dd12-暑-05s-p06带余除法与同余

余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个
整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整
数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一
类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
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第六讲抽屉原理抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

例2、一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？例3、证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

例4、从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

例5、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

例6、从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。

我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放2个还剩1个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有3个苹果.同样，如果苹果个数变为7个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4个苹果了。

这里有什么规律呢？先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余1个苹果，那么多余的苹果无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。

这样，可得到下述加强的抽屉原理：把多于m×n个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m＋1）个以上的苹果。

六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。

根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。

所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。

一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。

这个凑，可不是漫无目的的凑。

而是有理有据才行。

1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。

2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。

3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。

被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。

奥数是指奥林匹克数学竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO），是世界性的数学竞赛。

奥数竞赛注重学生的思维能力的发展，培养学生的逻辑推理、问题解决和创新思维能力。

数学竞赛中的知识点是教育学生数学基本概念及运算，以及运用数学的方法来解决问题。

下面是我所总结的奥数五六年级第五讲的知识点，主要涉及到“余数与同余”。

一、余数1.定义：在整除的运算中，除法所得的剩下的数就是余数。

2. 例如：11除以3，商为3，余数为2，记作11≡2（mod 3）。

3.基本性质：（1）两个数相加与他们的余数相加的结果相等。

（2）两个数相乘与它们的余数相乘的结果相等。

（3）两个数的商的余数与这两个数余数的商的结果相等。

（4）两个数的幂次方的余数与这两个数的幂次方的余数的结果相等。

二、同余1. 定义：若整数 a、b、m 为任意给定的整数，若 m 能整除 (a-b)，即 (a-b) 是 m 的倍数，则称a与b对模 m同余，记作a≡b (mod m)。

2.基本性质：（1）若a≡b (mod m)，则a+c≡b+c (mod m)；（2）若a≡b (mod m)，则ac≡bc (mod m)；（3）若a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，则a+c≡b+d (mod m)，ac≡bd (mod m)；（4）若a≡b (mod m)，则a^n ≡b^n (mod m)，其中 n 为任意正整数。

三、求余数与同余的方法1.利用除法法则求余数：（1）方法一：将被除数逐位地从左至右除以除数，除的过程中产生的余数就是最终的余数。

（2）方法二：利用整数的性质，寻找适合的数进行整除，或者先利用近似法求商，再求余数。

（3）方法三：利用乘法法则，将除数与整数相乘，再用被除数减去这个乘积来求余数。

2.利用同余法则求余数：（1）将同余公式改写为等式，然后同时减两边的倍数，可以得到一个新的同余公式。

（2）利用同余关系，可以将大数的运算转化为小数的运算，从而简化计算。

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。

根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。

所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。

一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。

这个凑，可不是漫无目的的凑。

而是有理有据才行。

1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。

2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。

3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。

被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。

列方程、方程组解应用题例1幼儿园大班每人发13张画片，小班每人发17张画片，大班人数是小班的2倍，小班比大班多发126张画片。

那么小班有多少人？例2一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。

在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡。

如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，则需再放50克砝码于右盘上，两边才平衡。

问：白球、黑球，每个重多少克？例3购买10种货物：A1,A2,A3,……,A10.如果在这10种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这10种货物中各买一件时，共需人民币多少元？例4海淀区举行数学竞赛，把成绩排列名次后，前7名平均分比前四名平均分少1分，前10名平均分比前7名平均分少2分。

问5，6，7名3人的得分之和比第8，9，10名得分之和多几分？例5铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？例6．从甲地到乙地全是山路，其中上山路程是下山路程的23.已知一辆汽车的上山速度是下山速度的一半，并且它从甲开到乙共用了7个小时.求这辆汽车从乙地返回甲地所需的时间？例7 体育组第一次买了6个排球和1个足球共用去155元，第二次买了13个排球和3个足球共用去365元。

求每足球、排球各多少元？例8 学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。

求每张办公桌和每把椅子各多少元？例9一个大人一餐能吃3个面包，两个幼儿一餐能吃1个面包.现在有大人和幼儿共100人，并且他们一餐共吃了100个面包.那么，在这100人中，大人和幼儿各多少人？课堂练习1、所中学食堂本周运来大米7袋，面粉4袋共重680千克，上周运来大米3袋，面粉6袋共重420千克，问每袋大米、每袋面粉各重多少千克？2、8头牛和3只羊每天共吃青草79千克，3条牛和8只羊每天共吃青草64千克，每头牛和每只羊每天各吃青草多少千克？例10．现有1分、2分、5分硬币共100枚，总共价值2元.已知其中2分硬币的价值比1分硬币的多13分，那么三种硬币各多少枚？练习：小名买了2本练习本、2支铅笔、2块橡皮，共用去1.8元；小军买了4本练习本、3支铅笔、2块橡皮，共用去2.8元；小芳买了5本练习本、4支铅笔、2块橡皮共用去3.4元。

小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。

2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。

即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。

例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。

（2）可减性：差的余数等于余数的差。

即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。

例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。

（3）可乘性：积的余数等于余数的积。

即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。

例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。

二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。

即：a 与b 同余于模m。

意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。

用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。

（余数的可减性）三、例题。

例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。

数学运算题目是广大考生普遍认为的公务员行测考试中比较难的一类题目。

但事实上，并不是所有的数学运算题目都难，如果掌握了相应的题型和方法，还是挺简单的。

下面就教给大家一个快速解答数学运算题中余数、同余问题的解答方法——代入排除法。

代入排除法是指将题目的选项直接代入题干当中验证来判断选项正误的方法。

这是处理“客观单选题”非常行之有效的方法。

最典型的运用这种方法的题型之一就是余数、同余问题。

余数、同余问题，简单的说就是题目中涉及到余数的问题，题目中会明确的给出或者暗含“除以几余几”这样的信息。

余数、同余问题如果题干里说XX数字满足YY条件，最后问XX数字是多少，都直接用代入排除法。

【例1】15. 某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人，按每五个人一组分也多一个，按每六个人一组分还是多一个，该车间至少有多少名工人? （2009年北京社招）A. 31 B. 41 C. 61 D. 122【答案】C【解析】题中的条件实际上是指工人总数除以4余1，除以5余1，除以6余1。

所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法求解。

A选项不满足除以4余1，B选项不满足除以6余1，D选项不满足除以6余1，所以答案肯定是C选项。

【例2】46.今有物不知其数，三三数之余一，五五数之余二，七七数之余三，此物至少有：（2010广西）A.37个B.52个C.97个D.157个【答案】B【解析】题中的条件实际上说的是所求数除以3余1，除以5余2，除以7余3。

所以为同余问题，又求的是具体的数字，所以采用代入排除法。

因为求的是至少，所以从最小的数开始代入，经验证，A选项不满足除以7余3，而B选项三个条件都满足，所以选B。

【例3】36.在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？（2010年9月联考）A.237B.258C.279D.290【答案】C【解析】本题的关系是：被除数+除数=319-21-6=292，没有其他条件了，所以只能采用代入排除法求解。

在数论中，同余运算是指两个整数在给定的模数下具有相同的余数。

同余运算有一些重要的性质和法则。

假设a、b 和 c 是整数，n 是正整数。

1. 反身性（Reflexive Property）：a ≡ a（mod n）任何整数与自身在模n 下都是同余的。

2. 对称性（Symmetric Property）：如果a ≡ b（mod n），则b ≡ a（mod n）如果两个整数在模n 下是同余的，那么它们可以互换位置。

3. 传递性（Transitive Property）：如果a ≡ b（mod n）且b ≡ c（mod n），则a ≡ c（mod n）如果两个整数在模n 下与同一个整数是同余的，并且它们之间也是同余的，那么它们之间也是同余的。

运算法则：1. 加法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a + c ≡ b + d（mod n）在模n 下，同余的整数的和仍然是同余的。

2. 减法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a - c ≡ b - d（mod n）在模n 下，同余的整数的差仍然是同余的。

3. 乘法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a * c ≡ b * d（mod n）在模n 下，同余的整数的乘积仍然是同余的。

4. 乘方法则：如果a ≡ b（mod n），那么a^k ≡ b^k（mod n）对于任意正整数k在模n 下，同余的整数的乘方仍然是同余的。

这些法则对于解决同余方程、证明数论中的定理以及在密码学中的应用非常有用。

同余运算也被广泛用于构建哈希函数、加密算法和随机数生成器等领域。

余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b 整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.1三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b －d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]2【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。

同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。

本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。

1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。

如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。

简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。

12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。

2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。

我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。

（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。

这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。

举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。

（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。

（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。

即同余数的幂运算后依然同余。

（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。

对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。

同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。

（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。

在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。

在密码学中，同余的概念有着重要的应用。

余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

同余问题三种类型例题同余问题是离散数学中的一类重要问题，涉及到整数的除法运算和求余操作。

在同余问题中，通过对一个整数进行除法运算，我们可以得到一个余数，根据这个余数和被除数之间的关系，可以得到不同类型的同余问题。

下面将介绍三种常见的同余问题类型，并且给出一些详细的例题。

1. 线性同余问题线性同余问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：ax ≡ b (mod n)其中a，b，n为已知整数，且n>0。

我们需要求解的是x的取值范围。

这个问题可以用来求解模方程的解集。

例题1：解方程2x ≡ 6 (mod 5)。

根据同余关系式，我们可以得到2x可以被5整除的余数必须等于6。

我们可以列出等价的方程组：2x = 6 + 5k，其中k为整数。

这是一个一次方程，我们可以通过分析得到x=3+5k/2，其中k为整数。

根据这个结果，我们可以得到x的取值范围为3，8，13，18……。

2. 同余方程问题同余方程问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：f(x) ≡ c (mod n)其中f(x)为一个与x相关的函数，c，n为已知整数，且n>0。

我们需要求解x的取值范围。

例题2：解方程x^2 ≡ 4 (mod 7)。

要解这个方程，我们需要找到满足x^2-4可以被7整除的x。

我们可以将x^2-4分解为(x-2)(x+2)，即(x-2)(x+2)≡0 (mod 7)。

得到x的取值可以为2，-2，9，-9……。

3. 同余定理问题同余定理问题是指通过对一个整数进行特定的除法运算，来得到该数的同余类。

同余类是将整数分成若干个互相不交、互相等价的集合。

同余问题中的同余定理有欧拉定理、费马小定理等。

例题3：使用费马小定理求解：3^41 ≡ ? (mod 7)。

费马小定理为如果a是整数，p是质数且a和p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

根据给定的问题，我们可以将3^41分解为(3^7)^5 * 3^6，即(3^7)^5 * 3^6 ≡ 1^5 * 3^6 ≡ 729 ≡ 2 (mod 7)。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。

带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。

下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。

1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。

多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。

2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。

那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。

带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。

带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。

3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。

首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。

带余除法定理带余除法定理是数学中一项基本概念，用于解决除法运算中的余数问题。

它是我们在学习整数除法时必须掌握的重要知识点之一。

下面我们就来详细了解一下带余除法定理的原理和应用。

带余除法定理是指当我们用一个整数除以另一个非零整数时，总可以得到一个商和一个余数。

这个定理的原理是基于整数的性质：对于任意两个整数a和b，存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q为商，r为余数。

举个例子来说明带余除法定理的应用。

假设我们要将17除以5，根据带余除法定理，我们可以得到商和余数。

首先我们找到一个最大的整数q，使得5q不超过17，这里q为3。

然后我们计算余数r，即17-5q，也就是17-5*3=2。

所以17除以5的商为3，余数为2。

在实际应用中，带余除法定理可以帮助我们解决很多问题。

比如，我们可以利用带余除法定理来判断一个数是否能被另一个数整除。

如果一个整数a除以另一个整数b的余数为0，那么我们就可以说a能被b整除。

这在编程中尤其有用，可以用来判断一个数是否为偶数或奇数，或者判断一个数是否为另一个数的因子。

带余除法定理还可以帮助我们进行整数的取模运算。

取模运算是指求一个整数除以另一个整数的余数。

在计算机科学中，取模运算经常用于计算哈希函数、判断奇偶性、周期性运算等。

带余除法定理的应用还可以扩展到负数和分数的除法中。

对于负数的除法，我们可以先对绝对值进行除法运算，然后根据被除数和除数的符号来确定商的符号。

对于分数的除法，我们可以将分子和分母都转化为整数，然后进行整数的除法运算，最后再将商和余数转化为分数形式。

总结起来，带余除法定理是解决除法运算中余数问题的重要工具。

通过带余除法定理，我们可以得到除法运算的商和余数，并应用于判断整除性、取模运算等各个领域。

带余除法定理的原理简单明了，应用广泛，是我们学习数学和计算机科学时必须掌握的基本知识之一。