中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析

第1页 共25页 多边形和平行四边形

一、填空题

1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D= 度，□ABCD的周长为

cm．

2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为 cm．

3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为 ．

二、选择题

4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（ ）

A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）

5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB

6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ）

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A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对

7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ）

A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF

C．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC

三、解答题

8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．

（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；

（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．

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10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．

（1）求证：四边形AECG是平行四边形；

（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．

①求S关于t的函数关系式；

②（附加题）求S的最大值．

12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．

（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形

第4页 共25页 ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：

①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 ；

②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是 ．

13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）

14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

第5页 共25页 （1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

第6页 共25页 多边形和平行四边形

参考答案与试题解析

一、填空题

1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=

50 度，□ABCD的周长为 24 cm．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．

【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B

∵∠B=50°

∴∠D=50°

②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD

∵AB=5cm，BC=7cm

∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．

故答案为50、24．

【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为 8 cm．

第7页 共25页 【考点】平行四边形的性质．

【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．

【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm

∴AB+AD=14cm

∵△ABC的周长是22cm

∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm

故答案为8．

【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．

3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为 2 ．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【专题】计算题．

【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．

【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F

∵在□ABCD，EF∥AB

∴AB=EF，AF=BE

∵∠FAE=∠BAE

∴△AFE≌△ABE

∴AB=BE=EF=AF

∴ABEF为菱形

∴EC=AD﹣AB=2．

故答案为：2．

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【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．

二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）

4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（ ）

A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）

【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．

【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称

∴C点坐标为（2，﹣3）．

故选D．

【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．

5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB

【考点】平行四边形的判定．

【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；