高考数学第二轮复习模拟试卷

2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解 左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明 当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明 由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解 由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解 设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一 显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二 由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。

高考数学二轮复习测试数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的，把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．． B1、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214则 A ．M N = B ．M ⊂NC ．M ⊃ND ．M N =∅IB2、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = A ．–4B ．–6C ． –8D ． –10D3、在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数xa y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点A ．P ．B ．Q.C ．M.D ．N.C4、给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x xy -=+其中是偶函数的有A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个 A5、若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 2D6、把函数y ＝cos2x ＋3的图像沿向量a ρ平移后，得到函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像，则向量a ρ的坐标是 A ．(－6π,－3) B ．(6π,3) C ．(－12π,3) D ．(12π,－3) D7、球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的六分之一，经过这三点的小圆的周长为4π，则这个球的表面积为 A ．12πB ．24πC ．48πD ．64πD8、过点M(1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是 A ． x ＝1B ． y ＝1C ． x －y ＋1＝0D ． x －2y ＋3＝0A9、程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132 中应填入A ．10?k ≤B ．10?k ≥C ．11?k ≤D ．11?k ≥ C 10、已知A 箱内有红球1个和白球(n ＋1)个，B 箱内有白球(n －1)个(n ∈N ，且n ≥2)，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，将B 箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A 箱，则红球由A 箱移到B 箱，再返回到A 箱的概率等于 A ．1n 2+ B ．2n 3+ C ．2)2n (9+ D ．2)1n (1+ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

仿真模拟题(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ) A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x |C ．y ＝e x－e－x 2D ．y ＝x 34．(2013·高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126．给出下列命题：①如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ②如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ；④如果平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β.则真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞)8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－1，0)∪(0，1] 9．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．110．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．) (一)必做题(11～13题)11．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知a n ＝cos n π6＋161＋2cos 2n π12(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值是________．13．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．(二)选做题(14～15，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则圆心到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，⊙O 的弦PN 切⊙A 于点M ，PN ＝8，则⊙A 的半径为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：(1)(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率． 数据：公式：K 2＝n ×（ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）18．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2. (1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)求三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高．20．(本小题满分14分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP →＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R)．(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．①求实数a的取值范围；②证明：－e2<f(x1)<－1.(注：e是自然对数的底数)答案：1．【解析】选C.因为z ＝2i 31＋i ＝－2i1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以复数z ＝2i 31＋i 在复平面内对应的点位于第三象限，故应选C. 2．【解析】选A.由频率分布直方图可得，大于或等于80 km/h 的汽车的频率为0.01×10＝0.1，所以其频数为0.1×200＝20，即被处罚的汽车大约有20辆． 3．【解析】选B.由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1，2)内是增函数排除A.故选B.4．【解析】选B.∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．【解析】选D.s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34；n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.6．【解析】选C.当不同直线m 、n 都平行于平面α时，m 、n 的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m 、n 的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n 与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C. 7．【解析】选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34a <43，即34≤a <43，故选B.8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.9．【解析】选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0.∴cos A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋（3）2＝2.10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的图象如图所示，因f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1. 11．【解析】在x －y ＋1＝0中，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，即圆C 的圆心为(－1，0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】(x ＋1)2＋y 2＝212．【解析】设t ＝2＋cos n π6，有1≤t ≤3，则a n ＝cos n π6＋162＋cosn π6＝t ＋16t －2.用导数可以证明，函数f (t )＝t ＋16t在1≤t ≤3上是单调递减的，所以当t ＝3，即n ＝12k (k ∈N *)时，a n 取最小值193.【答案】19313．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)14．【解析】圆C 的直角方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2)；由参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t 消去t 后，得直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线l 的距离为|0＋2－6|12＋12＝22；【答案】2 215．【解析】设⊙A 的半径为R ，连接NQ 、MA ，∵∠PNQ ＝90°，∠PMA ＝90°，∴PMPN＝P A PQ ＝34， 又PN ＝8，∴PM ＝6，而PM 2＝PO ·PQ ，∴36＝2R ·4R ，∴OA ＝R ＝322.【答案】32216．【解】(1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．17．【解】(1)K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．(2)应抽取男生人数为660×40＝4人，应抽取女生人数为660×20＝2人．(3)设6人中2个女生分别为A ，B ，4个男生分别为c ，d ，e ，f ， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，共9个，∴有女生被选中的概率为P ＝915＝35.18．【解】(1)设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1)(n ≥2)， ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －13a n －1＝3n －1，①a n －3a n －1＝13n －1，②由①②得a n ＝38(3n －13n )．经验证，n ＝1时也成立，∴a n ＝38(3n －13n )．19．【解】(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ， ∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点， ∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平形四边形， ∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E . (2)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1. ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA ­EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16.∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32.∵VC ­AB 1E ＝VA ­EB 1C ，∴三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VC －AB 1E S △AB 1E＝33.20．【解】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点， 即a ＝2. 又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P (－8km 4k 2＋3，6m4k 2＋3)代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24（4k 2＋3）2＋36m 23（4k 2＋3）2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t ，0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝(－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)．即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m （m －4k ）4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k （1＋t ）m.要使OP →·TQ →为定值，只需[2k （1＋t ）m ]2＝4k 2（1＋t ）2m 2＝（4m 2－3）（1＋t ）2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1，0)，使得OP →·TQ →为定值32. 21．【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减．f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可，设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，故f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．(2)①若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，故方程2ax －e x ＝0有两个根x 1，x 2，又x ＝0显然不是该方程的根，∴方程2a ＝e x x有两个根． 设φ(x )＝e x x ，得φ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当x <0时，φ(x )<0且φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >0时，φ(x )>0，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 要使方程2a ＝e x x有两个根，需2a >φ(1)＝e ， 故a >e 2且0<x 1<1<x 2， 故a 的取值范围为(e 2，＋∞)． ②证明：由f ′(x 1)＝0，得2ax 1－e x 1＝0，故a ＝e x 12x 1，x 1 ∈(0，1)， f (x 1)＝ax 21－e x 1＝e x 12x 1·x 21－e x 1＝e x 1(x 12－1)，x 1∈(0，1)， 设φ(t )＝e t (t 2－1)(0<t <1)，则φ′(t )＝e t ·t －12<0， φ(t )在0<t <1上单调递减，故φ(1)<φ(t )<φ(0)，即－e 2<f (x 1)<－1.。

2021年宁夏平罗中学高考数学二模试卷〔理科〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1.全集，集合2，，那么A. B. 5， C. 3， D. 3，5，【答案】B【解析】【分析】可求出集合U，然后进展补集的运算即可．【详解】2，3，4，5，，2，；5，．应选：B．【点睛】此题考察集合的运算，描绘法、列举法的定义，二次不等式解集，准确计算是关键，注意2.复数 (i为虚数单位)的一共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简复数z，由一共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的一共轭复数为1﹣i.应选：B．点睛：此题考察复数的代数形式的运算，涉及一共轭复数，属根底题．3.平面向量，均为单位向量，假设向量，的夹角为，那么A. 25B. 7C. 5D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，据此确定的模即可.【详解】因为，且向量，的夹角为，所以，所以．此题选择D选项.【点睛】此题主要考察向量的运算法那么，向量的模的计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.正项等差数列的前项和为()，，那么的值是( ).A. 11B. 12C. 20D. 22 【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。

【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，应选D。

【点睛】本道题考察了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。

5.将一长为4，宽为2的矩形沿、的中点、连线折成如下图的几何体，假设折叠后，那么该几何体的正视图面积为〔〕A. 4B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】先确定折叠后形状，再确定正视图形状，最后根据矩形面积公式求结果.【详解】由题意知，折叠后为正三角形，该几何体的正视图是一长为4，宽为的矩形，所以矩形的面积为，应选B．【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．6.假设函数的最小正周期为，假设将其图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么函数的解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，再根据函数图象平移写出函数的解析式．【详解】函数的最小正周期为，，将函数图象向左平移个单位，得函数的图象，那么函数．应选：D．【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，考察三角平移变换，熟记公式，及变换原那么是关键，是根底题．7.执行如下图的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，由于．应选：C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．8.函数的局部图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．【详解】当时，，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，应选：A．【点睛】此题考察了函数图象的识别，考察了函数值的特点，属于根底题．9.“勾股定理〞在西方被称为“毕达哥拉斯定理〞，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如下图的“勾股圆方图〞中，四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形假设直角三角形中较小的锐角，如今向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，那么飞镖落在阴影局部的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，那么由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，那么小正方形的边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影局部〞为事件A，由几何概型中的面积型可得：，应选：A．【点睛】此题考察几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．10.，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，那么双曲线E的离心率为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进展求解即可．【详解】与x轴垂直，，设，那么，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，那么，那么，应选：A．【点睛】此题主要考察双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决此题的关键．11.假设二项式的展开式中第项为常数项，那么，应满足〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据二项展开式得，以及，解得，关系.【详解】由题意，的通项为，当即时，所得项为常数项，其中，所以，应满足，应选A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12.函数，要使函数恒成立，那么正实数应满足〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导数，根据导函数零点分类讨论函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值大于零得结果.【详解】由题意，得〔〕，令，由，得.当时，，此时函数在上单调递增，且时，，，，故，不合题意，舍去；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数恒成立，只需，即.应选C.【点睛】不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.二、填空题13.某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进展调查，该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，那么应从高三年级学生中抽取______名学生．【答案】12【解析】【分析】由分层抽样方法，按比例抽样确定高三年级所占比例即可求解．【详解】由分层抽样可得：应从高三年级学生中抽取名学生，故答案为：12【点睛】此题考察了分层抽样方法，确定抽样比例是关键，属简单题．满足条件，那么的最大值为【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为：1．【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．15.函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，那么__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】此题主要考察了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，那么四面体的外接球的外表积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得外表积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，那么OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的外表积故答案为【点睛】此题主要考察了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题17.在中，内角的对边分别为，，．求边；求的值．【答案】〔1〕6；〔2〕.【解析】【分析】运用诱导公式和正弦定理可得，求得，再由余弦定理计算可得,由余弦定理计算，再由同角的平方关系可得，运用两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．【详解】，，，即为，可得，，，解得；，，可得．【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，考察两角和差的正弦公式，以及同角的平方关系，考察运算才能，属于中档题．18.网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车〞官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍HY人转业为兼职或者专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、，它们出现的概率依次是、、、、t、．〔1〕求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；〔2〕网约车计费细那么如下：起步价为5元，行驶路程不超过时，租车费为5元，假设行驶路程超过，那么按每超出〔缺乏也按计程〕收费3元计费．根据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．【答案】〔1〕分布列见解析，；〔2〕设梁某一天出车一次的收入为Y元，。

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

高考数学模拟试题精编(七) (考试用时：120分钟 分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪21-x ≥12，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，3]2．已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π6D ．5π43．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t (月)满足函数关系式v ＝ab t (其中a ，b 为非零常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参数数据：lg 2≈0.3)( )A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月4．函数f (x )＝x 36＋sin 2x 的图象的大致形状是( )5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝2，则以下结论错误的是( )甲 乙A ．2OB→＋OE →＋OG →＝0B ．OA →·OD →＝－2 2C ．|AH→＋EH →|＝4 D ．|AH→＋GH →|＝4＋2 2 6．已知正实数a ，b 满足ab ＋2a －2＝0，则4a ＋b 的最小值是( ) A ．2 B ．42－2 C ．43－2D ．67．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为( )A ．57B ．35C ．25D ．138．若函数f (x )＝e x ＋x 3－2x 2－ax ，则a ＞e 是f (x )在(0，＋∞)上有两个不同零点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z 是z 的共轭复数，则下列命题中的真命题是( )A ．z ＋z ∈RB ．z －z ∈RC ．z ·z ∈RD ．zz ∈R10．某市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M 1，“乙队分在第一小组”为事件M 2，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M 3，则( )A ．P (M 1)＝12B ．P (M 3)＝37C ．P (M 1)＋P (M 2)＝P (M 3)D ．事件M 1与事件M 3相互独立11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是( )A ．若点P (2，1)，则△P AF 的周长的最小值为3＋ 2B ．若点P (m ，2)是C 上的一点，且AF →＋BF →＝FP →，则|AF |，|FP |，|BF |成等差数列C ．若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2＝－2D ．若|AB |＝8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，Q 为正方形BB 1C 1C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )A ．若D 1Q ∥平面A 1PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得D 1Q ⊥平面A 1PDC ．当且仅当Q 点落在棱CC 1上某处时，三棱锥Q -A 1PD 的体积最大 D ．若D 1Q ＝62，那么Q 点的轨迹长度为24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 8的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a ＝________．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f (x )＝________． ①f (x )的最大值为2； ②∀x ∈R ，f (2－x )＝f (x )； ③f (x )是周期函数．15．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6，若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响，设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则E (ξ)＝________．16．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (x 3＋1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝ax ＋b .若f (4)＝1，则∑100k ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a －c ＝2b cos C ．(1)求B ；(2)A 的角平分线与C 的角平分线相交于点D ，AD ＝3，CD ＝5，求AC 和BD . 18．(本小题满分12分)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若4S n ＝a 2n ＋2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：23≤T n ＜1. 19．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN ∥BM ，AN ＝AB ＝BC ＝2，BM ＝4，CN ＝2 3.(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM (不含端点)上是否存在一点E ，使得二面角E -BN -M 的余弦值为33.若存在，求出CE EM 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表．该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y ^＝u ^x 2＋v^. (1)根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程(u^的值精确到0.1)；(2)已知该公司的月利润z (单位：万元)与x ，y 的关系为z ＝24x －5y ＋2x ，根据(1)的结果，该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(本小题满分12分)已知f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若对任意x ＞0都有f (x )≤0，求a 的取值范围；(2)若0＜x 1＜x 2，证明：对任意常数a ，存在唯一的x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2成立．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点为F (3，0)，点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上但不在y 轴上，过点M 作圆的切线交椭圆于P ，Q 两点，当点M 在x 轴上时，|PQ |＝ 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点M 在圆上运动时，试探究△FPQ 周长的取值范围．。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【高频考点突破】考点一已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sinB ＋cosB ，cosC)，ON →＝(sinC ，sinB －cosB)，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos2A2－3sinA －12sin A ＋π4的值． 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值． 考点二已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【变式探究】已知向量a ＝(sinθ，－2)与b ＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值． 考点三正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S. 【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB ，用c 替换sinC.sinA ，sinB ，sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2csinA. (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值． 考点四解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【变式探究】如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？【真题感悟】【高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【押题专练】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知sin α＝55，则cos4α的值是() A.425 B ．－725 C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是() A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为() A.35 B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝() A. 1－a 2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 26．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝()A ．－12 B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin2α＝________. 8．sin 2B1＋cos2B －sin2B＝－3，则tan 2B ＝________. 9．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________. 10．化简：2sin(π4－x)＋6cos(π4－x) 11．求3tan 10°＋14cos210°－2sin 10°的值．12．已知函数f(x)＝3sin2x －2sin2x. (1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节变量间的相关性一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()(A)都可以分析出两个变量的关系(B)都可以用一条直线近似地表示两者的关系(C)都可以作出散点图(D)都可以用确定的表达式表示两者的关系【答案】C【解析】给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两个变量的关系,更不一定符合线性相关或函数关系,故选C.2.下面两个变量间的关系不是函数关系的是()(A)正方体的棱长与体积(B)角的度数与它的正弦值(C)单位产量为常数时,土地面积与粮食总产量(D)日照时间与水稻亩产量【答案】D而D项是相关关系.3.【高考数学复习二轮】根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程y＝0.85x－85.7，则在样本点(165，57)处的残差为()A．54.55 B．2.45 C．3.45 D．111.55【答案】B【解析】把x ＝165代入回归方程得y ＝0.85×165－85.7＝54.55，所以残差为57－54.55＝2.45. 4. 【高考前30天数学保温训练】对于相关系数r 下列描述正确的是（ ） A ．r ＞0表明两个变量线性相关性很强 B ．r ＜0表明两个变量无关C ．|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强D ．r 越小，表明两个变量线性相关性越弱 【答案】C5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程=+x 中,回归系数( ) (A)不能小于0 (B)不能大于0 (C)不能等于0 (D)只能小于0 【答案】C【解析】∵=0时,相关系数r=0,这时不具有线性相关关系,但能大于0也能小于0.6.【改编自高三十三校第二次联考】已知下列表格所示的数据的回归直线方程为ˆ4yx a =+，则a 的值为（ ）．A ．240B ．246C ．274D ．278 【答案】B【解析】由已知得，2345645x ++++==，2512542572622662625y ++++==，又因为回归直线必过样本点中心(4,262) ，则26244a =⨯+，解得246a =,选B.7.【教学合作高三10月联考】某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程^^^y b x a =+中的^b 的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为（ ）A ．93分钟B ．94分钟C ．95分钟D ．96分钟 【答案】A8.某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,)i i x y i n =…,，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200,yx =-+则下列结论正确的是（ ） （A ）y 与x 具有正的线性相关关系（B ）若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r =- （C ）当销售价格为10元时，销售量为100件 （D ）当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【答案】D9. 小明同学根据右表记录的产量x （吨）与能耗y （吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了y关于x 的线性回归方程a x y+=7.0ˆ，据此模型预报产量为7万吨时能耗为（ ） A. 5 B. 25.5 C . 5.5 D. 75.5【答案】B10.【龙岩市高三上学期期末】已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为^y ＝－3＋bx ，若10101117,4,ii i i xy ====∑∑则b 的值为( )A. 2B. 1C. －2D.－1 【答案】A【解析】依题意知，17 1.710x ==，40.410y ==，而直线3y bx ∧=-+一定经过点(,)x y ，所以3 1.70.4b ∧-+⨯=，解得2b ∧=.11.【江西新余市高三上学期期末质量检测】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )A ．75B ．62C ．68D ．81 【答案】C12.【高考数学（二轮专题复习）假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的，若10个学生初一(x)和初二(y)数学分数如下：x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y76757170767965776272则初一和初二数学分数间的回归方程是 ( )． A. y ＝1.218 2x －14.192 B. y ＝14.192x ＋1.218 2 C. y ＝1.218 2x ＋14.192 D. y ＝14.192x －1.218 2【答案】A二、三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.【烟台市高三5月适应性训练一】如果在一次试验中，测得(,x y )的四组数值分别是x1 2 3 4 y33.85.26根据上表可得回归方程ˆˆ1.04yx a =+，据此模型预报当x 为5时，y 的值为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.04 D ．7.2 【答案】B14.【高考数学人教版评估检测】在元旦期间,某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 1110865通过分析,发现销售量y 与商品的价格x 具有线性相关关系,则销售量y 关于商品的价格x 的线性回归方程为__________.【答案】 3.240.x =-+【解析】392,i i x y ==10,=8,=502.5,代入公式,得= 3.2,=-所以,==40,故线性回归方程为 3.240.x =-+15.【高考数学全程总复习课时提升】为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为. 【答案】0.50.53.，16.【揭阳市高三4月第二次模拟】某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：x 68 10 12y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+中的b 的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为.（附：线性回归方程y bx a =+中，a y bx =-，其中x 、y 为样本平均值) 【答案】7.5.四、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【宽甸二中高三最后一模】在一段时间内，某种商品价格x （万元）和需求量)(t y 之间的一组数据为： 价格x1.4 1.6 1.8 22.2 需求量y1210753（1）进行相关性检验；（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为1.9万元，需求量大约是多少？（精确到0.01t ）参考公式及数据：2121ˆxn x yx n yx bn i i ni ii -⋅-=∑∑==，))((2122121y n y x n x yx n yx r ni i ni i ni ii --⋅-=∑∑∑===，61.428.21≈相关性检验的临界值表： n2 12345678910小概率0.011.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708【答案】（1）从而有99%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系（2）x y5.111.28ˆ-=，当价格定为9.1万元时，需求量大约为t 25.6【解析】】（1）①作统计假设：x 与y 不具有线性相关关系。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【热点题型】题型一函数零点的判断与求解【例1】 (1)设f(x)＝ex ＋x －4，则函数f(x)的零点位于区间() A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)(2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为()A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【提分秘籍】(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根．【举一反三】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x≤1，1＋log2x ，x ＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0 B ．－2，0 C.12 D ．0题型二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)． (1)若y ＝g(x)－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．【提分秘籍】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【举一反三】(1)函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是() A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x≥2，若方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(0，3)C ．(0，2)D ．(0，1)题型三与二次函数有关的零点问题【例3】是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【提分秘籍】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【举一反三】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．【高考风向标】【高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为.【高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.【高考山东，文10】设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12（·北京卷）已知函数f(x)＝6x －log2x ，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是() A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，4) D ．(4，＋∞)（·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则() A ．c≤3 B ．3＜c≤6 C ．6＜c≤9 D ．c ＞9（·重庆卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23（·福建卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．（·湖北卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为()A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}（·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．（·江西卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a·2x ，x≥0，2－x ，x<0(a ∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a ＝() A.14 B.12 C ．1 D ．2（·浙江卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋2，x≤0，－x2，x ＞0.若f(f(a))＝2，则a ＝________.（·全国卷）函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．（·天津卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x2＋5x ＋4|，x≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【高考押题】1．函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是 () A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为() A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间 () A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内4．若函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是 ()A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)5．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －x －1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A ．x2＜x1＜x3B ．x1＜x2＜x3C ．x1＜x3＜x2D ．x3＜x2＜x16．函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．7．函数f(x)＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________．8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．9．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．10．已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

第1章集合与简易逻辑§1–1集合一、集合的概念1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．1.1.2下列集合中，有限集是()．(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下列结论中正确的是()．(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M解析因为 <6，则∈M，{a}M，所以，答案为A．1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．1.1.5下列四个关系中，正确的是()．(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()．(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则＝－1，又－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．1.1.7用适当的方式写出下列集合：(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；(2) 不大于6的非负整数所组成的集合；(3) 所有正奇数组成的集合；(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合；(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集；(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合；(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合．解析(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．(3) 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1，k∈N}．(4) 方程x3＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x3＋6＝0，x∈R}．(5) 不等式x2－5x＋4<0的解集{x|x2－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x，y)|x>0且y>0}．(7) 直角坐标平面中，直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{(x，y)|y＝2x －1}．1.1.8已知集合A＝{1，3，x}，集合B＝{1，x2}，若有B A且x∉B，则A＝．解析由x2∈A及x∉B得x2＝3，解得x＝±，经检验此x的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A＝{1，3，}或{1，3，－}．1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是．解析由已知可得解得－1≤m≤．1.1.10若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为()．(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2解析将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐标代入不等式组可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N内，所以，答案为C．1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为()．(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18解析由已知可得A☉B＝{0，6，12}，所以，A☉B中所有元素之和为18，答案为D．1.1.12设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()．(A) 自然数集(B) 整数集(C) 有理数集 (D) 无理数集解析任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C．1.1.13集合M＝{x|a1x>b1}，N＝{x|a2x>b2}，其中常数a1b1a2b2≠0，则“”是“M＝N”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，则有，此时，M＝{x|x>1}，N＝{x|x<1}，M≠N；若M＝N，则必有a1a2>0，于是，M＝，N＝，或者，M＝，N＝，于是，，即，所以，“”是“M＝N”的必要不充分条件，答案为B．1.1.14已知集合M＝{x|x≤a2＋b2}，其中a，b是常数．给出下列四个命题：① 2ab一定属于M② 2ab一定不属于M③－2ab一定属于M④－2ab一定不属于M其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．解析由(a－b)2≥0和(a＋b)2≥0对任意a，b∈R恒成立可得2ab≤a2＋b2，－2ab≤a2＋b2，所以，2ab∈M，－2ab∈M，在上述四个命题中，①和③是正确的．1.1.15已知集合A是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x∈A，必有3－∈A．问：(1) 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由；(2) 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A；若不可以，则说明理由．解析(1) 若集合A中有且仅有一个元素x，则3－＝x，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a，b}是满足要求的二元集，并且即则a＝b，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．1.1.16同时满足{1}A⊆{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()．(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8解析若A为二元集，则A可为{1，2}、{1，4}；若A为三元集，则A可为{1，2，4}、{1，3，5}；若A为四元集，则A可为{1，2，3，5}、{1，3，4，5}；若A为五元集，则A可为{1，2，3，4，5}，所以，共有7个符合条件的集合，答案为C．1.1.17对于集合A和B，当A B时，下列集合之间的关系一定不能成立的是()．(A) ∅⊆A(B) ∅B(C) B＝∅(D) A＝∅解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由A B可得B≠∅，所以，答案为C．1.1.18下列各组集合中，M与P表示同一个集合的是()．(A) M＝{(1，－3)}，P＝{(－3，1)}(B) M＝∅，P＝{0}(C) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}(D) M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}解析(1，－3)与(－3，1)是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素，它不是空集．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}是二次函数y＝x2＋1的因变量的集合，它是一个数集，而集合P＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线，它是点的集合．集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{y|y≥1}，所以，答案为D．1.1.19写出集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2且x＋y＝0}的所有子集：．解析集合A＝{(1，－1)，(－1，1)}，所以，A的所有子集是∅，{(1，－1)}，{(－1，1)}，{(1，－1)，(－1，1)}．1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合：；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合：；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合：．解析(1) 方程x2＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x2＋2＝0，x∈R}＝∅；(2) 函数y＝3x＋2，1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2，1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；(3) 函数y＝－x2＋4x＋3，x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x2＋4x ＋3，x∈R}＝{y|y≤7}．1.1.21已知集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a的值是．解析要使得集合{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}中有且仅有一个元素，则a＝0或Δ＝22－4a＝0，所以，a＝0或a＝1．1.1.22关于x的不等式≤的解集是A，关于x的不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a ＋1)≤0 (其中a∈R)的解集是B，求使A⊆B的a的取值范围．解析不等式≤的解集A＝[2a，a2＋1]．不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0即为(x－2)(x－3a－1)≤0．若a≥，则B＝[2，3a＋1]；若a<，则B＝[3a＋1，2]．由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．所以，a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．1.1.23已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0，x∈R}，若B⊆A，C⊆A，求实数a，b应满足的条件．解析集合A＝{1，2}，而x2－ax＋(a－1)＝0即为(x－1)(x－a＋1)＝0，若a－1＝1，即a＝2，则B＝{1}满足；若a－1≠1，即a≠2，则B＝{1，a－1}，由B⊆A知a－1＝2，即a＝3．对于集合C，由C⊆A知，若C＝∅，则Δ＝(－b)2－8<0，解得－2<b<2；若C为单元集，则Δ＝(－b)2－8＝0，此时C＝{}或C＝{－}，与C⊆A矛盾；若C＝{1，2}，即C中方程两根为1和2，则b＝3．所以，a，b应满足的条件是a＝2或a＝3而－2<b<2或b＝3．1.1.24已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3，0≤x≤3}，若有且仅有一个点同时属于集合A和B，求实数m的取值范围．解析由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得x2－(1＋m)x＋4＝0，该方程在区间[0，3]上只有一个解．若Δ＝(m＋1)2－16＝0，则m＝3或m＝－5，如果m＝3，解得x＝2；如果m＝－5，解得x＝－2∉[0，3]，于是m＝－5舍去．若Δ>0，则记f(x)＝x2－(1＋m)x＋4，此时，只需f(3)<0，即9－3(m＋1)＋4<0，解得m>．所以，m的取值范围是m>或m＝3．1.1.25设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i＝{a i，b i}，S j＝{a j，b j}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})，都有min≠min(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是()．(A) 10 (B) 11(C) 12 (D) 13解析集合M的所有两元子集是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共计15个，其中，不同min (i＝1，2，…，15)有共11个，所以，答案为B．1.1.26设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a ＋b，a－b，ab，∈P (除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题的序号填上)．解析因为任意两个整数的商不一定是整数，故命题①不正确；当集合M ＝Q∪{}时，由于1∈Q，而∉M，故命题②不正确；由数域P的定义知，必有＝1∈P，从而2∈P，则3∈P，…，所以，整数集Z⊆P，故数域P中必有无穷多个元素，命题③正确；由于数集F＝{a＋b|a，b∈Q}是数域，则将其中的换成，…等仍为数域，所以数域有无穷多个，命题④正确．所以，在上述四个命题中，正确命题的序号是③，④．1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：(1) 对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕多项式的乘法；⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是(写出所有“融洽集”的序号)．解析对于非负整数集以及加法运算，两个非负整数之和一定是非负整数，其中e＝0；对于偶数集和乘法运算，其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算，任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量，e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法，其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算，其中不存在满足要求的元素e，所以，集合G关于运算⊕为“融洽集”的是①和③．1.1.28已知集合S＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}．求证：若a，b∈S，则ab ∈S．解析由a，b∈S得存在整数p，q，r，s，使得a＝p2＋q2，b＝r2＋s2，则ab＝(p2＋q2)(r2＋s2)＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝(pr＋qs)2＋(ps－qr)2，其中pr＋qs 和ps－qr都是整数，所以，ab∈S．1.1.29已知集合A＝{x|x＝12a＋8b，a，b∈Z}，B＝{y|y＝20c＋16d，c，d ∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系，并说明理由．解析若y∈B，即y＝20c＋16d＝12c＋8(c＋2d)，因为c，d∈Z，则有c＋2d∈Z，得y∈A，于是B⊆A；若x∈A，则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b ＝20(3a＋2b)＋16(－3a－2b)，因为a，b∈Z，则有3a＋2b，－3a－2b∈Z，于是A⊆B．所以，A＝B．1.1.30若f(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R，A＝{x|x＝f(x)，x∈R}，B＝{x|x＝f[f(x)]，x∈C}．(1) 写出集合A与B之间的关系，并证明；(2) 当A＝{－1，3}时，用列举法表示集合B．解析(1) 任取x∈A，则f(x)＝x，于是，f [ f(x)]＝f(x)＝x，即有x∈B，所以有A⊆B，但由于x＝f[f(x)]必为四次方程，在复数集C上有4个根，所以A B．(2) 当A＝{－1，3}时，即方程x2＋ax＋b＝x的两根为－1、3，于是－1＋3＝－(a－1)，(－1)×3＝b，所以a＝－1，b＝－3，即f(x)＝x2－x－3，此时，集合B中的方程为(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，即(x2－x－3)2－x2＝0，(x2－3)(x2－2x－3)＝0，所以，B＝{－1，3，，－}．1.1.31已知A＝{(x，y)|x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|xy ＝－10，x，y∈R}．(1) 对于直线m和直线外的一点P，用“m上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的“距离”的定义；(2) 依照(1)中的定义求出A与B 的“距离”．解析(1) 定义：在点集A，B中分别任取一点，所取两点间的距离若有最小值，则此最小值称为点集A与B的“距离”．(2) 集合A中的点构成一个圆，其方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－2，－2)，半径为1，设P(x，y)为曲线xy＝－10上任意一点，则|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＝x2＋y2＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2－2xy＋4(x＋y)＋8＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋28＝(x＋y＋2)2＋24．＝2，所以，A与B的“距离”为2－当且仅当即或时，|PC＝24，|PC|最小值1．二、集合的运算1.1.32已知全集I＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6}，集合A＝{a1，a3，a4，a5}，B＝{a1，a4}，则A∩∁I B＝()．(A) {a1，a4} (B) {a2，a6}(C) {a3，a5} (D) {a2，a3，a5，a6}解析∁I B＝{a2，a3，a5，a6}，所以，A∩∁I B＝{a3，a5}，答案为C．1.1.33若集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2－3x＝0}，则M∩N＝()．(A) {3} (B) {0} (C) {0，2} (D) {0，3}解析M＝[－2，2]，N＝{0，3}，所以M∩N＝{0}，答案为B．1.1.34设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．(A) (∁I A)∪B＝I(B) (∁I A)∪(∁I B)＝I题1.1.34(C) A∩(∁I B)＝∅(D) (∁I A)∩(∁I B)＝(∁I B)解析集合A，B，I的关系如图所示，可知(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A≠I，所以，答案为B．1.1.35设全集I＝{2，3，5}，A＝{|a－5|，2}，∁I A＝{5}，则a的值为()．(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D) －2或8解析由A∪∁I A＝I得|a－5|＝3，所以a＝2或8，答案为C．1.1.36设集合M＝{x|a1x2＋b1x＋c1＝0}，N＝{x|a2x2＋b2x＋c2＝0}，则方程(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0的解集是()．(A) M∩N(B) M∪N(C) N(D) M解析由(a1x2＋b1x＋c1)(a2x2＋b2x＋c2)＝0可得(a1x2＋b1x＋c1)＝0或(a2x2＋b2x＋c2)＝0，所以，该方程的解集是M∪N，答案为B．1.1.37若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P＝()．(A) (1，－1) (B) {x＝1}∪{y＝－1}(C) {1，－1} (D) {(1，－1)}解析由得所以，M∩P＝{(1，－1)}，答案为D．1.1.38满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M 的个数是()．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解析由M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}知a1、a2∈M，a3∉M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．1.1.39若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()．(A) A⊆C(B) C⊆A(C) A≠C(D) A＝∅解析任取x∈A，则x∈A∪B＝B∩C，于是，x∈B∩C，则x∈C，所以，A⊆C，答案为A．1.1.40已知A＝{x|x≤7}，B＝{x|x<2}，C＝{x|x>5}，则A∩B＝；A ∪C＝；A∩B∩C＝．解析由已知得A∩B＝{x|x<2}，A∪C＝R，A∩B∩C＝∅．1.1.41若集合A＝{x|－2<x<1或x>1}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，则a＝；b＝．解析在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a＝1，b＝3．1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C，试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：．解析图中的阴影部分表示集合∁U A∩B∩C．题1.1.41题1.1.421.1.43已知a>b>0，全集I＝R，集合M＝，N＝，P＝{x|b<x<}，则下列关系式中正确的是()．(A) P＝M∩∁I N(B) P＝∁I M∩N(C) P＝M∪N(D) P＝M∩N题1.1.43 解析由a>b>0得b<<<a，将集合M，N表示在数轴上可知P＝M∩∁I N，答案为A．1.1.44对于集合A，B，C，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若A＝B，则显然有A∩C＝B∩C；反之，若C＝{1}，A＝{1，2}，B＝{1，3}，此时A∩C＝B∩C＝{1}，但A≠B，所以，“A∩C＝B∩C”是“A＝B”的必要不充分条件，答案为B．1.1.45设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么∁I(M∪N)＝()．(A) ∅(B) {(2，3)}(C) (2，3) (D) {(x，y)|y＝x＋1}解析集合I表示平面上所有的点，集合M表示直线y＝x＋1上除(2，3)外的所有点，集合N表示不在直线y＝x＋1上的所有点，所以M∪N表示平面上除(2，3)外的所有点，所以，∁I(M∪N)是集合{(2，3)}，答案为B．1.1.46若全集I＝R，f(x)，g(x)都是定义域为R的函数，P＝{x|f(x)<0}，Q ＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集用P，Q表示为．解析由已知可得不等式g(x)<0的解集是∁I Q，所以，不等式组的解集是P∩∁I Q．1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点，则集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝．解析由已知得点P到△ABC三顶点等距，所以，{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝{△ABC的外心}．1.1.48集合A＝{(x，y)|ax＋y＝1}，B＝{(x，y)|x＋ay＝1}，C＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，分别求使得集合(A∪B)∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．解析集合A、B分别表示过定点(0，1)和(1，0)的两条直线，集合C表示单位圆，且(0，1)，(1，0)∈C，若(A∪B)∩C含有两个元素，则两直线重合或同时与圆相切，可得a＝1或a＝0．若(A∪B)∩C含有三个元素，即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点，由于两直线或同时与圆相切，或同时与圆不相切，则必须有上述两条直线的交点在圆上，两直线的交点是，则＝1，所以，a＝－1±．1.1.49若集合A是一个有限集，我们以f(A)表示该集合中元素的个数．例如：f (∅)＝0，f ({a })＝1等等．(1) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，若集合N ＝{(x ，y )|y ＝b }，其中b 是实常数，求f (M ∩N )的值；(2) 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈Z}，若集合P ＝{(x ，y )|y ＝x ＋p }，其中p 是实常数，如果存在整数k 使得(k ，k 2)∈M ∩P ，求证：f (M ∩P )＝2．解析 (1) 若b <0，则f (M ∩N )＝0；若b ＝0，则f (M ∩N )＝1；若b >0，则f (M ∩N )＝2．(2) 由已知可得关于x 的方程x 2＝x ＋p 有一个根是k ，则k 2＝k ＋p ，即p ＝k 2－k ，于是，方程x 2＝x ＋p 即为x 2－x －(k －1)k ＝0，即(x －k )(x ＋k －1)＝0，解得x ＝k 或x ＝1－k ，所以，M ∩P ＝{(k ，k 2)，(1－k ，(1－k )2)}，由k 是整数得k ≠1－k ，则f (M ∩N )＝2．1.1.50 设全集为R ，A ＝{x |x 2－5x －6>0}，B ＝{x ‖x －5|<a }(a 是常数)，且11∈B ，则( )．(A) ∁R A ∪B ＝R (B) A ∪∁R B ＝R(C) ∁R A ∪∁R B ＝R (D) A ∪B ＝R解析 集合A ＝{x |x >6或x <－1}，由11∈B 得|11－5|<a ，即a >6，集合B ＝(5－a ，5＋a )，此时5－a <－1，5＋a >6，所以，A ∪B ＝R ，答案为D ．1.1.51 已知P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则P ∩Q ＝( )．(A) {(0，1)，(1，0)} (B) {0，1}(C) {1，2} (D) {y |y ≥1}解析 集合P ，Q 分别是函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋1的值域，于是P ＝[1，＋∞)，Q ＝R ，所以P ∩Q ＝[1，＋∞)，答案为D ．1.1.52 设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的“差集”为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －(A －B )＝( )．(A) B (B) A ∩B (C) A ∪B (D) A解析 由“差集”的定义可知集合A –B 如图中阴影部分所示，所以，A －(A －B )＝A ∩B ，答案为B ．1.1.53 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )．(A) mn (B) m ＋n (C) n －m (D) m －n解析 由文氏图可得A ∩B 的元素个数为m －n ，答案为D ．1.1.54 设全集U ＝N *，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，则∁U (A ∪B )＝( )．(A) {x |x ＝6n ，n ∈N *} (B) {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}(C) {x |x ＝6n ±2，n ∈N *} (D) {x |x ＝6n ±3，n ∈N *}解析 对于x ＝2n ，n ∈N *，若n ＝3k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝3k －1 (k ∈题1.1.52题1.1.53N *)，则x ＝6k －2；若n ＝3k －2 (k ∈N *)，则x ＝6k －4，对于x ＝3n ，若n ＝2k (k ∈N *)，则x ＝6k ；若n ＝2k －1 (k ∈N *)，则x ＝6k －3，所以，∁U (A ∪B )＝ {x |x ＝6n ±1，n ∈N *}，答案为B ．1.1.55 我们称(P ，Q )为“有序集合对”，其中P ，Q 是集合，当P ≠Q 时，认为(P ，Q )与(Q ，P )是两个不同的“有序集合对”．那么，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有( )个．(A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16 解析 若A ＝∅，则只能B ＝{a ，b }；若A ＝{a }，则B 可以为{b }或{a ，b }；若A ＝{b }，则B 可以为{a }或{a ，b }；若A ＝{a ，b }，则B 可以是∅，{a }，{b }，{a ，b }这四个集合中的某一个，所以，使得A ∪B ＝{a ，b }成立的“有序集合对”(A ，B )共有9个，答案为A ．1.1.56 有限集合S 中元素的个数记做card(S )．设A ，B都为有限集合，给出下列命题：① A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )；② A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )；③ A ⊈B 的充分条件是card(A )≤card(B )；④ A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )，其中真命题的序号是( )．(A) ③，④ (B) ①，②(C) ①，④ (D)②，③ 解析 用文氏图可知，当A ∩B ＝∅时，必有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )．反之，若card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )，也必有A ∩B ＝∅．于是，card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )是A ∩B ＝∅的充要条件；若A ⊆B ，则card(A )≤card(B )；反之，当card(A )≤card(B )时，未必有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊆B 的必要条件；当card(A )≤card(B )时，有可能有A ⊆B ，于是，card(A )≤card(B )是A ⊈B 的既不充分，也不必要条件；card(A )＝card(B )是A ＝B 的必要不充分条件，所以，答案为B ．1.1.57 若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) x ∈C 是x ∈A 的充分条件但不是必要条件(B) x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件(C) x ∈C 是x ∈A 的充要条件(D) x ∈C 既不是x ∈A 的充分条件，也不是x ∈A 的必要条件解析 若x ∈A ，则一定有x ∈A ∪B ＝C ，于是，x ∈C 是x ∈A 的必要条件；如果x ∈C ＝A ∪B 时必有x ∈A ，则C ⊆A ，即A ∪B ⊆A ，于是，任取y ∈B ⊆A ∪B ⊆A ，则y ∈A ，B ⊆A ，矛盾，所以，x ∈C 是x ∈A 的必要条件但不是充分条件，答案为B ．题1.1.561.1.58 已知集合M ＝{2，3，m 2＋4m ＋2}，P ＝{0，7，m 2＋4m －2，2－m }满足M ∩P ＝{3，7}，则实数m 的值是 ．解析 由已知得7∈M ，则m 2＋4m ＋2＝7，解得m ＝1或m ＝－5．若m ＝1，则m 2＋4m －2＝3，2－m ＝1．若m ＝－5，2－m ＝7，与集合中元素的互异性矛盾，所以，m 的值是1．1.1.59 如果全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e ，f }，A ＝{a ，b ，c ，d }，A ∩B ＝{a }，∁U (A ∪B )＝{f }，则B＝ ．解析 由表示集合U ，A ，B 的图形可得只有e ∈(∁U A )∩B ，所以，B ＝{a ，e }．1.1.60 如果全集U 含有12个元素，P ，Q 都是U 的子集，P ∩Q 中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q 含有4个元素，∁U P ∩Q含有3个元素，则P 含有 个元素；Q 含有 个元素．解析 由表示集合U ，P ，Q 的图形可得P ，Q 中各有5个元素．1.1.61 集合A ＝{x |x ＝5k ＋3，k ∈N}， B ＝{x |x ＝7k ＋2，k ∈N}，则A ∩B 中的最小元素是 ．解析 由已知可得集合A ＝{3，8，13，18，23，28，33，…}， B ＝{2，9，16，23，30，…}，所以，A ∩B 中的最小元素是23．1.1.62 已知集合A ＝{x |－8≤x ≤6}，B ＝{x |x ≤m }，若A∪B ≠B 且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是 ． 解析 将集合A ，B 表示在数轴上可知m 的取值范围是－8≤m <6．1.1.63 已知常数a 是正整数，集合A ＝， B ＝{x ‖x |<2a ，x ∈Z}，则集合A ∪B 中所有元素之和为 ．解析 由|x －a |<a ＋可得－<x <2a ＋，而x ∈Z ，于是，A ＝{0，1，2，3，…，2a －1，2a }，由|x |<2a 得－2a <x <2a ，又x ∈Z ，则B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，(2a －2)，(2a －1)}．于是，A ∪B ＝{－(2a －1)，－(2a －2)，…，－1，0，1，…，(2a －2)，(2a －1)，2a }，其中所有元素之和为2a ．1.1.64 我们将b －a 称为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”．若集合M ＝，N ＝，且M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )．(A) (B) (C) (D)解析 集合M 和N 的“长度”分别是和，又M 和N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，于是，当m ＝，n ＝0时，集合M ∩N 的“长度”取得最小值，答案为B ．题1.1.59 题1.1.60 题1.1.621.1.65已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A∩R＋＝∅，求实数m的取值范围．解析若A＝∅，则Δ＝(m＋2)2－4<0，解得－4<m<0；若A≠∅，则由x2＋(m＋2)x＋1＝0没有正数根得解得m≥0．所以，m的取值范围是m>－4．1.1.66若集合A＝{x|x2－2ax＋a＝0，x∈R}，B＝{x|x2－4x＋a＋5＝0，x ∈R}．(1) 若A＝B＝∅，求a的取值范围；(2) 若A和B中至少有一个是∅，求a的取值范围；(3) 若A和B中有且仅有一个是∅，求a的取值范围．解析(1) 若A＝∅，则4a2－4a<0，解得0<a<1．若B＝∅，则16－4(a＋5)<0，解得a>－1，所以，使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．(2) 设A'＝(0，1)，B'＝(－1，＋∞)，则使A和B中至少有一个是∅的实数a ∈A'∪B'，即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．(3) 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩(∁R B')]∪[(∁R A')∩B']，所以，使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．§1–2简易逻辑一、命题1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的()．(A) 否命题必是真命题(B) 否命题必是假命题(C) 原命题必是假命题(D) 逆否命题必是真命题解析一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是()．(A) 若b∈M，则a∉M(B) 若b∉M，则a∈M(C) 若b∈M，则a∈M(D) 若a∉M，则b∈M解析逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()．(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()．(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．1.2.6在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．解析原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A 时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．1.2.7若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；若ab>0，则或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．1.2.8已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是()．(A) a≠b且b≠c(B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D) a2，b2，c2互不相等解析由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为．解析原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是．解析由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．1.2.12已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m 的取值范围．解析当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m 的取值范围是m≥3或1<m≤2．1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．解析若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．1.2.14设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C 同时成立．解析设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．1.2.15中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：．解析由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．1.2.16已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．解析所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．二、充分条件和必要条件1.2.17两个圆“周长相等”是“面积相等”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．1.2.18P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．1.2.19已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 对于实数a ，b ，c ，d ，如果a ＝b 且c ＝d ，则有a －b ＝0，c －d ＝0，则a ＋c －(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )＝0，于是，a ＋c ＝b ＋d ；反之，如果a ＝1，b ＝2，c ＝4，d ＝3，有a ＋c ＝b ＋d ，但此时a ≠b ，c ≠d ，所以，“a ＝b 且c ＝d ”是“a ＋c ＝b ＋d ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.20 已知a ，b ，c 是实数，则“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 如果a ＝b ，则a －b ＝0，于是，ac －bc ＝(a －b )c ＝0，可得ac ＝bc ；反之，如果c ＝0，a ＝1，b ＝2，此时有ac ＝bc ，但a ≠b ，所以，“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，答案为A ．1.2.21 设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析 如果m ，n 均为偶数，则m ＋n 一定是偶数；反之，如果m ＝1，n ＝3，m ＋n ＝4为偶数，但此时m 和n 都不是偶数，所以，“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分而不必要条件，答案为A ．1.2.22 设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是∁U A ∪B ＝U 的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 解析 由表示集合U ，A ，B 关系的图形可知当A B 时必有∁U A ∪B ＝U 成立，反之，当A ＝B 时，也有∁U A ∪B ＝U 成立，即A 是B 的真子集不是∁U A ∪B ＝U 成立的必要条件，所以，答案为A ．1.2.23 对于集合M 和P ，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析 由表示集合M ，P 的图形可知当x ∈M 或x ∈P 时不一定有x ∈M ∩P ，而当x ∈M ∩P 时必有x ∈M 或x ∈P ，所以，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，答案为B ．题1.2.22题1.2.231.2.24如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为()．(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1(C) x>－1且x≠1(D) x<1且x≠－1解析此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是()．(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．1.2.28已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．1.2.29“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的()．(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k 是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．1.2.30对于集合A，B，下列四个命题中正确的是()．。

限时练2(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024全国乙,理1)设z=,则=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i2.(2024江苏南京、盐城一模)设M={x|x=,k∈Z},N={x|x=k+,k∈Z},则()A.M⫋NB.N⫋MC.M=ND.M∩N=∅3.(2024山东聊城模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5=5,a1+S11=67,则a3a10是{a n}中的()A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项4.(2024新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是()A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)5.(2024湖南常德二模)某人同时掷两枚骰子,得到点数分别为a,b,则焦点在y轴上的椭圆=1的离心率e≥的概率是()A. B.C. D.6.(2024新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=()A. B.C.-D.-7.(2024江苏苏锡常镇一模)已知正四面体P-ABC的棱长为1,点O为底面ABC的中心,球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点,且公共点非该正四面体的顶点,则球O的半径为() A. B. C. D.8.(2024河南郑州二模)函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0恰有5个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2024山东聊城三模)随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高,我国社会物流需求不断增加.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标,下面是2017—2024年我国社会物流总费用与GDP的比率统计,则()2017—2024年我国社会物流总费用与GDP的比率统计A.2024—2024这5年我国社会物流总费用逐年增长,且2024年增长的最多B.2017—2024这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9C.2017—2024这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%D.2024年我国的GDP超过了121万亿元10.(2024河北唐山三模)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则()A.f'(x)为偶函数B.f'(0)=0C.f(x)的图象关于点(1,0)对称D.若F(x)=f(x)+xf'(x),则F'(x)为奇函数11.(2024广东汕头一模)已知直线l1:2x-y-3=0,l2:x-2y+3=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,若圆C与直线l1,l2都相切,则下列选项肯定正确的是()A.l1与l2关于直线y=x对称B.若圆C的圆心在x轴上,则圆C的半径为3或9C.圆C的圆心在直线x+y-6=0或直线x-y=0上D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个12.(2024山西临汾二模)已知二面角α-l-β的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,记二面角α-l-β的大小为θ,则下列说法正确的是()A.当CD=2时,θ=60°B.当θ=120°时,CD=2C.θ≤∠CADD.点A到平面BCD的距离的最大值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024广东茂名二模)已知曲线f(x)=x3+x-3在点(1,-1)处的切线与曲线g(x)=a cos x在点处的切线平行,则a的值为.14.(2024全国乙,理15)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .15.(2024山东德州一模)某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成,每包产品均含有10个零件.小张到该企业选购,利用如下方法进行抽检:从该企业产品中随机抽取1包产品,再从该包产品中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是一等品,则确定选购该企业产品;否则,拒绝选购.假设该企业这批产品中,每包产品均含1个或2个二等品零件,其中含2个二等品零件的包数占10%,则小张确定选购该企业产品的概率为.16.(2024广东广州一模)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上,过点(2,0)的直线交C 于P,Q两点,且OP⊥OQ,线段PQ的中点为M,则直线MF的斜率的最大值为.限时练21.B解析因为z==1-2i,所以=1+2i.故选B.2.B解析因为x=k+(2k+1),k∈Z,所以集合N是由整数中奇数的组成,而集合M是由整数的组成,故N⫋M.3.A解析设等差数列{a n}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5; ①由a1+S11=67,得12a1+d=67,即12a1+55d=67.②由①②解得a1=1,d=1,所以a n=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{a n}中的第30项.4.D解析 (方法一导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.(方法二复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数h(x)=x(x-a)=在(0,1)内单调递减,所以≥1,即a≥2.故选D.5.C解析因为椭圆=1的焦点在y轴上,所以a>b.由e=,得0<.用投掷两枚骰子得到的点数组成的数组(a,b)表示这个试验的一个样本点,则该试验的样本空间共有36个样本点,其中满意0<的样本点有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3),共9个,所以所求概率为.6.C解析如图所示,椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=,d2=.由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点,∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2.∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍,∴有·|AB|·d1=2×·|AB|·d2,即d1=2d2,=2, 两边平方整理,得3m2+10m+6=0,解得m=-或m=-3.又-2<m<2,∴m=-.故选C.7.B解析因为正四面体P-ABC的棱长为1,所以正四面体P-ABC底面ABC上的高为PO=.由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切,设球O的半径为r,则V P-ABC=V O-PAB+V O-PBC+V O-PAC,所以r+r+r,所以r=.8.A解析由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=[f(x)-m][f(x)-1]=0,可得f(x)=m或f(x)=1.令y=x ln x且定义域为(0,+∞),则y'=ln x+1,当x∈时,y'<0;当x∈时,y'>0.所以y min=-.综上,依据f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示.明显f(x)=1有两个根,要使原方程有5个不相等的实数根,则f(x)=m有三个根,所以-<m<0.9.ACD解析由图表可知,2024—2024这5年我国社会物流总费用逐年增长,2024年增长的最多,且增长为16.7-14.9=1.8万亿元,故A正确;因为6×70%=4.2,所以70%分位数为第5项数据,即为16.7,所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7,故B错误;由图表可知,2017—2024这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故C正确;由图表可知,2024年我国的GDP为17.8÷14.7%≈121.1万亿元,故D正确.故选ACD.10.AC解析对于A,因为f(x)为奇函数且在定义域R上可导,即f(-x)=-f(x),所以两边对x取导可得(-x)'f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数,故A正确;对于B,令f(x)=sin(πx),明显f(x)为奇函数,且最小正周期T==2,即满意f(x+2)=f(x),则f'(x)=πcos(πx),则f'(0)=π,故B错误;对于C,因为f(x+2)=f(x)且f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(-x),所以f(x-1+2)=f(x+1)=-f(1-x),即f(x+1)+f(1-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故C正确;对于D,因为F(x)=f(x)+xf'(x),则F(-x)=f(-x)-xf'(-x)=-f(x)-xf'(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,由A可知F'(x)为偶函数,故D错误.故选AC.11.ACD解析对于A,设直线l1:2x-y-3=0上随意一点(x0,2x0-3)关于直线y=x对称的点为(m,n),则解得m-2n+3=0,所以点(m,n)在直线l2:x-2y+3=0上,所以l1与l2关于直线y=x 对称,故A正确.对于B,因为圆C的圆心在x轴上,所以圆心为(a,0).因为圆C与直线l1,l2都相切,所以r=,解得a=0或a=6.当a=0时,r=;当a=6时,r=,故B错误.对于C,由圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,得圆心为(a,b),半径为r,因为圆C与直线l1,l2都相切,所以r=,解得a+b-6=0或a=b,所以圆心(a,b)在直线x+y-6=0或直线x-y=0上,故C正确.对于D,由圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,得圆心为(a,b),半径为r,由圆C与两坐标轴都相切,得圆心到x 轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|,所以r=|a|且r=|b|,即|a|=|b|,解得a=b或a=-b.当a=b时,由题意可知=|a|,解得a=b=-或a=b=;当a=-b时,,无解,此时不满意.所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个,故D正确.故选ACD.12.AB解析如图所示,过点A作AE∥BD且AE=BD,连接CE,ED,则四边形ABDE为平行四边形.又BD⊥AB,∴AE⊥AB.又AC⊥AB,∴∠CAE=θ.又AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,∴AB⊥平面ACE.又AB∥ED,∴ED⊥平面ACE,∴ED⊥CE,ED⊥AE.由题意知,BD⊥AB,AC⊥AB,∴=0,=0.∵,∴+2+2+2=62+42+82-2×6×8cosθ=116-96cosθ.对于A,当CD=2时,代入=116-96cosθ得cosθ=,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°,故A正确;对于B,当θ=120°时,代入=116-96cosθ得||=2,故B正确;对于C,在△CAE中,cosθ=,在△CAD中,cos∠CAD=,∵AE<AD,0°≤θ≤180°,0°≤∠CAD≤180°,∴①当AC2+AE2-CE2>0时,cosθ>cos∠CAD,则θ<∠CAD,②当AC2+AE2-CE2=0时,cosθ=cos∠CAD,则θ=∠CAD=90°,③当AC2+AE2-CE2<0时,cosθ<cos∠CAD,则θ>∠CAD,故C错误;对于D,以A为原点,分别以AE,AB,AZ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),E(8,0,0),D(8,4,0),B(0,4,0),C(6cosθ,0,6sinθ),所以=(8,0,0),=(6cosθ,-4,6sinθ),=(0,-4,0),设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),则取n=(0,3sinθ,2),∴点A到平面BCD的距离为d=,又0°≤θ≤180°,所以0≤sin2θ≤1,∴当sinθ=1时,d取得最大值,故D错误.13.-3解析f'(x)=3x2+1-,g'(x)=-a sin x,由题意可知,g'=f'(1),即-a sin=3,解得a=-3.14.-2解析 (方法一)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,得可得所以a7=a1q6=a1q·q5=-2.(方法二)设{a n}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.15.解析依据题意,该企业这批产品中,含2个二等品零件的包数占10%,则含1个二等品零件的包数占90%,在含1个二等品零件一包产品中,随机抽取4个零件,若抽取的4个零件都是一等品,其概率P1=,在含2个二等品零件一包产品中,随机抽取4个零件,若抽取的4个零件都是一等品,其概率P2=,则小张确定选购该企业产品的概率P=.16.解析依题意,抛物线C的焦点在x轴的正半轴上,设C的方程为y2=2px,p>0,明显直线PQ不垂直于y轴,设直线PQ的方程为x=ty+2,点P,Q,联立消去x得y2-2pty-4p=0,则有y1+y2=2pt,y1y2=-4p.由OP⊥OQ得+y1y2=4-4p=0,解得p=1,于是抛物线C:y2=2x的焦点F,弦PQ的中点M的纵坐标为=t,则点M(t2+2,t).若直线MF的斜率最大,则必有t>0,则直线MF的斜率k=,当且仅当2t=且t>0,即t=时,等号成立,所以直线MF的斜率的最大值为.。

原创押题卷(二)(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3,3)2．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i3．已知||a＝1，||b＝ 2 ，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.2π34.某商场在端午节的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()图1A．8万元B．10万元C．12万元D．15万元5．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于() A．1 B．2 C．－1 D．06．函数y＝4cos x－e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是()7．已知正三角形ABC的边长是3，D是BC上的点，BD＝1，则AD→·BC→＝() A．－92B．－32 C.152 D.528. 已知变量x，y满足⎩⎨⎧4x＋y－9≥0，x＋y－6≤0，y－1≥0，若目标函数z＝x－ay取到最大值3，则a的值为()A．2 B.12 C.25D．19．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与函数y＝x的图象交于点P，若函数y＝x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－1,0)，则双曲线的离心率是()A.5＋12 B.5＋22 C.3＋12 D.3210．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为()①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”；③“13～特征函数”至少有一个零点；④f(x)＝e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知x，y的取值如下表：x 2345y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y 与x线性相关，且回归方程为y^＝bx－0.61，若回归直线与直线2x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值为________.12. 已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m的余数，例如MOD(8,3)＝2.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为________．图213.如图3，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 的各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.图314．某几何体的三视图如图4所示，图中方格的长度为1，则该几何体的外接球的体积为________．图415. 已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝4－x，若偶函数h(x)满足h(x)＝mf(x)＋ng(x) (其中m，n 为常数)，且最小值为1，则m＋n＝________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．已知函数f(x)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π6－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m取得最小值时，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，其测量数据的茎叶图如下：图5规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品．(1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；(2)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率．18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AD＝2，AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC中点．图6(1)求证：平面ADM⊥平面PBC；(2)求点P到平面ADM的距离．19．(本小题满分12分)数列{a n}的前n项为S n，S n＝2n－n，等差数列{b n}的各项为正实数，其前n项和为T n，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝a n·b n，当n≥2时，求数列{c n}的前n项和A n.20．(本小题满分13分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为e，半焦距为c，B(0,1)为其顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.①试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；②△PBQ是否可以为直角三角形？若是，恳求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝a x－2x(a>0，且a≠1)．(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程；(2)若f(x)的值恒非负，试求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在微小值g(a)，求g(a)的最大值．【详解答案】1.【解析】A＝{x|－3＜x＜3}，∁R B＝{x|x≤－1或x＞5}，故A∩(∁R B)＝{x|－3＜x≤－1}．【答案】 C2.【解析】∵z＝1＋i，∴21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，故选A.【答案】 A3.【解析】∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，∵||a＝1，||b＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a2|a||b|＝22，∴向量a与向量b的夹角为π4，故选B.【答案】 B4.【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4，∴11时至12时的销售额为3×4＝12.【答案】 C5.【解析】由于平行四边形OAMB是以OA，OB为邻边的菱形，且∠MOB＝60°，O到y ＝kx＋1的距离为1，即11＋k2＝1，解得k＝0，故选D.【答案】 D6.【解析】由于f(x)＝4cos x－e|x|为偶函数，所以排解B，D；由于f(0)＝3，所以排解C，故选A.【答案】 A7.【解析】由余弦定理得：AD2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD＝7，∴cos∠ADB＝1＋7－92×1×7＝－714，∴AD→·BC→＝7×3×cos∠ADB＝37×－714＝－32.【答案】 B8.【解析】画出可行域知，该区域是由点A(5,1)，B(2,1)，C(1,5)所围成的三角形区域(包括边界)，直线z＝x－ay在y轴上的截距为－1a z，斜率为1a，通过调整直线易得在点A(5,1)取到最大值，故3＝5－a·1，解得a＝2.【答案】 A9.【解析】设P(x0，x0)，∴切线的斜率为12x0，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F(－1,0)，∴12x0＝x0x0＋1，解得x0＝1，∴P(1,1)，因此2c＝2,2a＝5－1，故双曲线的离心率是5＋12，故选A.【答案】 A10.【解析】①设满足定义的常数函数为f(x)＝C，则有C＋λC＝(1＋λ)C＝0，当λ＝－1时C可不为0，故①错；②若该函数满足定义则存在实数使得2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0对全部x都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2λ＝0，3λ＋1＝0有实根，而此方程组无实数解，故②对；对于③，令x＝0，得f⎝⎛⎭⎪⎫13＋13f(0)＝0，所以f⎝⎛⎭⎪⎫13＝－13f(0)．若f(0)＝0，明显f(x)＝0有实数根；若f(0)≠0，则f⎝⎛⎭⎪⎫13·f(0)＝－13f (0)2<0.又由于f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上必有实根，故③对；④若该函数满足定义，则存在实数使得e x ＋λ＋λe x ＝0对全部x 都成立，则有e λ＋λ＝0有实根，而由函数图象关系知此方程有小于零的实数解，故④对．故此题有三个命题正确，选C.【答案】 C11.【解析】 由所给数据，得x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，将(3.5,4.5)代入到回归方程，得4.5＝b ×3.5－0.61，解得b ＝1.46，即回归直线方程为y ^＝1.46x －0.61，由于回归直线与直线2x ＋ay ＋1＝0垂直，所以1.46×2－1×a ＝0，解得a ＝2.92.【答案】 2.9212.【解析】 第一次循环：i ＝3；其次次循环：i ＝4；第三次循环：i ＝5；此时MOD(25,5)＝0，循环结束，输出i ＝5.【答案】 513.【解析】 由于A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠B ＋∠D ＝π，由余弦定理得 AC 2＝52＋32－2×5×3cos D ＝34－30cos D ， AC 2＝52＋82－2×5×8cos B ＝89－80cos B ，由cos B ＝－cos D ，得－34－AC 230＝89－AC 280，解得AC ＝7. 【答案】 714.【解析】 依据三视图还原成几何体直观图为如图所示的三棱锥P -ABC ，其特点是：侧面P AB ⊥底面ABC ，由图可知，其外接球的球心为AB 的中点，半径为2，故该几何体的外接球的体积为V ＝43π×23＝323π.【答案】 323π15.【解析】 由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4 －x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4 －x ＝m (4x ＋4 －x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4 x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23.【答案】 2316.【解】 (1)由已知f (x )＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由已知函数f (x )的周期T ＝π，即2π2ω＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位得到g (x )的图象， 则g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3.∵g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，∴3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2m ＋π3＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，∴2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k 2π＋π6，∵m >0，∴当k ＝0时，m 取得最小值，此时最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.若－π6≤x ≤7π12， 则π3≤2x ＋2π3≤11π6，当π3≤2x ＋2π3≤π2，即－π6≤x ≤－π12时，g (x )单调递增； 当3π2≤2x ＋2π3≤11π6，即5π12≤x ≤7π12时，g (x )单调递增． ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.17.【解】 (1)甲厂平均值为110(9＋18＋15＋16＋19＋13＋23＋20＋25＋21)＝17.9， 乙厂平均值为110(18＋14＋15＋16＋19＋10＋13＋21＋20＋23)＝16.9. 所以甲厂平均值大于乙厂平均值．(2)记含量为10和13毫克的两件产品为A ，B ，其他非优质品分别为C ，D ，E ，F ，则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本大事有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )， (C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个． “至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本大事有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共9个， 故所求概率P ＝915＝35.18.【解】 (1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、AN ， ∵M 是PC 中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2， 又∵BC ∥AD ，AD ＝2，∴MN ∥AD ，MN ＝AD ， ∴四边形ADMN 为平行四边形．∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN ， ∵AP ＝AB ，∴AN ⊥PB ，又∵MN ∩PB ＝N ，∴AN ⊥平面PBC ， ∵AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (2)由(1)知，PN ⊥AN ，PN ⊥AD ，所以PN ⊥平面ADM ，即点P 到平面ADM 的距离为PN ， 在Rt △P AB 中，由P A ＝AB ＝2，得PB ＝22，所以PN ＝12PB ＝ 2. 19.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －n －[2n －1－(n －1)]＝2n －1－1， 此式对n ＝1不成立， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1－1， n ≥2.又由T 3＝15可得b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.设数列{b n }的公差为d ，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3－1成等比数列可得6－d,6,7＋d 成等比数列，∴(6－d )(7＋d )＝36⇒d ＝2或d ＝－3.又∵等差数列{b n }的各项为正实数， ∴d ＝－3不合题意，舍去，∴d ＝2，从而可得b n ＝b 2＋(n －2)d ＝5＋(n －2)·2＝2n ＋1. (2)c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，(2n ＋1)·2n －1－(2n ＋1)，n ≥2.当n ≥2时，∴A n ＝3＋5·21＋7·22＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1－[5＋7＋…＋(2n ＋1)]， 令P n ＝5·21＋7·22＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1，① 则2P n ＝5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，② ①－②可得－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ， ∴－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ＝10＋23－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n＝(1－2n )2n ＋2， ∴P n ＝(2n －1)2n －2，∴A n ＝3＋(2n －1)2n －2－(n －1)·(n ＋3) ＝(2n －1)·2n －n 2－2n ＋4.20.【解】 (1)由题意得b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，c 2＝2， 所以椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1. 离心率e ＝23＝63. (2)①证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋3y 2＝3，得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0，Δ＝(2mn )2－4(3＋m 2)×(n 2－3)＝12(m 2－n 2＋3)>0，(*)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mn 3＋m2，y 1y 2＝n 2－33＋m2，由于k BP ·k BQ ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝e 2＝23，所以3(y 1－1)(y 2－1)＝2x 1x 2＝2(my 1＋n )(my 2＋n )， 所以(2m 2－3)y 1y 2＋(2mn ＋3)(y 1＋y 2)＋2n 2－3＝0， 所以(2m 2－3)n 2－33＋m 2＋(2mn ＋3)－2mn3＋m2＋2n 2－3＝0， 整理得n 2－2mn －3m 2＝0， 所以(n －3m )(n ＋m )＝0， 所以n ＝－m 或n ＝3m ，所以直线PQ 的方程为x ＝my －m ＝m (y －1)(舍)或x ＝my ＋3m ＝m (y ＋3)， 所以直线PQ 过定点M (0，－3)．②由题意知∠PBQ ≠90°，若∠BPM ＝90°或∠BQM ＝90°， 则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上，即在圆x 2＋(y ＋1)2＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y ＋1)2＝4，x 2＋3y 2＝3，解得y ＝0或1(舍)，即P 或Q 只可以是椭圆的左、右顶点，故k PQ ＝±3. 21.【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x －2x ， 所以f ′(x )＝2x ln 2－2，所以f ′(2)＝4ln 2－2， 又f (2)＝0，所以所求切线方程为y ＝(4ln 2－2)(x －2)．(2)当x ≤0时，f (x )≥0恒成立； 当x >0时，若0<a <1，则x >1时， f (x )<1－2<0，与题意冲突，故a >1. 由f (x )≥0知a x ≥2x ，所以x ln a ≥ln 2x ， 所以ln a ≥ln 2xx . 令g (x )＝ln 2xx ，则g ′(x )＝12x ×2×x －ln 2x x 2＝1－ln 2xx 2，令g ′(x )＝0，则x ＝e2，且0<x <e 2时，g ′(x )>0，x >e2时，g ′(x )<0， 则g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝ln e e 2＝2e ，所以ln a ≥2e ，a ≥e 2e ，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2e ，＋∞.(3)f ′(x )＝a x ln a －2，①当0<a <1时，a x >0，ln a <0，则f ′(x )<0， 所以f (x )在R 上为减函数，f (x )无微小值．②当a >1时，设方程f ′(x )＝0的根为t ，得a t ＝2ln a ， 即t ＝log a 2ln a ＝ln 2ln aln a ，所以f (x )在(－∞，t )上为减函数，在(t ，－∞)上为增函数， 所以f (x )的微小值为f (t )＝a t －2t ＝2ln a －2ln 2ln aln a ，即g (a )＝2ln a －2ln 2ln a ln a ，又a >1，所以2ln a >0.设h (x )＝x －x ln x ，x >0，则h ′(x )＝1－ln x －x ·1x ＝－ln x ， 令h ′(x )＝0，得x ＝1，所以h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 所以h (x )的最大值为h (1)＝1， 即g (a )的最大值为1，此时a ＝e 2.。

高考数学第二次模拟考试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，2，3}，{2B =，5，6}，则()(U A B = )A ．{4}B ．{1，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，3，4，5，6}2．设x R ∈，则“|1|2x -<”是“111x >-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数||1()||x f x ln x x-=，其图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．605．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为( ) A ．6B ．9C ．32D ．186．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为36π，圆柱的高为2，则圆锥的体积为( )A ．5πB ．53πC ．16πD ．163π 7．已知双曲线22122:1(0,0)y x C a b a b -=>>的焦点为1(0,)F c -，2(0,)F c ，抛物线221:4C y x c =的准线与1C 交于M ，N 两点，且三角形2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为( ) A 3B 6C 15D 10 8．如图所示的曲线为函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=->><的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再把所得曲线向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( )A ．函数()g x 在513[,]2424ππ上单调递减 B ．点3(,0)8π为()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在3[,]4ππ上单调递增D ．2x π=为()g x 图象的一条对称轴9．已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C ．[23-2]D ．[23-39]16第Ⅱ卷二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。