常系数非齐次线性微分方程

常系数线性微分方程复习

一、常系数线性微分方程的形式和名词解释

1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：

)(

1)1(

1)(

tfyayayay

nnnn

=+′

+++

−−

L

其中 a

1，a

2，L，a

n 是常数，f(t)为连续函数

2. n 阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。

3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。

4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。初值问题的解是即满足

微分方程又满足初始条件的特解。

二、常系数线性齐次微分方程的解法

0

1)1(

1)(

=+′

+++

−−

yayayay

nnnn

L

其中a

1，a

2，L，a

n 是常数，等号右端自由项为零

1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y(k)

换写成 λk

，

k = 0，1，L，n，即得其特征方程）。

0

11

1=++++

−−

nnnn

aaaλλλ

L

2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。

3. 求得了方程的 n个特征根，就可得到微分方程的n个线性无关的一般解（根的形

式不同，解的形式也不同）。

(1) 特征方程有n个互异的实根 λ

1， λ

2 ，L，λ

n。

方程的通解为 t

ntt

cccy

n21eee

21λλλ

+++=L

例 求齐次微分方程032=−′

−′′

yyy

的通解

特征方程 0322

=−−λλ

求出特征方程的根31

21=−=λλ

方程的通解 tt

ccy−

+=ee

23

1

(2) 特征方程有n个实根，但存在重根（设λ

0是方程的k重根）。

方程的通解为

t

nt

ktk

kcctctccy

kn10ee)e(

11

21λλλ

++++++=

+

+−

LL

例 求齐次微分方程043=−′′

+′′′

yyy

的通解

特征方程04323

=−+λλ

求出特征方程的根21

321−===λλλ

方程的通解为 ttt

tcccy2

32

21eee−−

++=

(3) n个特征根中存在复数根的情况（举例说明）

a. 存在1对不重复的复数根 a ± jβ

高阶常系数非齐次线性微分方程

在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。

一、概述

在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。它也被称为高阶非齐次微分方程。其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。

假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：

$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$

其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。

二、齐次微分方程的求解

首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即

$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$

这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：

$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$

特征值方程的解称为特征根

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。特征根决定了系统的动态性质。

找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：

$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2

x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$

其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。

关于常系数非齐次线性微分方程通解的注释

常系数非齐次线性微分方程是一类重要的常用方程，它们经常出现在物理、化学和工程等学科中，解决这样一类方程的关键在于求解微分方程的通解，从而可以充分了解这一类问题中的所有特性。

常系数非齐次线性微分方程的通解是指将非齐次线性微分方程的所有 根 列式表示出来的求解过程，它寻找的不仅仅是特解，也可以求解出该方程的通解。与此同时，还可以根据方程存在的特殊解的形式，推出通解的表达式。

通常，求解常系数非齐次线性微分方程的通解，可以采用Yurkevich余子定理或Laplace变换的方法。Yurkevich余子定理是一种有效的求解常系数非齐次线性微分方程的方法，它可以降低方程求解的复杂度，使得求解起来更快更便捷。借助Yurkevich余子定理，可以把遇到的复杂方程分解成几个简单的次级微分方程，从而解决原方程的求解问题。

而Laplace变换法，则是把常系数非齐次线性微分方程转化为求解复拉格朗日变换（Laplace Transform）形式的微分方程，从而转化问题，用一个简单的微分方程求解这一复杂的原方程。

常系数非齐次线性微分方程具有特殊的解析解，这些解析解能够揭示出该方程的特征，并且可以极大地帮助我们求解原方程。因此，求解常系数非齐次线性微分方程的通解对于研究问题极其重要，它可以深入理解原问题，准确地预测其行为，也可以帮助我们更加准确地控制系统。

1 求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧

1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法

下面两个公式是求特解的重要公式：

A、 p为单根时

tf

pD1

对应的特解为

dttfeeXptpt



,

即 

tfe

Detf

pDptpt



11

； （21）

B、p为s重根时

tf

pDs

)(1

对应的特解为spt

spt

sdttfeeX



,

即 

tfe

Detf

pDpt

spt

s



1

)(1

。 （22）

注：公式（21）也可以作为公式（22）在1s时的特例。

由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代

数方程根的问题)和求原方程的一个特解。我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。

例1：求下列非齐次微分方程的特解：

1)

tt

eexDD22

6

； 2）

txDsin12

；

3) 

22

1txDD； 4) t

e

exDD232。

解：设特解为X

1) 解1： 

tttttt

ee

Dee

Dee

DD222

2

21

51

31

51

61













dteeeedteeeetttttttt



222233

51

51

ttttttt

eteeteeee2222

251

51

61

51

151

251

101



 取tt

teeX2

51

61



 。 （注意，t

e2

251



将被合并在方程的通解之中）

解2：





dteeee

Dee

DDee

DDtttttttt









23322

2

21

31

21

61



tttttttttt

teedteeeedteeee

D2222233

51

61

51

21

21















tt

teeX2

51

61



 。

注：当 p时，有ttptptt