离散数学基本公式

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。

在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。

以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。

用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。

这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。

4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。

用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。

这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。

反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。

在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。

这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。

在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。

一、基本等值式⑴双重否定律A A⑵幂等律A∧A A A∨A A⑶交换律A∧B B∧A A∨B B∨A⑷结合律A∨(B∨C)(A∨B)∨CA∧(B∧C)(A∧B)∧C⑸分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律(A∨B)A ∧B(A∧B)A ∨B(7)吸收律A∨(A∧B) AA∧(A∨B)A(8)零律A∨1 1 A∧00(9)同一律A∧1 AA∨0A(10)排中律A ∨A1(11)矛盾律A ∧A0(12)蕴含等值式A B A∨B(13)等价等值式A B (A B)∧(B A)A B (A∨B)∧(A ∨B)A B(A∧B)∨(A ∧ B )(14)假言易位A B B A(15)等价否定等值式A B A B(16)归谬论(A B)∧(A B) A二、推理定律——重言蕴涵式1.A (A B)附加律2.(A B)A化简律3.(A B)A B假言推理4.(A B)B A拒取式5.(A B)B A析取三段论6.(A B)(B C)(A C)假言三段论7.(A B)(B C)(A C)等价三段论8.(A B)(C D)(A C)(B D)构造性二难(A B)(A B)B构造性二难(特殊形式)9.(A B)(C D)(B D)(A C)破坏性二难三、量词辖域收缩与扩张x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B)xA(x)→B x(B1/ 2→A(x))B→xA(x)x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B )xA(x)→B x(B→A(x))B→xA(x)四、量词分配x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x) )xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数, B(x)：x是奇数;左1,右0x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数B(x)：x是奇数;左0,右 12/ 2。

离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。

(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。

(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。

1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。

定理性质：橙色表示。

公式：蓝色表示。

算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。

失散数学基本知识体积和表面积三角形的面积,底×高?2。

公式S=a×h?2正方形的面积,边长×边长公式S=a2长方形的面积,长×宽公式S=a×b平行四边形的面积,底×高公式S=a×h梯形的面积,(上底+下底)×高?2公式S=(a+b)h?2 内角和:三角形的内角和,180度。

长方体的表面积,(长×宽，长×高，宽×高)×2公式:S=(a×b+a×c+b×c)×2正方体的表面积,棱长×棱长×6公式:S=6a2长方体的体积,长×宽×高公式:V=abh长方体(或正方体)的体积,底面积×高公式:V=abh正方体的体积,棱长×棱长×棱长公式:V=a3圆的周长,直径×π公式:L,πd,2πr1圆的面积,半径×半径×π公式:S,πr2圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。

公式:S=ch=πdh,2πrh圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两端的圆的面积。

公式:S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。

公式:V=Sh 圆锥的体积,1/3底面×积高。

公式:V=1/3Sh算术1、加法互换律:两数相加互换加数的地点，和不变。

2、加法联合律:a+b=b+a3 、乘法互换律:a×b=b×a4、乘法联合律:a×b×c=a×(b×c)5、乘法分派律:a×b+a×c=a×b+c6、除法的性质:a?b?c=a?(b ×c)7、7、除法的性质:在除法里，被除数和除数同时扩大(或减小)同样的倍数，商不变。

O除以任何不是O的数都得O。

离散数学公式
离散数学是一门利用数学原理研究离散复杂系统的科学，是一门多维而全面的学科，其研究范围涵盖了计算机科学、逻辑学、概率论和组合数学等领域。

关系公式：若集合X和Y之间存在一对一的函数关系，则X到Y的映射关系可以用公式f：X→Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•f（x）∈Y表示f（x）是Y集合中的一个元素，•f：X→Y表示Y集合的每个元素都可以通过函数f映射回X集合中的一个元素。

函数关系公式：若集合X和Y之间存在可定义的函数关系，则可以用f：X→Y表示，其中•f：X→Y表示函数f把X集合中的元素映射到Y集合中，•f（x）表示x在X集合中的元素映射到Y集合中的元素。

算数逻辑公式：若集合X和Y之间存在逻辑关系，则可以用公式
x∈X⊃y∈Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•y∈Y表示y是Y集合中的一个元素，•x∈X⊃y∈Y表示若x属于X集合，则y属于Y集合。

离散数学推理规则公式
离散数学的推理规则包括以下几种：
1. 前提引入规则（P规则）：可以在证明的任何时候引入前提。

2. 结论引入规则（T规则）：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提。

3. 置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。

4. 假言推理规则（P∧ (P→Q) ⇒ Q）。

5. 附加规则（P ⇒ P∨Q）。

6. 化简规则（P∧ Q ⇒ P）。

7. 拒收式规则（¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P）。

8. 假言三段论规则((P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R）。

9. 析取三段论规则（¬P∧(P∨Q) ⇒ Q）。

10. 构造性二难规则((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ (S∨R))。

以上内容仅供参考，建议查阅离散数学书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业信息。

离散数学基本公式离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散对象及其关系的数学结构。

离散数学中有很多基本公式，下面将介绍一些常用的公式。

1.排列公式：排列是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的有序排列。

对于n个不同元素中取r个元素排列的个数表示为P(n,r)，其计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*12.组合公式：组合是从一个集合中取出特定元素组成一定长度的无序组合。

对于n个不同元素中取r个元素组合的个数表示为C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)3.二项式定理：二项式定理是将一个二次多项式展开为一系列项的求和，其公式为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n4.递推公式：递推公式是通过前一项或前几项的值求得下一项的值。

在离散数学中，递推公式经常用来求解递归关系式。

例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)其中，F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(0)=0，F(1)=15.布尔代数公式：布尔代数是离散数学中研究命题逻辑的一种代数结构。

布尔代数中有一些常见的公式，如德·摩根定律：¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q其中，¬表示取非操作，∧表示逻辑与操作，∨表示逻辑或操作。

6.常用等式：在离散数学中，还有一些常用的等式，如：a+(a*b)=aa∨(a∧b)=aa∧(a∨b)=a这些等式在布尔代数、集合论等离散数学的领域中经常被使用。

7.容斥原理：容斥原理是离散数学中常用的一种求解集合问题的方法，其公式为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...+(-1)^(n+1)*，An-1∩An，+...+(-1)^(n+1)*，A1∩A2∩...∩A其中，A，表示集合A的元素个数。

离散数学公式大全总结离散数学是数学中的一个分支，涵盖了许多概念和公式。

以下是一些离散数学中常见的公式和概念的总结：1. 集合理论：集合并：$A \cup B = {x | x \in A \text{或} x \in B}$集合交：$A \cap B = {x | x \in A \text{且} x \in B}$集合补：$A' = {x | x \notin A}$集合差：$A - B = {x | x \in A \text{且} x \notin B}$幂集：如果$A$有$n$个元素，$P(A)$有$2^n$个子集。

容斥原理：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$2. 排列和组合：排列数：$P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}$组合数：$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$二项定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C(n, k)a^{n-k}b^k$3. 图论：手握定理：$2 \cdot \text{边数} = \sum \text{度数}$欧拉图：一个连通图是欧拉图，当且仅当每个顶点的度数都是偶数。

哈密顿图：包含图中每个顶点的圈。

图着色：给定图中的顶点，用尽量少的颜色对它们进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。

图的最短路径：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法用于找到图中的最短路径。

4. 布尔代数：布尔变量：$0$表示假，$1$表示真。

逻辑与：$A \land B$逻辑或：$A \lor B$逻辑非：$\lnot A$逻辑与门：$AND$逻辑或门：$OR$逻辑非门：$NOT$布尔恒等定律：$A \land 1 = A$，$A \lor 0 = A$德·摩根定律：$\lnot (A \land B) = \lnot A \lor \lnot B$，$\lnot (A \lor B) = \lnot A \land \lnot B$5. 树和图：树的顶点数与边数关系：$V = E + 1$二叉树的性质：最多有$2^k$个叶子节点，高度为$h$的二叉树最多有$2^{h+1} - 1$个节点。

离散数学公式TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-基本等值式1.双重否定律 A ┐┐A2.幂等律 A A∨A, A A∧A3.交换律A∨B B∨A，A∧B B∧A4.结合律(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A8.零律A∨1 1,A∧0 09.同一律A∨0 A，A∧1 A10.排中律A∨┐A 111.矛盾律A∧┐A 012.蕴涵等值式A→B ┐A∨B13.等价等值式AB (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ┐B→┐A15.等价否定等值式AB ┐A┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、(若存在)。

(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。

(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

推理定律--重言蕴含式(1) A (A∨B) 附加律(2) (A∧B) A 化简律(3)(A→B)∧A B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B A 析取三段论(6)(A→B) ∧ (B→C) (A→C) 假言三段论(7)(AB) ∧ (BC) (A C) 等价三段论(8)(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) (┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐xA(x) x┐A(x)（2）┐xA(x) x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1） x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B x(A(x)→B) xA(x)→B x(B →A(x)) B →xA(x) （2） x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B x(A(x)→B) xA(x)→B x(B →A(x)) B →xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式，则 （1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x) 全称量词“”对“∨”无分配律。