第二章 函数——反函数
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1 一．课题：反函数
二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用 与 的性质解决一些问题．
三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()yfx与1()yfx互为反函数，
函数()yfx的定义域为A、值域为B，则1[()]()ffxxxB，1[()]()ffxxxA；
3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于yx对称．
（二）主要方法：
1．求反函数的一般方法：（1）由()yfx解出1()xfy，（2）将1()xfy中的,xy互换位置，得1()yfx，（3）求()yfx的值域得1()yfx的定义域．
（三）例题分析：
例1．求下列函数的反函数：
（1）2()(1)fxxxx；（2）221(01)(){(10)xxfxxx；
（3）32331yxxx．
解：（1）由2(1)yxxx得2211()(1)24yxx，
∴211(0)24xyy，
∴所求函数的反函数为211(0)24yxx．
（2）当01x时，得1(10)xyy，当10x时，
得(01)xyy，
∴所求函数的反函数为1(10)(01)xxyxx．
（3）由32331yxxx得3(1)2yx，∴312()xyyR，
∴所求反函数为13()12()fxxxR．
2 例2．函数11(,)1axyxxRaxa的图象关于yx对称，求a的值．
解：由11(,)1axyxxRaxa得1(1)(1)yxyay，
∴11()(1)(1)xfxxax，
由题知：1()()fxfx，11(1)1xaxaxax，∴1a．
例3．若(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，求,mn的值．
解：∵(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，
∴(1)2(2)1ff，∴221mnmn，∴37mn．
例4．（《高考A计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值．
解法一：由121xyx得12yxy，∴11()2xfxx，1(1)3xfxx，
∴)(xg与3xyx互为反函数，由23xx，得(2)2g．
解法二：由1(1)yfx得()1xfy，∴()()1gxfx，
∴(2)(2)12gf．
例5．已知函数()yfx（定义域为A、值域为B）有反函数1()yfx，则方程()0fx有解xa，且()()fxxxA的充要条件是1()yfx满足11()()(0)fxxxBfa且．
例6．（《高考A计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21xxafxaR，是R上的奇函数．（1）求a的值，（2）求()fx的反函数，（3）对任意的(0,)k解不等式121()logxfxk．
解：（1）由题知(0)0f，得1a，此时
3 21212112()()021212112xxxxxxxxfxfx，
即()fx为奇函数．
（2）∵21212121xxxy，得12(11)1xyyy，
∴121()log(11)1xfxxx．
（3）∵121()logxfxk，∴11111xxxkx，∴111xkx，
①当02k时，原不等式的解集{|11}xkx，
②当2k时，原不等式的解集{|11}xx．
（四）巩固练习：
1．设21(01)(){2(10)xxxfxx，则15()4f ．
2．设0,1aa，函数logayx的反函数和1logayx的反函数的图象关于( )
()Ax轴对称 ()By轴对称 ()Cyx轴对称 ()D原点对称
3．已知函数1()()12xfx，则1()fx的图象只可能是 （ ）
()A ()B ()C ()D
4．若6yax与13yxb的图象关于直线yx对称，且点(,)ba在指数函数()fx的图象上，则()fx ．
五．课后作业：《高考A计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14 1
x y
O 2 x y
O 1 x y
O 1 1 x y
O 2
