20.2 极差和方差(2)

极差和方差公式
极差和方差是统计学中常用的两种变异度量方法。

极差是指数据集中最大值和最小值之间的差值，它可以用来描述数据分布的范围。

方差是指数据点与其均值的离差平方和的平均值，它可以用来描述数据集中的离散程度。

极差的计算公式为：R = max(x) - min(x)，其中max(x)表示数据集中的最大值，min(x)表示数据集中的最小值。

方差的计算公式为：s^2 = Σ(x - x)^2 / (n - 1)，其中x表示数据点，x表示数据集的均值，n表示数据集的大小。

可以看到，方差的计算需要先求出数据集的均值，因此在实际应用中，通常会先计算均值，再计算方差。

而极差的计算则比较简单，只需要求出最大值和最小值即可。

需要注意的是，极差和方差都是对数据集中的每个数据点进行计算的，因此对于含有异常值的数据集，它们的计算结果可能会受到影响。

此外，在比较两个数据集的变异程度时，应该使用标准差而不是方差，因为标准差可以将变异量与数据集的单位量纲对齐，使得比较更加准确。

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方差和极差的概念嗨，朋友们！今天咱们来聊聊数学里两个特别有趣的概念——方差和极差。

先来说说极差吧。

想象一下，你和一群小伙伴参加一场投篮比赛。

有个小伙伴，就叫小明吧，他发挥得超级稳定，每次投篮不是进了就是差一点点。

再看另一个小伙伴，小红，她有时候能连续投进好几个，可有时候又会连着好几个都不进。

这时候，极差就能派上用场了。

极差就像是在看这两个小伙伴投篮成绩波动的最大差距。

比如说，小明投中的个数最少是3个，最多是5个，那他的极差就是5 - 3 = 2个。

而小红呢，投中最少是1个，最多是7个，她的极差就是7 - 1 = 6个。

哇塞，你看，这个极差一下就把他们成绩的波动范围给表示出来了。

你就想啊，极差就像是用一把尺子，量出了一组数据里最大和最小的那两个数之间的距离。

这多简单明了啊！这时候你可能会问了，那这个极差就能完全代表数据的波动情况了吗？嘿嘿，先别急，咱们接着看方差。

方差啊，可就更有意思了。

咱们还是拿投篮这件事来说。

方差就像是一个特别细心的裁判，它不仅仅看最大和最小的差距，而是要看看每个成绩和平均成绩之间的关系。

比如说，还是小明，他的平均投中个数是4个，他每次的成绩是3个、4个、5个这样波动。

那方差的计算就像是在给每个成绩和4个这个平均数做比较，看看每个数偏离平均数有多远，然后把这些偏离程度综合起来。

怎么综合呢？这就有一套计算方法了。

要是按照公式算下来，小明成绩的方差可能比较小，因为他的成绩波动不大，离平均数都比较近。

再看小红，平均投中个数假设是4个，可她一会儿1个，一会儿7个，这样和平均数的偏离就比较大，算出来的方差也就大得多。

这方差就像是一个放大镜，把数据内部的波动细节都给放大出来了。

你想啊，如果只看极差，可能会忽略掉很多中间数据的波动情况。

就好比只看两个人的最高和最低身高差，但是不知道他们其他时候身高波动的更细致情况一样。

这方差是不是超级有用呢？我给你们再举个例子吧。

有个班级进行数学考试。

老师想知道同学们的成绩波动情况。

极差方差标准差公式极差、方差和标准差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和统计推断中扮演着重要的角色。

本文将对这三种指标的计算公式进行详细介绍，并对它们的应用进行简要说明。

首先，我们来看极差。

极差是一组数据中最大值与最小值之间的差值，它可以用来描述数据的变异程度。

极差的计算公式如下：\[ R = X_{max} X_{min} \]其中，\( X_{max} \)表示数据中的最大值，\( X_{min} \)表示数据中的最小值。

极差越大，说明数据的变异程度越大；极差越小，说明数据的变异程度越小。

接下来，我们来介绍方差。

方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值，它是衡量数据分散程度的重要指标。

方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n} \]其中，\( X_i \)表示第i个数据点，\( \bar{X} \)表示数据的平均值，n表示数据的个数。

方差越大，说明数据的分散程度越大；方差越小，说明数据的分散程度越小。

最后，我们来介绍标准差。

标准差是方差的平方根，它是数据分散程度的另一种度量方式。

标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}{n}} \]标准差与方差类似，它也可以用来衡量数据的分散程度。

标准差越大，说明数据的分散程度越大；标准差越小，说明数据的分散程度越小。

在实际应用中，极差、方差和标准差都可以用来描述数据的分散程度，但它们各自有着不同的特点和适用范围。

在选择使用哪种指标时，需要根据具体情况进行综合考虑。

总之，极差、方差和标准差是统计学中常用的描述数据分散程度的指标，它们对于理解数据的特点和规律具有重要意义。

通过对这三种指标的计算公式和应用进行了解，可以更好地应用统计学方法进行数据分析和推断。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助。

方差和极差方差和极差是统计学中常用的两个概念。

方差是指一组数据的离散程度，而极差则是指数据的范围。

本文将从概念、计算方法、应用等方面对方差和极差进行详细讲解。

一、方差的概念方差是指一组数据的离散程度。

离散程度越大，数据分布越分散，方差就越大；离散程度越小，数据分布越集中，方差就越小。

方差的计算方法是：先求出每个数据与平均数之差的平方，然后将这些平方数相加，再除以数据个数减一即可。

例如，有以下一组数据：3，5，7，9，11。

先求出平均数：（3+5+7+9+11）÷5=7。

然后计算每个数据与平均数之差的平方：（3-7）=16，（5-7）=4，（7-7）=0，（9-7）=4，（11-7）=16。

最后将这些平方数相加：16+4+0+4+16=40。

因此，这组数据的方差为40÷(5-1)=10。

二、极差的概念极差是指一组数据的范围。

计算方法是将最大值减去最小值即可。

极差越大，数据分布的范围就越广，反之则越窄。

例如，有以下一组数据：3，5，7，9，11。

最大值为11，最小值为3，因此这组数据的极差为11-3=8。

三、方差和极差的应用方差和极差在统计学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.质量控制在制造业中，方差常用于评估产品的质量稳定性。

如果产品的方差较大，说明产品的质量不稳定，需要进行调整；如果方差较小，说明产品的质量稳定，可以继续生产。

2.投资风险评估在金融领域中，方差和极差常用于评估投资的风险。

如果一个投资组合的方差较大，说明投资组合的风险较高，需要谨慎投资；如果方差较小，说明投资组合的风险较低，可以考虑增加投资。

3.市场调查在市场调查中，方差和极差常用于分析消费者的反应。

如果一个产品的反应方差较大，说明消费者的反应不稳定，需要进行改进；如果方差较小，说明消费者的反应较为一致，可以继续生产。

4.教育评估在教育领域中，方差和极差常用于评估学生的学习成绩。

如果一个班级的方差较大，说明学生的学习成绩分布较为分散，需要加强教学管理；如果方差较小，说明学生的学习成绩分布较为集中，可以继续推进教学计划。

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差． 极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是：s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！ 解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得： 2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S 8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S 得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm ）：2，－2，－1，1，0， 则这组数据的极差为______cm ．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6，则样本1，2，3，x ，y 的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x1，x2，……，x n的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x1，4x2，……，4x n的平均数x＇＝_____，方差S＇2＝_______．。

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。

20.2方差教学设计［课型］新授课［课时］“方差”共需2课时完成，我计划第1课时：讲授方差的定义及方差的统计意义；第2课时：讲授用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.本课为第1课时教学目标和教学重难点：教学目标:在学生已有的认知基础上，依据新课程标准，结合新课改的要求，我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。

1、知识与能力目标：(1)理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据波动的大小；(2)掌握方差的计算公式，并且会用方差计算公式比较两组数据的波动大小来解决实际问题。

2、过程与方法目标：经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验。

3、情感与价值观目标：培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义；培养学生探求知识的勇气和认真、耐心、细致的学习态度与学习习惯。

教学重点、难点:重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题,掌握其求法。

难点:理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

教学程序设计一、创设情境，导入新课1.回忆旧知:我们在前面的课程中，已经学习了描述一组数据集中趋势的统计特征量，问：它们分别是什么？（平均数、众数、中位数）2.情境设计：【由“射击问题”引入：当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题】显示打靶场面，提出问题: 为了从甲、乙两名射击选手中选拔一人参加射击比赛,两位射击选手在相同条件下射击 10次，成绩如下：甲： 7、7、8、9、8、9、10、 9、 9、 9乙： 8、9、7、8、10、7、9、10、7、10应该选谁参加比赛？请你设计一种简单易行的选拔方案。

学生回答：“可分别计算甲、乙两名选手射击成绩的平均数，谁的平均水平高，就选谁。

”分小组计算甲、乙的射击平均成绩，得出结论:平均成绩相同。

（思维第一次受阻）教师提问：“两人的平均成绩相同，难以取舍。

我们再来看他们的成绩各有什么特点？”学生：小组讨论，利用极差来判断，极差相等，也不能断定哪个稳定性好。

北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。

3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。

4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。

二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。

解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。

（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。