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普通高中课程标准实验教科书数学﹙选修2-3﹚《3.2独立性检验的基本思想及其初步应用》河北衡水中学数学中心教研室康彦华一、教学内容解析在当下大数据时代和互联网+的大背景下，本节课对提升学生的数据分析素养，提高信息处理能力起到一个至关重要的作用。
该内容是前面学生在《数学3》（必修）中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》（选修）中讲到的“反证法”类似的思想。
本节课是在学生学习完回归分析之后的内容，所以可以将上一节课的统计研究方法进行总结，应用到本节统计案例当中来。
可以充分让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的过程。
“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。
独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想等基础上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题确定分类变量→确定犯错误概率的上界 即2K 的临界值0k →抽取样本收集数据→整理数据制列联表→做出假设→计算统计量2K 的观测值k →比较观测值k 与临界值0k →给出结论本节课时时处处贯穿着统计的思想，让学生在整个过程中体会统计所能带来的解决问题的方式方法和魅力。
在对2K 公式的理解过程中，又类比方差的形式，来体会2K 公式的合理性。
同时感受数学中很多知识和方法是有内在联系的。
通过本节课的学习，学生将能够自主的研究和探索自己感兴趣的“两个分类变量是否有关”的问题，并能够利用相应结论去传递正确的思想和理论。
教学重点：1、通过案例的分析研究，展现统计中数据分析的全过程。
让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤；2、独立性检验过程中2K 的获得及其意义的理解。
二、教学目标设置本节课的教学目标主要有：1.通过对建立回归分析模型步骤回忆，获得分析统计案例的一般性过程，并能应用到本节的学习中。
§3.1 独立性检验（2）教学目标通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用χ2统计量进行独立性检验．教学重点，难点：独立性检验的基本方法是重点．基本思想的领会及方法应用是难点． 教学过程 一．学生活动练习：（1）某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？ ． （2）某高校具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2250(1320107) 4.84423272030⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵χ2 3.841≥， 所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ．（答案：5%）二．数学运用 1．例题：例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。
女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个2× 2列联表； （2）判断性别与休闲方式是否有关系。
解：（1（2）假设“休闲方式与性别无关”χ22124(43332721) 6.20170546460⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为χ2 5.024≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”。
例2．气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗99%）？分析：由列联表中的数据可知，服用复方江剪刀草的患者的有效率为75%245≈，服用胆黄片的患者的有效率为9191%100=，可见，服用复方江剪刀草的患者与服用胆黄片的患者的有 效率存在较大差异．下面用2χ进行独立性检验，以确定能有多大把握作出这一推断．解：提出假设0H ：两种中草药的治疗效果没有差异，即病人使用这两种药物中的何种药物对疗效没有明显差异．由列联表中的数据，求得 22345(18496191)11.09827570245100χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 当0H 成立时，210.828χ≥的概率约为0.001，而这里211.09810.828χ≈>所以我们有99.9%的把握认为：两种药物的疗效有差异．例3．下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果，若要使结论的可靠性不低于95%，根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论？解：提出假设0H ：该周内中学生是否喝过酒与性别无关． 由列联表中的数据，求得 21.6366χ≈，当0H 成立时，23.841χ≥的概率约为0.05，而这里21.6366 3.841χ≈<， 所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论． 三．回顾小结：1．独立性检验的思想方法及一般步骤．四．课外作业：补充。
《独立性检验》教学设计新课标教材人教B版《数学2-3》(选修) 第三章统计案例一、教学目标1、知识与技能（1）通过对典型案例的研究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
（2）通过本节知识的学习，进一步提高学生对统计的认识，提高学生对教材知识的了解，并能解决实际问题。
2、过程与方法（1）通过探索、研究、归纳等形式，掌握知识之间的联系。
（2）进行辨证唯物主义思想教育，数学应用意识的教育，提高学习数学的积极性。
3、情感、态度与价值（1）结合教学内容培养学生学习数学的兴趣，激励学生用于创新。
（2）通过对2×2列联表的探索，体验认识事物的规律，体会解决问题后成功的喜悦。
二、重点本节的重点是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤。
三、难点在授课过程中，学生学习过程中遇到的困难主要有以下几个方面：1、2的结构的比较奇特，也来的有点突然，学生可能会提出疑问。
2、如何理解独立性检验的基本思想？3、独立性检验的一般步骤及背后的理论依据是什么？四、教学方法从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用讲授法、讨论法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对独立性检验的思想与方法加以了解。
五、教学过程《独立性检验》学情分析学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，关注学生的需求，才能在教学上做到有的放矢，游刃有余。
以下是我对高二年级11班的一次数学学情分析：一、班级情况分析本班共有60名学生，男女生人数分别是30名,30名，学生有一部分是城镇的，一部分是农村的，父母基本上在学习上帮不了孩子，所有的希望都寄托到老师身上，这对教学工作有一定的影响。
另外，一部分学生本身自制力差，学习习惯不好，学习兴趣不浓，这也对老师的教学管理增加了困难。
学生层次明显，两极分化严重。
二、学生情况分析1、学习兴趣与基础经过一段时间的观察，我发现班上有一大半学生对数学学习没有兴趣，问其原因，大部分都说数学太难，学不懂，老师讲的都不明白，基础太弱，导致课堂上无所事事。
高中数学独立性检验教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高中学生传授和解释独立性检验的基本概念、原理和应用。
在当前教育背景下，独立性检验作为统计学中的一个重要内容，不仅是高考数学的考查点，更是培养学生数据分析能力和逻辑思维能力的有效工具。
通过本节课的学习，学生应掌握如何使用独立性检验来分析两个分类变量之间是否存在显著的关联，能够运用假设检验的基本步骤，解释统计结果，并培养他们基于数据进行合理推断的能力。
2、教学对象教学对象为高中二年级的学生，他们已经具备了初步的统计学知识，如数据的收集、整理和描述，以及概率的基础知识。
此外，学生也具备了一定的代数和几何知识基础，这些都是进行独立性检验学习的必要前提。
然而，由于独立性检验涉及较为抽象的统计概念和逻辑推理，学生可能在理解和应用上存在一定难度，因此需要教师采用适当的教学策略，帮助学生构建知识框架，提高解决问题的能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解独立性检验的基本概念，掌握独立性检验的原理和应用范围。
（2）学会使用卡方公式进行独立性检验的计算，并能解释计算结果。
（3）掌握假设检验的基本步骤，包括建立假设、构造统计量、确定显著性水平、做出决策等。
（4）能够运用统计软件或计算器进行独立性检验的数据处理和分析。
（5）培养运用独立性检验解决实际问题的能力，提高数据分析技能。
2、过程与方法（1）通过小组讨论、案例分析等方式，让学生在实践中掌握独立性检验的方法。
（2）引导学生运用已学的统计学知识，自主探索和发现独立性检验的原理。
（3）采用问题驱动的教学方法，培养学生主动提问、积极思考的学习习惯。
（4）通过课堂讲解、课后练习、讨论交流等多种途径，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对统计学产生兴趣，激发他们学习数学的热情。
（2）引导学生认识到统计学在日常生活和科学研究中的重要性，增强学生的实际应用意识。
（3）培养学生严谨、客观的科学态度，使他们能够用数据说话，避免主观臆断。
2019-2020年高中数学1.1《独立性检验》word 教案（3）教学目标：通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
教学重点：通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
教学过程（一）、x 2检验的基本步骤1、建立虚无假设：观察的结果与期望的结果无差异。
2、确定检验水平等级 P=0.05 或P=0.01 3、应用公式计算∑-=eef f f x 22)(其中：f 0 观察实际的次数f e ：期望次数（理论次数）4、根据计算得出x 2值和df 值（自由度）查x 2值表. 查出：x 2（df ）0.01或x 2（df ）0.05的值。
5、用x 2值与x 2（df ）0.01或x 2（df ）0.05值比较大小。
若x 2≥x 2（df ）0.01 p ≥0.01 差异非常显著 否定虚无假设 x 2 ≤ x 2（df ）0.05 p ≤0.05 差异显著 否定虚无假设 x 2 < x 2（df ）0.05 p>0.05 差异不显著 承认虚无假设（二）、例1、对某一电教媒体能否在课堂教学使用的问卷调查中，有44名教师发表了意见，其中很同意者23人，同意者13人，不同意者6人，很不同意者2人。
问各类意见之间4df 解：11444====n N f e 态度等级数观察总人数 df=n-1=4-1=31、建立虚无假设：观察的结果与期望的结果无差异2、确定检验水平等级 P=0.013、计算x 2值09.2311)112(11)116(11)1113(11)1123()(2222202=-+-+-+-=-=∑e e f f f x4、查x 2值表：x 2 (3)0.01=11.345 5、比较大小 ∵23.09>>11.345 ∴P ＜0.07 差异非常显著结论：意见差异非常大，且同意的意见占很大优势。
(二)统计数是百分数例2、对某校50名学生问卷“你对录像中关于**原理的理解程度？”统计如下，全部理解12%；大部分理解24%；部分理解36%；少部分理解18%；完全不理解10%。
第九章 统计9.2.1 独立性检验1. 通过实例，理解2×2列联表的统计意义；2. 通过实例，了解2×2列联表独立性检验的基本思想、方法和初步应用．重点：理解2×2列联表的统计意义．难点：了解2×2列联表独立性检验及其应用．一、新课导入情境：某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人，调查结果是：吸烟220人中，有37人患呼吸道疾病(以下简称患病)，183人未患呼吸道疾病(以下简称未患病)，不吸烟的295人中 ，有21人患病，274人未患病．我们能根据上面的数据，得到怎样的结论呢？ 二、新知探究问题1：根据这些数据，是否能断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 为了研究这个问题，我们将上述数据用下表表示．患病 未患病 合计 吸烟 37 183 220 不吸烟 21 274 295 合计58457515形如上表的表格称为2×2列联表．答案：根据表中的数据可知，在吸烟的人中，有37220≈16.82%的人患病；在不吸烟的人中，有21295≈7.12%的人患病，可知吸烟者与不吸烟者患病的可能性存在差异，所以有患病与吸烟有关这一推论．◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程列联表是一个描述两个分类变量分布的频数表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)如下：设计意图：先利用频率估计概率的思想，由吸烟者与不吸烟者患病的可能性的差异程度直观地做出判断．问题2：上述结论给我们的印象是患病与吸烟有关，事实果真如此吗？究竟能有多大的把握认为“患病与吸烟有关”呢？答案：我们可以对两者的关系进行检验．若将事件“某成年人吸烟”记为A ，事件“某成年人患病”记为B ，则事件“某成年人不吸烟”记为A ，事件“某成年人不患病”记为 B ̅̅̅̅，这样，回答“患病与吸烟是否有关？”其实就是需要回答“事件A 与事件B 是否独立？”为了回答这个问题，我们先做出判断“患病与吸烟没有关系”，即提出如下假设H 0：患病与吸烟没有关系．由两个事件相互独立的充要条件，又可将上述假设记为H 0：P (AB )＝P (A )P (B ) ，这里的P (A )，P (B )和P (AB )的值都不知道，我们可以用频率来代替概率，估计出P (A )，P (B )和P (AB )的值． 为了便于研究一般情况，我们将原表中的数据用字母代替，得到字母表示的2×2列联表，若设n ＝a ＋b ＋c ＋d ，则有()a b P A n +≈ ()a cP B n+≈， 故()a b a cP AB n n++≈⋅． 因此在H 0成立的条件下，吸烟且患病的人数为()a b a cn P AB n n n++⋅≈⋅⋅． 同理可得：吸烟但未患病的人数为()a b b d n P AB n n n++⋅≈⋅⋅，不吸烟但患病的人数为()c d a c n P AB n n n++⋅≈⋅⋅，不吸烟且未患病的人数为n ∙P (A B ̅)=n ∙c+d n∙b+d n．如果实际观测值与在事件A ，B 独立的假设下的估计值相差不“大”，那么我们就可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设H 0不能被所给数据否定，否则应认为假设H 0不能接受． 追问1：怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？答案：考虑实际观测值与在事件A ，B 独立的假设下的估计值的差(如下表)：为了避免正负相消及消除样本容量对差异大小的影响，可以将它们分别平方并除以对应的估计频数(即估计值)，最后相加，得到22222()()()()a b a c a b b d c d a c c d b d a n b n c n d n n n n n n n n n a b a c a b b d c d a c c d b d n n n n n n n n n n n nχ++++++++-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=+++++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅化简得：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）统计学中通常采用统计量χ2(读作“卡方”)来刻画这个差异． 追问2：如何利用χ2进行推断呢？统计学中已有明确的结论：在H 0成立的情况下，随机事件“χ2≥ 6.635”发生的概率约为0.01，即P (χ2≥ 6.635)≈0.01，也就是说，在H 0成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，观测值超过6.635的概率约为0.01．通过计算，本例中χ2 ＝11.8634＞6.635”，由P (χ2≥ 6.635)≈0.01可知，出现这样的观测值χ2的概率不超过0.01，因此，我们有99%的把握认为H 0不成立，即有99%的把握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系” ． 统计量χ2的计算公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）独立性检验的定义利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．推断两个分类变量“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤：一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也有两类取值，即类1和类2 ，我们得到如下列联表所示的样本数据：要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表与公式计算χ2的值；(3)根据临界值表，做出判断．独立性检验临界值表：(1)若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(2)若χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(3)若χ2＞2.706，则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(4)若χ2≤2.706，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能得出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．三、应用举例例1 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如下表所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？χ2=1000×(258×284−242×216)2500×500×474×526≈7.075因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为，该种血清能起到预防感冒的作用．方法总结：独立性检验的注意点：在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，那么应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．例2为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示，根据所选择的193个病人的数据，能否做出药的效果与给药方式有关的结论？χ2=193×(58×31−40×64)298×95×122×71≈1.3896<2.072因为当H0成立时，χ2≥1.389 6的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．例3 气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行了对比，所得数据如下表所示．问：它们的疗效有无差异？解：提出假设H0没有明显差异，根据列联表中的数据可以求得χ2=345×(184×9−61×91)2245×100×275×70≈11.098因为当H0成立时，P(χ2≥10.828)≈0.001，这里的χ2≈11.098＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异．四、课堂练习1．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A ．平均数与方差 B ．回归分析 C ．独立性检验D ．概率2．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是( )A .ad －bcB ．ad －bc 越大，说明X 和Y 关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝8.013，那么是否有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系：________．(填“是”或“否”)4. 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人． (1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？为什么？ 参考答案：1．解析：选C ．判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．2. 解析：选C ．列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度，由()22()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++，当(ad －bc )2越大，χ2越大，表明X 与Y 的关系越强．(ad －bc )2越接近0，说明两个分类变量X 和Y 无关的可能性越大．3．解析：因为χ2＝8.013>7.879＝x 0.005，查阅χ2表知有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系． 答案：是．4. (1)由已知可列2×2列联表：(2)χ2＝540×（20×260－200×60）2220×320×80×460≈9.638＞6.635＝x 0.01，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关． 五、课堂小结 1.统计量χ2的计算公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）2. 推断两个分类变量“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤： (1)提出假设H 0：Ⅰ与Ⅱ没有关系； (2)根据2×2列联表与公式计算χ2的值； (3)根据临界值表，做出判断．3.独立性检验临界值表：(1)若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； (2)若χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； (3)若χ2＞2.706，则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(4)若χ2≤2.706，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能得出结论“H 0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系． 六、布置作业教材第164页练习第1，2题．。
课程名称高中数学选择性必修第三册第八章8.3.2独立性检验教学设计课时第一课时1.教材内容分析独立性检验是研究随机变量独立性的一种统计方法，为了解总体中两个分类变量是否相互独立，可以从总体中抽取简单随机样本，整理成一个2x2的列联表，独立性检验就是根据列联表检验两个分类变量是否相互独立。
独立性检验本质上是一种概率推断，是一种依据概率进行“二中选一”的方法，即根据样本数据，在“H0：无实质差异”与H1：有实质差异”这两种推断中选择其一，这是一种“概率反证法”，通过样本构造的小概率事件是否出现来判断总体假设的真伪。
独立性检验的数学基础是条件概率与独立事件概率的乘法公式，其推断步骤可分为:第一步，提出想验证的假设H0，称为零假设；第二步，若假设H0成立，构造一个只有在小概率α的情况下才能观察到的现象χ2；第三步，依据样本数据确认是否观察到了现象χ2；第四步，若能观察到现象χ2的情况下，则推断假设H0是错误的，此时便可以拒绝H0，而选择假设H1；第五步，若未能观察到现象χ2，则无法拒绝假设H0，可选择假设H0。
独立性检验是从样本数据中发现关系，是成对样本数据统计分析的重要内容，是依据数据进行合理推理的典型方法，体现了数学的理性精神，也是提升数据分析和逻辑推理素养的重要素材。
基于以上分析，确定本节课的重点：独立性检验的基本思想和独立性检验的基本方法。
2.学习者特征分析本节内容对学生来说难度较大，涉及的基础知识有古典概型、条件概率、频率稳定到概率的原理及分类变量独立性的概念，涉及的统计思想方法主要是假设检验的思想方法。
教科书结合丰富的实例，通过问题引导，采取了由易到难、逐步深人的处理方式，使学生了解独立性检验的基本思想。
在本节教学中，应通过具体案例渗透独立性检验的基本思想和方法，使学生了解统计推断可能犯错误的特点，避免单纯地记忆独立性检验的基本步骤和机械地套用公式解决问题。
应注重培养学生理论联系实际的意识，提高学生解决实际问题的能力．3.教学目标知识目标：基于2×2列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想；能力目标：熟练掌握独立性检验的基本步骤；素养目标：会用独立性检验解决简单的实际问题，提升数据分析能力。
