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《3.2.1倍角公式》教学设计22.5= 22.53.2.1倍角公式学情分析：学生在前面第一章已经学习过同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数等相关内容，已经掌握了一些公式并能对公式进行简单的应用.虽然学生的观察具有一定的目的性，系统性，但是全面性欠精确，逻辑思维能力尚属经验型，在学习过程中存在着一定的随意性和盲目性，于是我通过导学案上的层层设问，引导学生用正确的方式发现问题解决问题，培养逻辑推理能力和独立思考的能力.结合教材的内容和学生的年龄特点及认识水平，在本堂课的教学中，我指导学生采取多质疑、自主学习、合作探究的方法进行学习.充分尊重学生自主选择学习内容、学习伙伴、学习方式的权利；充分发挥学生的积极性和主动性，让学生通过自主学习，理解倍角公式，并在自学实践中逐步提高解决问题的能力.3.2.1倍角公式效果分析：新课程提倡自主、合作、探究的学习方式,课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习.我觉得这节课还是非常成功的，通过小组合作探究，使学生清晰的认识到倍角公式的发生、发展的过程.在问题的探究过程中，让学生进一步加深了对倍角公式的认识，并强化了学生分析问题的能力，同时也加强了学生合作交流的意识.总的来说，本节课达到了预期的目标.1、课前预习效果学生通过对导学案的充分学习，让学生能够在自己的认知基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主题，老师只是作为引入的桥梁.2、课堂学习效果检测大部分学生掌握的不错，有个别同学计算能力差，做题速度要慢些，需要课下再加强练习.学生对学习始终表现出浓厚的兴趣，极大的热情，这正是新课标提倡的建立“自主、合作、探究的学习方式”的前提.在课堂教学中，我始终引导学生去感受，去发现.然后根据相关知识对学案中的练习题进行求解.总之，课堂教学是教师与学生的双边活动. 要提高中学数学课堂教学质量，必须以学生为本，凭借数学思维性强、 灵活性强、 运用性强的特点，精心设计，给学生一些机会，让他自己去体会; 给学生一点困难,让他自己去解决;给学生一个问题,让他自己找答案;给学生一种条件,让他 自己去锻炼; 给学生一片空间，让他自己去开拓. 注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果.3.2.1倍角公式教材分析：教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，推导出倍角公式，是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。
3.2.1 倍角公式整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1.还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2.你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3.在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？4.细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5.能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6.让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin____＝2sin____cos____，cos____＝cos 2____－sin 2____.7.思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8.请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cosα＝1，此时α＝k π(k ∈Z )． 若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1 已知sinα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【答案】D2．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72【答案】C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【答案】B例 2 证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)·2sin θ(sin θ＋cos θ)·2cos θ＝tan θ＝右． 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为__________．【答案】432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin 2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝tan θ＝右边. 思路2例 1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 变式训练1．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数【答案】A2．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】B例 2 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，0<B <π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B )的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34， tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247.又tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B )＝tan2A ＋tan2B 1－tan2A tan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34. 又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan(A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．。
倍角公式教学设计一、教学目标一)知识与技能通过实例引入，使学生理解倍角公式的基本形式和变形式，能熟练地运用倍角公式进行简单的三角函数计算。
二)过程与方法通过实例分析和推导，使学生体会倍角公式在三角函数化简与求值中的应用，并初步掌握公式的运用。
三)情感、态度与价值观通过学习和实践，使学生体会数学与生活的密切，激发学生学习数学的兴趣和积极性，同时培养学生的运算能力和推理能力。
二、教学重难点一)教学重点倍角公式及其应用。
二)教学难点对倍角公式的变形式的理解和应用。
三、教学过程一)引入新课回顾上节课学习的三角函数的基本概念和公式，引出倍角公式的概念和公式。
二)新课学习1、讲解倍角公式及其推导过程。
2、通过实例分析和推导，使学生进一步理解倍角公式的应用。
3、结合教材上的例题和练习题，引导学生进行简单的三角函数计算和化简。
三)巩固练习1、教材上的练习题：P19，1-4题。
2、课堂练习：P20，5-6题。
3、课外作业：P21，7-8题。
四)归纳小结总结本节课学习的倍角公式及其应用，强调公式的使用方法和注意事项。
初中数学倍角公式在初中数学中，倍角公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速求解一些角度的度数或者三角函数值。
倍角公式通常是指将一个角的度数或三角函数值翻倍的公式。
下面是一些常见的倍角公式：1、sin(2α) = 2sinαcosα这个公式可以将一个角的正弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正弦值。
2、cos(2α) = cos²α - sin²α这个公式可以将一个角的余弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的余弦值。
3、tan(2α) = 2tanα / (1 - tan²α)这个公式可以将一个角的正切值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正切值。
4、sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]这个公式可以将一个角的正弦值除以2。
教学设计3.2.1倍角公式教材：人民教育出版社必修四第三章3.2.1一、教学目标：1.知识与技能目标（1）应用三角函数的和角公式推导出倍角公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.（2）初步掌握倍角公式公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明.（3）通过学习倍角公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学的兴趣.2.过程与方法目标通过倍角公式的探究过程，体验从已知到未知的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
通过公式的正用、逆用、变形用，以及“学生自主探究、合作探究，师生共究”的教学方式，使学生自觉地利用发展、变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感、态度与价值观目标通过倍角公式的推导过程，使学生获得发现问题、分析问题、解决问题的成就感，同时展现数学中的和谐美和奇异美。
激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。
并逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力。
二、教学重点与难点：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C 的两种变形；难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.三、教学方法与教学手段：教学方法：波利亚说，教师讲了什么并非不重要，更重要千百倍的是学生想了些什么。
为了达成教学目标，突出重点，突破难点，彰显关键点，本节课采用复习回顾、问题导引、观察、赋值、启发探究式相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中或得倍角公式，对于倍角公式采取讲、练结合的方式进行处理，使学生被学变练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆.教学手段：使用导学案辅助教学，目标明确，学有所依，借助多媒体辅助教学，直观高效.四、教学设计五、设计说明、设计特色11、公式证明开放化问题探究活动化 例题练习梯度化 作业布置弹性化2、板书设计3、时间分配3.2.1倍角公式学情分析1. 学生兴趣与基础课题：倍角公式 一． 倍角公式 二. 公式的应用1.正用 sin22sin cos ααα=2.逆用 2222cos2=cos sin =2cos 1 12sin ααααα--=- 3.变形用 22sin 2sin cos =21cos2cos 21cos2sin 2ααααααα+=-=22tan tan 21tan ααα=- 注意：1. 倍角专指：二倍角2. 角的适用范围3. 和角公式的特例4. 二倍角的相对性有些学生对数学学习没有兴趣，总是被动的学习。
《倍角公式》教学设计本节课主要内容是二倍角公式的推导及应用，主要是运用这节知识进行三角的求值、化简、及证明，同时能理解由特殊到一般的化归数学思想方法。
一．教学目标（1）知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公示的推导，明确角的取值范围，能运用二倍角公式求三角函数值；（2）能力目标：通过公示的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
（3）德育目标：通过公示的推导，了解半角公式以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
二．教学重点、难点重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C 的两种变形； 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
三、教学方法 本节课采用观察、赋值启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
四．教学过程《倍角公式》学情分析学生初步具备分析问题解决问题的能力，但是计算应用方面还是有所欠缺。
在对公式的认识上，学生很容易将倍角的概念就局限在α和α2上，所以正确理解倍角的概念是个难点.因此针对学生的困难，有针对性的对“倍角”进行渗透、加深，如4α是2α的二倍，12α是14α的二倍，3α是32α的二倍等，使学生能够熟悉多种形式的两个角的倍数关系。
《倍角公式》效果分析在整个教学设计的实施过程中，以问题引导学生的思维活动.教学设计突出了对问题的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．同时给学生提供自主探究的机会，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程.符合新课标倡导的积极主动、勇于探索的学习方式.本节课的实施从整体上说是比较顺利的，教学目标基本达到．在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法的体会，以及运算分析能力,逻辑推理能力的提高等方面都有较大的进步．《倍角公式》教材分析本节内容是三角恒等变换这一章的第二节倍角公式的第一课时，它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式，它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
2024倍角公式说课稿范文今天我说课的内容是《2024倍角公式》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《2024倍角公式》是高中数学必修一的内容。
它是在学生已经学习了三角函数、角平分线等相关知识的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而且倍角公式在解决一些三角函数相关问题时有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解2024倍角公式的意义，掌握基本的形式与运用方法。
②能力目标：在解决三角函数相关问题中，培养学生逻辑思维和推理能力。
③情感目标：在倍角公式的运用中，让学生体会数学的美妙与实用性。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解2024倍角公式的意义，能根据给定条件运用该公式解决问题。
难点是：掌握基本的形式与运用方法，对应用题进行思考和分析。
二、说教法学法在教学过程中，我将采用启发式教学法，引导学生自主探究和发现倍角公式的规律和性质。
同时，将采用案例分析法，通过具体的例子和实际问题，让学生更好地理解和运用倍角公式。
三、说教学准备在教学过程中，我将准备一些实际应用题目和案例，以便学生进行思考和讨论。
同时，也会准备一些多媒体素材和演示工具，来展示和说明倍角公式的相关概念和性质。
四、说教学过程新课标指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”本着这个教学理念，我设计了如下教学环节。
环节一、导入新课课堂伊始，我将通过一个具体的例子来引入2024倍角公式的概念。
例如，一个角的角度是30°，那么它的倍角是多少度？通过学生的讨论和探究，引导学生逐步认识倍角的概念和倍角公式的重要性。
环节二、讲解倍角公式的基本形式与性质在学生对倍角的概念有了一定了解后，我将详细讲解2024倍角公式的基本形式和推导过程。
同时，通过具体的例子和图示来说明倍角公式的性质和应用场景，让学生更好地理解和记忆。
高中数学倍角公式教案【教学目标】：1. 理解倍角公式的概念及应用；2. 掌握正弦、余弦、正切的倍角公式；3. 能够灵活运用倍角公式解决相关问题。
【教学重点】：1. 正弦、余弦、正切的倍角公式；2. 将倍角公式应用于实际问题。
【教学难点】：1. 理解倍角的概念及其与角度的关系；2. 灵活运用倍角公式解决问题。
【教具准备】：1. 教科书《高中数学教材》；2. 黑板、粉笔；3. 教学PPT。
【教学过程】：一、导入教师通过引导学生回顾正弦、余弦、正切的定义及相关性质，激发学生对于倍角公式的求解兴趣。
二、学习正弦、余弦、正切的倍角公式1. 正弦的倍角公式：$sin2x = 2sinxcosx$；2. 余弦的倍角公式：$cos2x = cos^2x - sin^2x$；3. 正切的倍角公式：$tan2x = \frac{{2tanx}}{{1-tan^2x}}$。
三、实例讲解教师通过具体例题，向学生展示如何运用倍角公式解决实际问题，提高学生的理解和应用能力。
四、练习与讨论教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并与同学一起讨论解题方法及答案，提高学生的合作能力和思维能力。
五、作业布置布置相关作业，让学生巩固所学知识，培养自主学习能力。
【教学反思】：通过本节课的教学，学生能够掌握正弦、余弦、正切的倍角公式，并能够运用倍角公式解决实际问题。
同时，通过练习和讨论，学生的学习兴趣也得到了激发，合作能力和思维能力也得到了提高。
希望在以后的教学中，能够更好地激发学生学习兴趣，促进学生全面发展。
学情分析1.学生学习基础分析：学生已经学习了第一章三角函数的基本公式和图像与性质，也掌握了两角和与差的的正弦、余弦和正切公式；已经熟练的运用这些公式，熟练地进行数据处理，解决有关问题，为本课教学目标的落实奠定了知识基础。
2.学生能力分析：本班是高一年级基础较好的学生，整个班级学习气氛比较浓厚，比较活跃，学习兴趣浓厚，大部分学生愿意主动学习，并且思维也很活跃，具有同伴合作能力和一定的逻辑思维能力，有较强的分析和解决问题的能力；但学数学的严谨能力较弱。
3.从学生认识的角度来分析：公式推导比较容易，但灵活运用公式难度比较大。
因此采取以引导为主，讲解为辅，学生自主探究相结合的教学方式，这样学生完全可以有较好表现和收获的。
4.从学生心理上分析：有些学生在学习上吃苦的劲头差些，有些思维上懒惰，有些行动上懒惰，不遇到难题还好，遇到难题容易退缩，停滞不前，因此这节教学上先从易到难，循序渐进，让学生逐渐增强信心，并引导他们顺其自然的克服困难。
效果分析本节课采用“启发——探讨——互动”的教学模式，引导学生采用观察，自主学习，自主思考，自主探究，充分发挥了教师的引导作用，体现了学生在教学活动中的主体作用。
这节课的教学设计既符合数学的学科特点，也符合学生的心理和思维发展特点。
在整个教学过程中从以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中来，激发了学生探究、学习的热情；在例题解析环节采用学生解题，师生共同分析的方式，让学生在自我解答过程中发现自己的问题，解决自己的问题，规范答题步骤，真正实现知识向能力的转化，每一步教学环节都坚持以学生为主体，教师为主导的教学理念。
总之，本节课的教学目标，学生的学习目标从整体上已顺利完成，二倍角公式的推导及它与和角公式之间的内在联系也充分体现，并运用了一般到特殊的数学思想，转化与化归的数学思想，培养了学生的严谨的数学品质，课后跟踪检测效果较好，但有深度能力的题目有待提高。
【课题】《倍角公式》【教材】人民教育出版社B版必修四【教学目标】1.掌握倍角公式的推导，体会特殊与一般、变换、化归的数学思想.2.能正确运用二倍角公式求值、化简、证明.【教学重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2Cα的两种变形.【教学难点】倍角公式与学过的同角三角函数基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.【教学流程】（课堂实录）一、回顾复习课前请学生默写两角和的正弦、余弦、正切公式.设计意图：通过复习和角公式，让学生明确差角公式（用ββ-替换），倍角公式（令=βα）都是经过变换得到的.二、探索新知这节课主要围绕三个问题：什么是二倍角公式，如何推导二倍角公式，如何应用二倍角公式？1.关于引入好的引入能激发学生学习的兴趣，调动学生的积极性.参考文献[1][2]，本节课的引入有以下几种方法：（1）提出问题：已知3sin5α=、4cos5α=，你能求出sin2α、cos2α的值吗？一般情况，已知sinα、cosα，你能求出sin2α、cos2α的值吗？由具体的引例，在解决问题的过程中获得公式，符合知识的生成过程，但学生可能会用几何方法求cos2α的值，要有预设.（2）提出实际问题：要把半径为R 的半圆木板截成长方形，应怎样截取，才能使长方形面积最大？除了用倍角公式外，还有另外三种解法，配方法、对称法、基本不等式，参见文献[1],可能会使造成设计意图的失落，应有预设.（3）提出问题：讨论sin 22sin ,cos 22cos ,tan 22tan αααααα===是否成立？设计意图：设置正误辨析，引发学生认知冲突，让学生质疑讨论，举出反例，提出正确的结论是什么？产生强烈的求知欲.但我在试讲的时候，学生是这样回答的：在学过的和角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+中，令βα=，得到sin 22sin cos ααα=，否定sin 22sin αα=.学生很熟练的把新课二倍角的公式推导出来，没有按照设计意图的想法举出反例，引发认知冲突，思考正确的结论是什么？思考其中的原因一是、问题过于简单，很容易想到此结论不成立；二是、学生对新课的推导比较容易想出.失去了设计意图，但公式的推导过程是由学生自己探索完成，教师只是提出问题，抓住课堂上的突发情况，若处理得当，会变成亮点.教学设计就是不断实施不断修改的过程，最后决定，还是从本章的知识体系，从一般到特殊、变换的思想上来进行下面的引入：2.公式推导（3个）问题 1 由S αβ+、C αβ+、T αβ+如何推导出S αβ-、C αβ-、T αβ-？还能变换出什么公式来？设计意图：这种开放问题的引入，让学生经历变换的体验，由S αβ+、C αβ+、T αβ+，令β-替换β推导出S αβ-、C αβ-、T αβ-，令βα=推导出2S α、2C α、2T α，学生容易想到，也符合这一章的知识体系，由一般到特殊、变换和化归的思想，让学生体会到变换思想的重要性，遗憾的是，学生没有变换到其它公式. 公式2222tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin ,tan 21tan ααααααααα==-=-推导出后，问学生tan 2α还有其它的推导方式吗？学生很容易想到22sin 22sin cos tan 2cos 2cos sin ααααααα==-分子分母同除以2cos α得到22tan tan 21tan ααα=-.不同的推导方法，拓展学生的思维. 和学生一起分析公式的结构特点、成立的条件，特别注意系数2，留一分钟时间让学生记住这三个公式.练习1由22sin 22sin cos cos 2cos sin αααααα==-，，可以得出： sin α= ， sin 2α= ， cos4α= ，cos6α= .口答 (1)2sin 6730cos6730'' (2)22cos sin 88ππ- (3) 设计意图：练习1是以练习的形式为了理解二倍角的含义，以上三个公式都是用单角α的三角函数值表示2α的正弦、余弦、正切值，称为二倍角公式，简称倍角公式. α也是2α的两倍，2α也是4α的两倍，4α也是2α的两倍，6α也是3α的两倍，代入二倍角公式，又可以变换出很多的公式来，改成练习的形式，让学生进一步体会变换的思想.以口答的形式让学生逆用公式，第一个口答困难，难在特殊角的22tan 22.51tan22.5-函数值sin135口答不熟练，和诱导公式的综合应用.3.公式的变形（升、降幂公式）（2个+5个）问题2 公式22cos 2cos sin ααα=-还有其它的变形吗？学生很容易想到用22cos sin 1αα+=，得出22cos 22cos 112sin ααα=-=-.这两个公式也叫二倍角公式，接着我问：还能进一步的变形吗？设计意图：想让学生进一步移项变形出21cos 22cos ,αα+=21cos 22sin αα-=，然后分析“二倍角”与“二次”的关系，从左往右看，公式有角的倍数降低，伴随着次数增加，有降“角”升“次”的特点，比较常用，叫做升幂公式.接着变形出221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==，从左往右看，公式有角的倍数增加，伴随着次数降低，有升“角”降“次”的特点，叫做降幂公式.这一点变形学生很难想到，设计了老师问学生回答的填空形式1cos2α+= ,1cos2α-= . 2cos α= ,2sin α= .进一步sin 22sin cos ααα=也可以变形出sin 2sin cos 2ααα=. 但有个学生是这样变形的：222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+分子分母同除以2cos α，得到221tan cos 21tan ααα-=+. 学生推导出来万能公式，接着学生应该很容易想到2S α也可以做类似的变形222sin cos sin 22sin cos cos sin ααααααα==+，得到22tan sin 21tan ααα=+.这是两个非常优美的公式，用单角α的正切值去表示sin 2cos2αα、，以前让学生记住，为了减轻学生负担，现在不要求记忆了.大胆的提问题放手让学生去想，最大限度地开启学生的内在潜力与学习动力，学生能推出很漂亮的公式.公式的变形较多，给学生留两分钟的时间记忆公式.口答 (3)22cos 112π- (4)212sin 75- (5)sin15cos15练习2 若322παπ<<= . 设计意图：口答是为了及时检测、巩固练习变形后的公式，练习2是巩固升幂公式，从课堂上来看，学生能做对，但公式较多，课堂容量大，选择用哪个公式不熟练，做的慢些.三、精选典型例题,巩固练习题型一：求值例1已知4sin ,(,)52πααπ=∈，求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值. 设计意图：为了节省时间，把sin α的值改小了，这一点与教材例15sin ,(,)132πααπ=∈不同，二倍角公式的正用，并尽可能让学生想到不用求cos α，直接用2cos 212sin αα=-也能求出，这里求tan 2α也没有用到二倍角公式，拓展学生的解题方法，灵活运用公式. 展示学生的学案，大部分学生都是先求4sin ,(,)52πααπ=∈，依次求sin 2,cos 2,tan 2ααα的顺序，我提问学生有没有其它的做法，有个程度较好的学生直接用2cos 212sin αα=-求出的.教学设计是一个不断的思考、不断尝试、不断实施的过程，在录课时我把例1又换成了已知12cos ,(,)132πααπ=-∈，求cos 2,sin 2αα的值，数值一变大，删去了求tan 2α，求值的顺序是cos 2,sin 2αα，找学生板演：生试图利用2cos 22cos 1αα=-先求出cos2α，陷于数值较大，没顺利做出来，特别是利用sin 2α=开方困难，实际这题先求出sin α的值，较容易做出来.变式训练 求cos 20cos 40cos80的值.设计意图：公式的灵活运用，很难想到分子分母同乘以2sin 20，限于时间关系，课堂上没留太多的时间，班里也就四五个学生能做出来.题型二：证明恒等式例2证明恒等式2sin 2sin tan 2cos 22sin cos θθθθθθ+=++. 设计意图：证明恒等式，实际上是消除差异的很好的训练，引导学生从角、函数名、次数、式子的结构特点四个方面去考虑，锻炼学生的恒等变形、代数推理、逻辑推理能力，实际此题比较难.学生板演，想到利用倍角公式分子化sin 22sin cos θθθ=，分母化22cos 2cos sin θθθ=-，然后分子分母提取公因式，证毕.由于公式较多，可选择性大，我在观察学生做题时分母遇到的困难有以下两个方面：①化2cos 22cos 1θθ=-，分母变成224cos 22sin cos θθθ-++化2cos 212sin θθ=-，分母变成222sin cos θθ-+，不知道再怎么往下化简，实际要用到22cos sin 1αα+=，第一个式子分母进一步变形222224cos 2(1sin )cos 4cos 2cos cos 2cos cos θθθθθθθθ--+=-+=+，也可以2224cos 22(1cos )cos 2cos cos θθθθθ-+-+=+，也可以2222224cos 22sin cos 4(1sin )22sin cos 22sin cos 2cos cos θθθθθθθθθθ-++=--++=-+=+，第二个式子分母进一步变形222(1sin )cos 2cos cos θθθθ-+=+②化来化去，看到cos2θ化为22cos 2cos sin θθθ=-或者2cos 22cos 1θθ=-或者2cos 212sin θθ=-，而看到22sin θ又想到利用降幂公式22sin 1cos 2θθ=-化成倍角，结果里面既含有θ又含有2θ.分析学生出现的情况，一一点拨，不管用哪种方法坚持做下去，关键找出化不下去的原因是什么？鼓励学生一题多解.困难正好是本节课的难点：倍角公式与学过的同角三角函数基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用，为了突破难点，我按照文献[1]中的方法，从“角”都统一化为单角θ，“函数名”右边是切函数，左边是弦函数，把tan θ化为sin cos θθ，“结构”也一致，都是分式结构，“次数”右边是一次的，左边自然想到降次数，不能用倍角公式降次，因为降次的同时角在增大，想到因子分解（提取公因式），四个方面一一突破难点.变式训练 证明恒等式1sin 2sin cos sin cos ϕϕϕϕϕ+=++.时间关系没有实施.录课时学生第二遍听了，课上进行的快，又增加了题型三：化简研究函数的性质.例3求下列函数的最大值、最小值和周期：(1) 2(sin cos )y x x =- (2)44cos sin y x x =- (3) (4)设计意图：此类题型是高考的热点、考点，先选简单的式子，让学生体会用倍角降幂公式化为sin cos y a x b x =+，再用辅助角公式化为正弦型函数)tan b y x aϕϕ=+=其中，再用学过的正弦型函数的性质去解题，让学生体会化归这一重要的数学思想.四、课堂小结知识和思想方法两方面去总结.设计意图：让学生去总结，去谈谈自己的感受，知识方面有10个公式：5个教材上的二倍角公式，5个变形后的升、降幂公式；例1一题两解，例2三种变形方法，从角、函数名、次数、结构四个方面考虑.思想方法：特殊与一般、变换、化归的思想.课堂上找了两个学生去总结，基本上能总结全面知识方面，思想方法能总结变换的思想，我问学生还有什么？由S αβ+、C αβ+、T αβ+推导出2S α、2C α、2T α，学生回答：一般与特殊，我又问还学到什么思想方法：部分学生回答转化，我及时跟进：很好，学习了转化与归结，简称化归的数学思想，并强调重要性.整个教学流程学生配合的很好，很多精彩的回答，“教”始终围绕“学”来开展，以最大限度地开启学生的内在潜力与学习动力，正如苏霍姆林斯基所说“学校里的学习不是毫无热情地把知识从一个头脑里装进另一个头脑里，而是师生之间每时每刻都不得在进行的心灵的接触”.五、作业布置sin cos y x x =21sin y x =+学案上的评价题，题目较难，放在第二课时去讲.参考文献[1]“同课异构”的演绎“倍角公式”的点评，罗增儒，中学数学教学参考，2015年第1-2期（上旬）.[2]二倍角的正弦、余弦、正切公式的教学，毛渭泉，上海中学数学，2011年第3期.从学生精彩的回答，反思自身教学设计的预设与生成，提高驾驭课堂能力 教学中要充分发挥学生的主体作用，“教”始终围绕“学”来开展，以最大限度地开启学生的内在潜力与学习动力，正如苏霍姆林斯基所说“学校里的学习不是毫无热情地把知识从一个头脑里装进另一个头脑里，而是师生之间每时每刻都不得在进行的心灵的接触”。
高中必修三数学教案《倍角公式》教材分析本节课通过运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式以及余弦倍角公式的两个变形，然后是对公式的应用。
通过本小节的学习，使学生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明。
通过倍角公式的推导，了解它们之间以及它们与和角公式的内在联系，从而培养逻辑推理能力。
学情分析高中学生对新事物充满好奇心，求知欲也非常强。
在问题设置中，通过合理的问题配置，可以提高学生对问题研究的兴趣，通过最近发展区的合理设置，让学生能够通过对最近发展区问题的解决，逐渐提高学生对问题研究的能力，引导学生对问题研究的逐步深入。
通过提高学生研究问题的积极性，激发学生分析、综合、归纳能力，并能通过问题的研究过程，让学生能够体会从一般到特殊的思维过程以及分类讨论的思想。
教学目标1、使学生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2、能用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明。
教学重点二倍角的正弦、余弦、正切公式。
教学难点灵活运用三角公式解决有关问题。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程 一、问题导入你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin2α，cos2α，tan2α的一般公式吗？二、学习新知如果在两角和的正弦公式S α+β中，令β=α，则可得出求sin2α的公式，即：sin2α = sin （α+α）= sin αcos α + cos αsin α = 2sin αcos α。
类似地，可得cos2α = cos （α+α）= cos αcos α - sin αsin α = cos 2α- sin 2α。
tan2α= tan （α+α）= tanα+tanα1−tanαtanα = 2tanα1−tan 2α。
因此S 2α：sin2α = 2sin αcos α， C 2α：cos2α = cos 2α- sin 2α，T 2α：tan2α = 2tanα1−tan 2α 。
