2017年高考理科数学全国2卷-含答案

2017年高考理科数学全国2卷-含答案

D

2

（1）

3

（2）

4

（3）

5

（4）

6

7

（5） 的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（6） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（7） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635

10.828

22()()()()()nadbcKabcdacbd

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点.

（1）证明：直线//CE平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角M-AB-D的余弦值

EABDPCM

8

20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.

(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点Q在直线x=-3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数2()ln,fxaxaxxx且()0fx.

（1）求a；

（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且220()2efx.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．

9

（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知330,0,2abab，证明：

（1）55()()4abab；

（2）2ab．

10

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D

7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 2n1n 16. 6

三、解答题

17.解：

（1）由题设及2sin8sin2ABCB得，故

sin4-cosBB（1）

上式两边平方，整理得 217cosB-32cosB+15=0

解得 15cosB=cosB171（舍去），=

（2）由158cosBsinB1717=得，故14asin217ABCScBac

又17=22ABCSac，则

由余弦定理及a6c得

2222b2cosa2(1cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）

11

所以b=2

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”

由题意知PAPBCPBPC

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

0.0680.0460.0100.0085=0.66（）

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量50kg 箱产量50kg≥

旧养殖法 62 38

新养殖法 34 66

222006266343815.70510010096104K

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

12

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.3450+2.35kg0.068（）≈5．

19.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD,12EFAD=,由90BADABC得BCAD∥，又12BCAD

所以EFBC∥．四边形BCEF为平行四边形，CEBF∥．

又BFPAB平面，CEPAB平面，故CEPAB∥平面

（2）

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

13

A-xyz,则

则(000)A，，，(100)B，，，(110)C，，，(013)P，，，

(103)PC，，,(100)AB，，则

(x1),(x13)BMyzPMyz，，，，

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而(00)n，，1是底面ABCD的法向量，所以

0cos,sin45BMn，222z22(x1)yz

即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设,PMPC则

x,1,33yz

由①，②得xxyy22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22

所以M261-,1，22，从而261-,1，22AM

设000,,xyzm=是平面ABM的法向量，则

00002-22600即00xyzAMABxmm

所以可取m=（0，-6，2）.于是cos105mnm,nmn

因此二面角M-AB-D的余弦值为105

14

20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, 00,,0,NPxxyNMy

由2NPNM得002=,2xxyy

因为M（x0,y0）在C上，所以22122xy

因此点P的轨迹方程为222xy

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

3,1,,33tOQ,PFmnOQPFmtn，

,3,OPm,nPQm,tn

由1OPPQ得22-31mmtnn，又由（1）知22+=2mn，故

3+3m-tn=0

所以0OQPF，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.解：

（1）fx的定义域为0，+

设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于0gx

因为11=0，0,故1=0,而,1=1,得1ggxg'g'xag'aax

若a=1，则11g'x=x.当0＜x＜1时，＜0,g'xgx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点，故1=0gxg

综上，a=1

（2）由（1）知2ln,'()22lnfxxxxxfxxx

设122ln,则'()2hxxxhxx

15

当10,2x时，'＜0hx；当1,+2x时，'＞0hx，所以hx在10,2单调递减，在1,+2单调递增

又21＞0,＜0,102hehh，所以hx在10,2有唯一零点x0，在1,+2有唯一零点1，且当00,xx时，＞0hx；当0,1xx时，＜0hx，当1,+x时，＞0hx.

因为'fxhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由000000'0得ln2(1),故=(1)fxxxfxxx

由00,1x得01'＜4fx

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由110,1,'0efe得

120＞fxfee

所以2-20＜＜2efx

22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为11，＞0，由题设知

cos14=，=OPOM=

由16OMOP=得2C的极坐标方程cos=4＞0

因此2C的直角坐标方程为22240xyx

（2）设点B的极坐标为，＞0BB,由题设知

cos=2，=4BOA,于是△OAB面积