空间向量的基本定理3.1.2版块式教案

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

第4课时

§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、 复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb

3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.

二、讲解新课：

平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.

探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1

已知向量1e，2e

求作向量2.51e+32e.

例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE

·备课助手·

案例１　“立体几何”内

容体系

课标教材将高中立体

几何分成２个部分，即《必

修２》的“空间几何体”和“点、直线、平面之间的位置

关系”这两章，以及《选修２

－３》的“空间向量与立体

几何”这章．１）整体与局部、具体

与抽象的关系

板块教学：从点、线、面

到几何体，按公理化体系和

知识的逻辑关系安排内容，

结构严谨，“数学味”浓厚．但与学生的认知规律、思维

方式有矛盾，这是造成学生

学习立体几何困难的原因

之一．

模块教学：先从空间几何体整体认识，然后再到

点、直线和平面位置及其度量的认识．关注学生思维

过程，为合情推理到逻辑推理过渡创造条件，体现从

具体到抽象的认识规律．但知识的逻辑性减弱，知识

点显得“零碎”．

２）几何直观，合情推理与逻辑推理

模块教学采用直观感知、操作确认、思辨论证、度

量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．在立体

几何学习中，经历合情推理和演绎推理过程．通过对

事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概

括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关

系，归纳出平行、垂直的判定定理和性质定理，其中性

质定理要求证明，但判定定理不要求证明．这样设置

是为了既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能

力．把握立体几何教学的变化：几何教育功能的全面

性，即从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与

逻辑推理并重，并渗透公理化体系．

３）螺旋上升，分层递进，逐步到位是模块教学的

特征

模块教学对“立体几何”采用如下步骤分步实施

教学：

第一步：对几何体的认识依赖于直观感知．第二步：以长方体为主要载体，对图形进行观察、

操作、实验，进行合情推理．第三步：对线面平行、垂直的性质定理进行严格的推理证明．第四步：《选修２－１》把空间向量作为工具进行研

究，用代数方法研究立体几何．案例２　培养统计的观念与随机思想

学习概率统计知识，重在强调统计思想与概率思

想，通过掌握思想方法，解决实际生活中的问题，所以

统计思想的掌握就显得尤为重要．在古典概型的教学中，要求学生会把一些实际问

3.1.2 空间向量的基本定理

课时过关·能力提升

1.AM是△ABC中BC边上的中线,e1e2,

A.e1+e2

B

C.e1-e2

D

答案:D

2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有

A.O,A,B,C四点共面

B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C共面

D.O,P,A,B,C五点共面

解析:.又它们有同一公共点P,∴P,A,B,C四点共面.

答案:B

★3.已知a,b,c共面,b,c,d也共面,则下列说法正确的是( )

A.若b与c不共线,则a,b,c,d共面

B.若b与c共线,则a,b,c,d共面

C.当且仅当c=0时,a,b,c,d共面

D.若b与c不共线,则a,b,c,d不共面

答案:A

4.非零向量e1,e2不共线,使ke1+e2与e1+ke2共线的k=

.

解析:ke1+e2与e1+ke2共线,则存在唯一的实数x,使ke1+e2=x(e1+ke2), ⇒k=±1.

答案:±1

5.已知D,E,F分别是△ABC中BC,CA,AB上的点,ab,

答案:

6.已知G是△ABC的重心,点O是空间任意一点,

答案:3

7.三条射线AB,BC,BB1不共面,若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分,

解:由题意知AB,BC,BB1不共面,四边形BB1C1C为平行四边.

又由向量加

∴x=2y=3z=1.

∴x=1,y

8.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向

求证:(1)点E,F,G,H共面;

(2)AB∥平面EG.

分析:(1)要证E,F,G,H四点共面,可先证向,即只需;

(2)可证明EG中的向.

证明:(1)

∴

同

∵ABCD是平行四边形,

E,

∴点E,F,G,H共面.

(2)由(1)

∴AB∥EF.又AB⊄平面EG,

∴AB与平面EG平行,即AB∥平面EG.

★9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且M

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平面向量基本定理

教学目标：

（1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重、难点：平面向量基本定理.

教学过程：

一、问题情境

1、向量加法（平行四边形法则）

向量共线定理

(3) 向量的夹角

① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

已知两个非零向量a和b (如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. θ的取值范围是________________显然,当θ=0°时, a与b同向;当θ=180°时, a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？ 金戈铁骑 O B

A P 三、数学应用

例1、已知向量1e、2e (如图),求作向量-2.51e+32e

例2.设1e与2e是两个不共线向量, a=31e+42e,b=-21e+52e,若实数λ、μ满足λa+μb=51e-2e,求λ、μ的值.

例3已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG.

三、当堂练习

1、如图，OA、OB不共线，tAPAB)(Rt,用OA、OB表示OP.

变式1 如图,OA，OB不共线，P点在AB上，求证：存在实数1.且