高等数学(上册)教案20-分部积分法

高等数学教案一、教学目标1.知识与技能：（1）理解极限、导数、积分等基本概念，掌握它们的计算方法。

（2）熟练运用导数和积分解决实际问题，如最值问题、曲线拟合等。

（3）了解多元函数的极限、连续性、可导性，掌握偏导数、全微分、方向导数等概念。

（4）掌握多元函数的极值问题，了解条件极值和拉格朗日乘数法。

2.过程与方法：（1）通过实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）通过探究式学习，培养学生的创新精神和合作意识。

（3）通过数学软件的应用，提高学生的数学建模和计算能力。

3.情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，增强学生的自信心。

（2）培养学生严谨、求实的科学态度，提高学生的逻辑思维能力。

（3）培养学生团结协作的精神，增强学生的集体荣誉感。

二、教学内容1.极限与连续（1）数列极限的定义及性质（2）函数极限的定义及性质（3）无穷小量与无穷大量（4）极限的运算法则（5）夹逼定理与单调有界定理（6）连续函数的定义及性质2.导数与微分（1）导数的定义及几何意义（2）导数的运算法则（3）高阶导数（4）隐函数及参数方程求导（5）微分中值定理（6）泰勒公式3.不定积分与定积分（1）不定积分的概念及性质（2）基本积分公式（3）换元积分法与分部积分法（4）定积分的概念及性质（5）定积分的计算（6）定积分的应用4.多元函数微分学（1）多元函数的极限与连续（2）偏导数与全微分（3）复合函数求导法则（4）隐函数求导法则（5）方向导数与梯度（6）多元函数的极值问题5.多元函数积分学（1）二重积分的概念及性质（2）二重积分的计算（3）三重积分的概念及性质（4）三重积分的计算（5）线积分与面积分三、教学安排1.总学时：64学时2.教学进度安排：（1）极限与连续：12学时（2）导数与微分：18学时（3）不定积分与定积分：18学时（4）多元函数微分学：8学时（5）多元函数积分学：8学时四、教学方法1.讲授法：讲解基本概念、性质、定理等。

分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。

重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。

x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。

这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。

然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。

把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。

接着呢，咱就一步一步地算。

就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。

你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。

举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。

那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。

然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。

再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。

可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。

而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。

总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。

就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

高等数学上册教案一、第一章：函数与极限1.1 函数定义：函数是一种关系，使一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。

性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限极限的定义：当自变量x趋近于某一值a时，函数f(x)趋近于某一值L，即lim(x →a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理、单调有界定理等。

1.3 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋近于0时，函数f(x)趋近于0。

无穷大的定义：当自变量x趋近于某一正无穷大值时，函数f(x)趋近于正无穷大或负无穷大。

1.4 极限运算法则极限的四则运算法则：lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，lim(x →a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)(1/g(x))。

极限的复合运算法则：lim(x→a)(f(g(x)))=lim(x→a)g(x)lim(x→a)f(g(x))。

1.5 极限存在的条件介值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=L1，f(b)=L2，对于任何介于L1和L2之间的实数L，都存在c∈(a,b)，使得f(c)=L。

单调有界定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上单调且有界，lim(x→a)f(x)和lim(x →b)f(x)都存在且相等。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h。

导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点处的切线斜率。

2.2 导数的计算法则基本导数公式：常数c的导数为0，x的导数为1，常数倍函数的导数等于常数乘以原函数的导数，幂函数的导数等。

和差、积、商的导数法则：和差函数的导数等于各函数导数的和差，积函数的导数等于原函数的导数乘以另一函数，除函数的导数等于除函数的导数乘以被除函数减去除函数，再除以被除函数的平方。

教学目标：1. 使学生掌握积分法的基本概念和原理。

2. 理解并能够运用分部积分法、换元积分法解决实际问题。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维水平。

教学重点：1. 分部积分法的原理和应用。

2. 换元积分法的原理和应用。

教学难点：1. 分部积分法在复杂函数积分中的应用。

2. 换元积分法在不同类型函数积分中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件。

2. 积分表。

3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 复习导数和微分的概念，引出积分的概念。

2. 介绍积分法的应用领域，激发学生学习兴趣。

二、新课讲授1. 分部积分法a. 介绍分部积分法的原理，公式。

b. 通过实例讲解分部积分法的应用步骤。

c. 分析分部积分法在复杂函数积分中的应用。

d. 举例说明分部积分法在实际问题中的应用。

2. 换元积分法a. 介绍换元积分法的原理，公式。

b. 通过实例讲解换元积分法的应用步骤。

c. 分析换元积分法在不同类型函数积分中的应用。

d. 举例说明换元积分法在实际问题中的应用。

三、课堂练习1. 学生根据所学知识，完成以下练习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。

b. 利用换元积分法计算不定积分。

2. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结分部积分法和换元积分法的原理和应用。

2. 强调积分法在解决实际问题中的重要性。

五、课后作业1. 完成以下习题：a. 利用分部积分法计算不定积分。

b. 利用换元积分法计算不定积分。

2. 查阅资料，了解积分法在其他领域的应用。

教学反思：本节课通过讲解分部积分法和换元积分法的原理和应用，使学生掌握了积分法的基本方法。

在教学过程中，教师应注重以下方面：1. 注重理论与实践相结合，通过实例讲解积分法的应用，提高学生解决问题的能力。

2. 针对不同类型函数，引导学生运用合适的积分方法，培养学生的数学思维能力。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养合作学习的精神。

《高职数学》公开课教案课题：§ 4.4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法，正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式 教学重点、难点：分部积分法及其应用,恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u u (x )及v v (x )具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为 移项得 v '-'='u (uv)uv 对这个等式两边求不定积分 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u 或⎰⎰-=vdu uv udv 称为不定积分的分部积分公式。

二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得(凑微分法);2.u vd ⎰比⎰udv 容易求. 例3求⎰dx e x x 2 解：x x de x dx e x ⎰⎰=22 例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1)被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序。

例6求xdx e x sin ⎰解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 练习: (1)∫xsinxdx(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此三、小结 使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1)原则:v 容易求得(凑微分法);u vd ⎰比⎰udv 容易求; (2)U 的选取按 “反对幂三指”的顺序。