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多元函数求导法则

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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y

多元函数的求导法则-精选

多元函数的求导法则-精选

z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
主讲人： 苏本堂
zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]

多元复合函数和隐函数的求导法则

多元复合函数和隐函数的求导法则

别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2

x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解

(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u

f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z

x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy

高数第四节-多元复合函数的求导法则

高数第四节-多元复合函数的求导法则

u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,

7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
（2 2型）
求导公式
函数结构（路线图）
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理）
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 （乘法原理）
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1（全导数） 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2：一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时，不必区分

多元复合函数关系图与求导法则

多元复合函数关系图与求导法则

z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z

03第八章 第3节多元复合函数求导法则

03第八章 第3节多元复合函数求导法则

u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
14
例 6. z eu sinv, u xy, v x y,求 z , z .
解: d z d ( eu sin v )
例 3. 设 z u v sin t , u et ,
求全导数 d z .
dt
z
解:
dz z du z dv z dt u dt v dt t
tt
vet u sin t cost
et (cos t sin t) cost
9
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz

f21 xyf22;
x
y
z
x
y
z
于是
2w xz

f11

xyf12

yf2
yz(
f21

xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
11
例5 设z x2 f ( y , xy),其中f具有二阶连续偏导, x
f12

f2 2
zபைடு நூலகம்
uv x yx y
5
又如 z f (x,v), v (x, y)
当它们 都具有可微条件时，则有
z x
f x
f v
v x

f1
f 2 1
z y
f v
v y

多元函数的偏导数与方向导数

多元函数的偏导数与方向导数

多元函数的偏导数与方向导数在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。

对于多元函数，我们可以研究其导数和方向导数来揭示函数的性质和变化规律。

本文将介绍多元函数的偏导数和方向导数的概念及其计算方法，并通过具体的例子进行解析。

一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一变量上的导数。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi（i=1, 2, ..., n），表示在其他自变量保持不变的条件下，函数对第i个自变量的变化率。

注意，偏导数只关心某一变量的变化对函数的影响，而其他变量视为常数。

计算多元函数的偏导数时，可以按照每个自变量单独求导的方式进行，即将其他自变量视为常数进行计算。

最终的偏导数结果是一个函数，而不是一个具体的数值。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。

二、方向导数方向导数是多元函数在给定方向上的变化率。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，在点(x0, y0, ..., zn)沿着向量u=(u1, u2, ..., un)的方向上的方向导数可以表示为∂f/∂u = ∇f · u，其中∇f表示函数f的梯度（即所有偏导数的向量），u表示单位向量。

计算函数沿给定方向的方向导数时，首先需要计算函数的梯度∇f，然后再与给定方向向量u进行点乘，得到方向导数的值。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处沿着向量u=（2, 1）的方向上的方向导数可以表示为∂f(u)/∂u = ∇f(1, 2) · (2, 1) = 10。

三、应用实例下面我们通过实例来进一步理解偏导数和方向导数在多元函数中的应用。

例1：考虑函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2，求其在点(1, 2)处的偏导数和沿着向量u=(1, 2)的方向导数。

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

多元复合函数的求导法则详解

多元复合函数的求导法则详解

多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。

下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。

链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。

我们用一个简单的例子来说明。

假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。

现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。

首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。

然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。

接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。

根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。

在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。

我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。

即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。

然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。

根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。

将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。

接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。

因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。

这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。

第四节 多元函数的求导法则

第四节 多元函数的求导法则

z u z v u v lim lim u 0 0 u x v x v 0 x u0 x v
z u z v . u x v x
同理可证
z z u z v . y u y v y
是x, y的复合函数 .
如何求复合函数 f [ ( x, y), ( x, y )] z 的导数？
定理 设 u ( x, y), v ( x, y) 在点 x, y)有偏导数 ( ,
而z f (u, v ) 在对应点 u, v ) 有连续偏导数，则复合 ( 函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点( x, y) 有偏导数
du 函 数F，f，均 可 微 ， 求 . dx
四、小结
1、链式法则
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题
设 z f ( u, v , x ) ，而u ( x ) ，v ( x ) ，
dz f du f dv f ， 则 dx u dx v dx x dz f 试问 与 是否相同？为什么？ dx x
x 0 x 0
所以 z z u z v u v lim lim( ) x 0 x x 0 u x v x x x
z u z v u v lim lim lim lim lim lim u x 0 x v x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x
y
z f (sin x , e xy , ln x 2 y 2 )，f 具有连续偏 例3 设
z z 导数，求 和 . x y
多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可 能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住 函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，

(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则

(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则

z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5

0804多元复合函数的求导法则

0804多元复合函数的求导法则

w x
f1 1
f2yz
f(x y z ,x y z ) y z f ( x y z ,x y z )
1
2
2w
xz
f1fxy
11
12
y
f 2
yz[f 1 21
f22xy]
为简便 起f 见1 ,1 y 引( x 入 记z ) 号f 1 f12 x y 2 z uff ,2 f12 y 2f 2 u2fv,
练习3 u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,n 求 u , u x y
解: u f f z x x z x
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
( 3 ) s f [ u ( x , y , z ) v ( x , y , z ) w ( x , , y , z )],
s f u f v f w , x u x v x w x
s y
f u f v u y v y
f w , w y
s f u f v f w . z u z v z w z
二、全微分形式不变性*: 若 zf(u,v)关于自 u,v具 变有 量连续 , 偏导 则z的全微 dz分 f duf dv; u v 若又 u u (x 有 ,y)v , v(x ,y)关 x ,y 于 偏导 , 数 则 z 对 f[ u (x ,y )于 v ( ,x ,y )有 ]dzzdxzdy x y
t ut vt t
令t0, 则 u 有 0 , v 0 ,
udu, vdv t dt t dt
z

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
3uv , u e , v sin t , 求 . dt z du z dv dz 解 dt u dt v dt
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y

多元函数的求导法则

多元函数的求导法则

xy
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 设 zuvsitn ,u et , vcot,s求全导数 d z . dt
解: d z z du z dv z
d t u dt v dt t
z
v e tusitncot s et(cto ssit)nco t s
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
例如, u f( x ,y ,v ) ,v ( x ,y ) ,
u
u x
f1 f31 ;
2. 全微分形式不变性
u y
f 2 f3 2
x yv xy
对 zf(u,v),不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u ( u , v ) d u f v ( u , v ) d v
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业：p-167习题3
P171 习题 5 6 P174 习题1 （4） P178 习题 4 6（1），（3）7
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
u y
f y
f z z y
2yex2y2z22zex2y2z2 x2 cosy
2 (y x 4 sy ic n y o )e x 2 s y 2 x 4 s2 iy n
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2．误差估计（自学）
课堂练习：
1．求下列函数的全微分。
（1） （2）
2．一矩形边长分别为 米， 米。如果 边增加5厘米，而 边减少10厘米，求该矩形对角线的近似变化情况。
第四节多元复合函数与隐函数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则
（一）复合函数的偏导数
定理（P229）如果
1） 在 点 存在；
2） 在对应点 ， 连续，
教学方法与手段：
教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。
教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。
教学组长审阅意见：
签名：年月日
教研室主任审阅意见：
签名：年月日
理论与实验课教案续页
基本内容
教学方法手段
和时间分配
复习回顾：一元复合函数求导法则
第三节全微分及其应用
一元函数： ，在 点可导；
二元函数： ，在 点 存在；希望全增量 为
（1）
其中 是不依赖于 （仅与 点有关）的常数，
下面给出全微分的定义、存在的充要条件。
一、全微分概念
定义：若（1）式成立，则称 ，在点 可微分，而 称为在该点的全微分（total differential），记为：
（2）
二、可微与可导间的关系
P222定理1（必要条件）
在 点全微分存在 存在（+连续）
（（1）式成立）P223定理2（充分条件）
AB
几点说明：
1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式成立 在 点存在且 ；
2）反之不成立。反例见 分段函数（即 不是 的高阶无穷小）
3）反之何时成立？这就是P223定理2（充分条件）（+偏导连续）
理论与实验课教案首页
第17次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日
课程名称
高等数学
教员
职称
副教授
专业层次
药学四年制本科
年级
2016
授课方式
理论
学时
3
授课题目（章，节）
第七章 多元函数及其微分法
§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数
基本教材、主要参考书
和相关网站
则 在点 有
（1）
（2）
例1 ， ，求 。
例2 ，求 。
推广及特殊情形：
（1）自变量多于2个
，
（2）中间变量多于2个
，
例3 ， ， ，求 。
（3）只有一个中间变量
，
例4 ， ，求 。
（4）只有一个自变量（全导数，total derivative）
，
（5）一个中间变量，一个自变量（（4）中 ）
，
例5 ， ，Βιβλιοθήκη 。例6 ，求 。例7 ，求 ， 。
练习：
习题七27（1）；28(2) ; 31(1)
二、隐函数微分法
（一）一元隐函数求导公式
方法一：两边对 求导，解出 （不足：无法用一般公式表述）
方法二：由
例8设 ，求 。
（二）二元隐函数求导公式
例9设 ，求 。
例10设 ，求 。
练习：
习题七-- 35(1); 36(3)
小结
5’
难点
5’
5’
重点
难点
讨论式
两个偏微分之和
10’
推广：三元为三个偏微分之和
启发式互动
板书
5’
板书
10’
通过练习加深对方法的理解
10’
“锁链法则”
注意两点：
1）搞清函数复合关系；
2）对某个自变量求偏导，应经过一切中间变量而归结到该自变量。
10’
板书
20’
借用上图和上式
：视 为 的函数，固定 ， 对 求导；
：视 为 的函数，固定 ， 对 求导。
带入为一元函数，故
15’
注意体会利用一阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按定义求全微分不同
10’
公式
公式
首先构造
10’
5’
理论与实验课教案末页
小
结
1.掌握全微分公式及应用；
2.多元复合函数的求导法则；
3.一阶全微分形式的不变性；
4.隐函数求导法。
思
考
题
及
作
业
题
（二）一阶全微分形式的不变性
一元函数：
二元函数：
在 点可微
1） （ 为自变量）（全微分公式）
2）若 ，则 仍成立。
证：画出函数结构图，所以
（1）
（2）
注意：1）这里不变性是指形式不变。
2）多元函数全微分四则运算公式同一元情形形式上一样（见P207四条公式）
3）利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全微分的路线相反。
基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出版社，2011年，第五版
主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版
教学目标与要求：
了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念
掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法
教学内容与时间分配：
4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，（3-1-2’））
5）将自变量的增量 称为自变量的微分，记为 ，从而
（3）
6）可以推广到多元函数（>二元）
三、算法
例：求全微分。
（1）
（2）
（3）求 在 点的
四、全微分应用
1．近似计算
例（P224例4）求 的近似值。
例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半径为30厘米，高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的油漆，问共需多少油漆？
作业：习题七15（1）；25(2,4)；26(1)；29(2)；32(2)；33（2）；34
预习：第七章第七节多元函数的极值
第八节经验公式与最小二乘法
实
施
情
况
及
效
果
分
析
教员签名：年月日
复习5分钟全微分概念5分钟
可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟
复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟
一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟
小结5分钟
教学重点与难点：
重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法
难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析