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万有引力与宇宙航行习题课（二)课后作业1．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）A．124π3Gρ⎛⎫⎪⎝⎭B．1234πGρ⎛⎫⎪⎝⎭C．12πGρ⎛⎫⎪⎝⎭D．123πGρ⎛⎫⎪⎝⎭2．在银河系中，双星的数量非常多，冥王星和它的卫星卡戎就是一对双星。
所谓双星就是两颗相距较近的星球，在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动。
如图所示，两个质量不等的星球a、b构成一个双星系统，它们分别环绕着O点做匀速圆周运动。
关于a、b两颗星的运动和受力，下列判断正确的是（A．向心力大小相等 B．线速度大小相等C．周期大小不相等 D．角速度大小不相等3．2018年5月21日，中国在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空。
6月14日，“鹊桥”号中继星进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道，以解决月球背面的通讯问题．如图所示，地月拉格朗日L2点在地球与月球的连线上．若卫星在地月拉格朗日L2点上，受地球、月球两大天体的引力作用，能保持相对静止．已知地球质量和地月距离，若要计算地月拉格朗日L2点与地球间的距离，只需要知道的物理量是（）A．月球的质量B．“鹊桥”号中继星的质量C．月球绕地球运行的周期D．引力常量4. 2013年12月2日，肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距地球15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，如图所示，则下列说法正确的是( )A.“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.“嫦娥三号”经过P 点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.“嫦娥三号”经过P 点时，在三个轨道上的加速度相等5．已知月球的质量是地球质量的180，月球半径是地球半径的14，在月球表面16m 处让质量50kg m =的物体自由下落，（已知地球表面的重力加速度210m/s g =）。
§6.5 宇宙航行（习题课）例1.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( A )A ．轨道半径变小B ．向心加速度变小C ．线速度变小D ．角速度变小解析:把天体的运动看成圆周运动，其做圆周运动的向心力由万有引力提供，即G Mmr2＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2T2r ＝m (2πf )2r ＝ma ，当周期T 变小，轨道半径变小，选项A 正确；向心加速度变大，线速度和角速度都变大，选项B 、C 、D 均错误．例2.2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ABC )A ．在轨道Ⅱ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 点的动能小于轨道Ⅰ上经过A 点的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 点的加速度解析:航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点A 向近地点B 运动的过程中万有引力做正功，所以A 点的速度小于B 点的速度，选项A 正确；航天飞机在A 点减速后才能做向心运动，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，所以轨道Ⅱ上经过A 点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 点的动能，选项B 正确；根据开普勒第三定律，a 3T2＝k ，因为轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，所以航天飞机在轨道Ⅱ的运动周期小于轨道Ⅰ的运动周期，选项C 正确； 根据万有引力定律F ＝Gm 1m 2r 2知航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上A 点受到的万有引力相等，由万有引力提供向心力，即GMmr 2＝ma 得，在轨道Ⅱ上经过A 点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A 点的加速度，选项D 错误．例 3.由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( A )A ．质量可以不同B ．轨道半径可以不同C ．轨道平面可以不同D ．速率可以不同解析:由GMm r 2＝m (2πT )2r 知m 可约去，A 正确；由于T ＝24 h ，由上式可知r ＝3GMT 24π2为一确定值，B 错误；同步卫星与地球保持相对静止，与地球自转方向相同，且圆周运动的圆心与地球球心重合，故只能位于赤道正上方的平面内，C 错误；由GMm r 2＝m v 2r可求得v 大小恒定，D 错误例4.地球同步卫星到地心的距离r 可由r 3=求出.已知式中a 的单位是m,b 的单位是s,c的单位是m/s 2,则( AD )A.a 是地球半径,b 是地球自转的周期,c 是地球表面处的重力加速度B.a 是地球半径,b 是同步卫星绕地心运动的周期,c 是同步卫星的加速度C.a 是赤道周长,b 是地球自转周期,c 是同步卫星的加速度D.a 是地球半径,b 是同步卫星绕地心运动的周期,c 是地球表面处的重力加速度 解析:由G=mr 224T π及G=mg(R 为地球的半径),解得r 3=2224πgT R ,比较得选项A 、D 正确. 例5.可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( CD ) A.与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆 B.与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对于地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,但卫星相对于地球表面是运动的解析:发射人造地球卫星,必须使卫星受到的地球对它的万有引力提供向心力,所以不可能与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆,因为此时卫星受的万有引力与轨道半径有一非零的夹角,所以选项A 错.由于地球自转与卫星轨道面重合的经线不断变化,所以选项B 错.选项C 是可以的,选项D 也是可以的,只是卫星不是地球同步卫星.例6.据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度υ的大小与该层至行星中心的距离R ， 则以下判断中正确的是( AD ) A ．若v 与R 成正比，则环是连续物 B ．若υ与R 成反比，则环是连续物C ．若v 2与R 成正比，则环是卫星群D ．若υ2与R 成反比，则环是卫星群例7.我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( D )A ．卫星动能增大，引力势能减小B ．卫星动能增大，引力势能增大C ．卫星动能减小，引力势能减小D ．卫星动能减小，引力势能增大解析:卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r ＝mr 4π2T ＝m v 2r 可得r ＝3GMT 24π2，v ＝GM r，由以上两式可知周期越大，轨道半径越大，而速度越小，故A 、B 错误；从低轨向高轨运动过程中，万有引力做负功，引力势能增大，从而可确定C 选项错误，D 选项正确．例8.如图，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( AD )A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝(R r )2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r解析:同步卫星和赤道上随地球自转的物体，圆周运动角速度相同，半径不同．由向心加速度公式知，a 1＝ω2r ，a 2＝ω2R .所以a 1a 2＝rR.故A 正确，B 错误．第一宇宙速度是近地卫星的速度，同步卫星和近地卫星遵循卫星圆周运动的规律．由卫星圆周运动线速度公式知v 1＝GMr ，v 2＝GM R ，所以v 1v 2＝Rr.故C 错误，D 正确． 例9.由于地球自转,因而在发射卫星时,利用地球的自转,可以尽量减少发射人造卫星时火箭提供的能量.为了尽量节约发射卫星时需要的能量,现假设火箭的发射场地就在赤道上,已知地球的半径为R,地球的自转周期为T,地面的重力加速度为g,卫星的质量为m.求: (1)由于地球自转,卫星停放在赤道上的发射场地时相对地心具有的初速度v 0多大? (2)卫星在离地面高度为R 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,卫星的速度v 多大? 解析:(1)卫星停放在赤道上的发射场地时具有的初速度为v 0=ωR=R.(2)设地球质量为M,卫星在离地面高度为R 的轨道上运行时有G =m而地面上质量为m 0的物体有G =m 0g联立解得v=.例10.已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g .某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由G Mm h 2＝m (2πT 2)2h 得M ＝4π2h3GT 22.(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果； (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．解析:(1)上面结果是错误的．地球的半径R 在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：G Mm R ＋h 2＝m (2πT 2)2(R ＋h ) 得M ＝4π2R ＋h 3GT 2. (2)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由G Mm r 2＝m (2πT 1)2r 得M ＝4π2r 3GT 21.方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G.例11.一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知卫星的第一宇宙速度是v 1＝7.9km/s ，求：（1）这颗卫星运行的线速度多大？ （2）它绕地球运动的向心加速度多大？（3）质量为1kg 的仪器放在卫星内的平台上，仪器的重力多大？它对平台的压力有多大？解析：（1）卫星近地运行时，有：R v mRMmG 212＝ ①卫星离地高度为R 时，有：R v mR MmG 2)2(222＝ ②由①②两式得：s km s km v v /6.5/29.72212=⨯==（2）卫星离高度为R 时，有 ma R MmG＝2)2( ③靠近地面时，有mg R GMm＝2④由③④两式得：2/45.241s m g a ==（3）在卫星内，仪器的重力就是地球对它的吸引力，则：N N ma g m G 45.245.21=⨯=='='由于卫星内仪器的重力充当向心力，仪器处于完全失重状态，所以仪器对平台的压力为零。
宇宙航行专题与习题今天我们来探讨关于《宇宙航行》的几个专题并做相关练习。
一、运动轨迹首先，我们罗列三个宇宙速度及其过渡速度，并分析其所形成的飞行轨道。
v1=7.9km/s →使物体环绕地球做圆周运动；7.9km/s=v1<v<v2=11.2km/s →从地球飞向太阳的椭圆轨道的离心运动；v2=11.2km/s →使物体环绕太阳做圆周运动；11.2km/s=v2<v<v3=16.7km/s →从太阳飞向银心的椭圆轨道的离心运动；V3=16.7km/s →使物体环绕银心做圆周运动；根据轨道判断速度：若是圆形轨道，速度必然处于三个固定的临界值；若是椭圆形轨道，速度必然处在三个临界速度之间，是个范围。
两个特例：飞船速度小于第一宇宙速度，落回地面；等于第一宇宙速度，则环绕地球；大于第一宇宙速度，朝太阳飞去；等于第二宇宙速度，环绕太阳；大于第二宇宙速度，朝太阳系边缘飞去，经历各大行星；等于第三宇宙速度，环绕银心。
①从地球飞出的卫星接近太阳的过程中：7.9km/s=v1<v<v2=11.2km/s摆脱地球的引力—大于第一宇宙速度、没有环绕太阳—小于第二宇宙速度；②从地球飞向火星的“凤凰号探测器”：11.2km/s=v2<v<v3=16.7km/s摆脱太阳的引力—大于第二宇宙速度、没有飞出太阳系—小于第二宇宙速度。
二、第一宇宙速度求解分两大类题型：①求未知星体与地球表面第一宇宙速度之比；②利用竖直上抛、自由落体、平抛运动求未知星体表面的第一宇宙速度。
三、第一宇宙速度的理解第一宇宙速度是最小的发射速度，最大的运行速度（环绕速度）。
理解：最小的发射速度：①能量守恒：221mv mgh =，其中发射的轨道越高，即h 越大，对应的初始速度V 就越大；②竖直上抛粉笔：把粉笔想象成火箭，要想达到更高的位置，必须有更大的初速度；③上楼梯：上的楼层越高，消耗的ATP 越多。
最大的运行速度：轨低速大周期”的规律。
