高考数学一轮复习第6讲 对数与对数函数

第6讲 对数与对数函数

1．对数的定义

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的运算法则

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么

(1)loga(MN)＝02logaM＋logaN，

(2)logaMN＝03logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义

函数04y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．

4．对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

定义域 05(0，＋∞)

值域 R

定点 过点06(1,0) 单调性

07增函数 08减函数

函数值

正负 当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

5．反函数

指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝09logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．

1．对数的性质(a＞0且a≠1)

(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.

2．换底公式及其推论

(1)logab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；

(2)logab·logba＝1，即logab＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；

(3)logambn＝nmlogab；

(4)logab·logbc·logcd＝logad.

3．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )

A．116

B．19

C．18 D．16

答案 B

解析 由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝19，故选B．

2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )

答案 B

解析 若a>1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0

3．函数f(x)＝错误!的定义域是( )

A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)

C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)

答案 D

解析 由题意知 －x2＋4x－3>0，－x2＋4x－3≠1，即 1

4．(2021·菏泽高三月考)已知x＝log52，y＝log25，z＝3，则下列关系正确的是( )

A．x＜z＜y B．x＜y＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x

答案 A

解析 ∵x＝log52＜log55＝12，y＝log25＞1，z＝3＝13∈12，1.∴x＜z＜y.故选A．

5．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

答案 D

解析 由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，∵y＝ln t为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵当x∈(4，＋∞)时，函数t＝x2－2x－8为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D．

6．计算：log23×log34＋(3)log34＝________.

答案 4

解析 log23×log34＋(3)log34＝lg 3lg 2×2lg 2lg 3＋3log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.

考向一 对数的化简与求值

例1 (1)(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lg N的整数部分为( )

A．2566 B．2567 C．2568 D．2569

答案 B

解析 由题可知，lg N＝lg (4.02×102567)＝2567＋lg 4.02.因为1<4.02<10，所以0

(2)化简12lg

3249－43lg

8＋lg

245＝________.

答案

12 解析 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.

(3)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.

答案 10

解析 因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.

对数运算的一般思路

(1)拆：把底数或真数进行变形，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．

(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误． 6 / 26 1．(2020·青岛质检)已知函数f(x)＝ 3x，x≤0，－12x，x>0，则f(f(log23))＝( )

A．－9 B．－1

C．－13 D．－127

答案 B

解析 f(log23)＝－12log23＝－2log23－1＝－13<0，

∴f(f(log23))＝f－13＝3×－13＝－1.

2．lg 52＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2的值为________.

答案 3

解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.

3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.

答案 2－aa＋b

解析 ∵a＝log147，b＝log145，∴a＋b＝log1435.又log1428＝log141427＝2－log147＝2－a，∴log3528＝log1428log1435＝2－aa＋b.

考向二 对数函数的图象及其应用 例2 (1)(2020·泰安模拟)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )

答案 A

解析 由对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x可知，①当0＜a＜1时，此时a－1＜0，对数函数y＝logax为减函数，而二次函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，且其对称轴为x＝错误!＜0，故排除C，D；②当a＞1时，此时a－1＞0，对数函数y＝logax为增函数，而二次函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且其对称轴为x＝错误!＞0，故B错误，而A符合题意．故选A．

(2)若方程4x＝logax在0，12内有解，则实数a的取值范围为________.

答案

0，22

解析 构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

4．函数f(x)＝loga|x|＋1(0

答案 A

解析 由于函数f(x)＝loga|x|＋1(00时，f(x)＝loga|x|＋1(0

5．(2020·河南洛阳高三阶段性测试)已知正实数a，b，c满足12a＝log3a，14b＝log3b，c＝log32，则( )

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．b＜c＜a D．c＜a＜b

答案 B

解析 在坐标系里画出y＝12x，y＝14x与y＝log3x的图象，可得a＞b＞1.而c＝log32＜1，故c＜b＜a.

多角度探究突破

考向三 对数函数的性质及其应用

角度1 比较对数值的大小 例3 (1)(2020·聊城二模)已知a＝π，b＝ln π，c＝logπe，则a，b，c的大小关系为( )

A．a>c>b B．b>a>c

C．c>a>b D．a>b>c

答案 D

解析 因为a＝π>π0＝1，b＝ln π＝ln (π)＝12ln π，c＝logπe＝logπ(e)＝12logπe，又logπ1b>c，故选D．

(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2

A．a

C．c

答案 BCD

解析 由loga2

由图象可知选项B，C，D可能成立．