概率论与数理统计统计课后习题答案
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第二章习题解答
1. 设)(1xF与)(2xF分别是随机变量X与Y的分布函数,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数, 则ba,的值可取为( A ).
A. 52,53ba B. 32,32ba
C. 23,21ba D. 23,21ba
2. 解：因为随机变量X＝{这4个产品中的次品数}
X的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.
且4015542091{0}0.2817323CCPXC；
31155420455{1}0.4696969CCPXC；
2215542070{2}0.2167323CCPXC；
1315542010{3}0.0310323CCPXC；
041554201{4}0.0010969CCPXC.
因此所求X的分布律为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010
3．
解：设{1}Pxp，则{0}1Pxp.
由已知，2(1)pp，所以23p
X的分布律为：
X 0 1
P 1/3
2/3
当0x时，(){}0FxPXx；
当01x时，1(){}{0}3FxPXxPX；
当1x时，(){}{0}{1}1FxPXxPXPX. 1 X的分布函数为：00()1/30111xFxxx .
4. 解：设X={在取出合格品以前，已取出不合格品数}.
则X的所有可能的取值为0，1，2，3.
7{0}10Px；
377{1}10930Px；
3277{2}1098120Px；
32171{3}10987120Px.
所以X的概率分布为：
X 0 1 2 3
P 7/10
7/30
7/120 1/120
5.
解：设X＝{其中黑桃张数}.
则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.
0513395522109{0}0.22159520CCPxC；
14133955227417{1}0.411466640CCPxC；
23133955227417{2}0.274399960CCPxC；
32133955216302{3}0.0815199920CCPxC；
411339552429{4}0.010739984CCPxC；
50133955233{5}0.000566640CCPxC.
所以X的概率分布为：
X 0 1
2 3 4 5
P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005
6.
解：由已知，()XGp 2 所以()(1),0,1,2iPXippi.
7.
解：X的所有可能的取值为0，1，2，3.
且1{0}2PX；
111{1}224PX；
1111{2}2228PX；
1111{3}2228PX；
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8
1/8
8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：
（1）恰有6个人不能完成培训的概率；
（2）不多于4个的概率.
解：设X＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)XB，
（1）6694100{6}0.040.960.1052PXC;
（2）41001000{4}0.040.960.629kkkkPXC.
9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过05.0p，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）.
解：设X＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)XB，
所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430kkkkPXC.
10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.
解：设甲X＝{投掷一次后甲的赌本}，乙X＝{投掷一次后乙的赌本}.
则甲X的取值为20，40，且
1{20}{40}2PXPX甲甲，1{10}{30}2PXPX乙乙， 3 所以甲X与乙X的分布律分别为：
甲X 20
40
乙X 10 30
p 1/2 1/2 p
1/2 1/2
0,201,204021,40XxFxxx甲（）, 0,101,103021,30XxFxxx乙（）
11. 设离散型随机变量X的概率分布为：（1）2,1,2,,100kPXkak；
（2）2,1,2,kPXkak，分别求（1）、（2）中常数a的值.
解：（1）因为1001001121,kkkPXka
即
1002(12)112a，所以)12(21100a.
(2) 因为 1121,kkkPXka
即121112a，所以 1a.
12. 已知一电话交换台服从4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.
解：设X＝{每分钟接到的传唤次数}，则()XP，查泊松分布表得
（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297PXPXPX；
（2）{8}0.02136PX.
13.
一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X的概率分布.
解：X的所有可能的取值为1，2，3.
243563{1}105CPxC；
23353{2}10CPxC； 4 22351{3}10CPxC.
所以X的概率分布为：
X 1 2 3
P 6/10 3/10 1/10
14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)pp，且读者是否借书是相互独立的.
求每天借书的人数X的概率分布.
解：设Y{每天去图书馆的人数},则()YP，
{},0,1,2,!iPYieii
当{}Yi时，(,)XBip，
{}{}(1)kkikiikPXkPYiCpp
!(1)(1)!!!()!iikkikkikiikikieCppeppiikik
!(1)(1)!!()!!()!ikkikkikikikikipeppepikikkik
(1)()(1)e!()!!!kkikkkkikppikpppepeekikkk
即X的概率分布为(){}e,0,1,2,!kppPXkkk.
15. 设随机变量X的密度函数为 ,010, x b axf(x)其它，
且3131XPXP，试求常数a和b.
解：1301()3183abPXaxbdx；
113142()393abPXaxbdx， 5 由421183932abab得，71.5,.4ab
16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+Bxarctan, 求常数A, B;
{1}PX以及概率密度f(x).
解：由()lim(arctan)02()lim(arctan)12xxFABxABFABxAB得121AB.
所以11()arctan2Fxx；
{1}{11}(1)(1)0.5PXPxFF；
211()'()1fxFxx.
17. 设连续型随机变量X的分布函数为
20,0(),011,1xFxAxxx
求：（1）常数A的值；（2）X的概率密度函数)(xf；（3）2XP.
解：（1）由()Fx的连续性得(10)(10)(1)1FFF
即21lim1xAx，所以1A，20,0(),011,1xFxxxx；
（2）2,01()'()0,xxfxFx其他；
（3）{2}(2)1PXF.
18. 设随机变量X的分布密度函数为
, 01 , 1)(2其它当xxAxf
试求：（1）系数A；（2）221XP；（3）X的分布函数)(xF.
解：（1）因为111211()arcsin1AfxdxdxAxAx 6 所以1A，21 , 1() 10 , xfxx其它；
（2）121112122211112()arcsin231PXfxdxdxxx；
(3) 当1x时，(){}0fxPXx，
当01x时，21111(){}arcsin21xfxPXxdtxt，
当1x时，1211(){}11fxPXxdtt，
所以
1,111,arcsin1211,0xxxxxF）（
19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？
解：设X={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)XU，
由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min，
所求概率为4.50{4.5}0.45100PX.
20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（min）服从51的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：
