直线的参数方程

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直线的参数方程

作者：彭进喜

来源：《考试周刊》2012年第93期

1.引入

问题1：经过点M（x，y）的直线有多少条？

问题2：再加一个什么条件就可以确定一条直线？

教师：请同学们说出经过点M（x，y），倾斜角为θ的直线的方程。

学生：根据点斜式，斜率k=tanθ，所以直线方程为y-y=tanθ（x-x）。

2.新课讲解

教师：能否引进一个参数，使得直线上任何一点M（x，y）都能用这个参数来表示？

学生：利用|MM|，就是利用M到M的距离。

教师：如果利用距离的话，一个参数就会对应两个点了，如何解决这个问题呢？

学生：根据方向来区分，向上是正的，向下是负的。

教师：很好，那跟方向有关的话，我们能想到什么？

学生：向量。

教师：不错，那我们能否找到一个单位向量和直线是平行的？如果可以的话，那p的坐标是什么？并给出提示：op要满足什么条件就会和直线是平行的？

学生：可以，根据斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），记==（cosθ，sinθ）。

教师：因为和是共线的，所以就可以用表示出来，即=t，那么，M的坐标如何用参数来表示呢？

学生：根据向量相等，就能得出直线的参数方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。

教师：这个参数方程跟哪种曲线的参数方程是很像的，有什么区别？ 龙源期刊网

学生：跟圆的参数方程很像，区别在于，在直线的参数方程中t是参数，在圆的参数方程中θ是参数。

教师：参数t的几何意义是什么呢？

学生：因为=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距离。

- 1 - 课题：《直线的参数方程》

时间：2016年4月13日 班级：高二10班 授课人：王振清

一、 教材分析

（一）教材前后联系、地位与作用

直线的参数方程是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修4-4第二讲第三节的内容.本节课是在学习曲线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程的基础上，引导学生选择恰当的参数推导出直线的参数方程，同时为直线参数方程的应用做好准备.查看历年的高考试卷易知，直线的参数方程是《坐标系与参数方程》的重点考查内容，因此本节内容在高考中也占有重要的位置.

(二) 教学目标

(1) 知识与技能：分析直线的几何特征，合理选择参数推导直线的参数方程；理解参数t的几何意思；能利用直线的参数方程特别是参数t的几何意义解决相关问题.

（2）过程与方法：类比数轴上的点与数的对应关系，巧借向量的工具性作用，让学生积极、主动地参与观察、分析，进而推导出出直线的参数方程，培养和提高学生运用类比思想方法解决问题的能力.

（3）情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣；通过类比和联系旧知，让学生体会“事物之间是普遍联系的”辩证唯物主义观点，培养学生的学习习惯，提升学生的学习能力.

（三）教学重点与难点

教学重点：直线的参数方程以及参数t的几何意义.

教学难点：对参数t的几何意义的理解.

二、学情分析

高二10班是我校文科班中较好的班级，学生数学基础较好，但在抽象思维能力、阅读理解能力比较欠缺，学生普遍缺乏独立钻研的意识和习惯.本节课课本内容不复杂，阅读也相对容易，但学生对参数的选择缺乏思考，往往“只知其然，不知其所以然”，这也是学生在考试中最容易失分的地方.

三、教法与学法

（一）教法

本节课主要采取 “类比法”与“启发式”相结合进行教学，同时利用多媒体辅助，增加知识密度和课堂容量.在整个教学过程中，引导学生联想、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，充分体现以“教师为主导，学生为主体”的教学理念.

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直线的参数方程

知识精讲：

1.直线参数方程的标准式:

(1)过点000,Pxy，倾斜角为的直线l的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）.

t的几何意义：t表示有向线段PP0的数量，P(yx,)为直线上任意一点.

(2)若12PP、是直线上两点，所对应的参数分别为12tt、，则122112 PPttPPtt－∣，∣∣－∣.

(3)若123PPP、、是直线上的点，所对应的参数分别为123ttt、、,则P1P2中点P3的参数为1232ttt＝,12032ttPP∣∣.

(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0.

2.直线参数方程的一般式:

过点P0(00,yx)，斜率为abk的直线的参数方程是btyyatxx00（t为参数）.

一、参数的几何意义

3323.()______.112xttyt（二星）直线为参数的倾斜角是

331:()1xttyt变改为直线为参数呢？

答案：6；变式：56

2 3321.()(3,1)2_______.112xttMyt（二星）直线为参数上到点距离为的点的坐标是33()(3,1)2_______.1xttMyt变式：直线为参数上到点距离为的点的坐标是

答案：33,2;33,0；变式：33,2;33,0

1.（三星）已知直线l的参数方程为312132xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin()6．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）若P（x，y）是直线l与圆面4sin()6的公共点，求3xy的取值范围．

备注：直线的参数方程的典型使用

解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），

直线直角坐标系化为参数方程

直线是几何学中的基本概念之一，描述了两点之间最短路径的轨迹。在直角坐标系中，我们通常用直线的斜率和截距来表示直线的方程。然而，有时使用参数方程来描述直线更加方便和直观。本文将介绍如何将直线从直角坐标系化为参数方程的形式。

直线的参数方程表示

直线的参数方程表示形式为：

x = x0 + a * t

y = y0 + b * t

其中 (x, y) 是直线上的任意一点， (x0, y0) 是直线上的一个已知点， (a, b)

是表示直线方向的向量， t 是参数。

从直角坐标系到参数方程的转化

要将直线从直角坐标系转化为参数方程的形式，首先需要找到直线上的一个已知点，以及表示直线方向的向量。

假设我们已经得到直线的斜率 k，以及直线上的一点 (x1, y1)。根据直线的斜率性质，可以得到直线的方向向量为 (1, k)。然后，我们可以在参数方程中设置

x0 = x1 和 y0 = y1，进一步得到直线的参数方程形式。

例如，考虑直线 y = 2x + 3，其中已知点为 (1, 5)。根据上述步骤，我们可以得到直线的参数方程为：

x = 1 + t

y = 5 + 2t

从参数方程到直角坐标系的转化

与从直角坐标系到参数方程的转化相反，要将直线从参数方程转化为直角坐标系的形式，需要已知直线上的一个点和表示直线方向的向量。

给定直线的参数方程为 x = x0 + a * t 和 y = y0 + b * t，我们可以设置 t

= 0，并将 x 和 y 的值代入参数方程中，得到直线上的一个点 (x0, y0)。然后找到直线的斜率 k，从而得到直线的直角坐标系表示。

例如，考虑参数方程 x = 2 + t 和 y = 1 - 2t。将 t = 0 代入参数方程中，我们得到直线上的一个点为 (2, 1)。然后计算直线的斜率 k = (y - y0) / (x - x0)

= (-2 - 1) / (1 - 2) = 3。由此，我们可以得到直线的直角坐标系表示为 y =