二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总
含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。由于参数的存在，这个函数是动态的。为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。
对于这个问题，需要分类讨论。在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。因此，我们需要分别考虑这些情况。
具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。因此，这个函数的最大值可以表示为：
f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a
&(a>3)\end{cases}$$
当$a=3$时，放在哪边都可以。代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。因此，最大值为$-8$。
接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。
另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。举个例子，假设我们要求函数$f(x)=x-2x$在区间$[t,t+1]$上的最大值和最小值。我们可以先将函数画出来，然后思考这个区间是否含有对称轴。如果含有对称轴，最小值就在对称轴处取到；如果不含对称轴，最小值就在区间端点处取到。最大值同理。具体来说，如果$t\leq 1/2$，则最大值在$t$处取到，最小值在$t+1$处取到；如果$t>1/2$，则最小值在$t$处取到，最大值在$t+1$处取到。因此，最大值和最小值可以表示为以下分段函数的形式：
专题1.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型） 重难点题型归纳
【题型1 运动类- 落地类型】
【题型2 运动类- 最值类型】
【题型3 经济类问题-与一次函数综合问题】
【题型4 经济类问题-每每问题】
【题型5 面积类问题】
【题型6 拱桥类问题】
【模型1：运动类】（1）落地模型
（2）最值模型
【模型2：经济类】销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；成本利润率利润
【模型3：面积类】
【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1 运动类- 落地类型】
【典例1】（2023•方城县一模）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试
的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，
行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起
点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，
实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10
分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）；（2）该女生在此项考试中是得满分．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．
把代入解析式，得，
解得．
∴．
（2）该女生在此项考试中是得满分．
理由：令y＝0，即，
解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m
．∴该女生在此项考试中是得满分．
【变式1-1】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x
（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩
是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破
题型1 二次函数与线段最值问题
1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位
长度后的 顶点记为A. 若点P 是x 轴上一动点, 则 的最小值是( )
A. 8
B. C. 9D.
2.如图, 抛物线
与x 轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.
(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标;
(2)点 P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P
作 轴, 垂足为
C,PC 交AB 于 点D, 求 的最大值, 并求出此时点P 的坐标;
(3)
将抛物线
向左平移n
个单位长度得到抛物线,
若抛物线与直
线AB 只有一个交点, 求n 的值.
3.已知:如图
,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y
轴于点C,.
（1）求抛物线的解析式;
（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD
,若,求点D坐标;
（3）点P
在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ
的最大值
?题型2 二次函数与图形面积问题
4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛
物线上(如图).
①当点P
在什么位置时，矩形
周长最大？求这个最大值并写出点
P的坐标；
②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛
物线上一点, 且 在直线AB 的上方.
(1)请直接写出抛物线的解析式.
(2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标.
(3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别
为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理
由.
6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，
.(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.
二次函数必考题型
二次函数是数学中的一个重要部分，其题型多样，考察的知识点也较为丰富。以下是一些可能的二次函数必考题型：
1. 根据解析式求图像：这可能包括根据给定的解析式绘制函数图像，或者从图像上推断出函数的解析式。
2. 求函数的极值：这类题目通常会要求找出函数在某一点或某一段区间内的极大值或极小值。
3. 与一元二次方程的结合：这类题目通常会要求解一元二次方程，或者根据一元二次方程的根的情况来推断出函数的图像和性质。
4. 与实际问题的结合：二次函数经常与实际问题结合，例如最优化问题、经济问题等。这类题目通常会要求找出最优解或者根据实际问题来推断出函数的性质。
5. 与三角形、正方形等图形的结合：这类题目通常会要求找出图形中的特殊点（例如等分点、中点等），或者根据图形的性质来推断出函数的解析式。
6. 与不等式的结合：这类题目通常会要求解不等式，或者根据不等式的解来推断出函数的性质。
以上只是一些可能的题型，实际上二次函数的考察方式非常多样，需要学生有较为全面的知识和能力才能应对自如。
