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专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由． （2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论． （3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值． （3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足． （1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。
考点跟踪突破19线段、角、相交线和平行线一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·济宁)把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( C )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边2．(2014·长沙)如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( B )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm3．(2014·汕尾)如图，能判定EB∥AC的条件是( D )A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE4．(2014·丽水)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是( D )A．50°B．45°C．35°D．30°5．(2013·钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点有( C )A．2个B．3个C．4个D．5个解析：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1，a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1，b2时，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M1，M2，M3，M4，一共4个．故选C二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·杭州)已知直线a ∥b ，若∠1＝40°50′，则∠2＝__139°10′__．,第6题图),第7题图)7．(2014·湘潭)如图，直线a ，b 被直线c 所截，若满足__∠1＝∠2(答案不唯一)__，则a ，b 平行．8．(2013·河南)将一副直角三角板ABC 和DEF 如图放置(其中∠A ＝60°，∠F ＝45°)，使点E 落在AC 边上，且ED ∥BC ，则∠CEF 的度数为__15°__．9．(2014·威海)直线l 1∥l 2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝__40°__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·温州)如图，直线AB ，CD 被BC 所截，若AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__80°__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·益阳)如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°.求∠C 的度数．解：∵EF ∥BC ，∴∠BAF ＝180°－∠B ＝100°，∵AC 平分∠BAF ，∴∠CAF ＝12∠BAF＝50°，∵EF ∥BC ，∴∠C ＝∠CAF ＝50°12．(10分)(2013·邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F.(1)求证：CF ∥AB ； (2)求∠DFC 的度数．解：(1)证明：∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝12∠DCE ＝12×90°＝45°，∴∠3＝∠1，∴AB ∥CF(内错角相等，两直线平行)(2)∵∠1＝∠2＝45°，∠E ＝60°，∴∠DFC ＝45°＋60°＝105°13．(10分)(2013·湘西)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3. (1)求DE 的长；(2)求△ADB 的面积．解：(1)∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ＝3(角平分线的性质) (2)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴S △ADB ＝12AB·DE ＝12×10×3＝1514．(10分)(2013·嘉兴)小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图①，直线a ，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图②，画PC ∥a ，量出直线b 与PC 的夹角度数，即直线a ，b 所成角的度数． (1)请写出这种做法的理由；(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图③)：①以点P 为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b ，PC 于点A ，D ；②连接AD 并延长交直线a 于点B ，请写出图③中所有与∠PAB 相等的角，并说明理由；(3)请在图③画板内作出“直线a ，b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．解：(1)PC ∥a(两直线平行，同位角相等)(2)∠PAB ＝∠PDA ＝∠BDC ＝∠1，如图，∵PA ＝PD ，∴∠PAB ＝∠PDA ，∵∠BDC ＝∠PDA(对顶角相等)，又∵PC ∥a ，∴∠PDA ＝∠1，∴∠PAB ＝∠PDA ＝∠BDC ＝∠1 (3)如图，作线段AB 的垂直平分线EF ，则EF 是所求作的图形。
浙江省绍兴市2015年中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算3)1(⨯-的结果是A. -3B. -2C. 2D. 3 考点：有理数的乘法．.分析：根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 解答：解：（﹣1）×3=﹣1×3=﹣3． 故选A ．点评：本题考查了有理数的乘法，是基础题，计算时要注意符号的处理．2. 据中国电子商务研究中心监测数据显示，2015年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27 800 000 000元，将27 800 000 000用科学计数法表示为A. 2.78×1010B. 2.78×1011C. 27.8×1010D. 0.278×1011考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：解：将27 800 000 000用科学记数法表示为2.78×1010． 故选：A ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是考点：简单组合体的三视图．.分析：根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．解答：解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形． 故选：C ．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4. 下面是一位同学做的四道题：①ab b a 532=+；②6236)3(a a =；③326a a a =÷；④532a a a =⋅，其中做对的一道题的序号是A. ①B. ②C. ③D. ④ 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．. 分析：①根据合并同类项，可判断①， ②根据积的乘方，可得答案；③根据同底数幂的除法，可得答案；④根据同底数幂的乘法，可得答案．解答：解：①不是同类项不能合并，故①错误； ②积的乘方等于乘方的积，故②错误；③同底数幂的除法底数不变指数相减，故③错误； ④同底数幂的乘法底数不变指数相加，故④正确； 故选：D ．点评：本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．5. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 A.31 B. 52 C. 21 D. 53 考点：概率公式．.分析：由在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球， ∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是：=．故选B ．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6. 化简xx x -+-1112的结果是 A. 1+x B.11+x C. 1-x D. 1-x x 考点：分式的加减法．.专题：计算题．分析：原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 解答：解：原式=﹣===x+1．故选A点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。
2015 年浙江省杭州市中考数学试卷分析（本试卷满分 120 分，考试时间100 分钟）一、认真选一选 (10 个小题，每题 3 分，共 30分 )下边每题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1、统计显示， 2013 年末杭州市各种高中在校学生人数约是 11.4 万人，将11.4 万用科学记数法表示应为【】A. 11.4 10×4B. 1.1410×4C. 1.14 10×5D. 0.114 10×6【答案】 C.【考点】 科学记数法 .【剖析】 依据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n，此中 1≤|a ＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确立 a 的值以及 n 的值 . 在确立 n 的值时，看该数是大于或等于 1 仍是小于 1. 当该数大于或等于1 时， n 为它的整数位数减1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前0 的个数（含小数点前的 1 个0） . 所以，∵ 11.4 万 =114 000 一共 6 位，∴ 11.4 万 =114 000=1.14 10×5.应选 C.2、以下计算正确的选项是【 】A.23 24 27 B. 23 24 2 1 C. 23 24 27 D. 23 24 21【答案】 C.【考点】 有理数的计算 .【剖析】 依占有理数的运算法例逐个计算作出判断：A. 23 24 8 16 24 27 ，选项错误；B. 23 24 16 248 2 1 ，选项错误；C. 23 24 23 427 ，选项正确； D. 2324 2342 121 ，选项错误 .应选 C.3、以下图形是中心对称图形的是【】A.B. C. D.【答案】 A ．【考点】 中心对称图形．【剖析】 依据中心对称图形的看法，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180 度后与原图重合 .所以，A 、∵该图形旋转180 °后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形；B、∵该图形旋转180 °后不可以与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；C、∵该图形旋转180 °后不可以与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形；D、∵该图形旋转180 °后不可以与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形．应选 A．4、以下各式的变形中，正确的选项是【】A.(x y)( x y) x2y2B.1x1x xxC.x24x 3 ( x 2)21D. x x2x11x 【答案】 A ．【考点】代数式的变形 .【剖析】依据代数式的运算法例逐个计算作出判断：A.( x y)(x y)(x y)( x y)x2y 2，选项正确；B.1x 1x21 x，选项错误；x x xC.x2 4 x3x24x41( x2) 2 1 ( x2)2 1 ，选项错误；D.x x2xx2xx11 1 ，选项错误. x1x应选 A．5、圆内接四边形ABCD 中，已知∠ A=70 °，则∠ C=【】A.20 °B. 30°C.70 °D. 110 °【答案】 D．【考点】圆内接四边形的性质.【剖析】∵圆内接四边形ABCD 中，已知∠ A=70°，∴依据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.应选 D．6、若k90 k 1 ( k是整数)，则k=【】A.6B.7C.8D.9【答案】 D．【剖析】 ∵ 81< 90 <10081 < 90 < 100 9 < 90 <10 ，∴ k =9.应选 D ．7、林地 108 公顷，旱地 54 公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的 20%，设把 x 公顷旱地改为林地，则可列方程【】A. 54 x 20% 108B. 54 x 20% 108xC. 54 x20% 162D. 108 x20% 54x【答案】 B.【考点】 由实质问题列方程 .【剖析】 依据题意，旱地改为林地后，旱地面积为 54 x 公顷，林地面积为 108x 公顷，等量关系为“旱地占林地面积的 20%”，即 54 x 20% 108 x . 应选 B.8、如图是某地2 月 18 日到 23 日 PM2.5 浓度和空气质量指数 AQI 的统计图 (当 AQI 不大于 100 时称空气质量为 “优秀 ”)，由图可得以下说法：① 18 日的 PM2.5 浓度最低；②这六天中 PM 2.5 浓度的中位数是112μg/cm 2；③这六天中有 4 天空气质量为 “优秀 ”；④空气质量指数 AQI 与 PM2.5 浓度相关，此中正确的 说法是【】A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】 C.【考点】 折线统计图；中位数 .【剖析】 依据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：① 18 日的 PM2.5 浓度最低，原说法正确；②这六天中 PM2.5 浓度按从小到大摆列为： 25，66，67， 92，144，158，中位数是第 3，4 个数的均匀数，为67 9279.5 μg/cm 2 ，原说法错误； 2③这六天中有 4 天空气质量为 “优秀 ”，原说法正确；④空气质量指数 AQI 与 PM2.5 浓度相关，原说法正确 . ∴正确的说法是①③④ .应选 C.9、如图，已知点 A ， B ，C ， D ， E ， F 是边长为 1 的正六边形的极点，连结随意两点均可获得一条线段，在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 3 的线段的概率为【 】A.1 2 2 5B.C.3D.459【答案】 B.【考点】 概率；正六边形的性质 .【剖析】 依据概率的求法，找准两点：①所有等可能状况的总数；②切合条件的状况数量；二者的比值就是其发生的概率. 所以，如答图，∵正六边形的极点，连结随意两点可得15 条线段，此中 6 条的连长度为 3 ：AC 、 AE 、 BD 、BF 、 CE 、DF ，∴所求概率为6 215.5应选 B.10、设二次函数 y 1a( x x 1 )( x x 2 )(a 0，x 1 x 2 ) 的图象与一次函数y 2 dx e d0 的图象交于点( x 1，0) ，若函数 y y 2 y 1 的图象与 x 轴仅有一个交点，则【】A. a( x 1 x 2 ) dB. a( x 2x 1 ) dC. a( x 1x 2 )2 dD.a 1x 2 2xd【答案】 B.【考点】 一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系 .【剖析】 ∵一次函数 y 2dx e d 0 的图象经过点 ( x 1，0) ，∴ 0 dx 1e edx 1 .∴ y 2dx dx 1d x x 1 .∴ y y2y1a( x x1 )( x x2 ) d x x1x x1 a(x x2 ) d .又∵二次函数y1a( x x1 )( x x2 )( a0， x1x2 ) 的图象与一次函数y2dx e d 0 的图象交于点 (x1，0) ，函数 y y2y1的图象与 x 轴仅有一个交点，∴函数 y y2y1是二次函数，且它的极点在x 轴上，即 y y2y1a x x12 .∴ x x1a( x x2 ) d2a( x x2 ) d a x x1..a x x1令 x x1，得 a( x1x2 ) d a x1x1，即 a( x1x2 ) d 0a( x2x1 ) d 0 .应选 B.二、认真填一填 (此题有 6 个小题，每题 4 分，共 24 分)11、数据 1， 2， 3， 5，5 的众数是▲，均匀数是▲【答案】 5；3.2.【考点】众数；均匀数【剖析】这组数据中 5 出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为 5.均匀数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的均匀数是1+2+3+5+5 3.2.512. 分解因式：m3n4mn▲【答案】 mn m 2 m 2 .【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.【剖析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是第一看各项有没有公因式，如有公因式，则把它提拿出来，以后再察看是不是完整平方公式或平方差公式，假如就考虑用公式法持续分解因式. 所以，先提取公因式mn 后持续应用平方差公式分解即可：m3 n 4mn mn m24mn m 2 m 2 .13、函数y x2 2 x 1，当y=0时，x=▲；当1x 2 时，y随x的增大而▲(填写“增大”或“减小”)【答案】1；增大.【考点】二次函数的性质.【剖析】函数 y x22x 1 ，当y=0时，即 x22x 1 0 ，解得 x 1 .∵ y x22x 12x 1 ，∴二次函数张口上，对称轴是x1，在对称轴右边y 随 x 的增大而增大 .∴当 1 x 2 时，y随x的增大而增大.14、如图，点 A，C，F ，B 在同向来线上， CD 均分∠ ECB，FG ∥ CD，若∠ ECA 为α度，则∠ GFB 为▲ _度( 用对于α的代数式表示 )【答案】 90.2【考点】平角定义；平行的性质.【剖析】∵ ECA度，∴ECB180度 .∵CD 均分∠ ECB ，∴DCB18090度 .22∵FG ∥ CD，∴GFB DCB 90度.215、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P(1， t)在反比率函数y 2P 作直线 l 与的图象上，过点xx 轴平行，点 Q 在直线 l 上，知足 QP=OP，若反比率函数y k▲的图象经过点 Q，则k =x【答案】 2 2 5 或 225【考点】反比率函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.【剖析】∵点 P(1， t)在反比率函数y 2的图象上，∴ t2 2 .∴P(1，2). x1∴OP= 5 .∵过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，知足 QP=OP，∴Q 15,2或Q15,2.∵反比率函数y k的图象经过点 Q，x∴当Q15, 2 时， k 1 5 2 2 25；Q1 5,2时， k 152225.16、如图，在四边形纸片ABCD 中， AB=BC，AD =CD ，∠ A=∠ C=90 °，∠ B=150 °，将纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的图形沿从一个极点出发的直线裁剪，剪开后的图形翻开摊平，若摊平后的图形中有一个是面积为 2 的平行四边形，则CD=▲【答案】 23或4 2 3.【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判断和性质；含30 度角直角三角形的性质；相像三角形的判断和性质；分类思想和方程思想的应用.【剖析】∵四边形纸片ABCD 中，∠ A=∠ C=90°，∠ B=150°，∴∠ C=30° .如答图，依据题意对折、裁剪、摊平后可有两种状况获得平行四边形：如答图 1，剪痕 BM、BN ，过点 N 作 NH ⊥ BM 于点 H，易证四边形BMDN 是菱形，且∠ MBN =∠C=30°.设 BN=DN= x，则 NH = 1 x . 2依据题意，得x 1x 2x 2 ，∴BN=DN =2，NH=1. 2易证四边形BHNC 是矩形，∴ BC=NH =1. ∴在Rt BCN 中，CN= 3 .∴CD=23.如答图 2，剪痕 AE、 CE，过点 B 作 BH⊥CE 于点 H，易证四边形 BAEC 是菱形，且∠ BCH =30 °.设 BC=CE = x，则 BH = 1 x . 2依据题意，得 x 12 x 2 ，∴BC=CE =2，BH =1.x2在 Rt BCH 中，CH =3，∴EH=2 3 .易证BCD∽ EHB ，∴CDBC，即CD2. HB EH123∴ CD223423. 2323综上所述， CD= 2 3 或 4 2 3.三、全面答一答 (此题有 7 个小题，共66 分)解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．17、杭州市实行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混淆着非厨余类垃圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图.（ 1）试求出 m 的值；（ 2）杭州市那一天共收到厨余垃圾约200 吨，请计算此中混淆着的玻璃类垃圾的吨数.橡塑类 22.39%玻璃类 0.9%厨余类 m%其余类 7.55%金属类 0.15%【答案】解：（ 1）m100 22.39 0.9 7.55 0.1569.01 .（ 2）∵2000.9% 1.8 ，∴此中混淆着的玻璃类垃圾约为 1.8 吨.【考点】扇形统计图；用样本预计整体 .【剖析】（ 1）由扇形统计图中的数据，依据频次之和等于 1 计算即可 .（ 2）依据用样本预计整体的看法，用200 0.9%计算即可 .18、如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，AD 均分∠ BAC，点 M、N 分别在 AB 、AC 边上， AM=2 MB，AN=2NC，求证： DM =DN .AMNB D C【答案】证明：∵ AM=2MB ， AN=2NC，∴AM2 AB，AN2AC.33又∵ AB=AC，∴AM AN .∵ AD 均分∠ BAC，∴MAD NAD .又∵ AD=AD，∴AMD≌AND SAS .∴ DM=DN.【考点】全等三角形的判断和性质.【剖析】要证DM =DN 只需AMD≌ AND 即可，两三角形已有一条公共边，由AD 均分∠ BAC，可得MAD NAD ，只需再有一角对应相等或AM AN 即可，而 AM AN 易由AB =AC，AM=2MB，AN=2NC证得 .19、如图 1，⊙ O 的半径为 r(r >0) ，若点 P ′在射线 OP 演点 ”，如图 2，⊙ O 的半径为 4，点 B 在⊙ O 上，∠O 的反演点，求A ′B ′的长 .O P 'P上，知足 OP ′?OP =r 2，则称点 P ′是点 P 对于⊙ O 的 “反BOA=60°， OA=8，若点 A ′、 B ′分别是点 A ，B 对于⊙BO A图1图2【答案】 解：∵⊙ O 的半径为 4，点 A ′、B ′分别是点 A ， B 对于⊙ O 的反演点，点 B 在⊙ O 上， OA=8，∴ OA OA42, OB OB 42，即 OA 8 42, OB 4 42.∴ OA2, OB 4. ∴点 B 的反演点 B ′与点 B 重合.如答图，设 OA 交⊙ O 于点 M ，连结 B ′M ，∵ OM=O B ′，∠ BOA=60°，∴△ OB ′M 是等边三角形 .∵ OA A M 2，∴B ′M ⊥OM.∴在 Rt OB ' M 中，由勾股定理得 A BOB 2OA 242 22 2 3 .【考点】 新定义；等边三角形的判断和性质；勾股定理.【剖析】先依据定义求出 OA2, OB 4 ，再作协助线：连结点 B ′与 OA 和⊙ O 的交点 M ，由已知∠ BOA=60°判断△ OB ′M 是等边三角形，进而在 Rt OB ' M 中，由勾股定理求得A ′B ′的长 .20、设函数 y ( x 1)[( k 1) x ( k 3)] ( k 是常数 )（ 1）当 k 取 1 和 2 时的函数 y 1 和 y 2 的图象以下图，请你在同向来角坐标系中画出当 k 取 0 时函数的图象；（ 2）依据图象，写出你发现的一条结论；（ 3）将函数 y 2的图象向左平移 4 个单位， 再向下平移 2 个单位， 获得函数 3 3的最小值 .y 的图象， 求函数 yyx【答案】解：（ 1）作图如答图：（ 2）函数y( x 1)[( k 1)x (k 3)](k 是常数 )的图象都经过点（1，0） .（答案不独一）（ 3）∵y2( x1)2，∴将函数 y2的图象向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，获得函数 y3为y2(x 3)22.∴当 x 3时，函数y3的最小值为2.【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.【剖析】（ 1）当k0时，函数为y ( x 1) x 3( x 1) x 3 ，据此作图.（ 2）答案不独一，如：函数 y (x 1)[(k 1)x (k 3)](k 是常数 )的图象都经过点；函数 y (x 1)[(k 1)x (k 3)](k 是常数 )的图象总与x 轴交于（1，0）；当 k 取 0 和 2 时的函数时获得的两图象对于（0， 2）成中心对称；等等 .（3）依据平移的性质，左右平移时，左减右加。
2015年浙江省杭州市中考数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数约为11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（ C ）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（ C ）A.743222=+B.C.D. 743222=÷ 3. 下面图形是中心对称图形的是（ A ）A. B. C. D.4.下列各式的变形中，正确的是 （ A ）5.圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，则∠C =（ D ）A.20°B.30°C.70°D.110°6. 若k ＜＜k +1（k 是整数），则k =（ D ）A.6B.7C.8D.97.某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%.设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程（ B ）411.410⨯41.1410⨯51.1410⨯50.11410⨯341222--=347222⨯=90A.54－x =20%×108B.54－x =20%（108+x ）C.54+x =20%×162D.108－x =20%（54+x ）8. 如图是某地2月18日到23日PM 2.5浓度和空气质量AQI 的统计图（当AQ 1不大于100时称空气质量为“优良”）,由图可得下列说法：①18日的PM 2.5浓度最低；②这六天中PM 2.5浓度的中位数是112μg /m 3;③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI 与PM 2.5浓度有关.其中正确的说法是（ C ）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④（第18题图1） （第18题图2）9.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ B ）A. B. C. D. 10.设二次函数y 1=a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +c (d ≠0)的图象交于点（x 1,0）.若函数y =y 1+y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则（ B ）A.a (x 1－x 2)=dB.a (x 2－x 1)=dC.a (x 1－x 2)2=dD.a (x 1+x 2)2=d二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）11.数据1,2,3,5,5的众数是 ，平均数是 .【答案】5， 12.分解因式：m 3n －4mn = .【答案】mn (m +2)(m －2)13. 函数y =x 2+2x +1，当y =0时，x = ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减341523295516小”）.【答案】-1，增大14. 如图，点A ，C ，F ，B 在同一条直线上，CD 平分∠ECB ，FG ∥CD .若∠ECA 为α度，则∠GFB 为 度（用关于α的代数式表示）.【答案】（90－）. 15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P （1，t ）在反比例函数y =x 2的图象上，过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP =OP .若反比例函数y =xk 的图象经过点Q ，则k = . 【答案】2+2,2－2.16. 如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2= . 4+23.7个小题，共66分）.17. （本小题满分6分） 杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾.如图是杭州市某一天收到的厨余类垃圾的统计图.（1）试求出m 的值；（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数.2α55(第16题)（第17题）解：（1）m =100－（22.39+0.9+7.55+0.15）=69.01；（2）其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约为200×0.9%=1.8（吨）.18. （本小题满分8分）如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM =2MB ，AN =2NC .求证：DM =DN .证明：因为AM =2MB ，所以AM =32AB ，同理，AN =32AC ， 又因为AB =AC ,所以AM =AN .因为AD 平分∠BAC ，所以∠MAD =∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD NAD MAD AN AM ,所以△AMD ≌△AND ，所以DM =DN.B DC (第18题)19. （本小题满分8分）如图1，⊙O 的半径为r (r ＞0)，若点P /在射线OP 上，满足OP /•OP =r 2，则称点P /是点P 关于⊙O 的“反演点”.如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =8.点A /，B /、分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A /B /的长.解：因为OA /•OA =16，且OA =8，所以OA /=2. 同理可知，OB /=4，即B 点的反演点B /与B 重合.设OA 交⊙O 于点M ，连接B /M ，因为∠BOA =60°，OM =OB /，所以△OB /M 为等边三角形，又因为点A /为OM 的中点，所以A /B /⊥OM ，根据勾股定理，得OB /2=OA /2+A /B /2，即16=4+A /B /2，解得A /B /=23.20. （本小题满分10分）设函数y =(x －1)[(k －1)x +(k －3)]（k 是常数）.（1）当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；O P P / • • • O AB• （第19题图1） （第19题图2）（2）根据图象，写出你发现的一条结论；（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.（第20题）解：(1)当k=0时，y=－（x－1）(x+3),所画函数图象如图；（2）①图象都过点（1,0）和点（－1,4）；②图象总交x轴于点（1,0）；③k取0和2时的函数图象关于点（0,2）中心对称；④函数y=（x－1）[(k－1)x+（x－3）]的图象都经过点（1,0）和（－1,4）；等等.（其他正确结论也行）（3）平移后的函数y3的表达式为：y3=(x+3)2－2，所以当x=－3时，函数y3的最小值等于－2.（第20题）21.（本小题满分10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.（1）用记号（a，b，c）(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形.（2）用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）.解：（1）共九种：（2,2,2），（2,2,3），（2,3,3），（2,3,4），（2,4,4,），（3,3,3），（3,3,4），（3,4,4），（4,4,4）.（2）只有a =2，b =3，c =4的一个三角形，如图的△ABC 即为满足条件的三角形.22. （本小题满分12分）如图，在△ABC 中（BC ＞AC ），∠ACB =90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E .（1）若31 DB AD ，AE =2，求EC 的长； （2）设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ,C ,G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD 于点P .问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.（第22题）A BCD E（第21题） A B C1单位长度（第21题）解：（1）因为∠ACB =Rt ∠，DE ⊥AC ，所以DE ∥BC ， 所以ECAE DB AD =. 因为31=DB AD ，AE =2，所以312=EC ， 解得EC =6.（2）①若∠CFG 1=∠ECD .此时线段CP 1为Rt △CFG 1边上的中线.证明：因为∠CFG 1=∠ECD ，所以∠CFG 1=∠FCP 1，又因为∠CFG 1+∠CG 1F =90°，∠FCP 1+∠P 1CG 1=90°，所以∠CG 1F =∠P 1CG 1，所以CP 1=G 1P 1，又因为∠CFG 1=∠FCP 1，所以CP 1=FP 1，所以CP 1=FP 1=G 1P 1，所以线段CP 1为Rt △CFG 1的FG 1边上的中线.②若∠CFG 2=∠EDC .此时线段CP 2为Rt △CFG 2的FG 2边上的高线.证明：因为∠CFG 2=∠EDC ，因为DE ⊥AC ，所以∠DEC =90°，A BCD EF G 1 G 2 P 1 P 2所以∠EDC+∠ECD=90°，所以∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°，所以CP2⊥FG2，即CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.23. （本小题满分12分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地.设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示.方成思考后发现了图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；…….请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；4h与乙相遇.问丙出发后（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过3多少时间与甲相遇？解：（1）直线BC 的函数表达式为：y =40t －60；直线CD 的函数表达式为：y =－20t +80.(2)OA 的函数表达式为y =20t (0≤t ≤1)，所以点A 的纵坐标为20. 当20＜y ＜30时，即20＜40t －60＜30或20＜－20t +80＜30， 解得2＜t ＜49或25＜t ＜3. （3）S 甲=60t －60（1≤t ≤37）； S 乙=20t (0≤t ≤4)；所画图象如图.（4）当t =34时，S 乙=380.丙距M 地的路程S 丙与时间t 的函数表达式为 S 丙=－40t +80（0≤t ≤2）.S 丙=－40t +80与S 甲=60t －60的图象交点的横坐标为57，所以丙出发57h 与甲相遇.)（第23题图1） （第23题图2）))（第23题图3）（第23题图4）。
专题跟踪突破一规律探索型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( C )A．0 B．1 C．3 D．72．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( B )A．31 B．46 C．51 D．663．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( D )A. B. C.D.4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( C )A．22 B．24 C．26 D．285．(2014·内江)如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n .△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 为( D )A .n ＋12n ＋1B .n 3n －1C .n 22n －1D .n 22n ＋1二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__2n －1（n ＋1）2__． 7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由__3n ＋1__个▲组成．8．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是__(8，3)__；点P2014的坐标是__(5，0)__．9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第n－2个数是．(用含n的代数式表示)10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于__n2＋4n__．(用n表示，n是正整数)三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x ，y)的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点，若一个多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L ；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝N ＋aL ＋b ，其中a ，b 为常数，若某格点多边形对应的N ＝82，L ＝38，求S 的值．解：(1)观察图形，可得S ＝3，N ＝1，L ＝6 (2)根据格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 中的S ，N ，L 的值可得，⎩⎨⎧4a ＋b ＝1，1＋6a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴S ＝N ＋12L －1，将N ＝82，L ＝38代入可得S ＝82＋12×38－1＝10012．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．解：(1)寻找规律：第一个图需棋子6＝3×2，第二个图需棋子9＝3×3，第三个图需棋子12＝3×4，第四个图需棋子15＝3×5，∴第五个图需棋子3×6＝18.答：第5个图形有18颗黑色棋子(2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n＋1)颗，设第n个图形有2013颗黑色棋子，则3(n＋1)＝2013，解得n＝670.答：第670个图形有2013颗黑色棋子13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n，可以发现．2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＋[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1]．把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n ＋1，整个式子等于n(n ＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ＝12n(n ＋1)， 这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是12n(n ＋1)． 下列用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n(n ＋1) 整理这个方程，得n 2＋n －600＝0，解方程得n 1＝24，n 2＝－25.根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300.请你根据上述材料回答下列问题：(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．解：(1)由题意可得n （n ＋1）2＝600，整理得n 2＋n －1200＝0，此方程无正整数解，所以，三角点阵中前n 行的点数的和不可能是600(2)由题意可得2＋4＋6＋…＋2n ＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝2×n （n ＋1）2＝n(n ＋1)；依题意，得n(n ＋1)＝600，整理得n 2＋n －600＝0，(n ＋25)(n －24)＝0，∴n 1＝－25，n 2＝24，∵n 为正整数，∴n ＝24.故n 的值是24。
考点跟踪突破27 几何作图一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·滨州)如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( A )A ．同位角相等，两直线平行B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，内错角相等 2．(2014·河北)如图，已知△ABC(AC ＜BC)，用尺规在BC 上确定一点P ，使PA ＋PC ＝BC ，则符合要求的作图痕迹是( D )3．(2013·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为( B )A ．a ＝bB ．2a ＋b ＝－1C ．2a －b ＝1D ．2a ＋b ＝1 4．(2013·河北)如图，线段AB ，BC ，∠ABC ＝90°，求作矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：1.以点C 为圆心，AB 长为半径画弧； 2．以点A 为圆心，BC 长为半径画弧；3．两弧在BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ，四边形ABCD 即为所求(如图①)． 乙：1.连接AC ，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点M ；2.连接BM 并延长，在延长线上取一点D ，使MD ＝MB ，连接AD ，CD ，四边形ABCD 即为所求(如图②)．对于两人的作业，下列说法正确的是( A ) A ．两人都对 B ．两人都不对C ．甲对、乙不对D ．甲不对、乙对5．(2013·遂宁)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·河南)在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.若CD ＝AC ，∠B ＝25°，则∠ACB 的度数为__105°__．7．(2014·梅州)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，与AC ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝__90°__；(2)AE__＝__EC ；(填“＞”“＜”或“＝”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长＝__7__．8．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__3__个．9．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于__12__．10．如图所示，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC ，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN ＝__∠α__；(2)如图②所示，在射线BM 上截取BC ＝__a__，在射线BN 上截取BA ＝__c__； (3)连接AC ，如图③所示，△ABC 就是__所求作的三角形__． 三、解答题(共40分) 11．(12分)(2013·青岛)如图，直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点． 求作：点E ，使直线DE ∥AB ，且点E 到B ，D 两点的距离相等．(在题目的原图中完成作图)解：因为点E 到B ，D 两点的距离相等，所以，点E 一定在线段BD 的垂直平分线上，首先以点D 为顶点，DC 为边作一个角等于∠ABC ，再作出DB 的垂直平分线，即可找到点E.如图所示，点E 即为所求，BE ＝DE12．(14分(2014·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)先作∠ABC 的平分线交AC 边于点O ，再以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)如图①(2)AB 与⊙O 相切．证明：作OD ⊥AB 于点D ，如图②.∵BO 平分∠ABC ，∠ACB ＝90°，OD ⊥AB ，∴OD ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切13．(14分)(2014·宁夏)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.解：(1)解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线(2)证明：∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A ＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA。
考点跟踪突破19线段、角、相交线和平行线一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·济宁)把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( C )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边2．(2014·长沙)如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( B )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm3．(2014·汕尾)如图，能判定EB∥AC的条件是( D )A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE4．(2014·丽水)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是( D )A．50°B．45°C．35°D．30°5．(2013·钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点有( C )A．2个B．3个C．4个D．5个解析：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1，a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1，b2时，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M1，M2，M3，M4，一共4个．故选C二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·杭州)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__139°10′__．,第6题图),第7题图) 7．(2014·湘潭)如图，直线a，b被直线c所截，若满足__∠1＝∠2(答案不唯一)__，则a ，b 平行．8．(2013·河南)将一副直角三角板ABC 和DEF 如图放置(其中∠A ＝60°，∠F ＝45°)，使点E 落在AC 边上，且ED ∥BC ，则∠CEF 的度数为__15°__．9．(2014·威海)直线l 1∥l 2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝__40°__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·温州)如图，直线AB ，CD 被BC 所截，若AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__80°__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·益阳)如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°.求∠C 的度数．解：∵EF ∥BC ，∴∠BAF ＝180°－∠B ＝100°，∵AC 平分∠BAF ，∴∠CAF ＝12∠BAF ＝50°，∵EF ∥BC ，∴∠C ＝∠CAF ＝50°12．(10分)(2013·邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F.(1)求证：CF ∥AB ；(2)求∠DFC 的度数．解：(1)证明：∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝12∠DCE ＝12×90°＝45°，∴∠3＝∠1，∴AB ∥CF(内错角相等，两直线平行)(2)∵∠1＝∠2＝45°，∠E ＝60°，∴∠DFC ＝45°＋60°＝105°13．(10分)(2013·湘西)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.(1)求DE 的长；(2)求△ADB 的面积．解：(1)∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3(角平分线的性质)(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝10，∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝1514．(10分)(2013·嘉兴)小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图①，直线a，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图②，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．(1)请写出这种做法的理由；(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图③)：①以点P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连接AD并延长交直线a于点B，请写出图③中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；(3)请在图③画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．解：(1)PC∥a(两直线平行，同位角相等)(2)∠PAB＝∠PDA＝∠BDC＝∠1，如图，∵PA＝PD，∴∠PAB＝∠PDA，∵∠BDC ＝∠PDA(对顶角相等)，又∵PC∥a，∴∠PDA＝∠1，∴∠PAB＝∠PDA＝∠BDC＝∠1(3)如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形。
