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高二数学双曲线的标准方程课件

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数学：2.3《双曲线及其标准方程》课件(新人教版B选修2-1)

数学：2.3《双曲线及其标准方程》课件(新人教版B选修2-1)

方程
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a
例１、求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点为F 5,0)和 (1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0)和F2(5,0), 已知双曲线的焦点为 双曲线上的点Ｐ 双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值 6,求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程。 变题） 为6,求双曲线的标准方程。(变题） (2)已知双曲线的焦点为F (0， 6)和 (2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和 已知双曲线的焦点为 且经过点（ F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
定义：平面内与两定点F 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。 等于常数2a (0 < 2a < F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的焦距。 做双曲线的焦距。
M
F1
F2
0
F1
x P
| （x + c) + y − （x − c) + y |= 2a
2 2 2 2
对比两个方程可发现，仅互换了x, y y2 x2 ∴ 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。
定义 图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
在两组同心圆的交点中描出“ 在两组同心圆的交点中描出“与Ｆ２，F1两点的距离 的差等于8”的交点 的交点。 的差等于 的交点。

高二数学课件(双曲线)

高二数学课件(双曲线)

为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′
y 13 C
12
0
Ax
B′
20 B
F1 A1 O A2 F2 x
(3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
思考：y 1 的图像是什么形状？ x
图像无限靠近x轴和y轴 x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双曲线 x2 y2 1, (a 0,b 0) a2 b2
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
如何记忆双曲线的渐进线方程？
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
e c (e 1) a
b
yx
y x 0
a
ba
ya x y x 0
b
ab
例题讲解
例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2－4y2=100. 5x±2y=0
双曲线标准方程： x 2 a2

y2 b2
1
1、范围：x≥a或x≤-a
Y
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
B2
3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：e= c
a
a
X
A2
B1
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件2.1双曲线及其标准方程

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件2.1双曲线及其标准方程
9
2
− =1,故
16
a=3,b=4,c=√2 + 2 =5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,
假设点M到另一个焦点的距离等于x,
则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得
2×32
所以∠F1PF2=90°,
故△1 2 =
1
1
|PF1|·|PF2|= ×32=16.
2
2
变式探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求
△F1PF2的面积.
解
2
由
9
2
− =1
16
得 a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
2 2
2 2
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 2 − 2 = 1 或 2 − 2 (a,b均为




正数),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
[注意]若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为
变式训练4[人教B版教材习题]相距1 400 m的A,B两个观察站都听到了一声
巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4 s.已知当时的声速是
340 m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方
程.
解 以线段 AB 的中点为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立平面直角

双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2

1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC

o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解

苏教版 高中数学选择性必修第一册 双曲线的标准方程 课件1

苏教版 高中数学选择性必修第一册 双曲线的标准方程 课件1

点P，Q在双曲线上，∴
9 225 a2 16b2 256 25 9a2 b2
1, 1,
此方程组无解.
当焦点在y轴上时，设标准方程为 y2 - x2 ＝1（a>0，b>0），
a2 b2
∵
点P，Q在双曲线上，∴
225
16a2
25 a2
9 b2
256
9b2
1, 1,
解得
a2
b
2
9, ∴
概念解析
双曲线的定义: 平面上到两个定点F1、 F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）
的点的轨迹叫作双曲线．
两个定点F1 、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫
作焦距．
双曲线的定义中特别强调了：
P
（1）常数小于|F1F2|，即||PF1|－|PF2|| < |F1F2|时，
<1>待定系数法求双曲线的标准方程
例
已知双曲线过点
P
3,
15 4
，
Q
16 3
, 5
且焦点在坐标轴上，求双曲线的标准方程.
【解题提示】 用待定系数法求解，设出方程，代入题设条件，求解方程组.
【解】 （方法1）当焦点在x轴上时，设标准方程为 x2 - y2 ＝1（a>0，b>0）.
a2 b2
∵
M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 （
A.x2- y2 ＝1
8
B.x2- y2 ＝1（x≤-1）
8
C. x2 +y2＝1
8
） D.x2- y2 ＝1（x≥1）
8
【解题提示】 由题意，化简得出|MC2|-|MC1|＝2<|C1C2|，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案. 【解析】设动圆的圆心M的坐标为（x，y），半径为r，

双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数 是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线

1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线 的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离 和它 到定 直线 : x

3.2.1双曲线的标准方程课件高二上学期数学选择性


点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程
2 2
−


=1,当mn>0时表示双曲线.其中,当m>0,n>0时表示焦
点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.
(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对
应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)
曲线.( × )
(3)若mx2+ny2=1表示双曲线,则mn<0.( √ )
2.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?
提示焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类
型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为
正,则焦点在y轴上.
重难探究·能力素养速提升
解 (1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=7.
2
因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以所求双曲线的标准方程为
9
2
2
(2)依题意可设双曲线的标准方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0).
2
2
2
+ = 6,
= 5,
依题设有 25 4
解得 2
探究点一 求双曲线的标准方程
角度1待定系数法求双曲线的标准方程
【例1】根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)a=4,经过点
2
(2)以椭圆
16
4√10
A(1,- 3 );
2
+ =1 的短轴的两个端点为焦点,且过点

双曲线的标准方程(1)课件高二上学期数学选择性


21，5
12345
内容索引
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
a＝4，经过点
A1，4
310；
(2) 焦点在 y 轴上，且过点(3，－4 2)，94，5.
【解析】 (1) 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)． 将 a＝4 代入，得1x62 －by22＝1.
12345
内容索引
又点
A1，4
310在双曲线上，
所以116－196b02 ＝1，无解，故舍去．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)． 将 a＝4 代入，得1y62 －bx22＝1，
将点 A 的坐标代入，得91×6106－b12＝1，
解得 b2＝9， 故所求双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
内容索引
思考2►►► 若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构 特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
【解析】 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，推导略．
内容索引
思考3►►► 双曲线的标准方程有什么结构特征？ 【解析】 略 思考4►►► 两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区 分？ 【解析】 略
(1) 方程表示双曲线； (2) 方程表示焦点在 x 轴上的双曲线； (3) 方程表示焦点在 y 轴上的双曲线． 【解析】 (1) 原方程可变形为|k|y－2 3－1－x2 k＝1. 若方程表示双曲线，则(|k|－3)(1－k)>0， 即1|k－|－k3>>00， 或1|k－|－k3<<00，， 解得 k<－3 或 1<k<3.

高二数学选修课件：2-3-1双曲线的标准方程


第二章
圆锥曲线与方程
(2)依题意，设所求的双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1， 16－k 4＋k 将(3 2，2)代入得 k＝4. x2 y2 ∴所求的双曲线的方程为 － ＝1. 12 8
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[例4] 在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN＝ 90°，tan∠PMN＝ 曲线方程． ，求以M、N为焦点，且过点P的双
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
解法一：(辅助圆法)以 O 为圆心，|OF1|＝5
x2 y2 为半径作圆 x2＋y2＝25， 与双曲线 9 －16＝1 联立， 解得两 16 曲线的交点即为点 P(x0，y0)．进而可得|y0|＝ 5 . 16 故所求距离为 . 5 解法二：(向量法)设点 P 的坐标为(x0，y0)，而 F1(－ 5,0)，F2(5,0)，则 → 向量PF1＝(－5－x0，－y0)，
[分析] 考查双曲线定义，能灵活运用条件求标准方程．
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
x2 y2 (1)由 ＋ ＝1 知 F1(0，－3)，F2(0,3)． 16 25
人 教 B 版 数 学
y2 x2 设双曲线的方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，则有 a b 10 4 2 － 2＝1， a b ∴a2＝5，b2＝4. a2＋b2＝9. y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 － ＝1. 5 4
启发学生在研究问题时，抓住问题实质，严谨细致思考，
规范写出解答，体会运动变化、对立统一的思想．
第二章
圆锥曲线与方程
人 教 B 版 数 学
第二章

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程


2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
人 教 B 版 数 学
，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
人 教 B 版 数 学
y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
人 教 B 版 数 学
k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2
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又因c=5，a=3，则b=4
x y 则顶点A的轨迹方程为 1 ( x 3) 9 16
2 2
四、练习与习题：
y2 x 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 1 有共同的焦点，且与
2
椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程.
y2 x2 1 4 5
y2 x x y 1m n 0 2、已知椭圆 m n 与双曲线a 2 b 2 1a, b 0
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________若|PF1|=3, 9 则|PF2|=_________
例2、k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
y
（2）建系如图，设爆炸点 P(x，y)，则 |PA|-|PB|=340×2=680

P ( x, y )

又 | AB | 800 ，
2a 680 ， c 800 ， 2 a 340 ， 400 ， c
b2 c2 a2 44400 .
A
O
B
x
故所求双曲线方程为：
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
例3、已知方程kx2+y2=4(k∈R),讨论 k取不同实数时方程所表示的曲线.
(1) K=0时,直线y=±2. (2) k=1时,是x2+y2=4,圆. (3)0<k<1时,是焦点在x轴上的椭圆. (4) k>1时,是焦点在y轴上的椭圆. (5)k<0时,焦点在y 轴上的双曲线.
一、复习回顾：
定义
图象
MF1 MF2 2a，0 2a F1 F2

方程 焦点 a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F c, 0
2
2
y x 2 1 2 a b
F 0, c
2
2
c a b
2 2
2
谁正谁是 a
二、巩固练习：
x y 1 1. 过双曲线 的焦点且垂直x轴的弦的长度 3 4 8 3 为 . 3
( x 3) y ( x 3) y 5
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
三、例题选讲： 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
F1 PF 2
； .
③*设P为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求S
F1 PF 2
例4、一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s . （1）爆炸点应在什么样的曲线上？ （2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求 曲线的方程 . 解： （1）由A、B两处听到爆炸声的时间差为2 s ，可知A、B 两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速），因此爆炸点 应位于以A、B为焦点的双曲线上。 因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处 的一支上。
2 2
2
有相同的焦点F1、F2，P为两条曲线的交点，求 |PF1||PF2|的值. P •F1
2
3、已知F1、F2为
•F2
x y 1 双曲线 16 9
2
的焦点，弦MN过F1且M、
N在同一支上，若|MN|=7，
M
•F1 N
•F2
求△MF2N的周长.
4、已知双曲线16x2-9y2=144 ①求焦点的坐标； ②设P为双曲线上一点，且|PF1||PF2|=32，求 S
y2 x 1 ( x 0) . 115600 44400
2
例5、已知B（-5，0）,C（5，0）是三角形ABC 的两个顶点，且 sin B sin C 3 sin A, 求顶点A的 5 轨迹方程。 解：在△ABC中，|BC|=10， 3 sin B sin C sin A, 5 3 3 AC AB BC 10 6 10 5 5 故顶点A的轨迹是以B、C为焦点，的双曲线的左支
(0, 6 ) 2、y2-2x2=1的焦点为 、焦距是 2
2
2
6.
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 . -2<<-1
4、说明下列方程各表示什么曲线：
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线