七升八数学暑期衔接班讲义

暑

期

七

升

八

衔

接

班 讲

义

第一讲 与三角形有关的线段

知识点1、三角形的概念

 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

 三角形的表示方法

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”

三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c

表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

拓展：a+b＞c，根据不等式的性质得c-b＜a，即两边之差小于第三边。

即a-b＜c＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）

【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）

A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？

【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和

【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么a

b c

(1)CBA各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

知识点3 三角形的三条重要线段

 三角形的高

(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）

(2)高的叙述方法

AD是△ABC的高

AD⊥BC，垂足为D

点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度

[练习]

画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.

①

② ③

AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____

BC边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC边上的高是_________

AC边上的高是_________ AC边上的高是_________ AC边上的高是_________

[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________

[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画

【结论】________________________________________

 三角形的中线

（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线

[练习]

画出①、②、③三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.

① ② ③

AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____ ABCABCBACABCABCBACBC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________

AC边上的中线是________ AC边上的中线是_________ AC边上的中线是_________

图中有相等关系的线段：___________________________________________________

[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

【结论】_________________________________

[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？

【结论】__________________________________________

【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=45AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。

 三角形的角平分线

（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.

[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________

[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

(1)BD=______=12________； (2)BC=2_______=2_______；

(3)∠BAE=_______=12_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90

知识点4 三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

【试一试】 DCBAABCBACFEDCBA1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（ ）

3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC

[课后作业]

1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）

A． B． C． D．

2、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

4、为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，PB=12 m，那么AB间的距离不可能是（）

A．5 m B．15m C．20 m D．28m

5、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

6、三角形的角平分线、中线和高都是（）

A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对

7、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（）

A．中线 B．角平分线

C．高 D．既是中线，又是角平分线

8、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（ ）

A．△ABC中，AC是BC边上的高

B．△BCD中，DE是BC边上的高

C．△ABE中，DE是BE边上的高

D．△ACD中，AD是CD边上的高

9、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.

10、三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.

11、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填空：

（1）BD＝________＝________;

（2）∠BAE＝________＝________；

（3）∠AFB＝________＝90°；

（4）∠B的余角是________，∠C与________互余；

（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝________．

12、如图，AD是△ABC的中线，DE=2AE，若△ABC的面积是18cm2，则△ABE的面积=__________

13、如图，3AODSV,4AOBSV,6CODSV,求BOCSV

14、已知在△ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足a＞b＞c,a=8，那么满足条件的三角形共有多少个？

15、如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？

16、如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC）．

17 、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．

第二讲 与三角形有关的角

知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。

【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。