一元一次不等式组与实际问题

9.2 实际问题与一元一次不等式

◆回顾归纳

1．解一元一次不等式的一般步骤是______，______，______，_______，________．一元一次不等式的解法与_______类似，只是不等式两边同乘（或除以）一个数时，要注意不等号的_______．

2．在实际问题情境中建立不等式，有时求出不等式的解集后，应根据_______•意义，对其解进行取舍．

◆课堂测控

知识点一 一元一次不等式的解法及步骤

1．不等式8-3x≥-1的正整数的解是______．

2．如果关于x的不等式（a-1）x

3．解不等式22135xx的过程中，错误之处是（ ）

A．5（2+x）>3（2x-1） B．10+5x>6x-3 C．5x-6x>-3-10 D．x>13

4．若|1|1xx=1，则x的取值范围是（ ）

A．x>1 B．x≤1 C．x≥1 D．x<1

5．a<3，则不等式（a-3）x

A．x>1 B．x<1 C．x>-1 D．x<-1

6．（教材变式题）解不等式532122xx；小明的解答过程是这样的：

解答：去分母，得x+5-1<3x+2 ①

移项，得x-3x<2-5+1 ②

合并同类项，得-2x<-2 ③

系数化为1，得x<1 ④

请问：小明同学的解答是否正确？

_______，如有错误，错在第_____步，错误原因是______．请你给出正确的解答过程．

知识点二 实际问题中的一元一次不等

7．一次普法知识竞赛只有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得-1，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了_____道题．

一元一次方程与不等式的综合运用

综合运用一元一次方程与不等式是数学学习中的重要内容之一。一元一次方程表示了未知数与已知数之间的关系，而不等式则在此基础上引入了大小关系。在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程和不等式来解决各类问题，比如经济分析、几何问题以及实际应用等。

一、经济分析

一元一次方程和不等式在经济学中有着广泛的应用。例如，我们可以用一元一次方程来描述供求关系。假设某种商品的售价为P，而市场上的需求量为Q，每个月的固定开销为C，那么我们可以得到该商品的总收入R= P * Q，总成本T= C * Q。根据经济学原理，当总收入等于总成本时，即R = T，我们就可以得到一个一元一次方程P * Q = C *

Q，通过解方程我们可以计算出售价和需求量的值。同样，我们可以通过不等式来考虑价格的上下限，如P > 0，表示价格应大于零，这样才符合常理。

二、几何问题

一元一次方程与不等式在几何学中也有广泛的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过解方程和不等式来求解两条直线的交点坐标。假设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，那么当两条直线相交时，它们的横坐标x和纵坐标y构成了一个一元一次方程组。通过解方程组，我们可以求得交点的坐标。此外，在考虑到不等式的情况下，我们可以通过解一元一次方程不等式组来确定平面几何图形的位置关系，比如两个半平面的交集、区域的范围等。 三、实际应用

一元一次方程与不等式的综合运用还广泛应用于实际生活中的问题解决。例如，假设小明每天都花费m元来买水果，他的一周总花费为7m元，如果他希望一周的花费不超过50元，那么我们可以建立不等式7m ≤ 50来表示这个问题。通过解不等式，我们可以得到小明每天购买水果的上限，帮助他合理安排购买需求。

又如，假设小红骑自行车速度为v km/h，她打算骑行d km的距离。根据物理学中的速度公式v = s / t，其中s表示距离，t表示时间，我们可以通过一元一次方程来计算小红需要骑行的时间。如果小红规定自己的骑行速度要求不得小于10 km/h，那么我们可以建立不等式v ≥ 10，通过解不等式，我们可以求解出如何满足时间要求。

不等式（组）应用题

概括用一元一次不等式组解应用题的一般步骤

（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系

（2）设：设适当的未知数

（3）找：找出题目中的所有不等关系

（4）列：列不等式组

（5）解：求出不等式组的解集

（6）答：写出符合题意的答案

题型一：分配问题

1、我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？

2、某宾馆底楼房间比二楼少5间。某旅游团有48人，若安排在底楼，每间4人，房间不够；每间5人，有房间没有住满5人。又若全安排在二楼，每间3人，房间不够；每间4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房多少间？

3、某人拿100元人民币先到商场买了一些饮料，用去60元，后来，他又买了4千克香蕉，每千克3元，买了5千克苹果，付钱后尚有结余，如果他买6千克香蕉和6千克苹果，则所带款就不够用了，求苹果的价格是多少元？

4、将两筐苹果分给甲、乙两个班级，甲班有一人分到6只，其余的人每人都分到13只，乙班有一人分到5只，其余的人每人都分到10只。如果两筐苹果数目相同，并且大于100只不超过200只，求甲、乙两班分别有多少人？

5、某连队在一次执行任务时将战士编成8个组。如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么战士总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么战士人数不到90人。求预定每组分配的人数。

题型二：得分问题

1、某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1分．

（1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？

⼀元⼀次⽅程⼀元⼀次不等式应⽤题专题训练

⼀元⼀次⽅程（组）应⽤题专题练习

⼀、年龄问题1.⼩明今年6年，他爷爷今年72岁，问多少年之后⼩明年龄是他爷爷年龄的

14倍？ 解：设x 年后⼩明的年龄是爷爷的14

倍，根据题意得⽅程为 ： . ⼆、数字问题2.⼀个两位数它的个位数字⽐⼗位数字⼤3，那么这个两位数可以表⽰为什么？如果把个位数字和⼗位数字对调，新的两位数可以表⽰为什么？（添表格并完成解答过程）

解：设这个数的⼗位数字是x ，根据题意得:

解⽅程得：

答:3.两个连续奇数的和为156，求这两个奇数，设最⼩的数为x ，列⽅程得 .

4.⼀个五位数最⾼位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数⽐原来的数的3倍多489，求原数。

三、打折销售：公式：利润=售出价-进货价（成本价） 利润率=×100%商品利润商品进价5、 ⼀只钢笔原价30元，现打8折出售，现售价是 元；如果这⽀钢笔的成本价为12元，那么不打折前商家每⽀可以获利 元，打折之后，商家每⽀还可以获利 元.6、 ⼀件服装标价200元，①按标价的8折销售，仍可获利20元，该服装的进价是 元；

②按标价的8折销售，仍可获利10%，该服装的标价是 元.

7、⼀件商品在进价基础上提价20%后，⼜以9折销售，获利20元，则进价是______元.

设进价x 元，根据题意列⽅程得 .8、服装店将某种服装按成本提⾼40%标价，⼜以⼋折优惠卖出，每件仍获利15元，则每件的

成本为_________．9、某件商品9折降价销售后每件商品售价为a 元,则该商品每件原价为________.

10、⼀种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x 满⾜的⽅程是____________.

11、某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______．12、某商场出售某种⽂具，每件可盈利2元，为⽀援贫困⼭区的⼩朋友，按7折收给某⼭区学校，结果每件盈利0.20元。问该⽂具的进价是每件多少元？13、杉杉打⽕机⼚⽣产某种型号的打⽕机．每只的成本为2元，⽑利率为25%．⼯⼚通过改进⼯艺，降低了成本，在售价不变的情况下，⽑利率增加了15％．则这种打⽕机每只的成本