福建省福州市仓山区福州时代中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题(wd无答案)

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A. 4cmB. 5cmC. 7cmD. 14cm3.如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（）A. 两点之间线段最短B. 四边形的不稳定性C. 三角形的稳定性D. 矩形的四个角都是直角4.如图，已知△AOC≌△BOD，OC=2，OA=3，则OB=（）A. 2B. 3C. 4D. 55.六边形从一个顶点出发可以引（）条对角线．A. 3B. 4C. 6D. 96.如图，AD是△ABC的中线，若△ABC的面积为12，则△ABD的面积为（）A. 8B. 6C. 4D. 37.下列说法正确的是（）A. 能够完全重合的三角形是全等三角形B. 面积相等的三角形是全等三角形C. 周长相等的三角形是全等三角形D. 所有的等边三角形都是全等三角形8.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（）A. AC、BC两边高线的交点处B. AC、BC两边中线的交点处C. AC、BC两边垂直平分线的交点处D. 、两内角平分线的交点处9.如图，六边形ABCDEF中，边AB、ED的延长线相交于O点，若图中三个外角∠1、∠2、∠3的和为230°，则∠BOD的度数为（）A. B. C. D.10.已知△ABC中，BC=6，AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，连接AM和AN，若MN=2，则△AMN的周长是（）A. 4B. 6C. 4或8D. 6或10二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B= ______ ．12.著名NBA球员乔丹照镜子的时候，发现球衣上的号码在镜子中呈现“”的样子，请你判断他的球衣号码是______．13.如图，△ABC中，AB=AC，BC=8cm，AD是△ABC的角平分线，则BD= ______ cm．14.如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，则△ADE的形状为______ ．15.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AD，CB=CD，则图中共有______ 对全等三角形．16.如图，△ABC中，∠B=2∠C，将其沿AD折叠，使点B落在边AC上的点E处，则图中与BD相等的两条线段分别是______ ．17.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，∠D=30°，AB=2，BC=3，则CD= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共59.0分）18.已知△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，CD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数．19.如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEF．20.如图，网格图中的每小格均是边长是1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列各题：（1）在平面直角坐标系中画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）事实上，对△ABC先后进行轴对称和平移变换后可以得到△A'B'C'．请写出两次变换的具体步骤．21.已知五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=AE，AC=AD，∠BCD=140°．（1）求证：∠ACB=∠ADE；（2）求∠BAE的度数．22.已知：如图，AC∥BD，请先作图再解决问题．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）①作BE平分∠ABD交AC于点E；②在BA的延长线上截取AF=BA，连接EF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．23.已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．（1）求证：BE=CE；（2）当△AEF是以______为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；（3）作∠FEG=120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（m，0）是x轴上一点，m＞0，C在第一象限，且BC⊥AB，BC=AB，连接AC．（1）当∠CAO=105°时，△ABC的面积为______；（2）求C的坐标；（用含m的式子表示）（3）作∠CAB的平分线AD，M在射线AD上，N在边AC上，且CM+MN的值最小，试确定M、N的位置，并求出当m=3时，CM+MN的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：B．根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：设三角形的第三边为x，则9-4＜x＜4+9即5＜x＜13，∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，故选：C．判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．本题主要考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．3.【答案】C【解析】解：用木条EF固定矩形门框ABCD，得到三角形形状，主要利用了三角形的稳定性．故选C．根据三角形具有稳定性解答．本题考查了三角形的稳定性，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵△AOC≌△BOD，∴AO=BO=3，故选：B．根据全等三角形的性质可得AO=BO=3．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．5.【答案】A【解析】解：对角线的数量：6-3=3条，故选：A．根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．6.【答案】B【解析】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ADC，∴S△ABC=2S△ABD．又△ABC的面积为12，∴S△ABC=2S△ABD=12，∴S△ABD=6，故选B．△ABD与△ADC的等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．本题考查了三角形的面积．此题的解题技巧性在于找出△ABD与△ADC的等底同高的两个三角形．7.【答案】A【解析】解：A、能够完全重合的三角形是全等三角形正确，故本选项正确；B、面积相等的三角形是全等三角形错误，故本选项错误；C、周长相等的三角形是全等三角形错误，故本选项错误；D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故本选项错误．故选A．根据全等三角形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了全等图形的定义，是基础题，熟记全等图形的概念是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴该集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选D．直接根据角平分线的性质即可得出结论．本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图，∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠1+∠2+∠3=230°，∴∠4=130°，∴∠BOD=180°-∠4=180°-130°=50°，故选A．根据四边形外角和等于360°，求出∠4，再根据∠BOD=180°-∠4即可解决问题．本题考查多边形的外角与内角，解题的关键是灵活应用多边形的外角和为360°解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】D【解析】解：有两种可能图1，∵直线MP为线段AB的垂直平分线，∴MA=MB，又直线NQ为线段AC的垂直平分线，∴NA=NC，∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC，又BC=6则△AMN的周长为6，如图2，△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC+2MN，又BC=6，则△AMN的周长为10，故选D．由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长，由BC的长即可得到三角形AMN的周长．此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．11.【答案】20°【解析】解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，∴∠B=90°-∠A=90°-70°=20°．故答案为：20°．根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12.【答案】23【解析】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片所显示的数字与85成轴对称，故他球衣上实际的号码是23．故答案为：23．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．13.【答案】4【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD=BC=×8=4cm，故答案为4．首先证明△ABC是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一可以求出BD的长度．本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，此题难度不大．14.【答案】等边三角形【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，又∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形．故答案是：等边三角形．由等边△ABC的性质得到∠A=60°，然后结合“有一内角是60度的等腰三角形是等边三角形”推知△ADE是等边三角形．本题考查等边三角形的判定与性质．根据依题意推知∠A=60°是解题的关键．15.【答案】3【解析】解：图中有3对全等三角形，是△ABC≌△ADC，△ABO≌△ADO，△CBO≌△CDO，理由是：∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，在△BAO和△DAO中∴△ABO≌△ADO（SAS），同理△CBO≌△CDO，故答案为：3．根据SSS能推出△ABC≌△ADC，根据全等得出∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，根据SAS推出△ABO≌△ADO、△CBO≌△CDO即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．16.【答案】EC和DE【解析】解：由翻折的性质可知：BD=DE，AB=AE，∠B=∠AED，又∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C．∵∠C+∠EDC=∠AED，∴∠EDC=∠ECD．∴DE=EC．∴BD=EC；故答案为：EC和DE．由翻折的性质可知：BD=DE，AB=AE，∠B=∠AED=2∠C，从而得到∠EDC=∠ECD，于是得到DE=EC．本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的判定，三角形的外角的性质，证得BD=EC、AB=AE是解题的关键．17.【答案】7【解析】解：延长AB、DC交于E，∵∠D=30°，∠A=90°，∴∠E=60°，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴CE=BE=BC=3，∴AE=AB+BE=5，∴DE=2AE=10，∴CD=DE-CE=10-3=7；故答案为：7．先延长AB、DC交于E，根据已知证出△EBC是等边三角形，得出CE=BE=BC=3，求出AE=AB+BE=5，由直角三角形的性质得出DE=2AE=10，即可得出结果．此题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18.【答案】解：∵∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=30°，∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-80°-30°=70°．【解析】在△ABC中由内角和定理得出∠ACB度数，根据角平分线定义知∠ACD，最后在△ACD中，由内角和定理可得答案．本题主要考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°是关键．19.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．【解析】由BE=CF可求得BC=EF，由AB∥DE可得∠B=∠DEF，结合条件可利用SAS 证明△ABC≌△DEF．本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．20.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（1，4），B1（2，2），C1（0，1）；（2）由图可知，作△ABC关于x轴对称的图形，再将新图形向右平移4个单位即可得到△A′B′C′．【解析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可；（2）根据图形平移的性质即可得出结论．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．21.【答案】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△ADE中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADE（HL），∠ACB=∠ADE（全等三角形的对应角相等）．（2）∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ACB=∠ADE，∴∠BCD=∠CDE=140°，∵∠B=∠E=90°，∴∠BAE=（5-2）×180°-90°-90°-140°-140°=80°．【解析】（1）首先证明Rt△ACB≌Rt△ADE（HL），推出∠ACB=∠ADE，由AC=AD，推出∠ACD=∠ADC即可证明．（2）求出∠CDE的度数，利用五边形内角和公式，即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，会用五边形内角和公式，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）①如图，点E即为所求；②如图，AF，EF即为所求；（2）∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠EBD．∵AC∥BD，∴∠EBD=∠AEB，∴AE=AB．∵AB=AF=AF，∴AE=AF，∴△BEF是直角三角形．【解析】（1）①作BE平分∠ABD交AC于点E即可；②在BA的延长线上截取AF=BA，连接EF；（2）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠EBD，再由平行线的性质可知∠EBD=∠AEB，故可得出AE=AB，再由AB=AF可知AE=AF，进而可得出结论．本题考查的是作图-复杂作图，熟知角平分线的作法与平行线的性质是解答此题的关键．23.【答案】AE或AF【解析】解：（1）∵AD是等边△ABC的高，∴AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，（2）∵AD是等边△ABC的高，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴△AEF为等腰三角形，∴腰为AE或AF，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=75°，∵∠ACB=60°，∴∠CBF=∠AFE-∠ACB=75°-60°=15°，∵BE=CE，∴∠ECD=∠CBF=15°，故答案为AE或AF（3）EF=EG，理由：∵∠BAC=60°，∠FEG=120°，∴∠BAC+∠FEG=180°，∴∠AGE+∠AFE=180°，∴∠AFE=BGE，过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴EN=EM；在△ENG和△EMF中，，∴△ENG≌△EMF，∴EG=EF（1）先判断出AD是BC的垂直平分线，即可得出结论；（2）先判断出等腰三角形AEF的腰，再用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；（3）先判断出，∠AFE=BGE，进而构造出全等三角形，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，解本题的关键是掌握等边三角形的性质，是一道比较简单的中考常考题．24.【答案】2【解析】解：（1）如图a，∵BC⊥AB，BC=AB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵∠CAO=105°，∴∠BAO=105°-45°=60°，∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∵A（0，2），∴AO=2，AB=4，∴由勾股定理可得OB=2，∴△ABC的面积=×AO×BO=×2×2=2，故答案为：2；（2）如图a，过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB=∠BOA=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBE=90°，∴∠BCE=∠ABO，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO（AAS），又∵点A（0，2），点B（m，0），∴BE=AO=2，CE=BO=m，∴OE=2+m，∴C的坐标为（2+m，m）；（3）∵M在射线AD上，N在边AC上，AD是∠CAB的平分线，∴点N关于AD的对称点在AB上，如图b，作点N关于AD的对称点N'，连接MN，MN'，则MN=MN'，∴CM+MB=CM+MN'，当点C、M、N'在同一直线上，且CN'⊥AB时，CN'最短，∵CB⊥AB，∴此时，点N'与点B重合，点M为BC与AD的交点，当m=3时，OB=3，AO=2，∴Rt△AOB中，AB==，∴CB=，即CN'=，∴CM+MN的最小值为．（1）先根据△ABC是等腰直角三角形，以及∠CAO=105°，求得∠BAO=60°，再根据∠ABO=30°，以及A（0，2），求得△ABC的面积即可；（2）先过C作CE⊥x轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出BE=AO=2，CE=BO=m，OE=2+m，据此得出C的坐标为（2+m，m）；（3）先作点N关于AD的对称点N'，连接MN，MN'，根据轴对称的性质得出MN=MN'，再根据当点C、M、N'在同一直线上，且CN'⊥AB时，CN'最短，得出点N'与点B重合，点M为BC与AD的交点，最后根据OB=3，AO=2，在Rt△AOB中，求得AB==CB，即可得出CM+MN的最小值为．本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，根据垂线段最短，确定出点M、N的位置是解题的关键．最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．。

2023-2024学年福建省福州市仓山区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）A．4，6，9B．2，3，6C．5，4，9D．2，4，73．经文化和旅游部数据中心测算，2023年中秋节、国庆节假期8天，国内旅游出游人数826000000人次（ ）A．82.6×107B．8.26×108C．0.826×109D．8.26×1094．已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5．在下列各式中，计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．（x2）46．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（2，﹣1）B．（2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，则∠DAE的度数为（ ）A．75°B．80°C．85°D．90°8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且AE＝2DE，则△EFC的面积是（ ）A．2B．3C．4D．59．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数（ ）A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣710．在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），动点B在x轴上，连接AB，连接OC，则线段OC长度最小为（ ）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．在等腰△ABC中，周长为14，底边长为6 ．12．如图，DE∥BC，DF∥AC，则∠DEC的度数为 ．13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E在AC上，D在BC的延长线上，则∠CED的度数为 ．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，若AD＝6 ．15．已知3m＝a，3n＝b．m，n为正整数，则33m+2n＝ （用含a，b的式子表示）．16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CE是△ABC的角平分线，BD与CE交于点F ．（写出所有正确结论的序号）①∠BFC＝120°；②BE+CD＞BC；③若D是AC的中点，则△ABC是等边三角形；④S△BEF：S△BFC＝AE：AC．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：x3•x4•x﹣（x2）4+（2x4）2．18．解不等式组：．19．已知如图，AC交BD于点O，AB＝DC20．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张30元．如果45名学生购票恰好用去1230元，甲21．如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线22．求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．23．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下连接AE，BE，延长BE至F，使得EF＝EC24．如图，A（4，4），AB⊥y轴于点B，点C在线段OB上运动（点C不与O，B重合），且CD＝AC．（1）如图1，当点C的坐标为（0，3）时，①求点D的坐标；②设CD与x轴交于点M，求△OMC的面积；（2）如图2，C是OB的中点，过点B作BF⊥AC于点E，求证：∠AFB＝∠OFC．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，CD，其中2α+β＝180°．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：①AD平分∠BDM；②A，M，B三点共线．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）A．4，6，9B．2，3，6C．5，4，9D．2，4，7【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：A、4+6＞8，符合题意；B、2+3＜7，不符合题意；C、5+4＝5，不符合题意；D、2+4＜6，不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．3．经文化和旅游部数据中心测算，2023年中秋节、国庆节假期8天，国内旅游出游人数826000000人次（ ）A．82.6×107B．8.26×108C．0.826×109D．8.26×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：数字826000000科学记数法可表示为8.26×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得（n﹣2）180°＝720°，解得：n＝6，则这个多边形是六边形．故选：D．【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为（n﹣2）•180°是解题的关键．5．在下列各式中，计算结果为x6的是（ ）A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．（x2）4【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方解决此题．解：A．根据合并同类项法则，x2+x4无法进行合并，那么A不符合题意．B．根据合并同类项法则，x2﹣x2无法进行合并，那么B不符合题意．C．根据同底数幂的乘法，x2•x7＝x6，那么C符合题意．D．根据幂的乘方2）4＝x8，那么D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方是解决本题的关键．6．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（2，﹣1）B．（2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（21（5，﹣1）．故选：A．【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，则∠DAE的度数为（ ）A．75°B．80°C．85°D．90°【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∴∠ADE＝∠B＝80°，∴∠DAE＝180°﹣70°﹣25°＝85°，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且AE＝2DE，则△EFC的面积是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形面积公式，利用D是BC的中点得到S△ACD＝S△ABC＝9，再利用AE＝2DE得到S△ACE＝S△ACD＝6，然后利用F是AC的中点得到S△EFC＝S△ACE．解：∵D是BC的中点，∴S△ACD＝S△ABC＝×18＝9，∵AE＝3DE，∴AE＝AD，∴S△ACE＝S△ACD＝×9＝6，∵F是AC的中点，∴S△EFC＝S△ACE＝×6＝3．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形的面积公式．9．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数（ ）A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣7【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣7，∴当a＝1，b＝﹣6时；当a＝﹣5，b＝6时；当a＝2，b＝﹣5时；当a＝﹣2，b＝3时；当a＝6，b＝﹣2时；当a＝﹣3，b＝2时；故m的值不可能是﹣7；故选：D．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．10．在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），动点B在x轴上，连接AB，连接OC，则线段OC长度最小为（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】在x轴上取点E、点F，使∠OAE＝∠OAF＝30°，则∠EOF＝∠AEO＝∠AFO ＝60°，所以AE＝AF，由旋转得AC＝AB，∠BAC＝60°，则∠EAC＝∠FAB＝60°﹣∠BAE，作直线CE交y轴于点D，作OH⊥DE于点H，可证明△EAC≌△FAB，则∠AEC ＝∠AFB＝60°，所以∠DEO＝∠AEO＝60°，可知点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为60°的直线上运动，可证明OD＝OA＝4，则OH＝OD＝2，则线段OC长度最小为2，于是得到问题的答案．解：在x轴上取点E、点F，则∠EOF＝60°，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，∴∠AEO＝∠AFO＝60°，∴AE＝AF，由旋转得AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠EAC＝∠FAB＝60°﹣∠BAE，作直线CE交y轴于点D，作OH⊥DE于点H，在△EAC和△FAB中，，∴△EAC≌△FAB（SAS），∴∠AEC＝∠AFB＝60°，∴∠DEO＝∠AEO＝60°，∴点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为60°的直线上运动，∵∠DOE＝90°，∠DEO＝60°，∴∠ODE＝30°＝∠OAE，∴DE＝AE，∵EO⊥AD，A（0，∴OD＝OA＝4，∴OH＝OD＝2，∵OC≥OH，∴OC≥2，∴线段OC长度最小为2，故选：C．【点评】此题重点考查图形与坐标、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．在等腰△ABC中，周长为14，底边长为6　4　．【分析】根据等腰三角形的周长公式解答即可．解：∵等腰△ABC中，周长为14，，∴腰长＝×（14﹣5）＝4，故答案为：4．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的周长公式解答．12．如图，DE∥BC，DF∥AC，则∠DEC的度数为　60°　．【分析】由平行线的性质得到∠C＝∠DFB＝120°，∠DEC+∠C＝180°，即可求出∠DEC＝60°．解：∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB＝120°，∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C＝180°，∴∠DEC＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E在AC上，D在BC的延长线上，则∠CED的度数为　50°　．【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠ACD（即∠ECD）的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠CED的度数．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝60°+50°＝110°．在△CDE中，∠ECD＝110°，∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠D＝180°﹣110°﹣20°＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“三角形内角和是180°”是解题的关键．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，若AD＝6　3　．【分析】过点D作DE⊥AC于点E，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝＝30°，∴DE＝，∴点D到AC的距离为3，故答案为：3．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，数据含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．15．已知3m＝a，3n＝b．m，n为正整数，则33m+2n＝　a3b2　（用含a，b的式子表示）．【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可．解：∵3m＝a，3n＝b，m，n为正整数，∴83m+2n＝83m•38n＝（3m）3•（2n）2＝a3b3．故答案为：a3b2．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CE是△ABC的角平分线，BD与CE交于点F　①③④　．（写出所有正确结论的序号）①∠BFC＝120°；②BE+CD＞BC；③若D是AC的中点，则△ABC是等边三角形；④S△BEF：S△BFC＝AE：AC．【分析】由∠A＝60°，得∠ABC+∠ACB＝120°，而∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，所以∠DBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，则∠BFC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝120°，可判断①正确；在BC上截取BG＝BE，连接GF，可证明△BEF≌△BGF，则∠BFE＝∠CFD＝60°，可推导出∠CFD＝∠CFG，再证明△CFD≌△CFG，得CD＝CG，所以BE+CE＝BG+CG＝BC，可判断②错误；延长BD到点R，使RD＝BD，连接AR，可证明△ADR≌△CDB，则AR＝CB，∠R＝∠CBD＝∠ABD，所以AB＝AR＝CB，则△ABC是等边三角形，可判断③正确；作EM⊥BC于点M，EN⊥AC于点N，CL⊥AB于点L，则EM＝EN，所以＝，由S△BCE＝BE•CL＝BC•EM，S△ACE＝AE•CL＝AC•EN，得＝，＝，则＝，作FI⊥AB于点I，FH⊥BC于点H，则FI＝FH，所以＝＝＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC∠ACB，∴∠DBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝，∴∠BFC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣60°＝120°，故①正确；如图6，在BC上截取BG＝BE，在△BEF和△BGF中，，∴△BEF≌△BGF（SAS），∵∠BFE＝∠CFD＝180°﹣120°＝60°，∴∠BFE＝∠BFG＝60°，∴∠CFG＝180°﹣∠BFE﹣∠BFG＝60°，∴∠CFD＝∠CFG，在△CFD和△CFG中，，∴△CFD≌△CFG（ASA），∴CD＝CG，∴BE+CE＝BG+CG＝BC，故②错误；如图1，延长BD到点R，连接AR，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，在△ADR和△CDB中，，∴△ADR≌△CDB（SAS），∴AR＝CB，∠R＝∠CBD＝∠ABD，∴AB＝AR，∴AB＝CB，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，故③正确；如图2，作EM⊥BC于点M，CL⊥AB于点L，∴＝，∵S△BCE＝BE•CL＝，S△ACE＝AE•CL＝，∴＝，＝，∴＝，如图3，作FI⊥AB于点I，则FI＝FH，∴＝＝＝，∴S△BEF：S△BFC＝AE：AC，故④正确，故答案为：①③④．【点评】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：x3•x4•x﹣（x2）4+（2x4）2．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．解：原式＝x8﹣x8+7x8＝4x6．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．18．解不等式组：．【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解：，解不等式①得x≤﹣1，解不等式②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣6＜x≤﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法及解一元一次不等式组，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．19．已知如图，AC交BD于点O，AB＝DC【分析】先根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△AOB≌△DOC，得OA＝OD，OB＝OC，即可证明AC＝BD．【解答】证明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OA＝OD，OB＝OC，∴OA+OC＝OD+OB，∴AC＝BD．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、对顶角相等、线段的和差关系等知识与方法，正确的找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．20．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张30元．如果45名学生购票恰好用去1230元，甲【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据45名学生购票恰好用去1230元，列出二元一次方程组，解方程组即可．解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，由题意得：，解得：，答：甲种票买了20张，乙种票买了25张．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．21．如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，因此∠B＝∠BAD，由AD＝CD，推出∠C＝∠DAC，得到∠B+∠C＝∠BAD+∠DAC，由三角形内角和定理推出∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°，即可证明AC⊥AB．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠B+∠C＝∠BAD+∠DAC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°，∴AC⊥AB．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理推出∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°．22．求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．【分析】设△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线，则AB＝DE，∠B＝∠E，再推导出BP＝EQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABP≌△DEQ，得AP＝DQ，所以全等三角形对应边上的中线相等．【解答】已知：△ABC≌△DEF，AP、EF上的中线．求证：AP＝DQ．证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，∴AP、DQ分别是对应边BC，∴BP＝CP＝BC EF，∴BP＝EQ，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴AP＝DQ，∴全等三角形对应边上的中线相等．【点评】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键．23．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下连接AE，BE，延长BE至F，使得EF＝EC【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到CD＝CE，BD＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BCE＝∠BCD，∠BEC＝∠BDC＝120°，根据等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：由作图知，BC垂直平分DE，∴CD＝CE，BD＝BE，∵BC＝BC，∴△BDC≌△BEC（SSS），∴∠BCE＝∠BCD，∠BEC＝∠BDC＝120°，∴∠CEF＝60°，∵CE＝EF，∴△CEF是等边三角形，∴∠F＝∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．24．如图，A（4，4），AB⊥y轴于点B，点C在线段OB上运动（点C不与O，B重合），且CD＝AC．（1）如图1，当点C的坐标为（0，3）时，①求点D的坐标；②设CD与x轴交于点M，求△OMC的面积；（2）如图2，C是OB的中点，过点B作BF⊥AC于点E，求证：∠AFB＝∠OFC．【分析】（1）①由“AAS”可证△ACB≌△CDH，可得BC＝HD＝1，AB＝CH＝4，可求OH＝1，即可求解；②由面积关系可求解；（2）由“ASA”可证△ABC≌△BON，可得BC＝ON，由“SAS”可证△OFN≌△OFC，可得∠CFO＝∠OFN，可求解．【解答】（1）解：①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，MH，∵点A（4，6），∴AB＝BO＝4，∴∠AOB＝45°，∵点C的坐标为（0，5），∴OC＝3，∴BC＝1，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝∠ABC＝∠CHD＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°＝∠ACB+∠DCH，∴∠BAC＝∠DCH，又∵AC＝CD，∴△ACB≌△CDH（AAS），∴BC＝HD＝5，AB＝CH＝4，∴OH＝1，∴点D（5，﹣1）；②∵OH＝1，HD＝8，∴S△OHD＝×7×1＝，∵OM∥HD，∴S△OHM＝，∵OC＝6OH，∴S△OCM＝；（2）证明：如图7，延长BF交x轴于点N，∵BF⊥AC，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠OBN，∴∠OBN＝∠BAE，又∵AB＝BO，∠ABC＝∠BON＝90°，∴△ABC≌△BON（ASA），∴BC＝ON，∵点C是BO的中点，∴CO＝BC，∴CO＝ON，又∵∠COF＝∠NOF＝45°，∴△OFN≌△OFC（SAS），∴∠CFO＝∠OFN，∴∠CFO＝∠OFN＝∠AFB．【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，CD，其中2α+β＝180°．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：①AD平分∠BDM；②A，M，B三点共线．【分析】（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，所以∠BDC＝∠BCD；在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，所以2∠BDC+β＝180°，由2α+β＝180°，可得∠BDC＝α；在△ABC和△BCD中，利用三角形内角和可知，∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，所以∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，则∠ABD＝∠ACD；（2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K，所以∠AKB＝∠AHC ＝90°，可证△ABK≌△ACH（AAS），所以AK＝AH，由角平分线的判定可知，AD平分∠BDM；②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G，可证△ABD≌△ACM（SAS），所以∠BAD ＝∠CAM，所以∠BAC＝∠DAM＝α，由等腰三角形的性质可知，∠BCG＝90﹣α；由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，所以∠ADG＝90°﹣α，因为∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，所以∠CAD＝∠CBD＝β，所以∠BAC+∠DAM+∠CAD ＝2α+β＝180°，则A，M，B三点共线．【解答】证明：（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，∴∠BDC＝∠BCD，在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴2∠BDC+β＝180°，∵2α+β＝180°，∴∠BDC＝α，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180﹣α，在△BCD中，∠DBC+∠DCB＝180﹣α，∴∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）①如图7，过点A作AH⊥CM，垂足分别为H，K，∴∠AKB＝∠AHC＝90°，在△ABK和△ACH中，，∴△ABK≌△ACH（AAS），∴AK＝AH，∵AH⊥CM，AK⊥BD，∴AD平分∠BDM；②如图2，连接AM，在△ABD和△ACM中，，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴∠BAD＝∠CAM，∴∠BAC＝∠DAM＝α，∵AB＝AC，∴∠BCG＝90﹣α，由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，∴∠ADG＝90°﹣α，∵∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，∴∠CAD＝∠CBD＝β，∴∠BAC+∠DAM+∠CAD＝7α+β＝180°，∴A，M，B三点共线．【点评】本题侧重考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．。

2021-2022学年福建省福州市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，滴分40分：每小题只有一个正确的选项）1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 一个三角形的两边长分别是3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是( )A.3cmB.5cmC.8cmD.11cm3. 如图，△ABC≅△A′B′C，∠ACB=90∘，∠A′CB=20∘，则∠BCB′的度数为( )A.20∘B.40∘C.70∘D.90∘4. 如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（）A.∠BAD＝∠CADB.AM＝DMC.△ABD的周长等于△ACD的周长D.△ABD的面积等于△ACD的面积5. 在平面直角坐标系中，点(3, −2)关于y轴对称的点的坐标是()A.(3, 2)B.(3, −2)C.(−3, 2)D.(−3, −2)6. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A.10cmB.12cmC.15cmD.17cm7. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≅△CBE，还需要添加的一个条件是()A.∠A=∠CB.∠D=∠BC.AD // BCD.DF // BE8. 在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝CE，∠DEC＝∠C＝70∘，∠ADE＝30∘，则下列结论正确的是（）A.DE＝CEB.BC＝CEC.DB＝DED.AE＝DB9. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(3, 2)，点P(m, 0)(m<6)，若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）A.2个B.3个C.4个D.5个10. 如图，点D在线段BC上，若∠ACE＝180∘−∠ABC−2x∘，且BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，则下列角中，大小为x∘的角是（）A.∠EFCB.∠ABCC.∠FDCD.∠DFC二、填空题（共6个小题，每题4分，满分24分）在△ABC中，已知∠A=60∘，∠B=80∘，则∠C是________∘．五边形的内角和为________．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是________．如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，若∠BDE=25∘，那么∠BED=________．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1, √3)，则点C的坐标为________．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________．三、解答题（共9小题，满分86分：请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．如图，AB＝AC，AE＝AF．求证：∠B＝∠C．如图，已知锐角∠MPN，点A在射线PN上．（1）尺规作图：在射线PM上求作点B，使得BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在射线AN上截取AC＝PB，试判断∠BCP和∠MPN的数量关系，并说明理由．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2, 3)，B(−6, 0)，C(−1, 0)．(1)将△ABC向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A对应点A1的坐标是________．(2)将△ABC沿y轴翻折得△A2B2C2，图中画出△A2B2C2，翻折后点A对应点A2坐标是________．(3)若将△ABC向左平移2个单位，求△ABC扫过的面积．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．解：已知：求证：证明：如图，在△ABC中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90∘，∠BAC＝30∘，求∠BDC的度数．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360∘时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60∘⋅x+120∘⋅y=360∘，化简得x+2y=6．因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图(1)，(2)，(3)．(1)请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图(4)中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；(2)如果用形状、大小相同的如图(5)方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．在△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝AC，点P为AC上一点，点M为BC上一点，线段AM，BP交于点E．（1）如图1，若BP为△ABC的角平分线，且AM⊥BC，求证：AE＝AP．（2）如图2，若BP为△ABC的角平分线，且AM⊥BP，求证：AP＝PM．（3）如图3，若BP为△ABC的中线，且AM⊥BP，求证：BP＝AM+MP．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO ＝2，AB＝2OA．（1）作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标；（2）求∠BAO的度数；（3）如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形△PBD，DA的延长线交y轴于点Q，①求AQ的长；②若OB＝2，求BD的最小值．参考答案与试题解析2021-2022学年福建省福州市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，滴分40分：每小题只有一个正确的选项）1.【答案】B【考点】轴对称图形命题与定理全等三角形的判定【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．2.【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5<x<11，因此只有选项C符合．【解答】解：设第三边长为xcm，则8−3<x<3+8，5<x<11，故选C．3.【答案】C【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠BCB′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≅△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′−∠A′CB=70∘．故选C.4.【答案】D【考点】三角形的面积三角形的重心【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变.则点(3, −2)关于y轴对称的点的坐标是(−3, −2)，故选D．6.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+ BC的值，继而求得△ABC的周长．【解答】∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，∵△ADC的周长为9cm，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．7.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定【解析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≅△CBE．【解答】解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中，∵{AD=BC，∠D=∠B，DF=BE，∴△ADF≅△CBE(SAS).故选B.8.【答案】D【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】【考点】勾股定理坐标与图形性质等腰三角形的性质【解析】本题应先根据勾股定理求出OA的长，再分别讨论OA＝OP、AP＝OA、AP＝OP的各种情况，即可得出答案．【解答】由勾股定理得：OA=√(3−0)2+(2−0)2=√13，如图所示：OA＝OP有2个、AP＝OA有1个（不符合题意舍去）、AP＝OP有1个，一共2+1＝3（个）．则m可取的值最多有3个．故选：B．10.【答案】C【考点】全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（共6个小题，每题4分，满分24分）【答案】40【考点】三角形内角和定理【解析】根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=60∘，∠B=80∘，∴∠C=180∘−60∘−80∘=40∘，故答案为：40．【答案】540∘【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘计算即可．【解答】解：(5−2)×180∘=540∘．故答案为：540∘.【答案】3【考点】角平分线的性质【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90∘，∴DE=DC.∵DC=3，∴DE=3，即点D到AB的距离DE=3．故答案为：3．【答案】130∘【考点】平行线的判定与性质翻折变换（折叠问题）【解析】根据两直线平行，得到∠BDE=∠DBC，根据折叠的性质得：∠EBD=∠DBC，于是得到∠EBD=∠EDB=25∘，根据三角形的内角和得到∠BED=130∘．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD // BC，∴∠BDE=∠DBC，根据折叠的性质得：∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB=25∘，∴∠BED=130∘，故答案为：130∘．【答案】(−√3, 1)【考点】正方形的性质坐标与图形性质全等三角形的性质与判定【解析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≅△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCO是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90∘，∵∠COE+∠AOF=90∘，∠AOF+∠OAF=90∘，∴∠COE=∠OAF，在△COE和△OAF中，{∠CEO=∠AFO=90,∠COE=∠OAF,OC=OA,∴△COE≅△OAF，∴CE=OF，OE=AF，∵A(1, √3)，∴CE=OF=1，OE=AF=√3，∴点C坐标(−√3, 1).故答案为：(−√3, 1).【答案】10【考点】线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝(CM+MD)+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝8+2＝10．三、解答题（共9小题，满分86分：请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置）【答案】这个多边形的边数是10【考点】多边形内角与外角【解析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360∘，则内角和是4×360∘．n 边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】设这个多边形的边数是，则(n−2)×180＝360×4，n−2＝8，n＝10．【答案】证明：在△ABF和△ACE中，∴△ABF≅△ACE(SAS)，∴∠B＝∠C．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，点P即为所求．如图，点C即为所求．结论：∠MPN＝2∠BCP．理由：∵BP＝BA＝AC，∴∠MPN＝∠BAP，∠ABC＝∠ACB，∵∠BAP＝∠ABC+∠ACB，∴∠MPN＝2∠CBP．【考点】等腰三角形的性质作图—复杂作图线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示，平移后点A的对应点A1的坐标是：(4, 0)；(2)△A2B2C2如图所示，翻折后点A对应点A2坐标是：(2, 3)；(3)将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA×3×5+2×3=13.5．=12【考点】作图－平移变换翻折变换（折叠问题）【解析】（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；（2）根据网格结构找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标；（3）作出平移后的△ABC的位置，然后根据扫过的面积等于△ABC的面积加上一个平行四边形的面积，列式计算即可得解．【解答】解：(1)△A1B1C1如图所示，平移后点A的对应点A1的坐标是：(4, 0)；(2)△A2B2C2如图所示，翻折后点A对应点A2坐标是：(2, 3)；(3)将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA×3×5+2×3=13.5．=12【答案】解：已知：△ABC中，AB=AC，BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF=CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE=∠CBF，∵∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴△BCE≅△CBF，∴BF=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC=∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE=∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≅△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】解：已知：△ABC中，AB=AC，BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF=CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE=∠CBF，∵∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴△BCE≅△CBF，∴BF=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【答案】∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60∘，AB＝AD，∵∠BAC＝30∘，∴∠CAD＝60∘−30∘＝30∘，在△CBA与△CDA中，，∴△CBA≅△CDA(SAS)，∴∠ADC＝∠ABC＝90∘，∴∠BDC＝∠ADC−∠ADB＝90∘−60∘＝30∘．【考点】等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)据题意，可有60∘⋅x+90∘⋅y=360∘，化简得2x+3y=12，∴当x=3，y=2时，有图：(2)能，设计图如图所示：【考点】平面镶嵌（密铺）【解析】(1)正三角形的每个内角是60∘，正方形的每个内角是90∘，能进行密铺，说明一个顶点处的各内角之和为360∘；(2)任意三角形的内角和是180∘，放在同一顶点处6个即能密铺，即每个角放在同一顶点处使用2次．【解答】解：(1)据题意，可有60∘⋅x+90∘⋅y=360∘，化简得2x+3y=12，∴当x=3，y=2时，有图：(2)能，设计图如图所示：【答案】证明：∵BP为△ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP，∵∠BAC＝90∘，∴∠ABP+∠APB＝90∘，∵AM⊥BC，∴∠BEM＝90∘，∴∠CBP+∠BEM＝90∘，∴∠APB＝∠BEM，又∵∠BEM＝∠AEP，∴∠AEP＝∠APB，∴AE＝AP；证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90∘，∴ABC＝∠ACB＝45∘，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC＝22.5∘，∴∠APB＝67.5∘，∵BE＝BE，∠AEB＝∠BEM＝90∘，∴△BEA≅△BEM(ASA)，∴BA＝BM，AE＝EM，∴PB垂直平分线段AM，∴PA＝PM，∵EP⊥AM，∴∠BPM＝∠BPA＝67.6∘，∴∠CPM＝∠C＝45∘，∴∠PMC＝90∘，∵PA⊥AB，BP平分∠ABC，∴PA＝PM．证明：如图3中，作CH⊥AC交AM的延长线于H．∵∠APB+∠PAE＝90∘，∠PAE+∠H＝90∘，∴∠APB＝∠H，∵∠BAP＝∠ACH＝90∘，AB＝AC，∴△BAP≅△ACH(AAS)，∴PA＝CH＝PC，PB＝AH，∵CM＝CM，∠PCM＝∠MCH＝45∘，∴△CMP≅△CMH(SAS)，∴PM＝MH，∴PB＝AH＝AM+MH＝AM+PM．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图1中，∵A，E关于y轴对称，∴OA＝OE＝2，∴E(8, 0)．如图1中，∵OA＝OE，∴BA＝BE，∵AB＝8OA＝AE，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAO＝60∘．①作点A关于y轴的对称点E，连接BE．∵△PBD，△ABE都是等边三角形，∴BA＝BE，BP＝BD，∴∠ABD＝∠EBP，在△ABD和△EBP中，，∴△ABD≅△EBP(SAS)，∴∠EPB＝∠ADB，∵∠AJP＝∠DJB，∴∠PAJ＝∠DBJ＝60∘，∴∠OAQ＝∠PAJ＝60∘，∵∠AOQ＝90∘，∴∠AQO＝30∘，∴AQ＝2AO＝4．②∵∠AOB＝90∘，∠BAO＝60∘，∴∠ABO＝30∘，∴AB＝3OA＝4，∵AQ＝4，∴AB＝AQ，∵AO⊥BQ，∴OQ＝OB＝3，∵∠AQO＝30∘，∴点D的运动轨迹是直线QD，根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，最小值＝．【考点】几何变换综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

福州时代中学2020-2021学年度八年级上学期期中考试数学试卷(考试时间:120分钟，满分150分)一、选择题(共10，每题4分。

满分40分:每小题只有一个正确选项)1．下列四个软件图标中，属于轴对称图形的是A．B．C．D．2．下列运算正确的是A．a4÷a2=2B．（-ab）2=a2b2C．a2．a2=2a2D．（x-y）2=x2-y23．下列各组长度的线段，能构成三角形的一组是A．3，6，3B．2，3，3C．1，3，4D．1，3，54．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是A．x2+5x-1=x(x+5)-1B．x2-2x+y2+4x+5=(x-1)2+(y+2)2C．x2-9=(x+3) (x-3)D．(x+2) (x-2)=x2-45．等式(x-2)0=1成立的条件是A．x≠-2B．x≠2C．x≤-2D．x≥-26．已知点A的坐标为(-1，2)，、点A关于y轴的对称点的坐标为A．(1，2)B．(2，-1)C．(1，-2)D．(-1，-2)7．将一副标准三角板，按如图方式叠放。

那么∠α的度数是A．75°B．90°C．105D．120°8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式A．a2-b2=(a+b)(a-b)B．(a-b)3=a2-2ab+b2C．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D．(a+b)2=a2+2ab+b29．如图是5×5的正方形方格图，点A ，B 在小方格的格点上，要在小方格的格点确定一点C ，连接AC 和BC ，使△ABC 是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C 的个数是A ．4B ．5C ．6D ．710．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =s ×t (s ，t 是正整数，且s ≤t )，如果p ×q在n 的所有这种分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n )= ，例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)= =12．给出下列关于F(n)的说法，错误的是A ．F(2)=12B ．F (24)=C ．F (27)=1D ．若n 是一个完全平方数，则F (n ) =1二、填空题(共6题，每题4分，满分24分)11．五边形的外角和为．12．要使分式1x−2有意义，则x 的取值范围为．13.如图，△ABC 中，AC =8，BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E 则△B CE 的周长为．14．在实数范围内分解因式：a 3-3a ．15．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当长度为半径画一条弧交两直角边于A ，B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则∠AOC 等于．16．如图，在Rt △AB C 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 是∠BAC 的平分线若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．三、解答题(共9题，满分86分)17．计算：(共2小题，每小题4分，共8分)(1)2a b ∙3b -12a 3b 2+4a 2(2)(2x +y )2-(x +2y )(x -2y )18．因式分解：(共2小题，每小题4分，共8分)(1)b-2b2+b2;(2)(x+y)2-9y219．(8分)如图，已知∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，求：∠B=∠D．时，代,数式的值．20．(8分)化简代数式：(a+b)(a+2b)-(2b3-ab2)÷b，并求出当a=-2，b=121．(8分)证明：等腰三角形两腰上的中线相等．22．(10分)如图，△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，AD=CD．(1)利用尺规作图，作∠BDC的平分线DF．(不写作法。

福州市仓山区时代中学2021-2022学年第一学期初二数学期中试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）下列图案是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（4分）平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(2,3)--B ．(2,3)-C ．(3,2)--D ．(3,2)-3．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60A ∠=︒，90C ∠=︒，2AC km =．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于()A ．2kmB ．3kmC ．23kmD ．4km4．（4分）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于( )A ．10B ．5C ．4D ．35．（4分）下列运算正确的是( ) A ．22a a -=B ．22(1)1a a -=-C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a =6．（4分）在ABC ∆和△A B C '''中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能使ABC ∆≅△A B C '''一定成立的是( )A ．AC A C ''=B ．BC B C ''= C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠7．（4分）到三角形三条边距离相等的点是( ) A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的交点 C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点8．（4分）下列各式的运算或变形中，用到分配律的是( ) A ．2323a a a +⋅=B ．222()ab a b =C ．由25x +=得52x =-D ．325a a a +=9．（4分）如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF ∆为等边三角形，则AFC ∠等于( )A ．108︒B ．120︒C ．126︒D ．132︒10．（4分）如图，直线m 是ABC ∆中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点，若5AB =，4AC =，6BC =，则APC ∆周长的最小值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12.5二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．（4分）若0(3)1x +=，则x 的取值范围是 ．12．（4分）如图，AD 是ABC ∆的角平分线．若90B ∠=︒，3BD =D 到AC 的距离是 ．13．（4分）若(2)1m m -=，则2(1)m -的值是 ．14．（4分）根据几何图形的面积关系多种表达方式可以形象直观地表示多项式的乘法，请根据图中长方形面积的两种表达形式直接写出一个关于多项式乘多项式的等式： ．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC ∠= 度．16．（4分）如图，在锐角ABC ∆中，A α∠=，作BC 的垂直平分线m ，点A 关于直线m 的对称点D 恰好落在ABC ∠的角平分线上，则ADC ∠= ︒（用含α的代数式表示）．三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）计算： （1）22221(2)4x y x xy ÷⋅-；（2）2(1)(1)(1)x x x +-+-．18．（8分）如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，且DE DF =，CE BF =．求证：B C ∠=∠．19．（8分）化简并求值：223(2)()(3)a b ab b b a b a b --÷-+-，其中1b =-． 20．（8分）如图，已知MON ∠，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．（1）尺规作图：在MON ∠的内部确定一点C ，使得//BC OA 且BC OA =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中，连接OC ，仅用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得OD CD =．21．（8分）已知6x y -=，8xy =-． （1）求22x y +的值；（2）求222(2021)(2021)(2021)x y xy x y --+-+-的值．22．（10分）求证：锐角三角形两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上．23．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若2AF =，7EC =，求BF 的长度．24．（12分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，BD CE =． （1）求证：AD ED =；（2）如图2，过点D 作DF AC ⊥于F ，作BAC ∠平分线AM 分别交DF 、DC 于G 、M ，求证：AG DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG并延长交AB于H，若AH BD=，求BAC∠的度数．25．（14分）如图，在正ABC∆中，D为边AC上一点，延长BD至F使得AF AC=，过A作AH BF⊥于H，AH与FC的延长线交于点G．（1）若CAF∠为2α，直接写出AFC∠的度数；（用含α的代数式表示）（2）求GFH∠的度数；（3）已知GH CF=，求出AD CD．参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021-2022学年福建省某校八年级（上）期中数学试卷一、选择愿（每题4分，共40分）1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日∼2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 下列运算中正确的是（）A. B. C. D.3. 点A(−3, 1)关于x轴的对称点为（）A.(−3, 1)B.(−3, −1)C.(3, 1)D.(3, −1)4. 小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（）A.12:01B.10:51C.11:59D.10:215. 下列运算中正确的是（）A.a2⋅a3＝a6B.(a2)3＝a6C.(ab3)2＝ab6D.ab2+ab＝a2b36. 如图，在△ABC中，∠C＝90∘，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是（）A.6B.8C.10D.127. 下列说法中，错误的是（）A.全等三角形对应角相等B.全等三角形对应边相等C.全等三角形的面积相等8. 等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（）A.8B.10C.14D.10或149. 如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≅△OA′B′的理由是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA10. 已知√(2x−1)(1−2x)=y−2，则( )B.2x−1−y=0C.√xy=1D.x−y=2A.x y=12二、填空题（每题4分，共24分）等腰三角形的一个内角为130∘，则这个等腰三角形顶角的度数为________．若式子√x+1有意义，则实数x的取值范围是________．已知x m＝5，x n＝3，则x m+n的值为________．在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB // DE，AC＝7，CD＝3，则△CDE的周长为________．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H；经测量可知，BC＝3，CH＝2，∠B＝30∘．则H点到直线AB的距离为________．如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠BAC＝70∘，∠ABC＝60∘，∠ACB＝50∘，PD、PE恰好分别为边AB、BC的中垂线，则下列命题中正确的是（1）（2）（3）（4）．（1）A，C两点关于直线PF对称；（2）PF＝BE；（3）∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360∘；（4）∠DBA+∠FAC＝∠BAC．三、解答题（共86分）计算：（1）；（2）．（3）2a2⋅a4+(a3)2；（4）(−2a2b)3．已知：如图，AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D．求证：△ABC≅△ADE．△ABC如图所示，（1）下列各点的坐标为：A(________,________)，B(________,________)，C(________,________)；（2）在图中作△A1B1C1使得△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；（3）求△ABC的面积．已知：Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝10，BC＝8，AC＝6．（1）在AC上求作一点P，使得点P到边AB、BC的距离相等．（2）求S△ABC:S△BAP的值．已知，求出a，b的值，并计算的值．证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G，且EF＝EG．（2）在AE上求作一点P，使得BP+PF的值最小；（3）求证：AF+AG＝AB+AC．如图，AB⊥y轴，且与y轴交于点R，OR＝AR＝BR，点P为x轴上一点，记点A，P，C的横坐标分别为x A、x P、x C且x A<x P<0，连接AP，作PC⊥AP交OB于点C．（1）判断△OAB的形状并证明；（2）证明：∠PAO+∠OPC＝∠AOR；（3）求证；x P−x A＝x C．参考答案与试题解析2021-2022学年福建省某校八年级（上）期中数学试卷一、选择愿（每题4分，共40分）1.【答案】D【考点】利用轴对称设计图案【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确.故选D．2.【答案】C【考点】二次根式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】镜面对称【解析】【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的乘法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】9.【答案】B【考点】全等三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】算术平方根非负数的性质：算术平方根【解析】根据算术平方根的定义求出x 的值，从而得出y 的值，然后把x ，y 的值分别代入每一项进行解答，即可得出答案．【解答】解：根据题意可得： (2x −1)(1−2x )≥0，∴ x =12，∴ y −2=0，解得：y =2，A ，x y =(12)2=14； B ， 2x −1−y =−2；C ，√xy =√12×2=1；D ，x −y =12−2=−32.故选C ．二、填空题（每题4分，共24分）【答案】130∘【考点】等腰三角形的性质三角形内角和定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥−1.故答案为：x≥−1.【答案】15【考点】同底数幂的乘法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】10【考点】平行线的性质等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】作图—基本作图点到直线的距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共86分）【答案】原式＝＝；原式＝2−2+＝−2．2a2⋅a2+(a3)2＝8a6+a6＝5a6；(−2a6b)3＝−8a4b3．【考点】二次根式的混合运算单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方【解析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．（1）根据单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则计算；（2）根据积的乘方法则计算即可．【解答】原式＝＝；原式＝2−2+＝−2．2a2⋅a2+(a3)2＝8a6+a6＝5a6；(−2a6b)3＝−8a4b3．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∴∠3+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≅△ADE(ASA)．【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2,−2,1,2,−2,−1如图，△A1B1C3即为所求．S△ABC＝4×4−×3×3−×1×8＝7.5．【考点】作图-轴对称变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，点P即为所求．过点P作PH⊥AB于H．∵PC⊥CB，PH⊥AB，∴PH＝PC，∴＝＝＝＝，∴＝．【考点】角平分线的性质作图—复杂作图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】根据题意得：a−1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝−4，则b＝(−2)×．即b的值是−2．【考点】算术平方根非负数的性质：偶次方【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≅△CEB(SAS)．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．【考点】等腰三角形的性质【解析】先根据题意作图，结合图形写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明．可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段：DC＝BE，∠DCB＝∠EBC，BC＝CB，可证明△BDC≅△CEB，所以BD＝CE，即等腰三角形的两腰上的中线相等．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≅△CEB(SAS)．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．【答案】证明：在Rt△AFE和Rt△AGE中，，∴Rt△AFE≅Rt△AGE(HL)；如图1，作点B关于AE的对称点B′，则点P即为所求；证明：如图2，连接BE，∵DE是边BC的垂直平分线，∴EB＝EC，在Rt△BFE和Rt△CGE中，，∴Rt△BFE≅Rt△CGE(HL)，∴BF＝GC，∵Rt△AFE≅Rt△AGE，∴AF＝AG，∴AF+AG＝AB+BF+AG＝AB+GC+AG＝AB+AC．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】△OAB是等腰直角三角形，理由如下：∵AB⊥y轴，且与y轴交于点R，∴∠ARO＝∠BRO＝90∘，∵OR＝AR＝BR，∴∠AOR＝∠OAR＝∠OBR＝∠BOR＝45∘，∴OA＝OB，∠AOB＝90∘，∴△OAB是等腰直角三角形；如图1，过点P作PH⊥x轴，∵∠AOR＝∠BOR＝45∘，∴∠POH＝45∘，∠POC＝135∘，∵PH⊥AO，PC⊥AP，∴∠APC＝∠OPH＝90∘，∴∠APH＝∠CPO，∠PHO＝∠POH＝45∘，∴∠PAO+∠APH＝∠PHO＝45∘，∴∠PAO+∠OPC＝45∘＝∠AOR；如图3，过点A作AE⊥x轴于E，∵∠PHO＝∠POH＝45∘，∴PO＝PH，∠AHP＝135∘＝∠POC，在△APH和△CPO中，，∴△APH≅△CPO(SAS)，∴AP＝PC，∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠AEP＝∠CFP＝90∘，∵∠APE+∠PAE＝90∘，∠APE+∠CPF＝90∘，∴∠CPF＝∠PAE，在△AEP和△PFC中，，∴△AEP≅△PFC(AAS)，∴PE＝CF，∵∠COF＝∠ROF−∠BOR＝45∘，∴∠COF＝∠OCF＝45∘，∴OF＝CF，∴PE＝OF，∴x P−x A＝x C．【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2021-2022学年福建某校八年级（上）期中数学考试试卷一、精心选一选：本大题共10小题，每小题2分，共20分.1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A.2cm，3cm，5cmB.5cm，6cm，10cmC.1cm，1cm，3cmD.3cm，4cm，9cm3. 下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是()A. B.C. D.4. 已知△ABC≅△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为（）A.4B.5C.6D.不能确定5. 如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≅Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC6. 如图，AC=AD，BC=BD，则有( )A.AB与CD互相垂直平分B.CD垂直平分ABC.AB垂直平分CDD.CD平分∠ACB7. 能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的( )A.中线B.高线C.角平分线D.以上都不对8. 已知∠AOB＝30∘，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是( )A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm10. 如图8，坐标平面内一点A(2, −1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.5D.4二、细心填一填：本大题共6小题，每小题3分，共18分．若点M(−3, b)与点N(a, 2)关于x轴对称，则a+b=________．若正n边形的一个外角为45∘，则n=________．若a x=2，b x=3，则(ab)3x=________．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第________块去．（填序号）如图，已知在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC= 15cm，则△DEB的周长为________cm.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠α与∠A之间的数量关系为________．三、解答题（共10小题，满分62分）计算：(−23a2b)3×(13ab2)2×34a3b2．先化简，再求值：(a+b)(2a−b)−2a(a−b+1)，其中a=12，b=−2．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=40∘，∠E=30∘，求∠BAC的度数．如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB // DE．如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50∘，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求∠DBC的大小．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长．如图，∠AOB=90∘，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F．证明：PE=PF．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60∘，连接CE．（1）求证：△ABD≅△ACE；（2）求证：CE平分∠ACF；（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE=CF，AB=CD，BD与AC相交于点G．（1）求证：EG=GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．（3）若点E、F分别在线段CA的延长线与反向延长线上，其余条件不变，（1）中结论是否成立？（要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由）参考答案与试题解析2021-2022学年福建某校八年级（上）期中数学考试试卷一、精心选一选：本大题共10小题，每小题2分，共20分.1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．2.【答案】B【考点】三角形三边关系【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、2+3=5，不能组成三角形；B、5+6>10，能够组成三角形；C1+1<3，不能组成三角形；D、3+4<9，不能组成三角形．故选B．3.【答案】D【考点】三角形的高【解析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．【解答】解：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段，所以线段BE是△ABC的高的图是D．故选D．4.【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．【解答】解：∵△ABC≅△DEF，∴DE=AB=4．故选A．5.【答案】D【考点】直角三角形全等的判定【解析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90∘，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：条件是AB=CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90∘，在Rt△ABE和Rt△DCF中，{AB=CDBE=CF，∴Rt△ABE≅Rt△DCF(HL)，故选D．6.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线的判定定理得到AB是线段CD的垂直平分线，得到答案．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴AB是线段CD的垂直平分线，故选C．7.【答案】A【考点】三角形的面积三角形的角平分线、中线和高【解析】根据等底等高的两个三角形的面积相等解答．【解答】解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，面积相等．故选A．8.【答案】D【考点】等边三角形的判定轴对称的性质【解析】根据轴对称的性质可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60∘，即可判断△P1OP2是等边三角形．【解答】根据轴对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60∘，∴△P1OP2是等边三角形．9.【答案】D【考点】含30度角的直角三角形【解析】先求出∠ACD=30∘，然后根据30∘所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90∘，∴∠ACD=∠B=30∘（同角的余角相等），∵AD=3cm，在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm．∴AB的长度是12cm．故选D.10.【答案】D【考点】等腰三角形的判定与性质坐标与图形性质【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．【解答】①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选D．二、细心填一填：本大题共6小题，每小题3分，共18分．【答案】−5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】直接利用关于x轴对称点的性质，得出a，b的值即可．【解答】解：∵点M(−3, b)与点N(a, 2)关于x轴对称，∴a=−3，b=−2，则a+b=−3−2=−5．故答案为：−5．【答案】8【考点】多边形内角与外角【解析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．【解答】n=360∘÷45∘=8．所以n的值为8．【答案】216【考点】幂的乘方与积的乘方【解析】直接利用积的乘方运算法则化简进而将已知代入求出答案即可．【解答】解：∵a x=2，b x=3，∴(ab)3x=(a x b x)3=(2×3)3=216．故答案为：216．【答案】③全等三角形的应用【解析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【答案】15【考点】全等三角形的性质【解析】先根据ASA判定△ACD≅△ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∵DE⊥BC于E，∴∠DEC=∠A=90∘，∵CD=CD，∴△ACD≅△ECD，∴AC=EC，AD=ED，∵∠A=90∘，AB=AC，∴∠B=45∘，∴BE=DE，∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．故答案为：15.【答案】2∠α+∠A=180∘【考点】全等三角形的性质【解析】根据SAS证明△BED与△CDF全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B，在△BED与△CDF中，{BE=CD ∠B=∠C BD=CF，∴△BED≅△CDF(SAS)，∴∠BED=∠FDC，∵∠α+∠FDC=∠B+∠BED，∴∠α=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴2∠α+∠A=180∘．故答案为：2∠α+∠A=180∘．三、解答题（共10小题，满分62分）【答案】解：原式=−827a6b3⋅19a2b4⋅34a3b2=−281a11b9．【考点】单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方【解析】根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的乘法，根据单项式的乘法，可得答案．【解答】解：原式=−827a6b3⋅19a2b4⋅34a3b2=−281a11b9．【答案】解：(a+b)(2a−b)−2a(a−b+1)=2a2−ab+2ab−b2−2a2+2ab−2a =3ab−b2−2a，当a=12，b=−2时，原式=3×12×(−2)−(−2)2−2×12=−8．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：(a+b)(2a−b)−2a(a−b+1)=2a2−ab+2ab−b2−2a2+2ab−2a=3ab−b2−2a，当a=12，b=−2时，原式=3×12×(−2)−(−2)2−2×12=−8．【答案】如图所示；【考点】利用轴对称设计图案【解析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．【解答】如图所示；【答案】解：∵∠B=40∘，∠E=30∘，∴∠ECD=∠B+∠E=70∘，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140∘，∴∠BAC=∠ACD−∠B=140∘−40∘=100∘．【考点】三角形的外角性质【解析】根据三角形外角性质求出∠ECD，根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵∠B=40∘，∠E=30∘，∴∠ECD=∠B+∠E=70∘，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140∘，∴∠BAC=∠ACD−∠B=140∘−40∘=100∘．【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{BC=EF AB=DE AC=DF，∴△ABC≅△DEF(SSS)，∴∠B=∠DEF，∴AB // DE．【考点】全等三角形的性质与判定平行线的判定【解析】求出BC=EF，根据SSS证△ABC≅△DEF，推出∠B=∠DEF，根据平行线判定推出即可．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，{BC=EF AB=DE AC=DF，∴△ABC≅△DEF(SSS)，∴∠B=∠DEF，∴AB // DE．【答案】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而∠A=50∘，∴∠ABC=12(180∘−50∘)=65∘，∵使点A与点B重合，折痕为ED，∴∠ABD=∠A=50∘，∴∠DBC=∠ABC−ABD=65∘−50∘=15∘．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据等腰三角形的性质由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠ACB=65∘，然后根据折叠的性质得∠ABD=∠A=50∘，再利用∠DBC=∠ABC−ABD进行计算．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而∠A=50∘，∴∠ABC=12(180∘−50∘)=65∘，∵使点A与点B重合，折痕为ED，∴∠ABD=∠A=50∘，∴∠DBC=∠ABC−ABD=65∘−50∘=15∘．【答案】解：如图，∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADB=∠ADC=90∘，∠1=∠2，∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，∴∠ADE=12∠ADB=45∘，∠ADF=12∠ADC=45∘，∴∠ADE=∠ADF，在△ADE和△ADF中，{∠1=∠2AD=AD∠ADE=∠ADF，∴△ADE≅△ADF(ASA)，∴DF=DE=2．【考点】全等三角形的性质等腰三角形的判定与性质【解析】证明△ADE≅△ADF即可，然后可得DF=DE=2．【解答】解：如图，∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADB=∠ADC=90∘，∠1=∠2，∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，∴∠ADE=12∠ADB=45∘，∠ADF=12∠ADC=45∘，∴∠ADE=∠ADF，在△ADE和△ADF中，{∠1=∠2AD=AD∠ADE=∠ADF，∴△ADE≅△ADF(ASA)，∴DF=DE=2．【答案】解：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴∠PME=∠PNF=90∘，∵∠AOB=90∘，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN=90∘．∵∠EPF=90∘，∴∠MPN=∠EPF，∴∠MPE−∠MPN=∠EPF−∠MPN，∴∠MPE=∠NPF．∵OP平分∠AOB，∴PM=PN．在△MPE和△NPF中，{∠MPE=∠NPF ∠PME=∠PNFPM=PN，∴△MPE≅△NPF(AAS)，∴PE=PF．【考点】全等三角形的性质角平分线的性质【解析】过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，就可以得出PM=PN，四边形PMON是矩形，就可以得出∠MPN=90∘，可以求出∠MPE=∠NPF，证△MPE≅△NPF就可以得出结论．【解答】解：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴∠PME=∠PNF=90∘，∵∠AOB=90∘，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN=90∘．∵∠EPF=90∘，∴∠MPN=∠EPF，∴∠MPE−∠MPN=∠EPF−∠MPN，∴∠MPE=∠NPF．∵OP平分∠AOB，∴PM=PN．在△MPE和△NPF中，{∠MPE=∠NPF ∠PME=∠PNFPM=PN，∴△MPE≅△NPF(AAS)，∴PE=PF．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60∘，∵∠DAE=60∘，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≅△ACE．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BCA=60∘，∵△ABD≅△ACE，∴∠ACE=∠B=60∘，∵△ABD≅△ACE，∴∠ACE=∠B=60∘，∴∠ECF=180−∠ACE−∠BCA=60∘，∴∠ACE=∠ECF，∴CE平分∠ACF．（3）解：∵△ABD≅△ACE，∴CE=BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，∵AB=AC，∴BD=12BC=12×2=1．【考点】全等三角形的性质等边三角形的判定方法【解析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需证∠BAD=∠CAE即可得结论；（2）证明∠ACE和∠ECF都等于60∘即可；（3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60∘，∵∠DAE=60∘，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≅△ACE．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BCA=60∘，∵△ABD≅△ACE，∴∠ACE=∠B=60∘，∵△ABD≅△ACE，∴∠ACE=∠B=60∘，∴∠ECF=180−∠ACE−∠BCA=60∘，∴∠ACE=∠ECF，∴CE平分∠ACF．（3）解：∵△ABD≅△ACE，∴CE=BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=2，∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，∵AB=AC，∴BD=12BC=12×2=1．【答案】解：（1）证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ．∴ AF =CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，{AB =CD AF =CE∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)，∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{∠BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)．∴ EG =FG ．（2）解：（1）中结论依然成立．理由如下：∵ AE =CF ，∴ AE −EF =CF −EF ．∴ AF =CE ．∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中{AB =CD AF =CE， ∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)．∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)．∴ EG =FG ．（3）（1）中结论依然成立．如图所示：理由如下：∵ AE =CF ，∴ AE +ACEF =CF +AC ．∴ AF =CE ．∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中{AB =CD AF =CE，∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)．∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)．∴ EG =FG ．【考点】全等三角形的性质【解析】（1）先利用HL 证明Rt △ABF ≅Rt △CDE ，从而得到ED =FB ，然后再根据AAS 证明△BFG ≅△DGE ，从而可证得EG =FG ；（2）先证AF =EC ，然后利用HL 证明Rt △ABF ≅Rt △CDE ，从而得到BF =DE ，然后利用AAS 证明△BFG ≅△DGE ，从而可得到EG =FG ；（3）先根据要求画出图形，然后依据HL 证明Rt △ABF ≅Rt △CDE ，从而得到BF =DE ，然后利用AAS 证明△BFG ≅△DGE ，从而可得到EG =FG ．【解答】解：（1）证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ．∴ AF =CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，{AB =CD AF =CE∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)，∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{∠BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)．∴ EG =FG ．（2）解：（1）中结论依然成立．理由如下：∵ AE =CF ，∴ AE −EF =CF −EF ．∴ AF =CE ．∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中{AB =CD AF =CE， ∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)．∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)．∴ EG =FG ．（3）（1）中结论依然成立． 如图所示：理由如下：∵ AE =CF ，∴ AE +ACEF =CF +AC ． ∴ AF =CE ．∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ ∠DEG =∠BFE =90∘．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中{AB =CD AF =CE， ∴ Rt △ABF ≅Rt △CDE(HL)． ∴ BF =DE ．在△BFG 和△DEG 中{BFG =∠DEG∠BGF =∠DGE BF =DE，∴ △BFG ≅△DGE(AAS)． ∴ EG =FG ．。

2021-2022学年福建省福州八中八年级（上）期中数学试卷1.下列图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (−a2)3=−a5C. a10÷a9=a(a≠0)D. (−bc)4÷(−bc)2=−b2c23.在直角坐标系中，点P(3,1)关于x轴对称点的坐标是()A. (3,1)B. (−3,1)C. (3,−1)D. (−3,−1)4.一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=60°，∠B=75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为()A. 75°B. 60°C. 45°D. 40°5.如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB，CD两根木条)，这样做是运用了三角形的()A. 全等性B. 灵活性C. 稳定性D. 对称性6.一个多边形的内角和是720°，这个多边形是()A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形7.若x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为()A. 3B. 2C. 0D. −38.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是()A. a(m+n)=am+anB. a2−b2−c2=(a−b)(a+b)−c2C. 10x2−5x=5x(2x−1)D. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x9.如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知14m2+14n2=n−m−2，则1m+1n的值等于()A. 1B. 0C. −1D. −1411.(1−π)0=______ ．12.已知x m=5，x n=3，则x m+2n的值为______．13.计算(10xy2−15x2y)÷5xy的结果是______．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若CD=3cm，则点D到AB的距离为______cm．15.如图，DE//BC交AB、AC于D、E两点，CF为BC的延长线，若∠ADE=50°，∠ACF=110°，则∠A=______度．16.如图，已知∠AOB=α(0°<α<60°)，射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP=α，则∠OMP=______．17.(1)计算：(3x3)2⋅x3；(2)分解因式：3x2−6xy+3y2．18.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OC=OD，求证：OA=OB．19.化简求值：[(2a−b)2−(b+2a)(b−2a)]÷(−2a)，其中a=−1，b=3．220.如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC=70°，∠EAD=10°，求∠B的度数．21.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．(1)尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．22.如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，并且∠EBD=90°．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求∠AEB的度数．23.阅读下列材料并解答后面的问题：完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=(a+b)2−2ab或a2+b2=(a−b)2+2ab，从而使某些问题得到解决．已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．解：a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．问题：(1)已知a+1a =6.求a2+1a2的值；(2)已知a−b=2，ab=3，求a4+b4的值．24.如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB=2∠B．(1)当∠B=31°时，求∠BAD的度数；(2)求证：BE=EC；(3)求证：AB=2CF．25.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO=2，AB=2OA．(1)作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标；(2)求∠BAO的度数；(3)如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形△PBD，DA的延长线交y轴于点Q，①求AQ的长；②若OB=2√3，求BD的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．利用轴对称图形的定义进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：A.a2⋅a3=a5，故A错误；B.(−a2)3=−a6，故B错误；C.a10÷a9=a(a≠0)，故C正确；D.(−bc)4÷(−bc)2=b2c2，故D错误；故选C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容.记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．根据关于x轴对称的点的坐标可得．【解答】解：点P(3,1)关于x轴对称点的坐标是(3,−1)．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°，故选：C．根据三角形内角和定理即可解决问题；本题考查三角形内角和定理，记住三角形内角和等于180°是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：这样做是运用了三角形的：稳定性．故选C．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形，则多边形的形状就不会改变．本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．6.【答案】A【解析】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得(n−2)180°=720°，解得：n=6，故这个多边形是六边形．故选：A．利用n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，结合方程即可求出答案．本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为(n−2)⋅180°是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：根据题意得：(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx，∵x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，∴m=−3；故选：D．根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx，计算即可．此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查因式分解的概念，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题．根据因式分解的定义即可判断．【解答】解：A.该变形为去括号，故A不是因式分解；B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；C.符合因式分解定义，故C是因式分解；D该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解．故选：C．9.【答案】C【解析】解：①△EBD是等腰三角形，EB=ED，正确；②折叠后∠ABE+2∠CBD=90°，∠ABE和∠CBD不一定相等(除非都是30°)，故此说法错误；③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；④△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确．故选：C．图形的折叠过程中注意出现的全等图象．正确找出折叠时出现的全等三角形，找出图中相等的线段，相等的角是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵14m2+14n2=n−m−2，∴m2+n2=4n−4m−8，∴(m2+4m+4)+(n2−4n+4)=0，∴(m+2)2+(n−2)2=0，∴m+2=0，n−2=0，解得m=−2，n=2，∴1m+1n=−12+12=0．故选：B．首先根据14m2+14n2=n−m−2，可得：(m+2)2+(n−2)2=0，据此求出m、n的值各是多少；然后把求出的m、n的值代入1m +1n计算即可．此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．11.【答案】1【解析】解：∵π≠1∴(1−π)0=1故答案是：1．根据任何非0的数的0次方都等于0，即可求解．本题主要考查了零指数幂的性质，任何非0的数的0次幂等于0．12.【答案】45【解析】解：∵x m=5，x n=3，∴x m+2n=x m×x2n=x m×(x n)2=5×32=5×9=45．故答案为：45．利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．13.【答案】2y−3x【解析】解：(10xy2−15x2y)÷5xy=2y−3x．故答案为：2y−3x．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14.【答案】3【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm．故答案为：3．过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．15.【答案】60【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解．【解答】解：∵DE//BC，∠ACF=110°，∴∠AED=∠ACB=180°−∠ACF=70°，∵∠ADE=50°，∴∠A=180°−70°−50°=60°．故答案为60．16.【答案】30°或120°−α．【解析】解：(1)当P位于MN左侧时，如图1，∵△OMN是等边三角形，∴MN=MO=ON，∠MON=∠MNO=60°，∵∠MNP=∠AOB=α，∴∠PON=∠PNO，∴PO=PN，△MPO≌△MPN，(SAS)∴∠OMP=∠NMP=12∠OMN=12×60°=30°(2)当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，此时△MPQ是等边三角形，∴∠MPQ=60°，∴∠OMP=180°−∠MPQ−∠MOP=180°−60°−α=120°−α，故答案为：30°或120°−α．分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数，考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型．17.【答案】解：(1)原式=9x6⋅x3=9x9；(2)原式=3(x2−2xy+y2)=3(x−y)2．【解析】(1)直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则化简得出答案；(2)直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了单项式乘单项式运算、积的乘方运算以及提取公因式法、公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】证明：∵OC=OD，∴△ODC是等腰三角形，∴∠C=∠D，又∵AB//DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A=∠B，∴△AOB是等腰三角形，∴OA=OB．【解析】根据OC=OD得，△ODC是等腰三角形；根据AB//DC，得出对应角相等，求得△AOB是等腰三角形，证明最后结果．本题主要考查了等腰三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．19.【答案】解：原式=(4a2−4ab+b2−b2+4a2)÷(−2a)=(8a2−4ab)÷(−2a)=−4a+2b，当a=−1，b=3时，原式=2+6=8．2【解析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵AE是角平分线，∠BAC=35°．∴∠BAE=12∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=35°+10°=45°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠ADC−∠BAD=90°−45°=45°．∠BAC=35°，那么∠BAD=∠BAE+∠EAD=【解析】根据AE是角平分线，得∠BAE=1245°.根据AD是△ABC的高，得∠ADC=90°.根据三角形外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD，那么∠B=∠ADC−∠BAD=45°．本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)如图所示：BD即为所求；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=36°+36°=72°，∴BD=BC，∴△DBC是等腰三角形．【解析】(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；(2)由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．22.【答案】证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=90°，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中{AC=BC∠ACE=∠BCD ED=DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，∵∠AEB+∠AEC+∠BEC=360°，∴∠AEB=360°−(∠AEC+∠BEC)=360°−(∠BDC+∠BEC)在四边形BDCE中，∠EBD+∠BEC+∠ECD+∠BDC=360°，其中，∠EBD=90°，∠ECD=60°，∴∠BEC+∠BDC=360°−(∠EBD+∠ECD)，∠AEB=360°−(∠AEC+∠BEC)=360°−360°+(∠EBD+∠ECD)=∠EBD+∠ECD=90°+60°=150°．【解析】(1)由已知条件推导出△ACE≌△BCD，(2)由全等三角形的性质从而∠DBC=∠CAE，再通过角之间的转化，利用三角形内角和定理能求出∠AEB的度数．本题考查全等三角形的判定和性质，解题时要注意等边三角形的性质、三角形全等的性质和三角形内角和定理的合理运用．23.【答案】解：(1)∵(a+1a )2=a2+1a2+2，∴a2+1a2=(a+1a)2−2=62−2=34；(2)∵a−b=2，ab=3，∴a2+b2=(a−b)2+2ab=4+2×3=10，a2b2=9，∴a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2=100−2×9=82．【解析】(1)把已知条件两边平方，然后整理即可求解；(2)先根据a2+b2=(a−b)2+2ab求出a2+b2的值，然后根据所求结果a2b2=9同理即可求出a4+b4的值．本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式整理成已知条件的形式是求解的关键．24.【答案】解：(1)∵∠B=31°∴∠ACB=2∠B=62°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=31°，∴∠BCE=∠B=31°，∴∠AEC=∠BCE+∠B=62°，∵AD⊥CE，∴∠BAD=90°−62°=28°；(2)设∠B=α，∴∠ACB=2∠B=2α，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=1∠ACB=α，2∴∠BCE=∠B，∴BE=EC；(3)作AH//BC交CF的延长线于点H，则∠H=∠BCE，∠HAE=∠B，∵CE为三角形的角平分线，∠ACB=2∠B，∴∠ACB=2∠BCE=2∠ACH，∴∠BCE=∠B，∠H=∠ACH，∴EB=EC，∠H=∠HAE，∴EA=EH，∴EA+EB=EH+EC，即AB=HC，∵AE⊥CH，∠HAE=∠B，∴AH=AC，∴CF=BF，∴HC=2CF，∴AB=2CF；【解析】(1)由角平分线的性质可求∠BCE=∠B=31°，由外角的性质和直角三角形的性质可求解；(2)由角平分线的性质可得∠BCE=∠B，可得结论；(3)作AH//BC交CF的延长线于点H，要证明AB=2CF，只要证明AB=CH即可，根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到AB=CH，再根据等腰三角形的性质可以得到CF=HF，从而可以证明结论成立．本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.【答案】解：(1)如图1中，∵A，E关于y轴对称，∴OA=OE=2，∴E(2,0)．(2)如图1中，∵OA=OE，BO⊥AE，∴BA=BE，∵AB=2OA=AE，∴AB=BE=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAO=60°．(3)①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J．∵△PBD，△ABE都是等边三角形，∴BA=BE，BP=BD，∠PBD=∠ABE=60°，∴∠ABD=∠EBP，在△ABD和△EBP中，{AB=EB∠ABD=∠EBP BD=BP，∴△ABD≌△EBP(SAS)，∴∠EPB=∠ADB，∵∠AJP=∠DJB，∴∠PAJ=∠DBJ=60°，∴∠OAQ=∠PAJ=60°，∵∠AOQ=90°，∴∠AQO=30°，∴AQ=2AO=4．②∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，∵AQ=4，∴AB=AQ，∵AO⊥BQ，∴OQ=OB=2√3，∵∠AQO=30°，∴点D的运动轨迹是直线QD，根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，最小值=12BQ=2√3．【解析】(1)根据轴对称的性质求出OE对称即可．(2)证明△ABE是等边三角形即可．(3)①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J.推出△ABD≌△EBP(SAS)，推出∠EPB=∠ADB，由∠AJP=∠DJB，可得∠PAJ=∠DBJ=60°，由此即可解决问题．②由∠AQO=30°，推出点D的运动轨迹是直线QD，根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，最小值=12BQ=2√3．本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。