天津大学金杰电磁场与电磁波 例题

1 / 91.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy A/m ，求①该平面波角频率ω、频率f 、波长λ ②电场、磁场强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。

解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π3=x k ，0=yk ，π4=z k ；)/(5)4()3(22222m rad k k k k z y x πππ=+=++=；λπ2=k ，)(4.02m k ==πλ c v f ==λ（因是自由空间），)(105.74.010388Hz c f ⨯=⨯==λ；)/(101528s rad f ⨯==ππω②)/(31),()43(m A e e z x H z x j y +-=ππ； )/()243254331120),(),(),()43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+⨯⨯=⨯=⨯=πππππππηη（③ ()[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy （A/m ） ()[]()[])/()43(cos 322431)]43(cos[31)43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+⨯+--=⨯=πωππωππωy ())43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π，)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ()())/(322461312432Re 21Re 212*)43()43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av +=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+-+-ππππ2.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。

电磁场与电磁波练习题一、单项选择题(每小题1分，共15分)1、电位不相等的两个等位面（）A. 可以相交B. 可以重合C. 可以相切D. 不能相交或相切2、从宏观效应看，物质对电磁场的响应包括三种现象，下列选项中错误的是（）A.磁化B.极化C.色散D.传导3、电荷Q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的Z 轴旋转时，导体球面上的面电流密度为（）A.sin 4q e a ?ωθπB.cos 4q e a ?ωθπC.2sin 4q e a ?ωθπD.33sin 4q e r aωθπ 4、下面说法错误的是（）A.梯度是矢量, 其大小为最大方向导数,方向为最大方向导数所在的方向。

B.矢量场的散度是标量，若有一个矢量场的散度恒为零，则总可以把该矢量场表示为另一个矢量场的旋度。

C.梯度的散度恒为零。

D.一个标量场的性质可由其梯度来描述。

5、已知一均匀平面波以相位系数30rad/m 在空气中沿x 轴方向传播，则该平面波的频率为（）A.81510π?HzB.8910?HzC.84510π?Hz D.9910?Hz6、坡印廷矢量表示（）A.穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量B.能流密度矢量C.时变电磁场中空间各点的电磁场能量密度D.时变电磁场中单位体积内的功率损耗7、在给定尺寸的矩形波导中，传输模式的阶数越高，相应的截止波长（）A.越小B.越大C.与阶数无关D.与波的频率有关8、已知电磁波的电场强度为(,)cos()sin()x y E z t e t z e t z ωβωβ=---，则该电磁波为（）A. 左旋圆极化波B. 右旋圆极化波C. 椭圆极化波D.直线极化波9、以下矢量函数中，可能表示磁感应强度的是（）A. 3x y B e xy e y =+B.x y B e x e y =+C.22x y B e x e y =+D. x y B e y e x =+10、对于自由空间，其本征阻抗为（）A. 0η=B.0η=C. 0η=D. 0η=11、自感和互感与回路的（）无关。

1、高斯定理求电场例2.2.2求真空中均匀带电球体的场强分布。

已知球体半径为a ，电 荷密度为ρ0。

解：（1）球外某点的场强（2）球内某点的场强2、安培环路定理求均匀分布磁场例2.3.2 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。

解 选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得应用安培环路定律，得ar 0 r r E a V S E V S ⎰⎰=⋅d d 001ρε 03023414ρεπa E r r π=2303ra eE r ερ =( r ≥ a ) VS E V S ⎰⎰=⋅d d 001ρε 03023414ρεπr E r r π=003ερr eE r =（r < a ）a b c()B e B φρ=(1)0aρ≤<取安培环路 ，交链的电流为 ()a ρ<22122ππI I I a a ρρ=⋅=21022πI B aρρμ=0122πI B eaφμρ=(2)a bρ≤<202πB I ρμ=022πIB eφμρ=(3)b c ρ≤<222232222b c I I I I c b c b ρρ--=-=--220322()2πI c B c b μρρ-=-2203222πI c B e c b φμρρ-=⋅-(4)cρ≤<∞40I =40B =3、拉普拉斯方程 点位 电场强度 书例3.1.3 习题3.74、双导体电容 球型电容例3.1.5 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b 均匀介质，求同轴线单位长度的电容。

解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为+ρl 和－ρl ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为内外导体间的电位差故得同轴线单位长度的电容为练习：同心球形电容器的内导体半径为、外导体半径为b ，其间填充介电常数为ε的均匀介质。

求此球形电容器的电容。

解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外 导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容εa b 同轴线 ()2πl E eρρρερ=1()d d 2πb b la a U E e ρρρρρερ=⋅=⎰⎰ln(/)2πl b a ρε=12π(F/m)ln(/)l C U b a ρε==a bεo 4π4πr r 22qqD e ,E er rε==0011d ()4π4πba q qb aU E r a b abεε-==-=⋅⎰4πab q C U b aε==-当 时，∞→b 04πC aε=孤立导体球的电容5、电感例3.3.3b ，空气填充。

1、如图1－1，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为1d 和2d ，介电常数分别为1ε和2ε，电导率分别为1σ和2σ，当外加电压0U 时，求分界面上的自由电荷密度。

解：设电容器极之间的电流密度为J ，则： 2211E E J σσ==11σJ E = ，22σJ E = 于是+=101σJd U 22σJd 即：22110σσd d U J +=分界面上的自由面电荷密度为：J E E n D n D s )1122(112212σεσεεερ-=-=-=)1122(σεσε-=22110σσd d U +2、一个截面如图2－1所示的长槽，向y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽内∞→y ，0→ϕ，底部的电位为：0)0,(U x =ϕ。

求槽内的电位。

解：由于在0=x 和a x =两个边界的电位为零，故在x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即：)(sin an n k x n k n X π==在y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在∞→y 时，电位趋于零，所以选取y n k e nY -= 由基本解的叠加构成电位的表示式为：∑∞=-=1sin n a y n e a x n n C ππϕ待定系数由0=y 的边界条件确定。

在电位表示式，令0=y ，得：∑∞==1sin 0n a x n n C U π⎰-==a n n aUdx a x n U a n C 0)cos 1(0sin 02πππ 当n 为奇数时， πn U n C4=，当n 为偶数时，00=C 。

最后，电位的解为：a y n e n a x n n U πππϕ-∑∞==5,3,1sin 043、在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量)cos()sin(0x x k t z dE y e E -=ωπ其中x k 为常数。

试求：（1）磁场强度矢量H 。

（2）两导体表面上的面电流密度s J 。

电磁场与电磁波易考简答题归纳1、什么是均匀平面电磁波？答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。

均匀平面波是指波的电场→E 和磁场→H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→E 和→H 的方向、振幅和相位不变的平面波。

2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。

答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。

3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。

答：002222=+∇=+∇→→→→H k H E k E ，式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。

意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。

电场和磁场的分量由媒质决定。

4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。

答：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇→→→→→→→ρεμμεE H t H E tE J H )4(0)3()2()1(物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。

物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。

B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。

物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。

C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。

物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。

D 、第四方程：高斯定律。

物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。

5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。

答：（1）微分形式（2） 积分形式 物理意义：同第4题。

6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。

答：→→→-=∂∂-∇J t A A μμε222，ερμε-=∂Φ∂-Φ∇→→222t物理意义：→J 激励→A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。

电磁场与电磁波计算题
可以提供一些例子，来帮助你进行电磁场与电磁波的计算题。

1. 查询一个电荷为2μC，距离为3m的点电荷产生的电场强度值。

根据库仑定律，电场强度E与该电荷q和距离r的关系为：
E = k*q/r^2
其中，k为电磁场常数（通常取9×10^9 N·m^2/C^2）。

代入已知数据可得：
E = (9×10^9 N·m^2/C^2) * (2×10^-6 C)/(3 m)^2 = 2×10^4 N/C。

2. 计算一个电流为5A，在距离2m处，产生的矩形线圈的磁场强度。

根据比奥-萨伐尔定律，矩形线圈的磁场强度B与电流I、线圈的匝数N和距离r的关系为：
B = (μ0 * I * N) / (2 * π * r)
其中，μ0为真空磁导率（μ0 = 4π×10^-7 T·m/A）。

代入已知数据可得：
B = (4π×10^-7 T·m/A) * (5 A) * (1 匝) / (2 * π * 2 m) = 1×10^-6 T。

3. 计算一个电磁波的频率，如果它的波长是3m。

电磁波速度c与频率f和波长λ的关系为：
c = f * λ
其中，c为光速（通常取3×10^8 m/s）。

代入已知数据可得：
f = c / λ = (3×10^8 m/s) / (3 m) = 10^8 Hz。

电磁场与电磁波试题与答案电磁场与微波技术基础试题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号。

每小题2分，共20分)1.设一个矢量场 =x x+2y y+3z z，则散度为( )A. 0B. 2C. 3D. 62.人们规定电流的方向是( )运动方向。

A.电子B.离子C.正电荷D.负电荷3.在物质中没有自由电子，称这种物质为( )A.导体B.半导体C.绝缘体D.等离子体4.静电场能量的来源是( )A.损耗B.感应C.极化D.做功5.对于各向同性介质，若介电常数为ε，则能量密度we为( )A. ?B. E2C. εE2D. εE26.电容器的大小( )A.与导体的形状有关B.与导体的形状无关C.与导体所带的电荷有关D.与导体所带的电荷无关7.电矩为的电偶极子在均匀电场中所受的作用力和库仑力矩为( )A. =0,Tq= ?B. =0, = ×C. = ?，= ×D. = ?， =08.在 =0的磁介质区域中的磁场满足下列方程( )A. × =0, ? =0B. × ≠0, ? ≠0C. × ≠0, ? =0D. × =0, ? ≠09.洛伦兹条件人为地规定的( )A.散度B.旋度C.源D.均不是10.传输线的工作状态与负载有关，当负载短路时，传输线工作在何种状态?( )A.行波B.驻波C.混合波D.都不是二、填空题(每空2分，共20分)1.两个矢量的乘法有______和______两种。

2.面电荷密度ρs( )的定义是______，用它来描述电荷在______的分布。

3.由库仑定律可知，电荷间作用力与电荷的大小成线性关系，因此电荷间的作用力可以用______原理来求。

4.矢量场的性质由它的______决定。

5.在静电场中，电位相同的点集合形成的面称为______。

6.永久磁铁所产生的磁场，称之为______。

第5章 时变电磁场例5.1 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。

解： 将E Jσ=代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 0)()(=∂∂+⋅∇=∂∂+⋅∇tE t E ρσρσ由于：ρερερ=⋅∇=⋅∇=⋅∇E E D,)(,所以：0=⋅+∂∂ρεσρt ，t e t ⋅-=εσρρ0)(例5.2 设z =0 的平面为空气与理想导体的分界面，z <0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为)cos(sin ),0,,(0ay t ax H a t y x H x -=ω，试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。

解：)cos(sin )cos(sin 00ay t ax H a ay t ax H a a H n J y x z S -=-⨯=⨯=ωω),()cos(sin )sin(sin )]cos(sin [000y x c ay t ax aH ay t ax aH ay t ax H yt S S +-=-=-∂∂=∂∂-ωωρωωρ假设t =0 时，0=s ρ，由边界条件s D n ρ=⋅以及n 的方向可得)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x D z -=ωω)cos(sin ),0,,(0ay t ax aH a t y x E z -=ωω例5.3 试求一段半径为b ，电导率为σ，载有直流电流I 的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。

图5.1解：如图5.1，一段长度为l 的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z 轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有：σπσπ22,1b I a J E b a J z z===在导线表面bIa H πφ2 =因此，导线表面的坡印廷矢量 3222bI a H E S rσπ-=⨯=它的方向处处指向导线的表面。

将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有R I b l I bl b I dS a S S d S Sr S 22232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=⋅-⎰⎰σππσπ例5.4 在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传播的电磁波，其电场强度矢量)cos(])/sin[(0x y k t z d E a E -=ωπ，其中x k 为常数。

一、填空题（每题2分）1 两种不同电介质界面处不带自由电荷，三个场变量在边界处的边界条件分别是：n n D D 21=、 以及21ϕϕ=。

2 关于静电场泊松方程定解的唯一性定理是指：无论用什么方法求得解，只要它满足 泊松方程和 ，该解就是唯一的。

3 在时变电磁场中，产生感应电场的根源是 。

4 金属表面带正的面电荷s ρ，则金属表面处的电场强度方向为 。

5 在无界空间传播的电磁波，电场、磁场方向与波的传播方向＿＿＿＿＿，所以电磁波为＿＿ ＿波。

二 选择题（每题4分）电荷体密度为ρ，以速度v定向移动，由此形成的电流密度为=J ＿＿＿＿放置于空气中的铁磁体，铁磁体表面外侧磁场方向与铁磁体表面＿＿＿＿＿＿。

根据磁场的基本过程0=⋅∇B，可以确定磁场在两介质界面的边界条件为＿＿＿＿＿。

在正常色散情况下，电磁波的相速P V 在数值上 于群速G V 。

平面电磁波从空气一侧垂直入射理想导体表面时，空气一侧的电磁波呈 波，能流密度为 。

一电荷量为q ，质量为m 的小带电体，放置在无限大平面导体下方，与平面相距为h ，导体已接地。

为使带电体受到的重力与静电力相平衡。

求电荷q 应为多少？（15分）解： 点电荷q 的像电荷在平板的上方h 处，像电荷为q -，它们的吸引力为20)2(412h q F πε= 相平衡时，它与重力相等，即：mg h q =20)2(412πε （5分） C h mg q 82120109.5))2(4(-⨯==πε （5分） 海水的电导率为4 s/m ，相对介电常数81=r ε，求当频率为f =108 Hz 时，海水中位移电流密度J d 与传导电流密度J c 之比。

（取)1094/(190⨯⨯=πε）解： 设海水中的电场：E=E 0COS(ωt)位移电流：t E tEt D J d ωωεεsin 0-=∂∂=∂∂=；ωε0E J dm = （4分） 任导电流：t E E J c ωσσcos 0== ；0E J cm σ= （4分）∴比值为：45.041028180=⨯⨯⨯==πεσεωc d J J （2分）在自由空间中，某电磁波的波长为0.2 m 。

第1章 矢量分析例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。

解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为0)(0200=-+=z y x φ。

其等值面方程为 ：0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点（1，1，2）处沿方向角3,4,3πγπβπα===的方向导数。

解：由于1)2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂==M M yzy xϕ,02)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xz xy y ϕ,32)2,1,1()2,1,1(=-=∂∂==M M xyz zϕ,21cos ,22cos ,21cos ===γβα 所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕzy x lM例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。

解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l++=-+-+-=其单位矢量314731433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,10,2)2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5()2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xy zxz yyz xϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x lMϕγϕβϕαϕϕ 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。

解：由于)66()24()32(-+-++++=∇z a x y a y x a z y xϕ 所以 623)0,0,0(z y x a a a---=∇ϕ，36)1,1,1(y x a a +=∇ϕ例1.6 运用散度定理计算下列积分：⎰⋅++-+=Sz y x S d z y xy a z y x a xz a I)]2()([2322S 是0=z 和2222y x a z --=所围成的半球区域的外表面。

电磁场与电磁波试题及答案1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D BH J E B D t tρ=+??=-??=??=??v vv v v v v ，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。

(或矢量式2n D σ=v v g 、20n E ?=vv 、2s n H J ?=vv v 、20n B =v v g )1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2. 答矢量位,0B A A ==v v v ；动态矢量位A E t ??=-?-?v v 或AE t+=-??vv 。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A v 的散度，从而使A v的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2.sA ds φ=v v ò 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。

若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。

若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。

1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++r r r r的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2. 证明在直角坐标系里计算，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z xy z =++?++ ??????r rr r r r r r3x y zx y z=++= 若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r===??r r由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。