排队论

医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式

出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,

往往需要排队等待接受某种服务.

这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设

备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是

无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.

如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务

设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员

要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.

所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构

和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分

析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.

医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重

要分支之一.

在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随

机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.

排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服

务、医技业务、分诊服务,等等.

排队系统及简介：

排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务

窗口和排队规则.

1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.

2、服务时间是指患者接收服务的时间规律.

3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.

4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.

常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输

入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛.

所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入：

① 平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和

排队论的应用

——食堂排队问题

刘文骁

摘要

本文通过运筹学中排队论的方法，为食堂排队问题建立模型，研究学生排队就餐时间节约的影响因素，通过简单计算，得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，找出可以减少排队时间的最大影响因素。

关键词

排队论；M/M/s模型；食堂排队

引言

在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。

1.多服务台排队系统的数学模型

1.1排队论及M/M/s模型

排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。

排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。

其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。

排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。

当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。

据此，可得任一状态下的平衡方程如下：

由上述平衡方程，可求的：

平衡状态的分布为：)1(,2,1,0npCpnn

其中：)2(,2,1,11021nCnnnnn

有概率分布的要求：10nnp，有：1100pCnn ，则有：

排队论习题

1、 某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：

（1） 顾客来借书不必等待的概率 3/8

（2） 柜台前平均顾客数 5/3

（3） 顾客在柜台前平均逗留时间 1/30

（4） 顾客在柜台前平均等待时间 1/80

2、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。

3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。

（1） 计算这个排队系统的数量指标P0、Lq、Ls、Wq、Ws。

（2） 顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。

1） 在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。

2） 增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。

对这两个排队系统进行评价，并作出选择。

4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。

5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。试求：

排队论模型

排队论也称随机服务系统理论。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：

 有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。

 有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。

 顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。

排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。

一、 排队论的一些基本概念

为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：

 输入过程

即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。

 排队规则

即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。

 服务机构

服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，„所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，„„是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。