高考数学一轮复习 高考大题增分专项1 高考中的函数与导数优质课件 文 北师大版

[四基自测]
1．(基础点：函数的定义域)函数 f(x)＝ 2x－1＋x－1 2的定义域为(
)
A．[0，2)
B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：C
2．(基础点：待定系数法求解析式)若 f(x)＝x2＋bx＋c 且 f(1)＝0，f(3)＝0，则 f(x) ＝________． 答案：x2－4x＋3
1．两种对应关系 f：A→B 表示从 A 到 B 的一个函数，即从 A 到 B 的元素是一对一或多对一，值域 为 B 的子集． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
3．函数的三要素与相等函数 函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的， 故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数．
3．(基础点：求函数值)已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)．若 f(3)＝1，则 a＝________． 解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且 f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7 4．(基础点：分段函数)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x＞0 0，则 f(f(1e))＝________． 答案：1e
[破题技法] 1.若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域可由 不等式 a≤g(x)≤b 求出． 2．若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的 值域． 提醒：(1)定义域的形式是集合或者区间； (2)混淆 f(2x＋1)与 f(x)与 f(x2－1)中的 x 的意义．

方法难求最值时才用.
第九页，共56页。
--1010
题型一
题型二
策略(cèlüè)一
策略(cèlüè)二
策略(cèlüè)三
题型三
ln
-1.

例 2(2016 河北唐山高三二模)已知函数 f(x)=
(1)求函数 f(x)在区间[1,e2]上的最值;
*
(2)证明:对任意 n∈N ,不等式 ln
+1 e
策略(cèlüè)三
策略(cèlüè)二
策略(cèlüè)一
题型三
例1(2016全国丙卷,文21)设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
-1
<x;
ln
(2)证明当 x∈(1,+∞)时,1<
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
解(1)(导数与函数的单调性)
策略(cèlüè)二
题型三
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)内单调
递增,在(1,+∞)内单调递减,从而h(x)在(0,+∞)内的最大值为
1
h(1)=-e.
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
第十四页，共56页。
--15
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)是减少的.
由(2)知
-1
1< <c,故
ln
0<x0<1.
又 g(0)=g(1)=0,故当 0<x<1 时,g(x)>0.

此当t=t0+1=2时,液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2=8 cm/s.故选C.
考点二 导数运算
例2(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)下列求导运算中,不正确的是( BCD )
A.(e2x)'=2e2x
B.(lg
C.(
1
x)'=x
1
x)'=2

D.(sin4 cos
x

x)'=cos4 cos
3.重视知识交汇与联系:导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系,
应注意它们之间的联系,注意对相关知识的理解与运用.
4.善于总结导数综合应用中解决问题的通性通法,做到举一反三.
课标解读
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会
导数的内涵与思想,体会极限思想.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
x+(x+2π)cos x,
所以
3π
3π
3π
3π
f'(- 2 )=sin(- 2 )+(- 2 +2π)cos(- 2 )=1+0=1.故选
B.
3(1)(2024·山东济南模拟)曲线y=ex-3x的切线中与直线x-2y=0垂直的切线
方程为( C )
一般应用和综合应用,一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极
值、最值,以客观题或解答题的形式出现,难度中等,综合应用则以解答题
呈现,考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量
等问题,难度较大,多为压轴题,分值12分左右.
2.高考中的导数考题,通常与参数处理相关,涉及代数推理、数学运算以

D 中,f(x)= x 1 · x 1 (x+1≥0 且 x-1≥0),f(x)的定义域为{x|x≥1}; g(x)= x2 1 (x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}. 所以两函数的定义域不同.故选 A.
第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修1-1)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点 1.本篇在高考中一般为 2～3 个客观题,1 个解答题,大 约占 30 分左右. 2.高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌 握.主要涉及函数奇偶性的判断、函数的图像、函数的 奇偶性、单调性综合、指、对运算以及指、对函数的 图像与性质,分段函数求函数值等. 3.综合性较强的题目主要考查导数、不等式、函数的 零点的综合.考查转化与化归和数形结合的数学思想. 4.解答题一般都是两问的题目,第一问考查求曲线的 切线方程,求函数的单调区间、由函数的极值点或知曲 线的切线方程求参数,属于基础问题.第二问利用导数 证明不等式、不等式恒成立、求参数的取值范围、求 函数的零点问题.考查函数的思想、转化的思想及分类 讨论的思想.
解析:选项A,定义域为{x|-2≤x≤0},不正确.选项C,当x在(-2,2]取 值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域不为[0,2], 不正确,选项B正确.
4.f(x)是一次函数,且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,则f(x)= .
解析:设 f(x)=kx+b(k≠0),
④函数 f(x)=|x|与 g(t)= t2 是同一函数; ⑤若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是相等函数; ⑥分段函数不是一个函数而是多个函数. 其中是真命题的个数是( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

e
-13题型一 题型二 题型三 题型四
突破策略三 寻求导函数零点法 若使用策略一或策略二解答时,遇到令f'(x)=0,但无法解出导函数 的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,设出某一区间的导函数的 零点x0,判断f(x)在x0处取得最值,并求出最值,然后通过对最值的处 理使问题得到解决. 例3已知函数f(x)=ex+mx-2,g(x)=mx+ln x. 证明:在区间(0,+∞)上,函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)的图像 的上方. 证明:由题意可得,本题即证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x)恒成立. 令F(x)=f(x)-g(x)=ex-ln x-2(x>0),
5
则 b=2 a2 +2a2 -3a2ln a=2 a2-3a2 ln a.
-8题型一 题型二 题型三 题型四
(2)证明:设 F(x )=f (x )-g(x )= x 2 +2ax-3a2ln x-b(x>0),
2
1
则 F'(x )=x+2a-
3 ������ 2 ������
=
( ������ -������ )( ������+3������ ) ������
e e������
(1)解:由题意知 2xln x≥-x2+ax-3 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 则 a≤2ln x+x+ ,设 h(x)=2ln x+x+ (x>0), 则
3 ������ (������+3)(������-1) h'(x)= , ������2 3 ������
①当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, ②当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

当 0<a≤2 时,x -ax+1=
2
恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
2
2
x-2 +1- ≥0,f'(x)≤0
4
所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
且 f'(x)=0 不恒成立,
- 2 -4
当 a>2 时,令 f'(x)=0,得 x=
- 2 -4
当 x∈(0,
数的图象就比较“平缓”.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在区间
(a,b)上单调递减.( √ )
2.函数f(x)=sin x-x在R上单调递减.( √ )
3.如果函数f(x)在区间(a,b)上变化得越快,其导数就越大.( × )
+1
=
e -1
,解得
2(+1)
a=1,所以
e -2
f(x)=
+1
=
e -2
,
+1
,由 f'(x)<0 得 x<0 且 x≠-1,所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)
和(-1,0).故选 D.
考点二
讨论含参函数的单调性
例题已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).
e -1
2

(+1)
(1)-0
k=
1+1
f'(x)=

常用结论
1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).( × )
强基础 固本增分
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
使得
f(x0)=0
的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.
(2)几个等价关系
数形结合方法的依据
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
微点拨 函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函
ln(-), < 0,
D.4
)
答案 (1)B
题组(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
)
D.(3,4)
(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间
(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(
A.1
B.2
答案 (1)B
C.3
(2)C
D.4
)
解析 (1)(方法1)函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上
2024
第三章
第八节 函数与方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破

2.(2016·邢台摸底考试)已知函数 f(x)＝ax－ex(e 为自然对数的底数)． (1)当 a＝1e时，求函数 f(x)的单调区间及极值； (2)当 2≤a≤e＋2 时，求证：f(x)≤2x.
解：(1)当 a＝1e时，f(x)＝1ex－ex. 令 f′(x)＝1e－ex＝0，得 x＝－1， 当 x＜－1 时，f′(x)＞0；当 x＞－1 时，f′(x)＜0，
因此实数 a 的取值范围为－e42，＋∞.
专题四 利用导数研究方程的根(或函数的零点) (2015·高考北京卷)设函数 f(x)＝x22－kln x，k＞0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， e]上仅有一个 零点．
所以，函数 f(x)的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1， ＋∞)，当 x＝－1 时，函数 f(x)有极大值－2e，没有极小值．
(2)证明：令 F(x)＝2x－f(x)＝ex－(a－2)x， ①当 a＝2 时，F(x)＝ex＞0， 所以 f(x)＜2x. ②当 2＜a≤2＋e 时，F′(x)＝ex－(a－2)＝ex－eln(a－2)， 当 x＜ln(a－2)时，F′(x)＜0；当 x＞ln(a－2)时，F′(x)＞0， 所以 F(x)在(－∞，ln(a－2))上是递减的，在(ln(a－2)，＋∞) 上是递增的．
1
(2)证明：设点 P 的坐标为(x0，0)，则 x0＝43，f′(x0)＝－12.
曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线方程为 y＝f′(x0)·(x－x0)，即 g(x) ＝f′(x0)(x－x0)．令函数 F(x)＝f(x)－g(x)，即 F(x)＝f(x)－ f′(x0)(x－x0)，则 F′(x)＝f′(x)－f′(x0)． 由于 f′(x)＝－4x3＋4 在(－∞，＋∞)上单调递减，故 F′(x)在(－ ∞，＋∞)上单调递减．又因为 F′(x0)＝0，所以当 x∈(－∞， x0)时，F′(x)＞0；当 x∈(x0，＋∞)时，F′(x)＜0，所以 F(x) 在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，所以对 于任意的实数 x，F(x)≤F(x0)＝0，即对于任意的实数 x，都 有 f(x)≤g(x)．

的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
0，23

2 3
23，1
f′(x) －0＋源自0－f(x)
↘
极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0)＝0，函数 f(x)的
极大值点为 x＝2. 3
(2)①当－1≤x<1 时，由(1)知，函数 f(x)在[－1，0)和23，1上
是递减的，在0，23上是递增的．
因为 f(－1)＝2，f23＝247，f(0)＝0，所以 f(x)在[－1，1)上
的最大值为 2. ②当 1≤x≤e 时，f(x)＝aln x，当 a≤0 时，f(x)≤0；当 a>0 时， f(x)在[1，e]上是递增的． 所以 f(x)在[1，e]上的最大值为 f(e)＝a. 所以当 a≥2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 a；当 a<2 时， f(x)在[－1，e]上的最大值为 2.
1.已知函数 f(x)＝－alnx3x＋，xx2≥，1x.<1， (1)求 f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．
解：(1)当 x<1 时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝2，当 x 变化时，f′(x)，f(x) 3
专题一 利用导数研究函数性质 (2015·高考重庆卷)设函数 f(x)＝3x2e＋x ax(a∈R)． (1)若 f(x)在 x＝0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求 a 的取值范围．
[解] (1)对 f(x)求导得 f ′(x)＝（6x＋a）e（x－ex（）32x2＋ax）ex

走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
导数及其应用
知识网络
命题分析
导数是中学选修内容中较为重要的知识， 近几年高考对导 数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都曾出现过，而 且近几年有加强的趋势，预测 2014 年对本单元的考查为： (1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的形式出现． (2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行单纯考查， 多与函数的应用综合， 以考查函数的单调性、 极值、 最值问题， 以大题形式出现．
3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； ；
g(x)＋f(x)· g′(x) (2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)·
fx (3) gx′＝
f′xgx－fxg′x (g(x)≠0) 2 g x
．
复习建议
1．重视对导数概念的理解，熟练掌握导数的计算公式和 导数的几何意义，为导数的应用打下坚实的基础． 2．在复习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来 学习，而忽视它的思想和价值．
3．导数的应用较为灵活，是高考中必考的一道解答题， 难度为中档题， 故复习时要重视求函数的解析式、 求函数值域、 解决单调性问题、求函数的极值(最值)、构造函数证明不等式 等问题． 函数是高中数学的重点内容， 而函数的性质又是高考 命题的热点， 而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要 方便许多，因此在复习时一定要重视．此外，导数与解析几何 或函数的图像的混合问题也是一种重要类型， 是高考中考查综 合能力的一个方向，应引起重视．
第三章
第一节 导数及导数的运算
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习

破
返 首 页
课
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
真
前 知
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
题 自
识
主
全 通
(ⅰ)若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)递减．
验 效
关
果
(ⅱ)若a>0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)<0；
识
主
全
通 关
＝－12ln m－12，∴m＋n＝m－12ln m－12.
验 效 果
课
令h(x)＝x－12ln x－12(x＞0)，则h′(x)＝1－21x＝2x2－x 1，
堂
题 型 全
∴h(x)在0，12上递减，在12，＋∞上递增，
突 破
∴h(x)min＝h12＝12ln 2，∴m＋n的最小值为12ln 2.
课 后 限 时 集 训
破
所以f(x)有两个零点．
返 首
页
课
当0＜m＜1时，t0＞0，由g(0)＝0，得g(t)在(－∞，t0)上有一个零点，设F(t) 真
前
题
知 识
＝t2e－t(t＞0)，
自 主
全
通
则F′(t)＝t(2－t)e－t，令F′(t)＝0，得t＝2，
验 效
关
果
当0＜t＜2时，F′(t)＞0；当t＞2时，F′(t)＜0，
题 自 主
全
验
通
若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上递增．
效
关
果
若a＞0，则当x∈ 0，1a 时，f′(x)＞0；当x∈ 1a，＋∞ 时，f′(x)＜0.所以

知识梳理
-5-
知识梳理 双基自测
1234
3.实际问题中导数的意义
中学物理中,速度是 路程 关于时间的导数,线密度是 质量关于长度 的导数,功率是 功关于时间 的导数.
知识梳理
-6-
知识梳理 双基自测
1234
4.函数的最值与导数
(1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数 在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有 类似的意义.
∞,+∞). 综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞). 故f(x)的递增区间为(-∞,+∞),无递减区间.
考点1
考点2
考点3
-17-
考向二 已知函数单调性求参数的取值范围
例 2(2016 辽宁沈阳质检)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=12ax+b. (1)若曲线 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式; (2)若 φ(x)=������������(+������-11)-f(x)在[1,+∞)内是减函数,求实数 m 的取值范 围. 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?
函数,则实数a的取值范围为
.
∵函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数, ∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立, [∴-3,Δ3=] 4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.
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解析 答案
知识梳理
-11-
知识梳理 双基自测
12345
5.如图是f(x)的导函数f'(x)的图像,则f(x)的极小值点的个数