第13课时 反函数
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课题：反函数教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． （一） 主要知识：1.设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ϕ=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ϕ=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；3.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -= 互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；4.互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称．5.一些结论：()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（二）主要方法：1.求反函数的一般步骤：()1求原函数的值域；()2反解，由()y f x =解出1()x f y -=；()3写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成.2.若函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，且()b a ,在()y f x =的图像上，则()a b ,在1()y f x -=图像上。
3.若函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若()b a f =，则()a b f=-1.4.求证一个函数()y f x =的图象关于y x =成轴对称图形，只须证明1()()f x f x -=.（三）典例分析：问题1． 求下列函数的反函数：()1(04全国)1y =（x ≥1）；()2(05上海春) 2()f x x =-((],2x ∈-∞-)()3（96上海）2y x -=（0x <）；()4246y x x =-+（[]1,1x ∈-）()5()12log 11y x =-+（1x <）； ()632927y x x x =-+（x ≤0）；()7（06安徽）()()2200x x y x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥.问题2．()1（06北京文）已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点()1,2-，则a()2已知2()12x xf x =+()x R ∈，求11()3f -的值问题3．()1（06辽宁）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线方程为 .A ln(1y =.B ln(1y =.C ln(1y =- .D ln(1y =-()2函数22x x y -=-的反函数.A 是奇函数，且在()0,+∞是减函数.B 是偶函数，且在()0,+∞是减函数 .C 是奇函数，且在()0,+∞是增函数.D 是偶函数，且在()0,+∞是增函数()3（94全国）设函数()1f x =1-≤x ≤0)，则函数1()y f x -=的图像是问题4．()1函数11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值．()2设函数xxx f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g ．问题5．()1已知21()()21x xa f x a R ⋅-=∈+，是R 上的奇函数．()1求a 的值， ()2求()f x 的反函数，()3对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log xf x k -+>．（四）巩固练习：1.要使24y x x =+（x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为2.设1()42x x f x +=-，则1(0)f -=3.（02新课程）函数()()+∞-∈+=,112x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为4.若函数()f x 的图象经过点()0,1-，则函数()4f x +的反函数图象必经过 .A ()1,4--.B ()0,1-.C ()4,1--.D ()1,4-5.（04全国Ⅰ）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g（五）课后作业：1.设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -=2.设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C y x =轴对称 .D 原点对称3.已知函数1()()12x f x =+，则1()f x --的图象只可能是.A .B .C .D4.若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的 图象上，则()f x =5.设函数)1,0(,log )(≠>=a a x x f a 满足(9)2f =，则19(log 2)f -=6.己知：函数33(),()232x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称 图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是____________7.若(2,1)既在()f x =,m n 的值．8.（04湖南文）设1()f x -是函数()f x =.A 1()f x -≤21x -.B 1()f x -≤21x + .C 1()f x -≥21x -.D 1()f x -≥21x +9.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，求函数(21)1y f x =-+的反函数.10.已知()1()222xx f x -=-的反函数为1()f x -，则不等式1()1f x ->的解集为11.已知函数11()221xf x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（0a >，且1a ≠）()1求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；()2判定1()f x -的单调性；()3解不等式1()1f x ->（六）走向高考：1.(高考)函数2x xe e y --=的反函数.A 是奇函数,在()0,+∞上是减函数 .B 是偶函数,在()0,+∞上是减函数 .C 是奇函数,在()0,+∞上是增函数 .D 是偶函数,在()0,+∞上是增函数2.（07安徽）下列函数中，反函数是其自身的函数为 .A 2()[0)f x x x =∈+∞，， .B 3()()f x x x =∈-∞+∞，，.C ()e ()x f x x =∈-∞+∞，， .D 1()(0)f x x x=∈+∞，，3.（05山东）函数()10xy x-=≠的反函数图像大致是4.（07陕西文）设函数()21()x f x x R =+∈的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象是 .A .B .C .D5.（07湖北）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b =x xx6.（07湖北文）函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（ ）.A 21log (1)1x y x x +=<-- .B 21log (1)1x y x x +=>-.C 21log (1)1x y x x -=<-+ .D 21log (1)1x y x x -=>+7.（06福建文）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 .A (1)1x y x x =≠+ .B (1)1xy x x =≠-.C 1(0)x y x x -=≠ .D 1(0)x y x x-=≠8.（05全国Ⅱ) 函数 )0(12≤-=x x y 反函数是.A 1+=x y )1(-≥x .B y =-1+x )1(-≥x.C y =1+x )0(≥x .D y =-1+x )0(≥x9.（05辽宁）函数1ln(2++=x x y ）的反函数是.A 2x x e e y -+= .B 2x x e e y -+-= .C 2x x e e y --= .D 2xx e e y ---=10.（05全国Ⅱ）函数1(0)y x =≤的反函数是.A 1)y x =≥- .B 1)y x =≥-.C 0)y x =≥ .D 0)y x =≥11.（04天津）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是.A )31(log 13≥+=x x y.B )31(log 13≥+-=x x y.C )131(log 13≤<+=x x y.D )131(log 13≤<+-=x x y12.（04广州模拟）已知函数()f x =50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），则其反函数1()f x -为.A 50,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .B []()0,5x ∈.C 50,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ .D []()0,5x ∈13.（07天津）函数2log 2)(0)y x =>的反函数是 .A 142(2)x x y x +=-> .B 142(1)x x y x +=-> .C 242(2)x x y x +=->.D 242(1)x x y x +=->14.(07天津文)函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是 .A 24(2)x y x =+>.B 24(0)x y x =+>.C 24(2)x y x =->.D 24(0)x y x =->15.（06安徽文）函数1()x y e x R +=∈的反函数是.A 1ln (0)y x x =+> .B 1ln (0)y x x =-> .C 1ln (0)y x x =--> .D 1ln (0)y x x =-+>16.（06江西）设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -，若11()6()627f m f n --⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦ ，则()f m n +=17.（07江西文）已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y f x -=的图象必经过点18.（06重庆）设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图象过点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则1()y f x -=的图象必过点 .A 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ()1,0 .D ()0,119.（06陕西理）设函数()()log a f x x b =+()0,1a a >≠的图象过点()2,1,其反函数的图 象过点()2,8,则a b +等于 .A 6 .B 5 .C 4 .D 320.（04江西模拟）已知23()1x f x x +=-，函数()y g x =的图象与1(1)y f x -=+的图象关于直线y x =对称，则(11)g = .A 52 .B 32 .C 72 .D 21821.（06天津）已知函数()y f x =的图象与函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，记[]()()()(2)1g x f x f x f =+-.若()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是 .A [)2,+∞ .B ()()0,11,2 .C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .D 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦22.（上海高考）在()1,1P ，()1,2Q ，()2,3M 和11,24N ⎛⎫ ⎪⎝⎭四点中，函数x y a =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是.A P .B Q .C M .D N23.（07重庆文）设P (31)，为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点，则.A 1522a b ==， .B 1522a b ==， .C 1522a b =-=， .D 1522a b =-=-，24.（05天津）设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为.A ),21(2+∞-a a .B )21,(2aa --∞ .C ),21(2a aa - .D ),[+∞a25.（04北京）函数f x x ax ()=--223在区间[]1,2上存在反函数的充分必要条件是.A a ∈-∞(,]1 .B a ∈+∞[,)2 .C a ∈[,]12 .D (,1][2,)a ∈-∞+∞26.（04湖南）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b f a f ,则()f a b +的值为.A 1 .B 2 .C 3 .D 2log 327.（04全国Ⅰ）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g.A 1 .B 2 .C 3 .D 3log 2。
