且，对不同的物体在同一个地点下落时的加速度也是相同的。

关于这一点各种实验都可以证明，如课本上介绍的“牛顿管实验”以及同学们会做的打点计时器的实验等。

综上所述，自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。

二、自由落体加速度。

1、在同一地点，一切物体在自由落体运动中加速度都相同。

这个加速度叫自由落体加速度。

因为这个加速度是在重力作用下产生的，所以自由落体加速度也叫做重力加速度。

通常不用“a”表示，而用符号“g”来表示自由落体加速度。

2、重力加速度的大小和方向。

同学们可以参看课本或其他读物就会发现在不同的地点自由落体加速度一般是不一样的。

如：广州的自由落体加速度是9.788m/s2，杭州是9.793m/s2，上海是9.794m/s2，华盛顿是9.801m/s2，北京是9.80122m/s2，巴黎是9.809m/s2，莫斯科是9.816m/s2。

即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一样的。

如在北京海拔4km时自由落体加速度是9.789m/s2，海拔8km时是9.777m/s2，海拔12km时是9.765m/s2，海拔16km时是9.752m/s2，海拔20km时是9.740m/s2。

1 自由落体和竖直上抛运动的相遇问题1. 从地面竖直上抛一物体A ，同时在某一高度处让物体B 自由下落，若两物体在空中相遇时的速率都是v ，则( AD )A ．物体A 的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍B ．相遇时物体A 已上升的高度和物体B 已下落的高度相同C ．物体A 和物体B 在空中运动时间相等D ．物体A 和物体B 落地速度相等解析：由对称性可知，物体A 上升最大高度和物体B 自由下落的高度相等．因此，A 、B 两物体着地速度相等．所以D 选项正确．进一步分析知相遇时刻为B 物体下落的中间时刻，由初速度为零的匀加速直线运动，在相邻的相等的时间间隔内位移之比关系，可判断到相遇时刻，B 物体下落高度和A 物体上升高度之比为1∶3，故选项B 错误．由某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，则相遇时刻的速度v ＝0＋v 02＝v 02，即v 0＝2v ，选项A 正确．由于A 物体上升的最大高度和B 物体自由下落的高度相等，所以A 物体在空中运动时间是B 物体在空中运动时间的2倍，选项C 错误．本题正确答案为A 、D.2.以v 0=20m/s 的速度竖直上抛一小球A ，2s 后以同一初速度在同一位置上抛另一小球B ，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？解法⑴根据速度对称性得：-［v 0-g （t+2）］=v 0-gt ，解得t=1s ，代入h=v 0t-12gt 2 得：h=15m. 解法(2) 根据位移相同得：v 0（t+2）-12g(t+2)2=v 0t-12gt 2, 解得t=1s ，代入位移公式得h=15m. 解法(3) 图像法由图知t=3s 时x A =x B =15m3．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t /2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为(答案：D )A ．gt 2 B. 38gt 2 C. 34gt 2 D. 14gt 2解法⑴解法(2) 解法(3) 22224121)(2121gt gt t t g gt h B B A A 由推论1:3，知Δh 为2份。