线性系统设计大作业

第一章 背景

１．1自相关函数

自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，对于离散信号r长度为N，记为{r(k),k=0,1,2,…,N-1}。该信号的自相关函数为

101R()[()()]NiriiN

()()ririN

伪随机信号在每个采样点k信号值为-a或a，其自相关函数为

自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号()xt乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

自相关函数具有如下主要性质：

（1）自相关函数为偶函数，xyR()=xyR()，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即

（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

自相关函数的典型应用包括：检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。

1.2互相关函数

互相关函数，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

随机信号x(t)和y(t)的互相关函数xyR()定义为

xyR()[()()]nmxnmyn 系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数xyR()就是被测系统的脉冲响应。这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。

第二章 基于Hankel阵的实现

2.1 Markov系数概述

对于严格真有理分式

111111...()...nnnnnnnbsbsbGssasasa

用多项式除法按指数级数展开

12()(0)+(1)(2)...gshhshs

∵传递函数是严格真有理分式

∴(0)=0h

G(s)按Markov矩阵展开成

1(1)0(1)1G(s)=C[SI-A]()()iiiiiBCAsGshis

我们把{(1),(2),(3)...}hhh称为Markov系数。

其中

1t=01()()|mmdhmgtdt

我们通过这种方法求解()hm是很不实际的，但是在离散系统，我们通过系统的脉冲响应直接得到系统的Markov系统。

我们将Markov系数按下矩阵形式排列，所得到的矩阵称为Hankel矩阵。

(1)(2)...()(2)(3)...(1)(,)............()(1)...(21)hhhnhhhnTnnhnhnhn

Hankel矩阵判断系统的维数

设假定的传递函数G(s)是严格的真有理函数矩阵，G(s)的最小实现维数mn等于k(mn)阶Hankel矩阵的秩。

3、基于Hankel阵的实现 12()(0)+(1)(2)...gshhshs

1()ihiCAB

(1)(2)...()(2)(3)...(1)(,)............()(1)...(21)hhhnhhhnTnnhnhnhn

1122...(,)........nnnCBCABTnnCABCAB

∴11(,)....nnCCATnnBABABCA

我们记1.nCCAOCA 1...nCBABAB

∴(,)TnnOC

我们对(,)Tnn进行简单的处理，得到一个新的矩阵~(,)Tnn

我们记为~(2)(3)...(1)(3)(4)...(2)(,)............(1)(2)...(2)hhhnhhhnTnnhnhnhn

~21...(,)........nnnCABCABTnnCABCAB~11(,)....nnCCATnnABABABCA

∴~(,)TnnOAC

第一种情况：当我们取OI

我们可得(,)CTnn 我们得到的实现为：

~1(,)(,)ATnnTnn 120100.....0....1..nAaaa(1).()hBhn1...0C

第二种情况：当我们取CI

我们可得到(,)OTnn，我们得到的实现为：

~1(,)(,)ATnnTnn

210.01.........0..1naAaa10.0B(1)...()Chhn

第二种情况：当我们取221(,){..}nTnnKdiagL 其中TKKI TLLI

我们令1{..}nOKdiag 1{..}nCdiagL

~1(,)(,)ATnnTnn

我们通过奇异值分解，可以找到一个最小实现。

第一章 系统Markov系数的求取及Hankel构造

1.1系统脉冲响应的求取

1.1.1自相关函数求取

自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，对于离散信号r长度为N，记为{r(k),k=0,1,2,…,N-1}。该信号的自相关函数为

101R()[()()]NiriiN

()()ririN

伪随机信号在每个采样点k信号值为-a或a，其自相关函数为

自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号()xt乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

1.1.2 互相关函数及系统脉冲响应求取

互相关函数，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

系统输入输出信号r (t)和y(t)的互相关函数R()yr定义为

101R()lim()()KyrkiyiriK

又若线性时不变系统的脉冲响应为{(),0,1,2,,}gkk ,输入输出分别为(),()rkyk 。则

0()()()Kiykgirki

从而1100011R()lim()()lim()()()KKiyrkkiijyirigjrijriKK。

当该系统渐进稳定，则当,()0kgk 。取足够大的K，输出近似为

10R()()()KyrigjRj

记

, ，

可得： . （1）

代入系统给定的输入输出数据

由得出的输出信号图如下可知该组数据有包含三个周期，每个周期包含2055个左右的数据，由互相关函数的定义可知取N=2055得到的函数效果比较理想。

然后通过MATLAB按照上面给定公式求取自相关函数和互相关函数，再求得其脉冲响应。

1.2 Markov系数求取及构造Hankel矩阵。

对于严格真有理分式

111111...()...nnnnnnnbsbsbGssasasa

用多项式除法按指数级数展开

12()(0)+(1)(2)...gshhshs

∵传递函数是严格真有理分式

∴(0)=0h

G(s)按Markov矩阵展开成

1(1)0(1)1G(s)=C[SI-A]()()iiiiiBCAsGshis

我们把{(1),(2),(3)...}hhh称为Markov系数。 其中

1t=01()()|mmdhmgtdt

我们通过这种方法求解()hm是很不实际的，但是在离散系统，我们通过系统的脉冲响应(0),()ggn 来直接得到系统的Markov系数。

由于Markov系数的构造是从{(1),(2),(3)...}hhh开始的，故需要对脉冲响应进行处理。得

(1)(1)(0)(2)(2)(0)()()(0)hgghgghngng]

我们将Markov系数按下矩阵形式排列，所得到的矩阵称为Hankel矩阵。

(1)(2)...()(2)(3)...(1)(,)............()(1)...(21)hhhnhhhnTnnhnhnhn

故我们可以通过MATLAB来获得Markov系数和Hankel矩阵。

如下为仿真计算后所得Markov系数和一Hankel阵