数形结合学数学——以“二次函数与一元二次方程”为例

课程教育研究CourseEducationResearch2021年第15期

一尧一元二次方程与二次函数的关系首先我们需要理解二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a屹0)中x尧y的双重含义院代值计算时院x表示自变量的值曰y表示函数值曰在函数图像中院x表示图像上点的横坐标曰y表示图像上点的纵坐标遥由此我们可以发现袁当函数值y赋值为0时函数问题则等价于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a屹0)问题,由特殊推广到一般情况袁我们发现当函数值y赋值为k渊k为常数冤时袁函数问题均可转化为一元二次方程ax2+bx+c=k(系数要求同上)问题;从图像角度来看袁二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a屹0)的根袁同理袁二次函数y=ax2+bx+c图像与函数y=k图像的交点横坐标即为方程ax2+bx+c=k(a,b,c为常数且a屹0)的根遥二尧从二次函数的角度看一元二次方程通过对二次函数的学习我们掌握了变量间的相关关系袁二次函数的图像尧性质并抽象概括出了相关定理袁如此一来袁我们重新回顾一元二次方程便会发现方程问题容易得多遥例1院观察y=x2-8x+12尧y=x2-4x+4尧y=x2+3这三个二次函数的图像袁并且分别说出x2-8x+12=0尧x2-4x+4=0尧x2+3=0的根的情况遥分析院从三个函数图像中我们观察发现袁第一个函数图像与x轴交点横坐标为-2尧-6袁即方程x2-8x+12=0的根分别为-2尧-6袁第二个图像与x轴交点横坐标为2袁即方程x2-4x+4=0的根为2袁y=x2+3图像与x轴无交点袁则说明方程x2+3=0无实数根袁三种不同函数的图像与x轴相交的情况不同袁方程的根的个数也与之不同袁以上三种图像让我们将方程的根的情况也大致分为以下三类院淤如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点即可等价于一元二次方程方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根曰于如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有且仅有一个交点则等价于方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根渊按照方程的定义袁一元二次方程都有两个根袁故这里称有两个相等实根冤曰盂如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有公共点则说明方程ax2+bx+c=0没有实根遥所以在这个结论的基础上我们便可以直接用判别式吟=b2-4ac来判断方程根的个数及函数图像与x轴的交点情况院吟跃0圳方程有两个不等实根圳函数图像与x轴有两个交点曰吟=0圳方程有两个相等实根圳函数图像与x轴仅一个交点曰吟约0圳方程无实根圳函数图像与x轴无交点遥并且我们据此可以反推袁根据方程的根袁结合二次函数的开口方向袁画出二次函数的图像袁从而了解二次函数的相关知识袁这也是我下一点将要深入探究的内容袁此时袁课本25页例题院判断y=-x2+5x-8图像与x轴的交点情况袁我们利用根的判别式就很容易解决了遥在例1中我们通过具体的二次函数图像很快找到了方程的根袁当二次函数图像不够明确时袁我们也可以根据函数的相关性质来预估方程的根的大致范围遥例2院你能利用函数y=x2+2x-5的图像探索一元二次方程x2+2x-5=0的根的大致范围吗钥分析院在题目所给的函数图像中我们只能明确函数的开口方向袁了解函数对称轴及与x轴公共点的正负符号并得出初步结论院方程x2+2x-5=0有两个异号的实数根袁且一个在1与2之间袁一个在-4与-3之间袁但是根的具体值我们无法确定袁可以引导学生继续观察图像与x轴的交点袁通过讨论我们可以发数形结合学数学———以“二次函数与一元二次方程”为例陈冬琴渊江苏省昆山市花桥集善中学江苏昆山215332冤揖摘要铱数形结合是解决数学问题非常重要的一种思想袁因此初中教育尤其注重数形结合思想的培养袁通过二次函数的学习我们就可以发现袁函数与图像的综合考查是每年的热点以及必考点袁但题目难度也不低袁基本均是灵活的综合性题目袁从做题中反馈出大部分学生掌握程度较低袁因此本文将结合苏教版九年级数学教材第五章第四节野二次函数与一元二次方程冶内容袁探究如何利用好数形结合思想快乐地学习数学遥揖关键词铱数形结合二次函数一元二次方程方程的根揖中图分类号铱G633.6揖文献标识码铱A揖文章编号铱2095-3089渊2021冤15-0136-02课例窑研究

136窑窑CourseEducationResearch课程教育研究2021年第15期现越接近于图像与x轴的交点的点的纵坐标越接近于0袁但可能为正袁可能为负袁在交点的左右两边的接近点的纵坐标异号袁根据这个特性我们可以确定袁如果函数图像连续袁且在横坐标为某一值x1和x2时袁纵坐标符号相反袁那么在这两点之间一定有函数与x轴的公共点袁这也就是我们高中所要学习的零点存在性定理遥针对该例题袁我们代值观察x取不同值时袁y的符号变化如下院所以我们发现方程x2+2x-5=0的一个根x在1.4~1.5之间遥这类题是数形结合的基础综合题型袁通过观察图像袁加上数学公式计算分析袁得到近似值袁并能根据原理进一步缩小误差袁如再将x取值细化到1.41尧1.42尧1.43噎噎袁根据y值的符号最终得到方程的根遥三尧从一元二次方程的角度看二次函数在上文中我们提到了由二次函数图像的开口方向渊可根据二次项系数a判断院a跃0时开口向上袁a约0时开口向下冤尧函数图像与x轴的交点以及对称轴则可以画出二次函数的大致图像渊当知道函数与x轴两个交点时袁两交点的中点横坐标即为对称轴x的值袁因此函数图像与x轴的交点非常重要冤袁根据函数图像我们才可以了解该函数的相关性质遥所以我们通常可以借助一元二次方程的根来得到函数的大致图像袁达到以数助形的作用遥例3院不画图像袁判断二次函数y=-x2-x尧y=-x2+6x-9尧y=3x2+6x+11的图像与x轴的公共点的个数遥分析院此时袁以上三个二次函数均没有图像可供我们观察袁那么要找到函数图像与x轴交点个数的情况袁就可以利用数形结合思想袁将问题就可以转化为方程-x2-x=0尧-x2+6x-9=0尧3x2+6x+11=0的根的个数情况袁我们可以直接利用根的判别式来解决院吟=渊-1冤2+4=5跃0尧吟=62-36=0尧吟=62-132约0袁得出结论院以上三个函数图像分别与x轴有两个公共点尧一个公共点尧无公共点遥四尧数形结合思想的综合应用例4院已知某二次函数y=ax2+bx+16的图像过两点袁其坐标分别为渊-2袁40冤尧渊6袁-8冤袁请找到该函数的顶点尧对称轴袁并求出一元二次方程ax2+bx+16=0的根遥分析院本题较为综合袁结合了二次函数与一元二次方程袁题目虽然看似在分析函数的图像问题袁但是从问题本身出发思考袁其实是一个解方程的题目袁首先由图像经过的两个点的坐标我们可以直接带入函数的解析式袁从而得到两个方程袁联立方程即可得到参数a,b的值袁然后再代值进入函数解析式和所求方程得到最终答案遥这种含参类问题大多需要我们联立解方程才能求出参数的值袁进一步才能了解具体函数的相关性质袁是在考查学生能否将几何问题代数化遥解院疫二次函数y=ax2+bx+16过点渊-2袁40冤尧渊6袁-8冤亦4a-2b+16=40曰36a+6b+16=-8联立方程解得a=1,b=-10.亦代入原式可知所求函数的解析式为y=渊x-5冤2-9亦该函数的对称轴为x=5袁顶点坐标为渊5袁-9冤又将a,b的值代入一元二次方程可得x2-10x+16=0解得方程的根为x1=2,x2=8.例5院踢足球时袁我们可把球的飞行路线看作一条抛物线袁已知某次比赛中足球的飞行高度y渊单位院米冤与飞行距离x渊单位院百米冤满足二次函数院y=-5x2+20x袁这个球飞行的水平距离最远是多少米钥球的飞行高度最高又是多少米呢钥分析院本题是近几年的热点题型袁结合实际生活背景袁给出函数模型袁考查函数的相关知识袁属于综合性和应用性都很强的题目袁因此需要对题干反复分析袁才能在解题时事半功倍遥从题干提到的球的运动路线和二次函数模型我们可以发现袁本题意在考查二次函数模型的应用即函数的性质袁那么就需要我们将代数问题几何化遥球飞出后作自由落体运动袁因此函数图像必定开口向下袁但与平时所研究的二次函数图像有些许不同袁需要结合实际情况袁保证高度y逸0袁所以所画图像如右图院结合图像我们又可以发现y=0时袁球飞行的水平距离最大遥所以第一问关于球的水平距离问题就可转化为方程-5x2+20x=0的两根之差问题曰在二次函数的顶点处我们发现y取到了最大值袁即球飞行的竖直最高水平袁即需求顶点纵坐标遥具体解答过程如下院解院令y=0袁则有-5x2+20x=0袁解得x1=0袁x2=4所以这次击球袁球飞行的最大水平距离是4米曰又疫y=-5x2+20x=-5渊x-2冤2+20袁亦球的飞行高度最大是20米遥在初中数学的教学和学习中袁二次函数与一元二次方程的密切关系向我们生动展示数形结合的实际运用袁教师应从多个角度多种表示引导学生掌握数形结合思想的转化技巧袁让学生真正喜欢学习数学袁灵活运用数学袁玩转数学遥参考文献院[1]吴丽娜.优化数形结合袁灵动数学课堂[J].课程教育研究袁2018(4).x1.11.21.31.41.51.6y-1.59-1.16-0.71-0.240.250.76课例窑研究

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