【统计学】 第三章数据分布特征的测度

数据特征的测度统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。

为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。

对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。

这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。

（一）集中趋势的测度集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。

1.众数众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。

例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：55 75 75 90 90 90 90 105 120 150这10个家庭住房面积的众数为90。

即0M ＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。

2.中位数中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用e M 表示。

显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：21+n 中位数位置＝式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。

设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，按从小到大排序后为)1(x ，)2(x ，…，)(n x ，则中位数可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++为偶数时当为奇数时当n x x n x M n n n e 122)21(21 例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：元）：750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即e M ＝1080（元）。

《统计学》课后题答案第一章导论一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B7.A8.D9.C 10.D 11.A 12.C 13.C 14.A 15.B 16.A 17.C 18.B 19.D 20.A 21.D 22. D23.B 24.C 25.A 26.A 27.A 28.B 29.A 30.D 31.C 32.A 33.B第二章数据的收集一、选择题1.A2.B3.A4.D5.B6.C7.D8.D9.D 10.C 11.C 12.A 13.D 14.D 15.C 16.A 17.D 18.C 19.B 20.B 21.A 22.B 23.C 24.A 25.B 26.B 27.A 28.B 29.C 30.C （A）二、判断题1.∨2.∨3.×4. ∨5. ×6. ×7. ∨8. ×9. ×10. ×第三章数据整理与显示一、选择题CABCD CBBAB BACBD DDBC第四章数据分布特征的测度一、选择题1.A2.C3.B4.C5.D6.D7.A8.B9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.D 16.A 17.A 18.B 19.A 20.B 21.A 22.A 23.B 24.C 25.C 26.D 27.D 28.A 29.D 30.C 31.C 32.D二、判断题1. ×2. ∨3. ×4. ×5. ×6. ×7. ∨8. ×9. × 10. ∨ 11. ∨ 12. ×四、计算题1. 11399073.8954ki ii kii x fx f=====∑∑甲11.96σ===甲73.89100%100% 6.18%11.96x σν=⨯=⨯=甲73.8100%100%7.43%9.93x σν=⨯=⨯=乙甲的代表性强2. 10.2510.966ki ii kii x fx f====∑∑0.250.056σ==0.250.056100%100% 5.834%0.966xσν=⨯=⨯= 1114.534ki ii kii x fx f====∑∑10.1295σ==10.1295100%100% 2.857%4.534xσν=⨯=⨯=该教练的说法不成立。

统计学测量数据分布的测度描述包括以下几种常见的描述方法：
1.平均数：也称为均值，是指一组数据中所有数值的总和除以数
据个数的结果。

平均数可以用来描述一组数据的集中趋势。

2.中位数：也称为中值，是指一组数据中所有数值按大小排序后，
位于中间的那个数值，如果数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均数。

中位数可以用来描述一组数据的集中趋势。

3.众数：也称为模数，是指一组数据中出现次数最多的数值。

众
数可以用来描述一组数据的集中趋势，特别是对于呈现多峰分布的数据。

4.极差：是指一组数据中最大值与最小值的差值。

极差可以用来
描述一组数据的离散程度。

5.方差：是指一组数据中每个数值与平均数的差的平方和除以数
据个数的结果。

方差可以用来描述一组数据的离散程度。

6.标准差：是指方差的正平方根。

标准差可以用来描述一组数据
的离散程度，同时也可以用来进行数据的比较。

7.百分位数：是指一组数据中某个百分比的数值。

例如，50%的百
分位数就是中位数。

百分位数可以用来描述一组数据的分布情况，比如数据的偏态和尾重程度。

这些测度描述可以帮助我们更好地理解和分析一组数据的特征和分布情况。

第三章数据分布特征的描述一、单选题1. 如果所掌握到的只是各单位的标志值（变量值），这时计算算术平均数（）。

A 应用简单算术平均数Ｂ应用加权算术平均数Ｃ用哪一种方法无法判断Ｄ这种资料不能计算算术平均数2. 加权算术平均数受什么因素的影响（）。

A 只受各组变量值大小的影响Ｂ只受各组次数多少的影响Ｃ同时受以上两种因素的影响Ｄ无法做出判断3. 权数本身对加权算术平均数的影响决定于（）。

A 权数所在组标志值的大小Ｂ权数绝对数值的大小Ｃ各组单位数占总体单位数比重的大小Ｄ总体单位数的多少4. 标志值的次数多少，对于算术平均数的影响有权衡轻重的作用。

若把标志值的次数都缩小为原来的十分之一，则算术平均数的值为（）。

A 也缩小为原来的十分之一Ｂ保持不变Ｃ扩大为原来的十倍Ｄ无法判断5. 如果被平均的每一个标志值都增加5个单位，则算术平均数的数值（）。

A 也增加5个单位Ｂ只有简单算术平均数是增加5个单位Ｃ减少5个单位Ｄ保持不变6. 设某企业在基期老职工占60%，而在报告期准备招收一批青年工人，估计新职工所占的比重将比原来增加20%。

假定老职工和新职工的工资水平不变，则全厂职工的总平均工资将如何变化（）。

A 提高Ｂ降低Ｃ不变Ｄ无法判断7. 设有8个工人生产某种产品，他们的日产量（件）按顺序排列是：4、6、6、8、9、12、14、15，则日产量的中位数是（）。

A 4.５Ｂ8和9 Ｃ8.5 Ｄ没有中位数8. 在下列哪种情况下, 算术平均数、众数和中位数三者相等（）。

A 只有钟形分布Ｂ只有U形分布Ｃ钟形分布或U形分布Ｄ只有对称的钟形分布9. 当变量右偏分布时，有（）。

A Mo<Me<XB Mo>Me>XC Mo≤Me≤XD Mo≥Me≥X10. 设有某企业职工人数和工资水平资料如下：报告期的总平均工资低于基期的总平均工资，原因是：（）。

A 各组工资水平的变动Ｂ各组人数的增加Ｃ各组人数结构的变动Ｄ职工收入的下降11. 总体的离散程度越大，说明（）。

第三章统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述。

描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标。

这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可。

本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要。

本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容。

本章主要内容（计划学时7 ）一、分布的集中趋势（1）——数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）——位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势——变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用；三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。

学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法;三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题。

第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别 二、算术平均数（用A x 表示） （一）算术平均数的基本内容： 算术平均数＝总体单位总量总体标志总量（二）简单算术平均数nxnx x x x ni inA ∑==+++=121可简写为：nx x A∑=式中： x i 为变量值 n 是总体单位数 Σ为总和符号例3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了10包味精，测得每包净重分别为（单位：克）499 497 501 499 502 503 500 499 498 500 将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为499.8克）。

第三章 数据分布特征的描述（一）教学目的通过本章的学习，使同学们正确理解各种指标的概念及计算方法，学会运用相应的统计指标对数据的分布特征进行分析说明。

（二）基本要求使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。

（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法；2、离散趋势的测度指标及其计算方法；3、总体分布的偏度与峰度的测度。

（四）教学时数9——10课时（五）学习内容本章共分三节：第一节 数据分布集中趋势的测定一、定类数据集中趋势的测度——众数(Mode)(一) 概念要点众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用表示。

从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为众数。

当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。

1.集中趋势的测度值之一2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据众数的不唯一性：无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42（二）众数的计算根据未分组数据或单变量值分组数据计算众数时，我们只需找出出现次数最多的变量值即为众数。

对于组距分组数据，众数的数值与其相邻两组的频数分布有一定的关系，这种关系可作如下的理解：设众数组的频数为，众数前一组的频数为，众数后一组的频数为。

当众数相邻两组的频数相等时，即=，众数组的组中值即为众数；当众数组的前一组的频数多于众数组后一组的频数时，即＞，则众数会向其前一组靠，众数小于其组中值；当众数组后一组的频数多于众数组前一组的频数时，即＜，则众数会向其后一组靠，众数大于其组中值。

基于这种思路，借助于几何图形而导出的分组数据众数的计算公式如下：下限公式：(3.1)上限公式：(3.2)式中：表示众数所在组的下限；表示众数所在组的上限；表示众数所在组的组距。

第三章 数据分布特征的度量第一节 一.集中趋势 （一）概念：指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或中心值。

（二）特点：1.集中趋势测度值是一个代表性值，表示被研究总体的一般水平（数据的共性）2.平均数把被研究总体的数量标志值在各个单位之间的数量差异抽象化了 （三）作用：1.利用集中趋势测度值对比不同总体的一般水平2.利用集中趋势测度值比较.反映同一单位某一标志不同时期一般水平的发展变化，说明事物的发展过程和变化趋势3.利用集中趋势测度值分析现象之间的相互关系，并推算其它有关的指标。

（四）度量Ⅰ.数值均值（μ） 1.算术均值 （1）特点：①集中趋势的最常用测度值 ②一组数据的均衡点所在 ③体现了数据的必然性特征 ④易受极端值的影响 （2）数学性质：①数值观测值与算术均值的离差之和等于0 ∑=-0)(μx 或 ∑=-0)(f x μ ②数值观测值与算术均值的离差平方和最小∑=-min )(2μx 或∑=-min )(2f x μ③均值易受极端值的影响2.调和均值（H ） （1）特点：①调和均值是各个变量值倒数的算术均值的倒数 ②易受极端值的影响3.几何均值（G）（1）特点：①适用于对比率数据的平均②主要用于计算平均速度Ⅱ.位置均值1.众数（M o）（1）概念：一组数据中出现次数最多的变量值,Mo表示（2）特点①众数的值与相邻两组频数的分布有关②用于数值型分组数据，适合于数据量较多时使用③不受极端值的影响④一组数据可能没有众数或有几个众数（不唯一性）2.中位数（M e）（1）概念：依据数据从小到大排序后，处于中间位置上的变量值，用Me表示（2）特点：①不受极端值影响②数据分布偏斜程度较大时应用绝对值之和为最小（中位数与各数据的距离之和最短）③各变量值与中位数的离差3.分位数（Q）（1）概念：是将全部数据排序后等分为若干个分位点，各分位点上的数值称为分位数（五）算术均值与众数和中位数的关系第二节数据离中程度的度量一.离散程度（一）概念：测量一组数据差异程度，反应频数分布数列中各个数据的变动范围或差异程度。

第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中非常重要的一个概念，它用于对数据进行系统化的描述和分析。

统计数据分布特征的描述包括位置参数、散布参数和形状参数。

位置参数描述了数据集中心位置的特征。

最常用的位置参数是均值和中位数。

均值是指所有数据值的总和除以数据个数，它能够反映数据集的平均水平。

中位数是将数据值按大小排序后的中间值，它能够反映数据集的中心位置。

均值对异常值比较敏感，中位数能够较好地排除异常值的干扰。

散布参数描述了数据集的离散程度。

最常用的散布参数是方差和标准差。

方差是指每个数据值与均值之差的平方和的平均值，它能够反映数据集的离散程度。

标准差是方差的平方根，它与数据的单位相一致，常用于衡量数据的波动性。

方差和标准差越大，表示数据的离散程度越大。

形状参数描述了数据集的分布形状。

常用的形状参数包括偏度和峰度。

偏度是指数据分布的不对称程度，大于0表示右偏，小于0表示左偏，等于0表示对称。

偏度能够反映数据集的分布形态。

峰度是指数据分布的尖锐程度，大于0表示尖锐，小于0表示平坦，等于0表示与正态分布相似。

峰度能够反映数据集的尖峰或扁平程度。

除了这些常见的参数之外，还有其他一些描述统计数据分布特征的方法，如四分位数和箱线图。

四分位数是将数据分为四等分的值，它包括上四分位数、下四分位数和中位数。

上四分位数是四分之三分位数，下四分位数是四分之一分位数。

箱线图是以箱子和线段的形式展示数据分布特征，箱子的上边界和下边界分别代表上四分位数和下四分位数，箱子的中线代表中位数，箱子的长度代表数据的离散程度。

统计数据分布特征的描述对于研究数据的特征、提取有效信息以及进行统计推断都非常重要。

了解数据的位置、散布和形状特征能够帮助研究者更好地理解数据集的性质和规律。

在实际应用中，统计数据分布特征的描述还可以帮助决策者进行决策，例如对于质量控制的判断和产品的质量评估等。

综上所述，统计数据分布特征的描述是对数据集进行系统化描述和分析的重要工具。

《统计学》解答（修改版）第⼀章绪论思考题1.什么是统计学？请简要说明⼀下它的发展过程。

统计学是关于数据搜集、整理、归纳、分析的⽅法论科学。

统计学的发展主要经历了三个阶段：(1)17世纪中叶⾄18世纪，统计学的产⽣和形成阶段；(2)18世纪末⾄20世纪中叶，统计推断⽅法和理论体系确⽴的阶段；(3)20世纪50年代以来，统计理论、⽅法和应⽤进⼊了⼀个全⾯发展的阶段。

2.统计学、统计数据，以及统计活动之间有什么关系？统计活动直接影响统计数据的数量和质量；统计学是统计实践活动的理论概括，同时，它⼜⽤理论和⽅法研究分析统计实践活动，统计学和统计活动是理论与实践的关系。

3.统计学的研究⽅法有哪些，它们有怎样的关系？并举例说明。

主要⽅法有两个：(1)描述统计：搜集由试验或调查所获得的资料，进⾏整理、归类，计算出各种⽤于说明总体数量特征的数据，并运⽤图形或表格的形式将它们显⽰出来。

(2)推断统计：指利⽤概率论的理论，根据试验或调查获得的样本信息科学地推断总体的数量特征。

关系：描述统计和推断统计都是统计⽅法的两个组成部分，前者是统计学的基础，后者是现代统计学的主要内容。

由于现实问题中，要获得总体数据存在很⼤的难度，能够获得的数据多为样本数据，因此，推断统计在现代统计学中的地位和作⽤越来越重要，它已成为统计学的核⼼内容。

当然，描述统计的重要性不可忽略，通过它得到可靠的统计数据并为后⾯的推断统计提供有效的样本信息，只有这样，才可以运⽤推断统计⽅法得出符合实际情况的结论。

4.简要说明总体、样本、变量的概念。

总体：根据⼀定的⽬的确定的所要研究对象的全体，它是统计问题最基本的要素；样本：从总体中随机抽取的若⼲单位构成的集合体，它是统计问题的第⼆要素；变量：可变的数量；变量的具体表现，即可变数量的不同取值，称为变量值。

5.简述SPSS统计软件的特点和应⽤领域。

(1) 特点：第⼀，⼯作界⾯友好完善、布局合理、操作简便，⼤部分统计分析过程可以借助⿏标，通过菜单命令的选择、对话框参数设置、点击功能按钮来完成，不需要⽤户记忆⼤量的操作命令。