3.1.3 空间向量基本定理
- 格式：doc
- 大小：77.50 KB
- 文档页数：3
3.1.3 空间向量根本定理
一、根底过关
1． p：a、b、cq：{a，b，cpq的____________条件．
2．
①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．
3． a、b、c是不共面的三个向量，那么以下选项中能构成一个基底的一组向量是
__________．
①2a，a－b，a＋2b ②2b，b－a，b＋2a
③a,2b，b－c ④c，a＋c，a－c
4． 以下说法正确的选项是________(填序号)．
①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；
②不共面的三个向量就可构成空间的正交基底；
③正交基底中的基向量模为1且互相垂直；
④不共面且模为1的三个向量可构成空间的正交基底．
5．
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，那么a、b、c共面；
②假设两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，那么a、b共线；
③假设a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb (λ、μ∈R且λμ≠0)，且{a，b，c}构成空间的一个基底．
6． 空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，假设m与n共线，那么x＝________，y＝________.
7． 正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，假设EF→＋λA1D→＝0 (λ∈R)，那么λ＝______.
8． 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ→＝a，PR→＝b，PS→＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，那么GH→＝__________________.(用a，b，c表示)
二、能力提升
9． 假设向量MA→、MB→、MC→的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，且满足以下关系(O是空间任一点)，那么能使向量MA→、MB→、MC→成为空间一个基底的关系是________(填序号)．
①OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→ ②MA→≠MB→＋MC→
③OM→＝OA→＋OB→＋OC→
④MA→＝2MB→－MC→
10．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设AA1→＝a，AB→＝b，AC→＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量AM→＋AN→的结果是____________． 11.
如下列图，在正方体AC1中，取AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c作为基底．
(1)求BD1→；
(2)假设M，N分别为边AD，CC1的中点，求MN→. 12.
如图，平行六面体OABC—O′A′B′C′，且OA→＝a，OC→＝b，OO′→＝c.
(1)用a，b，c表示向量AC′→；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH→.
三、探究与拓展
13．{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且OP→＝2e1－e2＋3e3，OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3.
(1)判断P、A、B、C四点是否共面；
(2)能否以{OA→，OB→，OC→}作为空间的一个基底？假设不能，说明理由；假设能，试以这一基底表示向量OP→. 答案
1．必要不充分 2．②③ 3．③ 4．③ 5．2 6．1 －1 7．－12 8．－23a＋12b＋12c
9．③ 10．32a＋b＋c
11．解 (1)BD1→＝BD→＋DD1→
＝BA→＋AD→＋DD1→＝－a＋b＋c.
(2)MN→＝MC→＋CN→
＝MD→＋DC→＋12CC1→
＝12AD→＋AB→＋12AA1→
＝a＋12b＋12c.
12．解 (1)AC′→＝AC→＋CC′→
＝OC→－OA→＋OO′→＝b＋c－a.
(2)GH→＝GO→＋OH→＝－OG→＋OH→
＝－12(OB′→＋OC→)＋12(OB′→＋OO′→)
＝－12(a＋b＋c＋b)＋12(a＋b＋c＋c)
＝12(c－b)．
13．解 (1)假设四点共面，那么存在实数x、y、z使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组 x－3y＋z＝2，2x＋y＋z＝－1，－x＋2y－z＝3，解得 x＝17，y＝－5，z＝－30，
与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面；
(2)假设向量OA→、OB→、OC→共面，那么存在实数m、n使OA→＝mOB→＋nOC→，同(1)可证，这不可能，因此{OA→，OB→，OC→}可以作为空间的一个基底．令OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得 e1＝3a－b－5c，e2＝a－c，e3＝4a－b－7c.
所以OP→＝17OA→－5OB→－30OC→.
