直线的参数方程
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直线的参数方程
课题：直线的参数方程
(人教A版高中数学选修4-4第二章第三节第1课时)
安徽师范大学附属中学徐天保
（2016-05-12）
一、教材分析
“直线的参数方程”是人教A版《数学》（选修4-4）的第二章“参数方程”中第三节的内容，是高考三选一内容中的一部分.本节课是人教A版《数学2》（必修）中“平面解析几何初步”和《数学》（选修2-1）中“圆锥曲线与方程”等知识的进一步延伸，同时也是研究直线与圆、直线与圆锥曲线的另一种方法.本节内容共两个课时，第1课时主要研究直线参数方程的标准形式，第2课时研究参数方程的应用.本节课是第1课时.
二、学情分析
授课对象是高二年级的学生，他们已经学完了高中数学的所有必修内容，有了一定的向量基础知识，对于直线和圆锥曲线有较系统的学习.
三、教学目标
1、知识与技能：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题.
2、过程与方法：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想.
3、情感、态度与价值观：在直线参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情.
四、教学重点与难点
【教学重点】分析直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程. 【教学难点】从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数.
五、教法、学法分析
在教学过程中，特别重视教法的设计和学法的指导.根据新课程改革的理论知识，坚持“以学生为主
体，教师为主导”的原则，结合学生的特点，本节课主要采用启发学生自主探究和引导学生小组讨论的教学方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率.同时在探究问题时留给学生足够的时间，以利于开放学生的思维.在教学过程中，尽量做到关注学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程.
六、教学流程
七、教学过程
（一）问题引导，共探新知
我们已经学过了圆，圆锥曲线的参数方程，接下来我们将学习直线的参数方程． 设计意图：通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 教师：在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么 学生：两个定点；一个定点和直线的倾斜角 教师：已知一条直线过点),(000y x M ，倾斜角为2
，求这条直线l 的普通方程
学生：0
0tan ()y
y x
x ．①
问题一：如何建立这条直线的参数方程呢
教师：对于倾斜角α，我们可以从两个角度来看，首先从代数变换的角度看： （1）当
2
时，00
tan y y x x α-=
-00sin cos y y x
x ，即0
sin
cos
y y x x ，令
00sin
cos
y y x x t
+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．② （2）当
2
时，0cos 0,sin =1,,x x y y t R 0αα=?==+∈，也满足②式．
综上所述，②式为所求直线的参数方程．
其次，从图形的几何性质角度看，倾斜角就是表示方向，那么同学们认为用什么数学知识刻画它比较
好
学生：向量．
教师：那么建立什么向量最为简单 学生：单位向量．
教师：试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的单位方向向量e 的坐标（与直线l 平行，且模长为1） 学生：cos ,sin
e
， 0, ．
（预设问题：直线l 的单位方向向量e 与倾斜角α的关系通过什么知识建立联系（三角函数定义）） 教师：在直线l 上，任取一个点()M x,y ，则0M M 与e 具有什么位置关系
学生：位置关系：0//M M e ．
教师：设0M M t =，能否用t 表示出这种关系
学生：0M M
te ，用坐标表示为：00
cos ,sin
,x
x y y t ．
设计意图：综合运用所学知识，获取直线的方向向量和单位方向向量之间的关系，培养学生探索精神，体会数形结合思想，为接下来学生推导直线的参数方程做好了充分的准备．
问题二：已知一条直线l 过定点),(000y x M ，倾斜角为α，那么这条直线的参数方程是什么 因为0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y
y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为：
+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．② 说明：仅当参数方程形如上式，α才代表直线的倾斜角． 问题三：教师提出如下问题让学生加强认识： （1）直线的参数方程中哪些是变量哪些是常量
（2）参数t 的取值范围是什么 总结如下：
（1）00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； （2）t R ∈； 【练习】：
1、直线=+=0
20
cos 20 sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( )
A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0160 答案：B ．
设计意图：（识别）强调仅当参数方程形如②式，α才代表直线的倾斜角． 2、直线03=+
-y x 的一个参数方程为 ．
答案：如
2
2(23
2
x
t t y
t 为参数）
，3
(t x t y
t
为参数）
． （答案不唯一，说明：取的定点不同，得到的参数方程会不同．）
设计意图：强调求直线参数方程步骤，①取点；②)sin ,(cos
αα=e ；③写方程．
说明：有时直线的参数方程也可以写成?
+=+=bt y y at
x x 00（t 为参数），此时参数t 没有明确的几何意义，
且2
2
1a
b 一般不成立．
3、直线的参数方程
1cos 41sin
4 x
t y
t （t 为参数），那么它的普通方程为 ．
答案：0x
y ．
设计意图：通过练习2、3，使得学生掌握直线的一般方程和参数方程之间的互化．
问题四：：我们对练习3中的方程进行了解
1
cos 41sin
4
x
t y
t （t 为参数），请同学们画出它的图像，并
标上点2,2B ，3,3C ， 2,2D
， 1,1E ，观察它们与点1,1A 的位置关系；求出对
应的参数t ，点A 到它们的距离；联想它们的关系．
如图所示，可以得出：点,B C 在点A 的上方，对应参数t 取2，
22.对应距离是2，22.点,D E 在点A 下方 ，对应参数t 取
32，22.对应距离是32，22.
联想关系：到点A 的距离和参数t 有如下对应关系：在点A 上方的点对应0t ，两点间的距离和t 的数值相等， 在点A 下方的点对应0t ，两点间的距离等于t 的
绝对值.
设计意图：由特殊到一般，有简单到复杂，符合学生学习规律 问题五：由0M M
te ，你能说明参数t 的几何意义是什么 总结：（3）① 可知1||=e ，则e t M M =0?||||||||||0t e t e t M
M =?== ，
因此，对于直线上任意一点M ，都有||||0t M M =；
② 当πα<<0，0sin >α，则直线l 的单位方向向量e 的纵坐标恒正，即e
的方向总是向上的．此时，若0>t ，则M M 0与e 同向，即M
M 0方向向上；若0<="" m="" p="" ，则m="">
反向，则M M 0方向向下；
若0=t ，00
==e t M M ，点M 与0M 重合．
以上两点分别从距离与方向两方面说明了参数t 的几何意义． 注意：仅当直线的参数方程形如②式，参数才有上述几何意义．
设计意图：把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
（二）新知应用，巩固提高
例1：已知直线l ：1
0x
y 与抛物线2x y =交于B A ,两点.
（1）求点)2,1(-M 到B A ,的距离之积； （2）求线段AB 的长度；
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法： 解法一：由2
10
x y y x
+-=??
=?，得2
10
()x x +-=*．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：12121
1x x x x +=-?=-，．
AB ∴===
由（*
）解得121122
x x -+-=
=
123322
y y +∴=
=．
所以A B ，．
则MA MB ?=
2===．
解法二：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3
4
π，所以它的参数方程是：
31cos 432sin 4x t y t ππ?
=-+
=+?? （t 为参数），
即1222
x y ?=--=+?? （t 为参数）
．
把它代入抛物线的方程，得2
20t -=，
解得1t =
，2t =．
由参数t
的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ?==．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问
题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
（三）、拓展新知，提炼升华
例1变式：已知直线l ：1 0x
