北师大版八年级数学下册 第5章 分式和分式方程 单元练习试题
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第5章 分式与分式方程
一．选择题（共8小题）
1．下列分式是最简分式的（ ）
A． B．
C． D．
2．分式，，的最简公分母是（ ）
A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1）
C．a2+1 D．（a﹣1）4
3．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．对于实数a、b，定义一种新运算“ⓧ”为：aⓧb＝，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）ⓧx＝2，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．﹣
5．在阳明山国家森林公园举行中国•阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间，几名同学包租一辆车前去游览，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加游览的学生共有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．关于x的分式方程+5＝有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的分式方程﹣1＝有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共7小题）
9．当x
时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是 ．
10．当a＝﹣1时，代数式的值是
．
11．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有
个．
12．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是 ．
13．在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a△b＝，根据这一规则，方程x△（x+1）＝的解是 ．
14．关于x的方程有增根，则k的值是 ．
15．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程 ．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：+1＝
17．是否存在x的值，使得当a＝4时，分式的值为0？
18．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．
19．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法．
如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
20．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：＝＝1+
（1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
（2）利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值．
21．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书．
（1）每本书第一次的批发价是多少钱？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
22．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元．
①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． C．
2． A．
3． B．
4． B．
5． D．
6． C．
7． C．
8． B．
二．填空题（共7小题）
9．＝1；x≠﹣5．
10． ．
11． 2．
12． m≥﹣1且m≠1．
13． x＝1
14． 2．
15． ．
三．解答题（共7小题）
16．解：方程+1＝两边同乘以（x﹣1）（3﹣x）得
3﹣x+（x﹣1）（3﹣x）＝x（x﹣1）
化简得x2﹣2x＝0
解得x＝0或x＝2
检验：当x＝0或x＝2时，（x﹣1）（3﹣x）≠0
∴x＝0或x＝2是原方程的解．
答：该方程的解是x＝0或x＝2．
17．解：a＝4时，a﹣x＝4﹣x＝0，
x＝4， a2﹣x2＝42﹣42＝0，
分式无意义，
∴不存在x的值，得当a＝4时，分式的值为0．
18．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
综上，可知m＝﹣4或6．
（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x
解得：x＝，
∵解为正数，
∴，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
19．解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：
设＝a，＝b，原方程化为：
②×3﹣①×2得：
27b﹣12b＝1
∴b＝③
将③代入②得： 4a+9×＝1
∴a＝
∴
∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．
20．解：（1）＝＝2﹣
（2）∵＝＝+＝x+3+
∵x分式的值为正整数
∴x2＞0，x﹣3＞0
∴x﹣3＝1或x﹣3＝3或x﹣3＝9
∴x＝4或x＝6或x＝12
21．解：（1）设每本书第一次的批发价是x元，则第二次购书时，每本书的批发价是（1+20%）x元，
根据题意得：．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，
答：每本书第一次的批发价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为150×（7﹣5×1.2）+（250﹣150）×（7×0.5﹣5×1.2）＝﹣100（元），
所以两次共赚钱480﹣100＝380（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了380元．
22．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天．
根据题意，得：（10+30）+×30＝1，
解得 x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根． ∴1.5x＝60×1.5＝90．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
（+）y＝1，
解得：y＝36，
36×（2.5+2）＝162（万元），
∵162＞160，
∴不够，
需追加162﹣160＝2（万元），
答：不够用，需追加预算2万元；
②甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，
根据题意得：，
由①得：2b＝180﹣3a③，
把③代入②得：2.5a+180﹣3a≤160，
a≥40，
∴甲工程队至少需要施工40天．
