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授课主题：导数与函数的单调性、极值、最值
教学目标 1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
教学内容
1．函数的单调性与导数
2．函数的极值与导数
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极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0) ＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
4．极值与最值
(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；
(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
题型一 利用导数研究函数的单调性
角度1 判断或证明函数的单调性
例1、设函数2()mxfxexmx。
（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；
3 （2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。
角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(多维探究)
例2、已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
方法点拨：用分类讨论思想方法、分离系数法．
解 (1)f′(x)＝3x2－a.
函数单调性和最值练习
一、选择题
3．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．a<－3 B．a≤－3 C．a>－3 D．a≥－3
4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )
A．y＝cosx B．y＝－|x－1| C．y＝ln2－x2＋x D．y＝ex＋e－x
5．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
6．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式fx1－fx2x1－x2>0对任意两个不相等的正实数x1、x2都成立．在下列不等式中，正确的是( )
A．f(－5)>f(3) B．f(－5)f(－5) D．f(－3)
7．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2) C．(－2，－3) D．(0,5)
8．已知函数f(x)＝ x2＋4x，x≥0，4x－x2，x＜0.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
10．(2010·抚顺六校第二次模拟)f(x)＝
ax (x>1)4－a2x＋2 (x≤1)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
11．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
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第 1 页 共 8 页 函数专题：单调性与最值
一、增函数
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○1 随x的增大，y的值有什么变化？
○2 能否看出函数的最大、最小值？
○3 函数图象是否具有某种对称性？
2、从上面的观察分析，能得出什么结论？
不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。
3.增函数的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1
二、函数的单调性
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
【判断函数单调性的常用方法】
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
y
x 1 -1 1
-1 y
x 1 -1 1
-1 y
x 1 -1 1
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第 2 页 共 8 页 【针对性练习】
下图是借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．
2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1
② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例2、证明函数xxy1在（1，+∞）上为减函数．
例3、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．
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优质.参考.资料 函数专题：单调性与最值
一、增（减）函数
1.概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②增（减）函数是相对于相应区间而言的，不能离开相应的区间讨论增减性。
二、判断函数单调性的常用方法
1、（图像法）根据函数图象说明函数的单调性．（直观）
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1
② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例、证明函数xxy1在（0,1）上为减函数．
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优质.参考.资料 例、判断函数xpxy单调性.(p>0)
【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差
→ 变 形 → 定 号 → 下结论
3、直接法
对基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.
（1） 一次函数y=kx+b,当k>0时，增区间是（-∞，+∞）；当k<0时,减区间是（-∞，+∞）
（2）
〖针对性练习〗
1.函数1yx的单调区间是（ ）
