初中数学中的折叠问题对于折叠问题,我们要明白：1、折叠问题翻折变换实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形纸片折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD 为折痕,折叠后BG 和BH 在同一条直线上,∠CBD=度．BC 、BD 是折痕,所以有∠ABC=∠GBC,∠EBD=∠HBD 则∠CBD=90°折叠前后的对应角相等2．如图所示,一张矩形纸片沿BC 折叠,顶点A 落在点A ′处,再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC,若AB=4,AC=3,则△ADE 的面积是．沿BC 折叠,顶点落在点A ’处,根据对称的性质得到BC 垂直平分AA ’,即AF=AA ’,又DE ∥BC,得到△ABC ∽△ADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积=24 对称轴垂直平分对应点的连线3．如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG,求AG 的长． 由勾股定理可得BD=5,由对称的性质得△ADG ≌△A ’DG,由A ’D=AD=3,AG ’=AG,则A ’B=5–3=2,在Rt △A ’BG 中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE,∠EBF=∠CBF,据此即可求出∠FBC 的度数,又知道∠C=90°,根据三角形外角的定义即可求出∠DFB=°注意折叠前后角的对应关系5．如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积．∵点C 与点E 关于直线BD 对称,∴∠1=∠2 ∵AD ∥BC,∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴FB=FD设FD=x,则FB=x,FA=8–xGA'CABD在Rt△BAF中,BA2+AF2=BF2∴62+8-x2=x2解得x=所以,阴影部分的面积S△FBD=FD×AB=××6=cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=度；△EFG的形状三角形．∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称∴∠2=∠3=64°∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图,将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折,展平,得折痕EF如图①；延CG折叠,使点B落在EF上的点B′处,如图②；展平,得折痕GC如图③；沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处,如图④；沿GC′折叠如图⑤；展平,得折痕GC′,GH如图⑥．1求图②中∠BCB′的大小；2图⑥中的△GCC′是正三角形吗请说明理由．1由对称的性质可知：B’C=BC,然后在Rt△B′FC中,求得cos∠B’CF=,利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’=60°；2首先根据题意得：GC平分∠BCB’,即可求得∠GCC’=60°,然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴,可得GC’=GC,即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求四边形BCFE的面积设AE=x,则BE=GE=4-x,在Rt△AEG中,根据勾股定理有：AE2+AG2=GE2即：x2+4=4-x2解得x=,BE=EG=4–=∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°∴∠1=∠3又∵∠A=∠D=90°∴△AEG∽△DGP∴=,则=,解得GP=二、纸片中的折叠11．如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于∵∠α=∠1,∠2=∠1∴∠α=∠2∴2∠α+∠ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为作CD⊥AB,∵CE∥AB,∴∠1=∠2,根据翻折不变性,∠1=∠BCA,故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°,∴在Rt△ADC中,AC=,AB=S△ＡＢＣ＝AB×CD=在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形纸片折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是如图,作QH⊥PA,垂足为H,则QH=2cm,由平行线的性质,得∠DPA=∠PAQ=60°由折叠的性质,得∠DPA=∠PAQ,∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°,∴△APQ为等边三角形,在Rt△PQH中,sin∠HPQ=∴=,则PQ=注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形纸片折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE 的度数是∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=20°,在图b中,GE=GF,∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°,图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF折叠成如图的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽AB是设AB=xcm．右图中,AF=CE=35,EF=x根据轴对称图形的性质,得AE=CF=35-xcm．则有235-x+x=60,x=10．16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠阴影部分表示纸条的反面,为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,求MA的长将折叠这条展开如图,根据折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm,下底等于纸条宽的2倍,即6cm,两个三角形都为等腰直角三角形,斜边为纸条宽的2倍,即6cm,故超出点P的长度为30-15÷2=,AM=+6=三、三角形中的折叠BD∴△AEF是等腰三角形1由折叠可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠BEG而∠BEG=45°+∠α因为∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°所以45°+245°+∠α=180°∠α=°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关;要抓住折叠前后图形之间的对应关系2将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ如图④,求∠MNF的大小．由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF,∴MF=NF,由对称性可知,MF=PF,∴NF=PF,而由题意得出：MP=MN,又MF=MF,∴△MNF≌△MPF,∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,即3∠MNF=180°,∴∠MNF=60°,在矩形中的折叠问题,通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构,即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么纸片中∠B的度数是多少写出你的计算过程,并画出符合条件的后的图形．∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,∴CF=CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,设∠DAE=x°,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,∴∠FDA=∠CFD=°,∠DEB=2x°,分类如下：①当DE=DB时,∠B=∠DEB=2x°,由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+°+x=4x,解得：x=°．此时∠B=2x=45°；见图形1,说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD=BE时,则∠B=180°-4x°,由∠CDE=∠DEB+∠B得：45++x=2x+180-4x,解得x=°,此时∠B=180-4x°=30°．图形2说明：∠CAB=60°,∠CAD=°．③DE=BE时,则∠B=由∠CDE=∠DEB+∠B的,45++x=2x+此方程无解．∴DE=BE不成立．综上所述∠B=45°或30°先确定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形,故需讨论,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片图1的全过程：首先对折,如图2,折痕CD交AB于点D；打开后,过点D任意折叠,使折痕DE交BC于点E,如图3；打开后,如图4；再沿AE折叠,如图5；打开后,折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是过D点作DF∥BC,交AC于F,作A点关于BC的对称点A′,连接DA′,则DA′就是DE和AE的最小值．∵D点是AB的中点,∴DF=1,FC=1,∴FA′=3∴DA′==∴折痕DE和AE长度的和的最小值是本题经过了三次折叠,注意理清折叠过程中的对称关系,求两条线段的和的最小值问题可以参见文章23．小华将一条1如图1,沿它对称轴折叠1次后得到如图,再将图沿它对称轴折叠后得到如图3,则图3中一条腰长；同上操作,若小华连续将图1折叠n次后所得到如图n+1一条腰长为多少．解：每次折叠后,腰长为原来的故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为2-则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为n本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的．24．如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=．第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合,折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合,折痕与BD交于点O3,…．按上述方法,第n次折叠后的折痕与BD 交于点O n,则BO1=,BO n=第一次折叠时,点O1是BD的中点,则BO1=DO1第二次折叠时,点O2是BD1的中点,则BO2=D1O2第三次折叠时,点O3是BD2的中点,则BO3=D2O3因为AB=,BC=,所以BD=4第一次折叠后,有BO1=DO1∴BO1=2第二次折叠后,有BO2=D1O2∴BO2===第三次折叠后,有BO3=D2O3∴BO3===即当n=1时,BO1=2==当n=2时,BO2===当n=3时,BO3===则第n次折叠后,BO n=问题中涉及到的折叠从有限到无限,要明白每一次折叠中的变与不变,充分展示运算的详细过程;在找规律时要把最终的结果写成一样的形式,观察其中的变与不变,特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1,第n次纸片折叠,使A与点D n-1重合,折痕与AD交于点P n n＞2,则AP6长AD=第一次折叠后,AP1=P1D,P1D1=D1D∴AP1==第二次折叠后,AP2=P2D1,P2D2=D2D1∴AP2====第三次折叠后,AP3=P3D2∴AP3=====即当n=1时,AP1==当n=2时,AP2==当n=3时,AP3==则第n次折叠后,AP n=故AP6=此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力26．阅读理解如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠,点B n与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合；情形二：如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合．探究发现1△ABC中,∠B=2∠C,经过两次,∠BAC是不是△ABC的好角填“是”或“不是”．2小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系为．∠B=n∠C应用提升3小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．∴BC ×4=×,BC= ∴OC=OB –BC=4-=,则C0, 2如右图,BC=B'C B'C=BC=OB –OC=4–y 在Rt △OB'C 中根据勾股定理有：y 2+x 2=4-y 2所以y=-+2∵当0≤x ≤2时,抛物线的值随x 的增大而减小 当x=0时,y=2 当x=2时,y= ∴≤y ≤2 3如右图由DB''∥OB 得,∠2=∠3 由对称性质得,∠1=∠2 ∴∠2=∠3,则CB''∥BA ∴△OB''C ∽△OAB ∴OC=2OB'' 设OB''=m,则OC=2m 所以2m=-+2解得m=-8±,∵m ＞0,∴m=-8+ 则点C 的坐标为0,-16折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30．如图,正方形ABCD 的边长为2,⊙O 的直径为AD,将正方形的BC 边沿EC 折叠,点B 落在圆上的F 点,求BE 的长连接OC 、OF,则△OCF ≌△OCDSSS,∴∠OFC=∠ODC=90°, 所以∠OFE=180°,即点O 、F 、E 在一条直线上 设BE=x,则EF=x,AE=2–x,OE=1+x 在Rt △AEO 中,AE 2+AO 2=OE 2所以2-x 2+1=1+x 2 解得：x=用对称关系构造勾股定理,再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图,将半径为8的⊙O 沿AB 折叠,弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D,则折痕AB 长为解：延长CO 交AB 于E 点,连接OB, ∵CE ⊥AB, ∴E 为AB 的中点,由题意可得CD=4,OD=4,OB=8, DE=8×2-4=6 OE=6-4=2,在Rt △OEB 中,根据勾股定理可得：AB=注意折叠过程中形成的对应边,利用勾股定理求解32．如图,将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D,若AD=5,DB=7,则BC 的长是多少连接CA、CD；根据对称的性质,得：弧CB=弧BDC∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD,∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=；∴BE=BD+DE=；在Rt△ACB中,CE⊥AB,△ABC∽△CBE,得：BC2=BEAB=×12=114；故BC=此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD是等腰三角形,是解答此题的关键33．已知如图：⊙O的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O,再把弧AOB沿CD折叠,使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为作CD关于C’D’的对称线段C’D’,连接OE并延长交CD于点F,交C′D′于点F′,交弧AmB于点G,根据对称的性质得出OF′=6,再由勾股定理得出C’F’=．。
