匀变速直线运动的速度与位移的关系
【学习目标】
1、会推导公式22
02t v v ax -=
2、掌握公式2202t v v ax -=，并能灵活应用
【要点梳理】
要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
根据匀变速运动的基本公式 0t v v at =+， 2
012
x v t at =+
， 消去时间t ，得22
2t v v ax -=． 即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
要点诠释：
①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用． ②公式中四个矢量t v 、0v 、a 、x 也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式
(1)速度随时间变化规律：0t v v at =+． (2)位移随时间变化规律：2
012
x v t at =+
． (3)速度与位移的关系：22
2t v v ax -=． (4)平均速度公式：02t x v v +=
，02
t v v x t +=． 要点诠释：
运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向．公式(1)中不涉及x ，公式(2)中不涉及t v ，公式(3)中不涉及t ，公式(4)中不涉及a ，抓住各公式特点，灵活选取公式求解．共涉及五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量． 要点三、匀变速直线运动的三个推论 要点诠释：
(1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即△x ＝aT 2
(又称匀变速直线运动的判别式)．
推证：设物体以初速v 0、加速度a 做匀加速直线运动，自计时起时间T 内的位移 2
1012
x v T aT =+
． ① 在第2个时间T 内的位移
22011
2(2)2
x v T a T x =+-g
2
032
v T aT =+
． ② 即△x ＝aT 2
． 进一步推证可得
①122222n n n n x x x x x a T T T ++--?=
==323n n
x x T
+-==… ②x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝x n -x n-1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即02
2
t
t v v v v +==
． 推证：由v t ＝v 0+at ， ① 知经
2t
时间的瞬时速度 02
2t t v v a =+g ． ②
由①得0t at v v =-，代入②中，得
00/20001
()2222
t t t t v v v v v v v v v +=+-=+-=，
即02
2
t
t v v v +=
． (3)某段位移内中间位置的瞬时速度2
x v 与这段位移的初、末速度v 0与v t 的关系为
2
x v =
推证：由速度－位移公式22
2t v v ax -=， ① 知22
02
22
x x
v v a -=g
． ② 将①代入②可得22
2
200
2
2t x v v v v --=
，即2x v =
要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式
要点诠释：
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助．
设以t ＝0开始计时，以T 为时间单位，则
(1)1T 末、2T 末、3T 末、…瞬时速度之比为v 1:v 2:v 3:…＝1:2:3:…． 可由v t ＝at ，直接导出 (2)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第n 个T 内的位移之比为：x 1:x 2:x 3:x n ＝1:3:5:…:(2n-1)． 推证：由位移公式212x at =
得211
2
x aT =，
2222113
(2)222x a T aT aT =
-=， 22311
(3)(2)22x a T a T =-
25
2
aT =． 可见，x 1 : x 2 : x 3 : … : x n ＝1 : 3 : 5 : … : (2n-1)．
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．
(3)1T 内、2T 内、3T 内、…、位移之比为：222123123x x x =：：：
…：：：…， 可由公式2
12
x at =
直接导出． (4)通过连续相同的位移所用时间之比
12311)n t t t t =g g g g g g ::::::::．
推证：由2
12x at =
知1t =， 通过第二段相同位移所用时间
21)t =
=，
同理：3t =
=
，
则12311)n t t t t ???=???::::::::．
要点五、纸带问题的分析方法
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x 1、x 2、x 3…． ①若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝0，则物体做匀速直线运动． ②若x 2-x 1＝x 3-x 2＝…＝1n n x x --＝△x ≠0，则物体做匀变速直线运动．
(2)“逐差法”求加速度，根据x 4-x 1＝x 5-x 2＝x 6-x 3＝3aT 2
(T 为相邻两计数点的时间间隔)，有 41
12
3x x a T
-=
，52223x x a T -=，63323x x a T -=， 然后取平均值，即
123
3
a a a a ++=
6543212()()9x x x x x x T ++-++=．
这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．
要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x 值之差计算加速度，再求平均值可得：
3254652122221
5x x
x x x x x x a T T T T ----??=+++ ???
6125x x T -=．
比较可知，逐差法将纸带上x 1到x 6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x 1和x 6两个实验数
据，实验结果只受x 1和x 6两个数据影响，算出a 的偶然误差较大．
②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x 6+x 5+x 4)这一大段位移减去(x 3+x 2+x 1)这一
大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2
而不是3T 2
．
(3)瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t 内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻2
t
时的瞬时速度相同，即2
t v v =．所以，第n 个计数点的瞬时速度为：1
2n n n x x v T
++=
． (4)“图象法”求加速度，即由1
2n n n x x v T
-+=，求出多个点的速度，画出v-t 图象，直线的斜率即为加速度．
【典型例题】 类型一、公式
22
02t v v ax
-=的应用
例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l ，当火车头经过某路标时的速度为v 1，而车尾经过这个路标时的速度为v 2，求： (1)列车的加速度a ；
(2)列车中点经过此路标时的速度v ； (3)整列火车通过此路标所用的时间t ．
【答案】（1）22212v v a l -= （2） 22122
v v v += （3）122l
t v v =+
【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v 1，前进位移l ，速度变为v 2，所求的v 是经过
2
l
处的速度．其运动简图如图所示．
(1)由匀变速直线运动的规律得222
1
2v v al -=，则火车的加速度为22
212v v a l
-=．
(2)火车的前一半通过此路标时，有22122
l
v v a -=g ，
火车的后一半通过此路标时，有2
2222
l v v a -=g ，
所以有2
222
1
2
v v v v -=-，故22
12
2
v v v +=．
(3)火车的平均速度12
2
v v v +=
，故所用时间122l l t v v v ==+．
【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用22
02t v v ax -=可大大简化解题过程．
举一反三 【变式1】（2016 金台区期末考）一物体在水平面上做匀加速直线运动，经过了A 、B 、C 三点，已知A 点速度为v ，B 点速度为3v ，C 点速度为4v ，则AB 段和BC 端的时间比是 A B 段和BC 段的位移比是 【答案】2:1；8:7
【解析】设匀加速直线运动的加速度为a ：
AB 段的时间:32AB v v v
t a a -==
BCB 段的时间:
43BC
v v v t a a -==
则AB 段和BC 端的时间比: :2:1AB BC t t = AB 段的位移：220(3)2AB
v v ax -= BC 段的位移：22(4)(3)2BC
v v ax -=
AB 段和BC 段的位移比：:8:7AB BC x x =
【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第5页】
【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h ，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s 2
。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？ 【答案】900m
类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m 和64 m ，每一个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度．
【答案】a ＝2.5m/s 2
，v A ＝1 m/s
【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同． 解法一：(基本公式法)
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
2
112A x v t at =+
． ()221
(2)(2)2
A A x v t a t v t =+-+．
将x 1＝24m 、x 2＝64m 、t ＝4s 代入上式解得：a ＝2.5m/s 2
，v A ＝1 m/s ． 解法二：(用平均速度公式)
连续的两段时间t 内的平均速度分别为：
1124m /s 6m /s 4x v t =
==，2264m /s 16m /s 4
x v t ===． B 点是AC 段的中间时刻，则12A B
v v v +=，22
B C v v v +=，
12616
m /s 11m /
s 222
A C
B v v v v v +++=
===． 得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s ， 22211
m /s 2.5m /s 224
C A v v a t --=
==?． 解法三：(用△x ＝aT 2
法) 由△x ＝aT 2
，得222240
m /s 2.5m /s 4
x a T ?=-=． 再由2
112
A x v t at =+
，解得1m /s A v =． 【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力． (2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优
先考虑用判别式△x ＝aT 2
求解，这种解法往往更简捷． 举一反三
【变式1】一个冰球在冰面上滑行，依次通过长度都是L 的两段距离，并继续向前运动，它通过第一段距离的时间为t ，通过第二段距离的时间为2t ，如果冰球在冰面上的运动可看做匀变速直线运动，求冰球在第一段距离末时的速度． 【答案】156L v t
=
【解析】方法一：由题意可得，冰球做匀减速运动，其运动简图如图所示．以冰球过A 点为起始时刻、起始点，设A 、B 、C 三点的速度分别为v 0、v 1、v 2，由01
2
v v x t +=
得
从A 到B ：01
2v v L t +=
， ① 从B 到C ：12
22v v L t +=?， ②
从A 到C ：02
232
v v L t +=?， ③
联立①②③式解得 156L
v t
=．
方法二：根据2
t v v =t 知：
AB 段中间时刻速度356L v t =
， BC 段中间时刻速度42L
v t =，
这两个时刻相隔时间为3
2
t ，则匀减速运动加速度
342332
v v L
a t t -==．