第八章树和二叉树1
- 格式：ppt
- 大小：1.63 MB
- 文档页数：46
文档推荐
-
二叉树练习A页数:2
-
数据结构第6章二叉树自测题参考答案页数:11
-
二叉树练习题答案页数:7
-
二叉树习题及答案(考试学习)页数:3
-
树与二叉树典型例题讲解页数:35
-
数据结构 第6章二叉树作业及答案页数:12
下载文档原格式
合集下载
第八章 期权及其二叉树模型
二、以债券为标的资产的期权定价
设以例[8-8]中的债券 为标的资产、执行价X=100的 看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下： 图 8-48
Cd,1m ax(Bd,1票 息 -X,0) =13.77
？
Cu,1max(Bu,1票 息 -X,0) =15.22
为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期 权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购 买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看 涨期权）。
若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付 （收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组 合在t+1期时两个状态的收益相等 。
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
m= Bdt1 But1 Cdt1 Cut1
由于是无风险债券组合，故有 （Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd t+1 +票息- mCdt+1
t 期债券价格:
BpBdt11pBut1票息
t
1rt
2
例 [8-8] 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概 率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债 券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而 每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券 的价格。如图 8-47
第八章 期权及其二叉树模型
金融期权（financial option）简称为期权是主要的金 融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程 其它金融衍生产品的基础。
期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期 权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售） 某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可 以不行使这个权利。
生物信息学 第八章 系统发育分析
第八章 系统发育分析
系统发生（或种系发生、系统发育，phylogeny）是指生物形成或进化的历史。系统发 生学(phylogenetics)研究物种之间的进化关系，其基本思想是比较物种的特征，并认为特征
相似的物种在遗传学上接近。系统发生研究的结果往往以系统发生树（phylogenetic tree）表
8.1.3 距离和特征
用于构建系统发生树的分子数据分成两类：（1）距离（distances）数据，常用距离矩 阵描述，表示两个数据集之间所有两两差异；（2）特征(characters)数据，表示分子所具有 的特征。 分子系统发生分析的目的是探讨物种之间的进化关系，其分析的对象往往是一组同源的 序列。这些序列取自于不同生物基因组的共同位点。序列比对是进行同源分析的一种基本手 段，是进行系统发生分析的基础，一般采用基于两两比对渐进的多重序列比对方法，如 ClustalW 程序。通过序列的比对，可以分析序列之间的差异，计算序列之间的距离。 无论是 DNA 序列，还是蛋白质序列，都是由特定字母表中的字符组成的。计算序列之 间距离的一个前提条件是要有一个字符替换模型，替换模型影响序列多重比对的结果，影响 系统发生树的构造结果。在具体的分析过程中，需要选择一个合理的字符替换模型，参见第 3 章的各种打分模型或代价、距离模型。 距离（或者相似度）是反映序列之间关系的一种度量，是建立系统发生树时所常用的一 类数据。在计算距离之前，首先进行序列比对，然后累加每个比对位置的得分。可以应用第
的连线称为分支，其中一端与叶节点相连的为外支，不与叶节点相连的为内支。
系统发生树有许多形式：可能是有根树（rooted tree），也可能是无根树（unrooted tree）；
可能是一般的树，也可能是二叉树；可能是有权值的树（或标度树，scaled tree，树中标明
系统发生（或种系发生、系统发育，phylogeny）是指生物形成或进化的历史。系统发 生学(phylogenetics)研究物种之间的进化关系，其基本思想是比较物种的特征，并认为特征
相似的物种在遗传学上接近。系统发生研究的结果往往以系统发生树（phylogenetic tree）表
8.1.3 距离和特征
用于构建系统发生树的分子数据分成两类：（1）距离（distances）数据，常用距离矩 阵描述，表示两个数据集之间所有两两差异；（2）特征(characters)数据，表示分子所具有 的特征。 分子系统发生分析的目的是探讨物种之间的进化关系，其分析的对象往往是一组同源的 序列。这些序列取自于不同生物基因组的共同位点。序列比对是进行同源分析的一种基本手 段，是进行系统发生分析的基础，一般采用基于两两比对渐进的多重序列比对方法，如 ClustalW 程序。通过序列的比对，可以分析序列之间的差异，计算序列之间的距离。 无论是 DNA 序列，还是蛋白质序列，都是由特定字母表中的字符组成的。计算序列之 间距离的一个前提条件是要有一个字符替换模型，替换模型影响序列多重比对的结果，影响 系统发生树的构造结果。在具体的分析过程中，需要选择一个合理的字符替换模型，参见第 3 章的各种打分模型或代价、距离模型。 距离（或者相似度）是反映序列之间关系的一种度量，是建立系统发生树时所常用的一 类数据。在计算距离之前，首先进行序列比对，然后累加每个比对位置的得分。可以应用第
的连线称为分支，其中一端与叶节点相连的为外支，不与叶节点相连的为内支。
系统发生树有许多形式：可能是有根树（rooted tree），也可能是无根树（unrooted tree）；
可能是一般的树，也可能是二叉树；可能是有权值的树（或标度树，scaled tree，树中标明
树-二叉树
信息学奥赛培训之『树——二叉树』树——二叉树为何要重点研究二叉树？ 引 ： 为何要重点研究二叉树 ？ （1）二叉树的结构最简单，规律性最强； （2）可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
一、二叉树基础1. 二叉树的定义 二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下： 二叉树 T 是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点以及分别称为左 子树和右子树的两棵互不相交的二叉树。
因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。
二叉树有 5 种基本形态，如图 1 所示。
图1 二叉树的 5 种基本形态在二叉树中，每个结点至多有两个儿子，并且有左、右之分。
因此任一结点的儿子 不外 4 种情况：没有儿子；只有一个左儿子；只有一个右儿子；有一个左儿子并且有一 个右儿子。
注意：二叉树与树和有序树 的区别 二叉树与度数不超过 2 的树不同，与度数不超过 2 的有序树也不同。
在有序树中，11如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
-1-信息学奥赛培训之『树——二叉树』虽然一个结点的儿子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个儿子时，就无须区分其 左右次序。
而在二叉树中，即使是一个儿子也有左右之分。
例如图 2-1 中(a)和(b)是两棵 不同的二叉树。
虽然它们与图 2-2 中的普通树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却 不能等同于这棵普通的树。
若将这 3 棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。
图2-1 两棵不同的二叉树图2-2 一棵普通的树由此可见，尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
不是 ．．2. 二叉树的性质图3 二叉树性质１： 在二叉树的第 i 层上至多有 2 i −1 结点(i>=1)。
性质２： 深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点(k>=1)。
性质３： 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1。
4.1树与二叉树教学设计高中信息技术浙教版选修1数据与数据结构
-定期检查学生的学习进度，及时发现问题并给予指导；
-通过问卷调查Leabharlann 访谈等形式，了解学生的学习需求和反馈意见。
7.延伸拓展，引导学生关注树与二叉树的前沿技术和应用，激发学生的创新意识；
-介绍树与二叉树在人工智能、大数据等领域的研究成果和最新应用；
-鼓励学生参加相关竞赛和科研项目，提升学生的综合素质。
四、教学内容与过程
1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究树与二叉树的基本概念和性质，培养学生的自主学习能力；
2.利用实例分析，让学生从实际问题中抽象出树与二叉树的结构，培养学生将理论知识与实际应用相结合的能力；
3.通过小组合作，让学生在讨论、交流中掌握二叉树的遍历方法，培养学生的团队协作能力；
4.引导学生运用递归思想解决问题，培养学生的逻辑思维能力；
-例如，通过组织结构图引入树的概念，让学生了解树在现实生活中的应用；
-通过分析算术表达式的计算过程，引出二叉树的表达和求解方法。
2.利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立树与二叉树的直观认识，降低学习难度；
-使用树形结构图和动画演示，直观展示树与二叉树的结构和操作过程；
-通过编程软件的实时演示，让学生更直观地理解算法实现。
4.1树与二叉树教学设计高中信息技术浙教版选修1数据与数据结构
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解树的基本概念，包括树的定义、基本术语（如根节点、叶子节点、子树、深度、高度等）；
2.学会使用树的结构表示现实世界中的层次关系和数据组织结构；
3.掌握二叉树的特点，了解满二叉树、完全二叉树等特殊二叉树的概念；
-组织小组汇报，分享学习成果，培养学生的表达和沟通能力。
5.强化编程实践，通过上机操作和编程练习，提高学生的实际操作能力；
-通过问卷调查Leabharlann 访谈等形式，了解学生的学习需求和反馈意见。
7.延伸拓展，引导学生关注树与二叉树的前沿技术和应用，激发学生的创新意识；
-介绍树与二叉树在人工智能、大数据等领域的研究成果和最新应用；
-鼓励学生参加相关竞赛和科研项目，提升学生的综合素质。
四、教学内容与过程
1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究树与二叉树的基本概念和性质，培养学生的自主学习能力；
2.利用实例分析，让学生从实际问题中抽象出树与二叉树的结构，培养学生将理论知识与实际应用相结合的能力；
3.通过小组合作，让学生在讨论、交流中掌握二叉树的遍历方法，培养学生的团队协作能力；
4.引导学生运用递归思想解决问题，培养学生的逻辑思维能力；
-例如，通过组织结构图引入树的概念，让学生了解树在现实生活中的应用；
-通过分析算术表达式的计算过程，引出二叉树的表达和求解方法。
2.利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立树与二叉树的直观认识，降低学习难度；
-使用树形结构图和动画演示，直观展示树与二叉树的结构和操作过程；
-通过编程软件的实时演示，让学生更直观地理解算法实现。
4.1树与二叉树教学设计高中信息技术浙教版选修1数据与数据结构
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解树的基本概念，包括树的定义、基本术语（如根节点、叶子节点、子树、深度、高度等）；
2.学会使用树的结构表示现实世界中的层次关系和数据组织结构；
3.掌握二叉树的特点，了解满二叉树、完全二叉树等特殊二叉树的概念；
-组织小组汇报，分享学习成果，培养学生的表达和沟通能力。
5.强化编程实践，通过上机操作和编程练习，提高学生的实际操作能力；
计算机二级考点归纳(树与二叉树)
•1、树的基本概念树(tree）是一种简单的非线性结构。
在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点。
每一个结点可以有多个后件，它们称为该结点的子结点。
没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件个数称为该结点的度。
叶子结点的度为 0。
在树中，所有结点中的最大的度称为树的度。
• 2、二叉树及其基本性质（1）二叉树的定义二叉树是一种很有用的非线性结构，具有以下两个特点：①非空二叉树只有一个根结点；②每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。
由以上特点可以看出，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。
另外，二叉树中的每个结点的子树被明显地分为左子树和右子树。
在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。
当一个结点既没有左子树也没有右子树时，该结点即为叶子结点。
（2）二叉树的基本性质二叉树具有以下几个性质：性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1）个结点；性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为［log2n］+1，其中［log2n］表示取log2n的整数部分。
在二叉树的遍历中，无论是前序遍历，中序遍历还是后序遍历，二叉树的叶子结点的先后顺序都是不变的。
3、满二叉树与完全二叉树满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。
在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m－1个结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。
对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。
数据结构(树和二叉树)练习题与答案1
1、树最适合用来表示（）。
A.元素之间无联系的数据B.元素之间具有层次关系的数据C.无序数据元素D.有序数据元素正确答案：B2、现有一“遗传”关系，设x是y的父亲，则x可以把他的属性遗传给y。
表示该遗传关系最适合的数据结构为（）。
A.线性表B.树C.数组D.图正确答案：B3、一棵节点个数为n、高度为h的m（m≥3）次树中，其分支数是（）。
A.n+hB.h-1C.n-1D.nh正确答案：C4、若一棵3次树中有2个度为3的节点，1个度为2的节点，2个度为1的节点，该树一共有（）个节点。
A.11B.5C.8D.10正确答案：A解析： A、对于该3次树，其中有n3=2，n2=1，n1=2，总分支数=总度数=n-1，总度数=1×n1+2×n2+3×n3=10，则n=总度数+1=11。
5、设树T的度为4，其中度为1、2、3、4的节点个数分别为4、2、1、1，则T中的叶子节点个数是（）。
A.6B.8C.7D.5正确答案：B解析： B、这里n1=4，n2=2，n3=1，n4=1，度之和=n-1=n1+2n2+3n3+4n4=15，所以n=16，则n0=n-n1-n2-n3-n4=16-8=8。
6、有一棵三次树，其中n3=2，n2=1，n0=6，则该树的节点个数为（）。
A.9B.12C.大于等于9的任意整数D.10正确答案：C解析： C、n=n0+n1+n2+n3=6+n1+1+2=9+n1。
7、假设每个节点值为单个字符，而一棵树的后根遍历序列为ABCDEFGHIJ，则其根节点值是（）。
A.JB.BC.以上都不对D.A正确答案：A8、一棵度为5、节点个数为n的树采用孩子链存储结构时，其中空指针域的个数是（）。
A.4nB.4n-1C.4n+1D.5n正确答案：C解析： C、总指针数=5n，非空总指针数=分支数=n-1，空指针域的个数=5n-(n-1)=4n+1。
9、有一棵三次树，其中n3=2，n2=2，n1=1，该树采用孩子兄弟链存储结构时，则总的指针域数为（）。
数据结构详细教案——树与二叉树
数据结构详细教案——树与二叉树一、教学目标1.了解树和二叉树的基本概念和特点；2.掌握树和二叉树的基本操作；3.能够通过递归遍历树和二叉树。
二、教学重难点1.树和二叉树的基本概念和特点；2.递归遍历树和二叉树。
三、教学内容1.树的概念和特点1.1树的定义树是n（n>=0）个节点的有限集。
当n=0时，称为空树；如果不为空树，则1. 树有且仅有一个特殊节点被称为根（Root）；2.其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合又是一棵树。
1.2节点间的关系- 父节点（parent）是当前节点的直接上级节点；- 子节点（child）是当前节点的直接下级节点；- 兄弟节点（sibling）是具有同一父节点的节点；- 祖先节点（ancestor）是通过从当前节点到根的任意路径可以到达的节点；- 子孙节点（descendant）是通过从该节点到子树的任意节点可以到达的节点。
1.3树的特点-树是一个有层次的结构，可以看作是一个鱼骨图；-树中的每个节点都可以有多个子节点，但只有一个父节点；-树中的节点之间是唯一的，不存在重复节点；-树中的任意两个节点之间都有且仅有一条路径连接。
2.二叉树的概念和特点2.1二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2.2二叉树的特点-二叉树的度最大为2，即每个节点最多有两个子节点；-二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点；-对于任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则有n0=n2+1；-完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶子节点外，每一层的节点都是满的。
四、教学过程1.讲解树和二叉树的基本概念和特点，引导学生理解树和二叉树的定义和节点间的关系。
2.分析树和二叉树的基本操作，并通过实例演示操作过程，让学生掌握操作的步骤和方法。
3.运用递归算法遍历树和二叉树的过程，详细讲解前序遍历、中序遍历和后序遍历的定义和实现方法。
数据结构PPT树和二叉树PPT学习教案
Assign(T, cur_e, value) // 给当前结点赋值
InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树
第9页/共188页
删除类：
ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构 DeleteChild(&T, &p, i)
KL
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林
第18页/共188页
对比树型结构和线性结构 的结构特点
第19页/共188页
线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
树型结构
根结点 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
多个叶子结点 (无后继)
数据结构PPT树和二叉树
会计学
1
引言
数据结构可分为线性结构和非线性结构两大类。前面几 章主要研究的是线性结构。一般的，线性结构只能用来描 述数据元素之间的线性顺序关系，而很难反映元素之间的 层次(分支)关系。本章将要讨论一种非线性数据结构，所 谓非线性结构是指在结构中至少存在一个数据元素，它具 有两个或两个以上的直接后继或直接前驱。
第6页/共188页
基本操作： 查找类 插入类 删除类
第7页/共188页
查找类：
Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
InsertChild(&T, &p, i, c) // 将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树
第9页/共188页
删除类：
ClearTree(&T) // 将树清空 DestroyTree(&T) // 销毁树的结构 DeleteChild(&T, &p, i)
KL
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林
第18页/共188页
对比树型结构和线性结构 的结构特点
第19页/共188页
线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
树型结构
根结点 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
多个叶子结点 (无后继)
数据结构PPT树和二叉树
会计学
1
引言
数据结构可分为线性结构和非线性结构两大类。前面几 章主要研究的是线性结构。一般的，线性结构只能用来描 述数据元素之间的线性顺序关系，而很难反映元素之间的 层次(分支)关系。本章将要讨论一种非线性数据结构，所 谓非线性结构是指在结构中至少存在一个数据元素，它具 有两个或两个以上的直接后继或直接前驱。
第6页/共188页
基本操作： 查找类 插入类 删除类
第7页/共188页
查找类：
Root(T) // 求树的根结点 Value(T, cur_e) // 求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) // 求当前结点的双亲结点 LeftChild(T, cur_e) // 求当前结点的最左孩子
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
合肥工业大学 计算机与信息学院
10
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
定义1：称高度为k且有2k-1个结点的二叉树为满二叉树。 例如，高度为1~4的满二叉树如下。
A A (a) 高度为1的满二叉树 B C (b) 高度为2的满二叉树
A A B C E F G D E I F C G
B
D
H
J
K
L
M
N
A 2 4 D 8 9 I B 5 E 6 F 3 C 7 G 13 M
16
H
10 J
11 12 K L
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
课堂练习： （1）求100个结点的完全二叉树的叶子结点数。 5 0 解：根据性质5，从编号51到100都是叶子。共有50个叶子。 10 0 （2）已知完全二叉树的第7层有10个结点，问共有多少个结点？多少 个叶子结点？多少个度为1的结点？ 解：共有26-1+10=73个结点。 叶子求法： 方法1、37到73都是叶子，共37个叶子结点； 方法2、第7层10个结点都是叶子，第6层有26-1=32个结点， 其中5个结点是第7层10个结点的父亲， 所以共有10+32-5=37个叶子结点。 度为1的结点数为0。 （3）判断题：完全二叉树最多有1个度为1的结点。（ √ ） （4）完全二叉树编号为 i、j的两个结点是否在同一层的条件 i j 是 log 2 log 。2
A
B C D E F
G
合肥工业大学 计算机与信息学院
7
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
二叉树与树的区别： 是两种不同性质的结构；
比较三个结点的树与二叉树的各有几种不同的形态。 三个结点的树
B A C A
B
C
三个结点的二叉树
A A B C C B B C C A A B A B C
8
合肥工业大学 计算机与信息学院
4 D
8 H 9 I 10 J B 5 E 11 12 K L 6 F 13 M
3 C
7
G
0
1 A
2 B
3 C
4
5
6 F
7 G
8 H
9 I
10 11 12 13 J K L M
18
D E
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
分析：这种方法有其优点，但也有不足： 优点：方便、简洁 缺点：只适合完全二叉树 或 近似的完全二叉树。 例如，对如下形状的二叉树，仅有n个结点， 但需要的数族元素个数为2n-1。 问题： 若数组元素占一个单元， 则在n=20、30时， 分别需要多大的存储空间？
运算 （1）初始化 （2）查找 —— 结点的父、兄弟、祖先、后代、根 （3）插入 —— 叶子， 子树 （4）删除 —— 叶子，子树 树的存储？
合肥工业大学 计算机与信息学院
6
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.1定义
二叉树T：是n个结点组成的有限集合（n >= 0）， n=0时为空二叉树， 否则：其中有一个根结点， 其余结点可以划分成两个互不相交的子集TL, TR， 且TL, TR也分别构成二叉树 —— 左、右子树。
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
由定义可知，依据结点数的多少可将二叉树划分为五 种不同的形态： （1）空树，即结点数为0 （2）单结点二叉树，即仅有一个结点 （3）左子树为空右子树不空
（4）右子树为空左子树不空
（5）左右子树均不空
合肥工业大学 计算机与信息学院
9
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.2二叉树的性质 性质1：第i层的结点数≤2i-1； 性质2：高度为k（k≥1）的二叉树的结点总数≤2k-1； 性质3：设二叉树的叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2， 则 n0=n2+1。 证明：设总结点数为n，度为1的结点数为n1，则 n=n0+n1+n2 ——结点数 （1） n-1=n1+2n2 ——分支数 （2） 式（1）－（2）得 n0=n2+1 课堂练习：已知一棵二叉树中，有20个叶子结点，10个结 点只有左孩子，15个Βιβλιοθήκη 点只有右孩子，求该二叉树的 总结点数。
合肥工业大学 计算机与信息学院
17
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.3 二叉树的存储 存储一个结构时，不仅要存值，还要存储元素间的关系。 1. 顺序存储方式 存储方式：用数组存储二叉树各结点的值， 各结点在数组中的位置（元素下标） 1 ----就是其在完全二叉树中对应结点的编号。 A 例如：右图二叉树的存储如下所示。 2
合肥工业大学 计算机与信息学院
21
8.3 二叉树的遍历及其应用
8.3.1 遍历的基本方法 二叉树的遍历 ——按照某种次序依次访问二叉树T中每个结点一次且仅一次。
分析： （1）若T为空，遍历结束； （2）否则，设二叉树的形态如右图所示。 a . 假设左右子树能分别遍历 （用L，R分别表示其遍历）， 则整个二叉树可有如下几种次序的遍历： 先左后右：DLR LDR LRD
1 x1 3
x2
7 x3 2n-1 xn
合肥工业大学 计算机与信息学院
19
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
2. 动态二叉链表 存储方式：
二叉树中每个结点用一个有两个分叉的结点（二叉结点）来存储， 每个分叉指向左右孩子结点中的一个 ----左右孩子结点指针）。 由此可得到二叉树的二叉链表结构。
设二叉结点类型为bnode, 其中： bnode 左右孩子指针分别为 lchild和rchild， 存储结点值的字段为data， lchild data rchild 则结点的类型描述如下： typedef struct bitree{ elementtype data; 指向左孩子的指针 指向右孩子的指针 struct bitree *lchild, *rchild; } bnode;
合肥工业大学 计算机与信息学院
15
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
性质5：在编号的完全二叉树中，对编号为i的结点，
若存在左孩子结点，则其左孩子结点的编号为2i， 若存在右孩子结点，则其右孩子结点的编号为2i+1， 若存在父结点，则其父结点的编号为 i / 2 结点编号i为奇数（不为1的情况），则处于右兄弟的位置，它的 左兄弟结点编号为i-1 结点编号i为偶数（不为n的情况），则处于左兄弟的位置，它的 1 右兄弟结点编号为i+1
1
1 2 2 3 4 5 7 8 6 3
4
5 7
6
合肥工业大学 计算机与信息学院
13
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
对完全二叉树编号 编号方式： 从上到下，每一层中从左到右，根结点编号为1。 例：下面完全二叉树的编号
1 A 2 4 D 8 9 I B 5 E 6 F 3 C 7 G 13 M
算法与数据结构
（第八章 树和二叉树）
合肥工业大学 计算机与信息学院
1
第八章 树和二叉树
第八章 树和二叉树
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 树的相关概念和术语 二叉树的定义、性质和存储结构 二叉树的遍历及其应用 线索二叉树 树和森林 哈夫曼树（Huffman）
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.3.2遍历算法 遍历方法
先序遍历二叉树T 若T不空，则： 访问T的根结点； 先序遍历T的左子树； 先序遍历T的右子树
遍历算法 void preorder(bnode *t) { if(t!=null) { visit(t); preorder(t->lchild); preorder(t->rchlid); } } void inorder(bnode *t) { if(t!=null) { inorder(t->lchild); visit(t); inorder(t->rchlid); } }
2
8.1 树的相关概念和术语
家族关系示意图/单位机构组成示意图
定义：树T是由n个结点组成的有限集合（n > 0）。
其中有一个根结点， 其余结点可划分成m个（m>=0）互不相交的子集 T1, T2, ... ,Tm， 且这些子集也分别构成树—T的子树。 （注意：有无空树的概念）
合肥工业大学 计算机与信息学院
合肥工业大学 计算机与信息学院
20
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
例：下面二叉树对应的二叉链表结构如图所示。
T
A
B C D E F
A B ^ E F ^
G
^ C
^
^
D ^ ^ G ^
相关问题：
（1）如图所示，根结点的指针为T， 则如何表示其左右孩子指针的标识符？ （2）从图中可知，二叉链表中有值为空的指针， 有n个结点的二叉链表中有多少个这样的空指针？
H
J
K
L
M
N
J
K
L
M
N
(a) 完全二叉树示例
(b) 非完全二叉树示例
合肥工业大学 计算机与信息学院
12
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
定义3：平衡二叉树(AVL树)
它或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树 都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值<=1。 即平衡因子（结点左子树减去右子树的深度定义为结点的平衡因子） 为-1,0,1。
3
8.1 树的相关概念和术语
术语
关系术语 孩子结点 —— 子树的根 父结点 兄弟结点 —— 同一个结点的孩子结点互为兄弟 祖先结点 后代结点 层次类术语 根的层次为1 其余结点的层次为其父结点层次加1 高度/深度 —— 整个树中结点的最大层次
10
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
定义1：称高度为k且有2k-1个结点的二叉树为满二叉树。 例如，高度为1~4的满二叉树如下。
A A (a) 高度为1的满二叉树 B C (b) 高度为2的满二叉树
A A B C E F G D E I F C G
B
D
H
J
K
L
M
N
A 2 4 D 8 9 I B 5 E 6 F 3 C 7 G 13 M
16
H
10 J
11 12 K L
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
课堂练习： （1）求100个结点的完全二叉树的叶子结点数。 5 0 解：根据性质5，从编号51到100都是叶子。共有50个叶子。 10 0 （2）已知完全二叉树的第7层有10个结点，问共有多少个结点？多少 个叶子结点？多少个度为1的结点？ 解：共有26-1+10=73个结点。 叶子求法： 方法1、37到73都是叶子，共37个叶子结点； 方法2、第7层10个结点都是叶子，第6层有26-1=32个结点， 其中5个结点是第7层10个结点的父亲， 所以共有10+32-5=37个叶子结点。 度为1的结点数为0。 （3）判断题：完全二叉树最多有1个度为1的结点。（ √ ） （4）完全二叉树编号为 i、j的两个结点是否在同一层的条件 i j 是 log 2 log 。2
A
B C D E F
G
合肥工业大学 计算机与信息学院
7
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
二叉树与树的区别： 是两种不同性质的结构；
比较三个结点的树与二叉树的各有几种不同的形态。 三个结点的树
B A C A
B
C
三个结点的二叉树
A A B C C B B C C A A B A B C
8
合肥工业大学 计算机与信息学院
4 D
8 H 9 I 10 J B 5 E 11 12 K L 6 F 13 M
3 C
7
G
0
1 A
2 B
3 C
4
5
6 F
7 G
8 H
9 I
10 11 12 13 J K L M
18
D E
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
分析：这种方法有其优点，但也有不足： 优点：方便、简洁 缺点：只适合完全二叉树 或 近似的完全二叉树。 例如，对如下形状的二叉树，仅有n个结点， 但需要的数族元素个数为2n-1。 问题： 若数组元素占一个单元， 则在n=20、30时， 分别需要多大的存储空间？
运算 （1）初始化 （2）查找 —— 结点的父、兄弟、祖先、后代、根 （3）插入 —— 叶子， 子树 （4）删除 —— 叶子，子树 树的存储？
合肥工业大学 计算机与信息学院
6
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.1定义
二叉树T：是n个结点组成的有限集合（n >= 0）， n=0时为空二叉树， 否则：其中有一个根结点， 其余结点可以划分成两个互不相交的子集TL, TR， 且TL, TR也分别构成二叉树 —— 左、右子树。
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
由定义可知，依据结点数的多少可将二叉树划分为五 种不同的形态： （1）空树，即结点数为0 （2）单结点二叉树，即仅有一个结点 （3）左子树为空右子树不空
（4）右子树为空左子树不空
（5）左右子树均不空
合肥工业大学 计算机与信息学院
9
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.2二叉树的性质 性质1：第i层的结点数≤2i-1； 性质2：高度为k（k≥1）的二叉树的结点总数≤2k-1； 性质3：设二叉树的叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2， 则 n0=n2+1。 证明：设总结点数为n，度为1的结点数为n1，则 n=n0+n1+n2 ——结点数 （1） n-1=n1+2n2 ——分支数 （2） 式（1）－（2）得 n0=n2+1 课堂练习：已知一棵二叉树中，有20个叶子结点，10个结 点只有左孩子，15个Βιβλιοθήκη 点只有右孩子，求该二叉树的 总结点数。
合肥工业大学 计算机与信息学院
17
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
8.2.3 二叉树的存储 存储一个结构时，不仅要存值，还要存储元素间的关系。 1. 顺序存储方式 存储方式：用数组存储二叉树各结点的值， 各结点在数组中的位置（元素下标） 1 ----就是其在完全二叉树中对应结点的编号。 A 例如：右图二叉树的存储如下所示。 2
合肥工业大学 计算机与信息学院
21
8.3 二叉树的遍历及其应用
8.3.1 遍历的基本方法 二叉树的遍历 ——按照某种次序依次访问二叉树T中每个结点一次且仅一次。
分析： （1）若T为空，遍历结束； （2）否则，设二叉树的形态如右图所示。 a . 假设左右子树能分别遍历 （用L，R分别表示其遍历）， 则整个二叉树可有如下几种次序的遍历： 先左后右：DLR LDR LRD
1 x1 3
x2
7 x3 2n-1 xn
合肥工业大学 计算机与信息学院
19
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
2. 动态二叉链表 存储方式：
二叉树中每个结点用一个有两个分叉的结点（二叉结点）来存储， 每个分叉指向左右孩子结点中的一个 ----左右孩子结点指针）。 由此可得到二叉树的二叉链表结构。
设二叉结点类型为bnode, 其中： bnode 左右孩子指针分别为 lchild和rchild， 存储结点值的字段为data， lchild data rchild 则结点的类型描述如下： typedef struct bitree{ elementtype data; 指向左孩子的指针 指向右孩子的指针 struct bitree *lchild, *rchild; } bnode;
合肥工业大学 计算机与信息学院
15
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
性质5：在编号的完全二叉树中，对编号为i的结点，
若存在左孩子结点，则其左孩子结点的编号为2i， 若存在右孩子结点，则其右孩子结点的编号为2i+1， 若存在父结点，则其父结点的编号为 i / 2 结点编号i为奇数（不为1的情况），则处于右兄弟的位置，它的 左兄弟结点编号为i-1 结点编号i为偶数（不为n的情况），则处于左兄弟的位置，它的 1 右兄弟结点编号为i+1
1
1 2 2 3 4 5 7 8 6 3
4
5 7
6
合肥工业大学 计算机与信息学院
13
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
对完全二叉树编号 编号方式： 从上到下，每一层中从左到右，根结点编号为1。 例：下面完全二叉树的编号
1 A 2 4 D 8 9 I B 5 E 6 F 3 C 7 G 13 M
算法与数据结构
（第八章 树和二叉树）
合肥工业大学 计算机与信息学院
1
第八章 树和二叉树
第八章 树和二叉树
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 树的相关概念和术语 二叉树的定义、性质和存储结构 二叉树的遍历及其应用 线索二叉树 树和森林 哈夫曼树（Huffman）
合肥工业大学 计算机与信息学院
8.3.2遍历算法 遍历方法
先序遍历二叉树T 若T不空，则： 访问T的根结点； 先序遍历T的左子树； 先序遍历T的右子树
遍历算法 void preorder(bnode *t) { if(t!=null) { visit(t); preorder(t->lchild); preorder(t->rchlid); } } void inorder(bnode *t) { if(t!=null) { inorder(t->lchild); visit(t); inorder(t->rchlid); } }
2
8.1 树的相关概念和术语
家族关系示意图/单位机构组成示意图
定义：树T是由n个结点组成的有限集合（n > 0）。
其中有一个根结点， 其余结点可划分成m个（m>=0）互不相交的子集 T1, T2, ... ,Tm， 且这些子集也分别构成树—T的子树。 （注意：有无空树的概念）
合肥工业大学 计算机与信息学院
合肥工业大学 计算机与信息学院
20
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
例：下面二叉树对应的二叉链表结构如图所示。
T
A
B C D E F
A B ^ E F ^
G
^ C
^
^
D ^ ^ G ^
相关问题：
（1）如图所示，根结点的指针为T， 则如何表示其左右孩子指针的标识符？ （2）从图中可知，二叉链表中有值为空的指针， 有n个结点的二叉链表中有多少个这样的空指针？
H
J
K
L
M
N
J
K
L
M
N
(a) 完全二叉树示例
(b) 非完全二叉树示例
合肥工业大学 计算机与信息学院
12
8.2 二叉树的定义、性质和存储结构
定义3：平衡二叉树(AVL树)
它或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树 都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值<=1。 即平衡因子（结点左子树减去右子树的深度定义为结点的平衡因子） 为-1,0,1。
3
8.1 树的相关概念和术语
术语
关系术语 孩子结点 —— 子树的根 父结点 兄弟结点 —— 同一个结点的孩子结点互为兄弟 祖先结点 后代结点 层次类术语 根的层次为1 其余结点的层次为其父结点层次加1 高度/深度 —— 整个树中结点的最大层次