巧用面积法解几何题

巧用面积法解几何题
用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效，请看以下几例。

一. 利用面积法求线段的长
例1. 如图1，AD是的斜边BC上的高，且，AB＝45，求AD。

解：由勾股定理得：
例2. 如图2，矩形ABCD中AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，，E 是垂足，求证：
证明：连结DM，由勾股定理得：
二. 利用面积法证线段等式
例3. 如图3，AD是的角平分线，求证：
证明：过点D作于E，于F，过点A作于H 由，则有
即
例4. 已知一直角三角形两直角边为a、b，斜边c上的高为h，求证：
证明：
由三角形面积关系有
即
整理后，即得
三. 利用面积法证线段不等式
例5. 如图4，在中已知，BD、CE分别为AC、AB边上的高，求证：
证明：
，即
，即
四. 利用面积法求线段的比
例6. 如图5，已知在中，BD：CD＝2：1，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，求AF：FC
解：连结CE，设
由AE＝DE，可知
由BD：CD＝2：1，可知
由AE＝DE，
设，则
（1）
（2）
由（1）（2）得：
代入（2）中，得。

智汇好题目转化思想是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎、变换、分解、整合、表征、化简等，转化为已知的、熟悉的、简单的问题，使问题能够顺利解决的一种数学思想。

转化思想的教学常渗透在“图形与几何”领域内容的教学中，但相关题目往往比较简单，对转化思想的运用浮于表面，导致学生对转化思想的理解不够深入。

基于此，笔者设计了一组有关“面积”的题目，引导学生巧借转化方法解决数学与生活中的实际问题，积累图形与几何的学习经验，感受转化思想的巧妙，为其日后运用转化思想打好基础。

【题目】第1题 哪块黑板的面积大教室的两块黑板上分别设计了一些艺术字装饰（如图1），每个艺术字的方块面积都相同，请问，哪块黑板的面积大？把你的思考用画或写的方法表达清楚。

数习学学真爱好我玩学数学使我快乐① ②图1第2题 画出分割图形的过程小傅不知道怎么求这个不规则图形（如图2）的面积，于是打电话求助了几个同学，同学们在电话里只告诉了他算式和答案。

小傅想弄清楚各种算法分别是怎样列式的。

请大家帮帮他，根据给出的算式，画出分割图形的过程，再说说你是怎样想的。

（1）3×5+2×4；（2）（4+3）×2+（5-2）×3；（3）（3+4）×5-（5-2）×4；（4）2×4+3×（5-2）+3×2。

3542图2第3题 铺地砖小林家储藏室的地面是一个边长为2.4米的巧借转化，妙解问题*——“面积”题目一组陈博文 林怡颖*本文系南京市教育科学“十四五”规划2021年度教师教育综合改革研究专项课题“知行合一：小学生数学实践智慧的培育研究”（编号：LJG\2021\09）的阶段性研究成果。

76智慧教学 2023年12月77The Horizon of Education正方形，他想在暑假时给储藏室铺上地砖，于是购买了长方形的地砖，但之后觉得正方形的地砖更好看，便准备把长方形的地砖锯成正方形。

一 教学内容：暑假专题——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题教学目标：1 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。

2 培养学生分析问题、解决问题的能力。

二 重点、难点：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。

难点：灵活运用所学知识证明面积问题。

教学过程：（一）证明面积问题常用的理论依据1 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。

147. 14三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。

8 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4 还可以利用面积解决其它问题。

【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1 分解法例1 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。

FEAB D C分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等高，故S S ADE ADB ∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ∆∆=③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD 作平行线法 例 2 已知：在梯形ABCD 中，DC求证：S S ADM ABCD ∆=12A BS S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212MN DC AB=+2则S MN h ABCD =⋅又 S S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD∆12证线段之积相等例3 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·ABAFEB D C分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。

巧用图象面积解决物理问题巧用图象面积解决物理问题浙江省富阳市第二中学方明霞物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。

用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。

在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。

本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。

在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y=ab，其中一个物理量a为恒量，在以a-b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。

而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。

在以a-b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。

以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。

一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示时间匀速直线运动中，，t与x、v成反比。

反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v-x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。

例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x1的A点时速度为v1，若B点离洞口的距离为x2（x2>x1），求老鼠由A运动到B所需的时间。

解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v-x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B所需的时间。

二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。

人教版 初中解决几何问题有很多方法，在这些方法中很容易被大家忽略的是面积法. 面积法既能解决题目中直接涉及面积的问题，也可解决一些题目中不涉及面积的问题. 在平时的学习、解题过程中，如果有意识的使用面积法.，可以使有些几何图形性质的证明、几何问题的解决等起到事半功倍的作用.对有些几何题，如果单纯用图形的几何性质、全等三角形或相似三角形等知识来解答，会使计算或证明过程很复杂，而用面积法却可以轻松得到解决.下面举例说明.例1 如图1，E 、F 分别为□ABCD 的边CD 、AD 上的点，且AE=CF ，设AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC .证明 连BE 、BF ，∵AE=CF ，∴ 三角形ABE 的面积等于三角形FBC 的面积即ABE FBC S S ∆∆=∴ 点B 到AE 、FC 的距离相等.即点B 到∠APC 的两边P A 、PC 的距离相等，∴ BP 平分∠APC .例2 如图2，已知：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线.求证：AB BD AC CD=. 分析 由于AD 是∠A 的平分线，且在△ABD 与△ADC 中，BD 、DC 边上的高相等，因此可利用三角形面积公式来证明.证明 设△ABC 中BC 边上的高为h ，则12ABD S BD h ∆=⋅， 12ACD S CD h ∆=⋅. 又 过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则12ABD S AB DE ∆=⋅， 12ACD S AC DF ∆=⋅. 于是 11221122ABD ADC BD h AB DE S S CD h AC DF ∆∆⋅⋅==⋅⋅. ∵ ∠1=∠2， ∴ DE =DF . 故 AB BD AC CD=. .1. 例3 如图3，P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP 并分别延长交对边于D 、E 、F ，求证：1PD PE PF AD BE CF++=. 分析 本题应用了线段的比转化为面积的比来解决.证明 设P 到BC 、CA 、AB 三边的距离分别为x y z 、、，三边上的高为a b c h h h 、、.显然有BPC a ABC S PD x AD h S ∆∆==， APC b ABCS PE y BE h S ∆∆==， APB c ABCS PF z FC h S ∆∆== 三式相加得1PD PE PF AD BE CF++=. 例4 如图4，矩形ABCD 中，,,AB a BC b ==M 是BC 的中点，DE AM ⊥ 于E . 求证：224DE a b =+证明 连DM ，∵ M 是BC 的中点， ∴1=22AMD ABCD ab S S ∆=矩形，12AMD S AM DE ∆=⋅ ∴ AM DE ab ⋅=又22142AM a b =+ ∴ 224DE a b=+ 例 5 如图5，E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、CD 上，若3,4,5,CEF ABE ADF S S S ∆∆∆===则AEF S ∆= .解析 连AC ，设ACF S x ∆=，ACE S y ∆=. 则45y x +=+ ∴ 1y x =+ ①又 5,3x CD y AB x CF CF +==， ∴ 53x y x += ② 由①、②联立方程组 解得 5, 6.x y ==∴ 35638.AEF S x y ∆=+-=+-=例5 如图6，梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O . 设梯 .2. 形ABCD 的面积为S ，△AOD 的面积为1S ，△AOD 的面积为2S ，△AOD 的面积为3S 12S S 、230x Sx S +=的两根.分析 利用面积之比可以转化为线段之比的办法，可以解决这一问题. 证明 ∵ 1233,.S S DO OC S OB S AO== ∴1223.S S DO OC S OB AO⋅⋅=⋅ ∵//AD BC ， ∴DO AO OB OC =. ∴12231S S S ⋅= ,123.S S S = ① 又∵ 1232S S S S =++ 12122S S S S =++212()S S =，∴12S S S = ② 12S S 、230x Sx S +=的两根.以上几个例子，若用其它方法解答，其过程要繁琐得多.像这样的问题还很多，如果在学习过程中有意采用面积法，既能提高学习、解题效率，又能提高分析问题、解决问题的能力，实现解题能力的全面提高..3.。

八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

多边形的面积趣味题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多边形在我们生活中无处不在，无论是建筑物的外形、地图上的国界线还是日常生活中的各种形状，都离不开多边形的影子。

而多边形的面积是一个让我们感到神秘又充满挑战的概念。

今天，让我们来一起探讨一些关于多边形面积的有趣题目，希望能够让你领略到数学的乐趣。

1. 假设有一个六边形，其中每个边长为5cm，相邻两边之间的夹角为120度。

请计算出这个六边形的面积。

我们可以将这个六边形看作是由两个等边三角形和一个梯形组成的。

每个等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= 底边长度* 高/ 2因为该等边三角形的底边长度和高均为5cm，所以每个等边三角形的面积为：5 * 5 / 2 = 12.5cm²然后，我们来计算梯形的面积。

梯形的面积可以通过以下公式计算：面积= (上底+ 下底) * 高/ 2这里的上底和下底都是5cm，高是边长5cm的两边之间的高。

根据三角形的计算方法，该高度可以为5*sin(60°)=5*√3 / 2=2.5√3 cm。

梯形的面积为：(5 + 5) * 2.5√3 / 2 = 12.5√3 cm²将两个等边三角形的面积和一个梯形的面积相加，得到这个六边形的面积为：12.5 + 12.5 + 12.5√3 = 25 + 12.5√3 cm²2. 现在我们来探讨一个更有趣的题目。

假设有一个正方形的边长为10cm，我们要将这个正方形切割成4个完全不同形状的多边形，并且每个多边形的面积相等。

请问你能想到哪几种方法将这个正方形切割出来呢？我们来想一种方法。

我们可以将这个正方形分成四个三角形，每个三角形都有一个角是90度，另外两个角是45度。

这样切割出的四个三角形的面积都是25cm²，且面积相等。

除了这种方法外，我们还可以将正方形分成几何图形更为复杂的方式。

比如可以将一个正方形切割成一个三角形、一个梯形和两个长方形。

面积法在几何中的应用作者：袁建清来源：《中学生数理化·教与学》2012年第06期几何题不像代数演算那样有程序可依、有公式可套，往往是不同的题目有不同的解法，即使是相似的题型，有时探索的思路和证明的方法也可能相差甚远.那么，几何问题“难”，究竟难在哪？说到底就是条件和结论之间的关系相差甚远，不容易沟通.本文对几何中可有效沟通条件和结论的“面积法”进行探讨.利用面积法解决几何问题的策略大致有：利用等底（等高）的三角形面积之比等于两三角形的两高（底）之比；把一个图形的面积分割成几个图形的面积，建立两条甚至多条线段长度之间的关系；利用一个图形面积的几种不同表示来探求不同线段之间的关系，比如用面积法求直角三角形斜边上的高.面积法解题的本质就是根据面积的有关性质将线段关系转化为面积关系，通过适当变形或解方程解决有关问题面积法中常用到的几个相关的引理：１．共边三角形的面积比：设A、D到BC的距离分别是、，则△△２．共角三角形的面积比：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D或∠A+∠D=18△△３．△一、面积比的应用由引理3知，面积的表达式中既有边又有角，故可利用面积探求边角关系例1 已知：O是△ABC的外心，AO或AO的延长线交BC于求证：分析：既然涉及外心O，故作出其外接圆，就可发现沟通它们的捷径证明：如图1，连接半径OB、由圆周角与圆心角的关系可知，∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC，故△△∵△△，△△，而△△△△△MO，由比例性质可得：△△故解后反思：本题常规的解法用正弦定理证的，过程烦琐，且正弦定理在初中是不作要求的，而从面积之比的角度来考虑，过程简单、明了二、巧用面积法证明不等式有些代数式，其中的项若能看成图形的面积，则它的数量关系可借助图形间的关联而生动地显示出来例2 证明：对任意的x，y,z∈(0,1),都有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)分析：此题初看是用代数变形的方法来证，但对因式分解的能力要求较高，不好把握，不过深究一看，发现每项都是乘积的形式，故可将它们看成同一三角形各角处的一块与原三角形的面积之比证明：取边长为1的正△ABC，如图2，并在AB、BC、CA上分别取D、E、F，使得BD=x，则x(1-△△，①y(1-z)△△，②z(1-△△③①+②+③得：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)三、利用一个图形面积几种不同的表示形式探求不同线段之间的关系例３如图３，P是△ABC的角平分线AD上的一点，CE∥PB，BF∥PC，分别交AB、AC 的延长线于E、F.求证：分析：题中的条件很少，且这两条线段在两个不同的三角形中，用三角形全等、勾股定理等常用的方法显然无法解决，但观察到△△，△△，利用两三角形的面积相等转化为线段，就可找到BE，CF的关系.解略。

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不会用面积法的8 个口诀天知道你错过了多少分！
沪江网校王雪红老师：初中数学老师，多年知名教育机构任职经验。

熟悉全国多版本数学大纲，注重方法梳理、技巧规律以及学生数学思想的培养。

求几何图形的面积有三板斧
（1）直接用三角形，特殊四边形，圆，扇形的面积公式来求。

（2）间接割补法，把不规则图形面积通过割补、运动、变形转化为规则易求图形面积的和或差。

（3）特殊求法，即利用相似图形的面积比等于相似比的平方，等底（等高）的三角形面积比等于高（底）比的性质来解。

其次有些乘法公式、勾股定理、三角形的一边平行四边形的比例式等性质，
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