2.等差数列(学生版)
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一轮复习 第六章 数列
第二节 等差数列
一知识梳理
一等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an+1-a
n=d(n∈N*).
(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项满足A=a+b
2或者2A=a+b.
(3)通项公式：如果等差数列{a
n}的首项为a
1，公差为d，那么通项公式为an=a
1+(n-1)d(n∈N*)．
(4)前n项和公式：S
n=na
1+n(n-1)
2d=n(a
1+a
n)
2，推导方法是倒序相加法.
二等差数列a
n的性质
(1)等差数列的拓展通项公式：a
n=a
m+(n-m)d(n，m∈N*)，d=a
n-a
m
n-m.
(2)a
n=a
1+(n-1)d=dn+(a
1-d),当d≠0时，a
n是关于n的一次函数，斜率为公差d，反之亦成立.
若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列．
(3)a
m，am+k，am+2k，am+3k，⋯仍是等差数列，公差为kd.
(4)☆若a
m1+a
m1+⋯+a
mk=a
n1+a
n1+⋯+a
nk⇔m
1+m
2+⋯+m
k=n
1+n
2+⋯+n
k.特别地，若m+n=p
+q=2k，则am+a
n=a
p+a
q=2a
k.三等差数列前n项和S
n的性质
(1)S
n=na
1+n(n-1)
2d=d
2n2+a
1-d2n，当d≠0时，S
n是关于n的二次函数且没有常数项．
显然当d<0时，Sn有最大值，d>0时，Sn有最小值．
(2)☆S
n
n=d
2n+a
1-d
2，即S
n
n
也是等差数列，其公差为an的公差的一半.
(3)☆等差数列依次k项之和，仍是等差数列，即数列S
k，S2k-S
k，S3k-S
2k，⋯也是等差数列，公差为k2d．
(4)☆S
2n-1=2n-1(a
1+a
2n-1)
2=2n-1a
n（an是前2n-1项的最中间项），例S9=9(a
1+a
9)
2=9a
5;
S
2n=2n(a
1+a
2n)
2=na
n+a
n+1（a
n和an+1是前2n项的最中间两项），例S10=10(a
1+a
10)
2=5a
5+a
6.
(5)☆当总项数为2n-1项时，有n项奇数项，S
奇=n(a
1+a
2n-1)
2=na
n
有n-1项偶数项，S
偶=(n-1)(a
2+a
2n-2)
2=(n-1)a
n
，
此时，S
奇-S
偶=a
n，S
奇
S
偶=n
n-1；
当总项数为2n项时，有n项奇数项，S
奇=n(a
1+a
2n-1)
2=na
n
有n项偶数项，S
偶=n(a
2+a
2n)
2=na
n+1
，
2一轮复习 第六章 数列
公众号：玩酷高中数学此时，S
偶-S
奇=nd，S
偶
S
奇=a
n+1
a
n；
(6)☆综合(4)和(5)得，n为奇数时，S
n=na
中，S
奇=n+1
2a
中，S
偶=n-12a中，∴S
奇-S
偶=a
中；n为偶数时，S
偶-S
奇=nd
2.
(7)数列{a
n}，{b
n}是公差分别为d
1，d2的等差数列，则数列{pan}，{a
n+p}，{pa
n+qb
n}都是等差数列(p，
q都是常数)，且公差分别为pd
1，d1，pd1+qd
2.
二题型讲解
一等差数列的基础题型
一等差数列基本量的计算
解题通法
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a
1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a
1和d是等差数列的两个基本量，用它
们表示已知和未知是常用方法．
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S
n为等差数列{an}的前n项和，已知S
4=0，a
5=5，则( )
A.a
n=2n-5B.a
n=3n-10C.S
n=2n2-8nD.S
n=1
2n2-2n
1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a
n}的前n项
和为Sn，若S8=a
8=8，则公差d=( )
A.1
4B.1
2C.1D.2
2.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a
n}中，S
n
为其前n项的和，S4=24，S
9=99，则a
7=( )
A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a
n}的前n项和为S
n，且a2+
a
5=-14，S
3=-39，则S
10=( )
A.6B.10C.12D.20
4.(2022·陕西汉中)已知等差数列a
n的前n项
和为Sn，a6=15，S
9=99，则等差数列a
n的公差是
( )
A.-4B.-3C.1
4D.4
3一轮复习 第六章 数列
5.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列
a
n的前n项和为S
n，若a4=4，S
9=72，则a
10=
( )
A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n-1}与{3n-2}
的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{a
n}的前
n项和为.
二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）
2.(2021·南京模拟)已知数列{a
n}的前n项和为S
n且满足an+2S
n·S
n-1=0(n≥2)，a
1=1
2.
(1)求证：1
S
n
是等差数列；
(2)求a
n的表达式．
反思感悟
等差数列判定与证明的方法
方法解读适合题型
定义法若an-a
n-1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{a
n}是等差数列解答题中
证明问题等差中项法2an=a
n+1+a
n-1(n≥2，n∈N*)成立⇔{a
n}是等差数列
通项公式法an=pn+q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a
n}是等差数列选择、填
空题中的
判定问题前n项和公式验证Sn=An2+Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立
⇔{a
n}是等差数列
7.下列选项中，为“数列a
n是等差数列”的一
个充分不必要条件的是( )
A.2a
n=a
n+1+a
n-1(n≥2)
B.a
n2=a
n+1⋅a
n-1n≥2
C.通项公式a
n=2n-3
D.a
n+2-a
n=a
n+1-a
n-1n≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实
数a，b，c成等比数列，则一定不可能是等差数列的
为( )
A.a，c，bB.a2，b2，c2
C.|a|，|b|，|c|D.1
a，1
b，1
c
4一轮复习 第六章 数列
公众号：玩酷高中数学9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a
n是等差数
列，则下列数列为等差数列的有( )
A.a
n+3B.a2
n
C.a
n-1+a
nD.2a
n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a
n
中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点
a
n,a
n-1在直线x-y-3=0上，则
( )
A.数列a
n是等差数列
B.数列an是等差数列
C.数列a
n的通项公式为a
n=3n
D.数列a
n的通项公式为a
n=3n
三求数列{|a
n|}的前n项和
3.数列{a
n}的前n项和S
n=100n-n2(n∈N*)，设b
n=|a
n|，求数列{b
n}的前n项和T
n．
反思感悟
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|a
n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对
值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．
11.在等差数列{a
n}中，a
10=23，a
25=-22.
(1)数列{a
n}前多少项和最大？
(2)求{|a
n|}的前n项和S
n.12.在数列{a
n}中，a
1=8，a
4=2，且满足a
n+2-
2a
n+1+a
n=0(n∈N*)．
(1)求数列{a
n}的通项公式；
(2)设T
n=|a
1|+|a
2|+⋯+|a
n|，求T
n.
