高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
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1圆锥曲线的常用二级结论
一、椭圆的常用二级结论
1.（1）与椭圆22
221xy
ab共焦点的椭圆的方程可设为22
2
221,0xy
b
ab
.
（2）与椭圆22
221xy
ab
有相同的离心率的椭圆可设为22
22xy
ab
,22
22,0xy
ba
.
2.椭圆的两焦点分别为
12,FF
,P
是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)
122PFPFa
;(2)
1acPFac
;(3)22
12bPFPFa
;
（4）焦半径公式
10||PFaex
,
20||PFaex
(
1(,0)Fc
,
2(,0)Fc
00(,)Mxy
).
3.椭圆的方程为22
221xy
ab
（a＞b＞0）,左、右焦点分别为
12,FF
,
00,Pxy
是椭圆上任意一点,则有:(1)22
222222
0000
22,ba
yaxxby
ab
;(2)参数方程0
0cos
sinxa
yb
为参数
;
4.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F
1、F
2为其焦点记
12FPF
，则(1)2
122
||||
1cosb
PFPF
.
(2)焦点三角形的面积：
122||=tan
2PFFPScyb
.
(3)当P点位于短轴顶点处时,
最大,此时
12PFFS
也最大;
(4).21cos2
e
(5)点M
是
21FPF
内心，PM
交
21FF
于点N，则
ca
MNPM
||||
.
5.有关2
2b
a
的经典结论（椭圆中的垂径定理）
(1).AB是椭圆22
221xy
ab
的不平行于对称轴的弦，M),(
00yx
为AB的中点，则2
2OMABb
kk
a
.
(2).椭圆的方程为22
221xy
ab
（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，P点是椭圆上异于,AB
两点的任一点，则有2
2PAPBb
KK
a
(3).椭圆的方程为22
221xy
ab
（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，F
1,F
2点是椭圆上两焦点，则有四
边形AF
1BF
2至少为平行四边
26.若
000(,)Pxy在椭圆22
221xy
ab
上，则
（1）以
000(,)Pxy
为切点的切线斜率为2
0
2
0bx
k
ay
；
（2）过
0P
的椭圆的切线方程是00
221xxyy
ab
.
7.若
000(,)Pxy在椭圆22
221xy
ab
外，则过
000(,)Pxy
作椭圆的两条切线切点为P
1、P
2，则切点弦P
1P2的直线方程是00
221xxyy
ab
.
8.椭圆的两个顶点为
1(,0)Aa
,
2(,0)Aa
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1
、P
2时A
1P
1与A
2P
2交点的轨迹方程是
22
221xy
ab
.
9.过椭圆上任一点
00(,)Axy
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2
0
2
0BCbx
k
ay
（常
数）.
10.若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F
1,F
2是焦点,
12PFF
,
21PFF
，则
sin
sinsinc
e
a
.
11.P为椭圆上任一点,F
1,F
2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2112||||||2||aAFPAPFaAF
,当且仅当
2,,AFP
三点共线时，等号成立.
12.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ
.
（1）
22221111
||||OPOQab
;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22
224ab
ab;
（3）
OPQS
的最小值是22
22ab
ab.
13.已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
0(,0)Px
,则2222
0abab
x
aa
.
14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
ab22
15.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
16.若椭圆方程为22
221(0)xy
ab
ab，半焦距为c
，焦点
12,0,,0FcFc
，设
(1).过
1F
的直线l
的倾斜角为
，交椭圆于A、B两点，则有
3①22
11,
coscosbb
AFBF
acac
；②2
cosab
AB
ac
２２２２
(2).若椭圆方程为22
221(0)xy
ab
ab，半焦距为c，焦点
12,0,,0FcFc，设
过F
２的直线l的倾斜角为
，交椭圆于A、B两点，则有：①
22
,
coscosbb
AFBF
acac
２２
＋－；②22
cosab
AB
ac
２２２
结论：椭圆过焦点弦长公式：
2
22
cos
2
sinab
x
ac
AB
ab
y
ac
２２２
２２２焦点在轴上
焦点在轴上
17.若AB是过焦点F的弦,设,AFmBFn
,则
2112a
mnb
18、过圆锥曲线的焦点F作直线交圆锥曲线于A、B
两点，若
BFAF
，则有下列结论：
1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）
①焦点在x轴上时：
11
cos
e
，
11
12
ke
；
②焦点在y轴上时：
11
sin
e，
111
1
2
ke
。
2、双曲线（直线与双曲线两个焦点在两支上）
①焦点在x轴上时：
11
cos
e
，
11
12
ke
；
②焦点在y轴上时：
11
sin
e
，
111
1
2
ke
。
4二．双曲线的常用二级结论
1.（1）与22
221xy
ab
共轭的双曲线方程为22
221xy
ab
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，
C为半径的圆上；③
22
1211
1
ee
。
（2）与22
221xy
ab
有相同焦点的双曲线方程为22
22
221,0,0,0xy
ab
ab
（3）与22
221xy
ab
有相同焦点的椭圆方程为：22
22
221,0,0xy
ab
ab
（4）与22
221xy
ab
有相同焦点的双曲线方程为：22
22
221,0,0,0xy
ab
ab
（5）与22
221xy
ab
有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在x轴上时：22
22,0,1xy
ab
②焦点在y轴上时：22
22,0yx
ab
（6）与22
221xy
ab有相同的渐近线方程为：22
22,0,1xy
ab
；
2.双曲线的两焦点分别为
12,FF
,P
是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:
(1)
122PFPFa
;(2)
12
minmin,PFacPFcaP在右支上;
21
minmin,PFacPFcaP在左支上
3.双曲线的方程为22
221xy
ab
（a＞0，b＞0）,,
00,Pxy
是双曲线上任意一点,则有:
22
222222
0000
22,ba
yxaxby
ab
;
4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F
1、F
2为其焦点记
12FPF
，则(1)2
122
||||
1cosb
PFPF
.
(2)焦点三角形的面积
122||=cot
2PFFPScyb
.
5.有关2
2b
a的经典结论
(1)AB是双曲线22
221xy
ab
的不平行于对称轴的弦，M),(
00yx
为AB的中点，则2
2OMABb
kk
a
，即2
0
2
0ABbx
K
ay
。
