【高考数学】一轮总复习：第二章 第8讲 对数函数

2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6讲对数与对数函数增分练

1．[xx·广东湛江模拟]函数f(x)＝1－ln x的定义域是( )

A．(0，e) B．(0，e]

C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)

答案 B

解析 要使函数f(x)＝1－ln x有意义，则 1－ln x≥0，x>0，

解得0

2．设a＝log13 2，b＝log12 13，c＝120.3，则( )

A．a

C．b

答案 B

解析 因为a<0，b>1,0

3．[xx·承德模拟]已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )

A．d＝ac B．a＝cd

C．c＝ad D．d＝a＋c

答案 B

解析 由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a.故选B.

4．[xx·西安模拟]已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(

)

A.0

B．0

C．0

D．0

答案 A

解析 由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1

A．3 B.13

C．6 D.16

答案

D

6．[xx·天津模拟]函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

答案 D

解析 令u＝x2－2x－8，则关于u的函数y＝ln u在定义域(0，＋∞)上是一个单调递增函数，故要求f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间，只需使u(x)＝x2－2x－8>0且u(x)在该区间单调递增．解x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，得x<－2或x>4；u(x)＝x2－2x－8的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以x>4时u(x)单调递增，所以f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.

版高考数学一轮总复习指数与对数函数的应用题

指数与对数函数是数学中重要的概念之一，作为高中数学的一部分，它们在高考中的应用也是不可忽视的。本文将通过一些具体的应用题，来介绍指数与对数函数的用法。

1. 应用题1：人口增长问题

某城市的人口按照指数增长，已知2010年底的人口为100万，而到2020年底的人口为180万。问：

（1）如果继续以相同的速率增长，预计到2030年底的人口将达到多少？

（2）从2010年到2020年的增长速率是多少？

解答：

（1）假设人口增长率为r，那么根据指数增长的公式，我们有:

180 = 100 * (1 + r)^(2020-2010)

解得 r ≈ 0.0631

代入式子，我们可以计算出2030年底的人口：

人口 = 100 * (1 + 0.0631)^(2030-2010) ≈ 236.01万人

（2）增长速率可以用对数函数来表示，即：

log(180/100) / (2020-2010) ≈ 0.00601 所以从2010年到2020年的增长速率约为0.006。

2. 应用题2：科学实验中的放射性衰变

假设某种物质的放射性元素以指数衰减的方式进行，已知其衰变常数为 k，问题如下：

（1）如果初始时刻物质的质量为M₀，经过t个时间单位后，物质的质量为多少？

（2）经过多久，物质的质量会减少到初始质量的一半？

解答：

（1）物质的质量可以用指数函数来表示，即：

M(t) = M₀ * exp(-kt)

其中，exp(-kt) 表示 e 的 -kt 次方。

（2）当物质的质量减少到初始质量的一半时，我们有：

M(t) = M₀ / 2

代入指数函数的表达式，解方程得：

exp(-kt) = 1/2

化简得 -kt = ln(1/2)，再解得：

t = - ln(1/2) / k

所以物质的质量减少到初始质量的一半所需要的时间为 t = ln(2) / k。 通过以上两个应用题的讲解，我们可以看到指数与对数函数在实际问题中的应用非常广泛。无论是人口增长、放射性衰变还是其他许多领域，它们都发挥着重要的作用。熟练掌握指数与对数函数的概念与用法，不仅可以帮助我们解决具体问题，还可以拓宽我们对数学的认识和理解。

第8课时对数与对数函数

[考试要求]1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成

自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，

理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数

函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x

＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg_N．

以e为底的对数叫做自然对数，logeN记为ln_N．

2．对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：log

a1＝0，log

aa＝1(a＞0，且a≠1)．

(2)对数的运算性质：

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝log

aM＋log

aN；

②loga＝logaM－log

aN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

(3)对数恒等式：alog

aN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．

(4)换底公式：log

ab＝log

log>0，且≠1；>0；>0，且≠1.

3．对数函数

(1)一般地，函数y＝log

ax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义

域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的图象与性质

项目a>10

图象

定义域(0，＋∞)

值域R

性质过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0

当x>1时，y>0；

当01时，y<0；

当00

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

4．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log

ax(a>0，且a≠1)互为反函数，

它们的图象关于直线y＝x对称．

[常用结论]

1．换底公式的三个重要结论

(1)log

ab＝1

log；

(2)log

ambn＝log

ab；

(3)log

ab·log

bc·log

cd＝log

ad．

(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0)

8

高一数学上第8讲

第8讲 对数函数及性质（教师版）

一．学习目标：

（1）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（2）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（3）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）

二．重点难点：

重点：对数函数的概念、图象与性质．

难点：①对数函数在a>1与0

②对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．

三．知识梳理：

1.定义：形如（）的函数。

2.对数函数的图象与性质

图象

性质 （1）定义域：（0,+）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当时，；

当时， （4）当时，；

当时，

（5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数

3．反函数（1）定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量。而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为

反函数。（2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.

（3）指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

四．典例剖析：

题型一 对数函数的概念

例1 （一）指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1

[思路探索] 严格按照对数函数的形式判断，对于形似的函数要辨别清楚．

解 (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．

课堂小结： 1.同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a>0，且a≠1)才是．