2014年高考数学模拟新题汇编

2014年高考模拟考试数学试卷（理工类） 第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.集合{}2,1=M ，{}3,2,1=N ，{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 若i 是虚数单位，则复数i i +-12的实部与虚部之积为( ) A.43 B.43- C.i 43D.i 43- 3.若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是( ) A.ββα⊥⊥a , B.b a b //,=βα C.α//,//b b a D.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为( )A.1813 B.1811 C.95 D.1 5. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N的值为( )A.5 B.6 C.7 D.86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最小值为( )A.4- B.0C.34D.47. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3πC.32πD.65π8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( ) A.π949 B.π37C.π328D.π928 9. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则()106262a a a a ++ 的值是( )A.9- B.9 C.6- D.3 10. 在二项式n xx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率之积为41，则该双曲线的离心率为( )A.25 B. 26 C.2 D.315侧视12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在 点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的 范围是( ) A ．),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅= ,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角, 且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（ 12分） 数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==.（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩 按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成 绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60. （I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点.（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，试 确定点M 的位置，使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20.（本小题满分12分） 若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点，经过点()2,5-B 的直线l 与抛物线 C 交于Q P ,两点.（I ）求证：⋅为定值；（II ）若点Q P ,与点A 不重合，问APQ ∆的面积是否存在最大值?若存在，求出最大 值； 若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分） 设a R ∈，函数21()(1)xf x x e a x -=--．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （Ⅱ）设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <） 时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．）BACD PQ请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.C数学（理工类）一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题13.nn 14. 20 15. 616. ((22-三、解答题17.解：（I ）112,2n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列， 则2(1)22n a n n =+-=； ----3分. 11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===， 则2nn b =；----------------------6分（II ）12n n n n c a b n +==则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++ 两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++- ----9分整理得2(1)24n n T n +=-+---12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人--4分（Ⅱ）设事件A =甲同学面试成功，则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分 （Ⅲ）由题意得，0,1,2,3=ξ0333361(0)20===C C P C ξ， 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………..12分 19. （I ） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分（II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ，设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM 取=2n )3,0,233(λλ--------9分由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：||||||212121n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM ------12分 20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上，所以p 24=，有2=p ，那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分 若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅-------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l :()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y x y ，有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ，---------------5分()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y x y x 那么，⋅为定值.--- -7分 （II ） 若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -5845421=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，令211⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k u ，有0≥u ，则u u S APQ 482+=∆没有最大值--12分 21. 解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)xf x x e x -=--，则211(2)()x x x x e f x e----'=， 令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为31()042h '=<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上单调递减.-- ----3分 又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减, 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分 （Ⅱ）由题可知21()()xg x x a e-=-，则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <，所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)xf x x x e a -'=--，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.--------8分即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立 (1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈； (2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x x x e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数，所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+； (3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+ 由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21e e λ≤+； 综上所述，21ee λ=+----12分22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆.…..5分 （Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分 23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ； 曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------4分（II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+---10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(abf a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.- --10分。

2014版高考数学模拟试题精编4 D6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为a＋b2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y∧＝b∧x＋a∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N(1,22)，且p(－1≤ξ≤1)＝0.3，则p(ξ＞3)＝0.2其中正确的个数有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y∧＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A．83% B．72%C．67% D．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1( )A．一定是负数 B．一定等于0C．一定是正数 D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l 交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB 的形状为( )A．不确定 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则( )A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x ＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是( )A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013 C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013 答题栏第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．14．(理)如图，阴影部分由曲线y＝x与y轴及直线y＝2围成，则阴影部分的面积S＝________. (文)曲线y＝x3－2x＋3在x＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，以角A，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，(2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C 2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos 2A 2＝cos 2B 2＋cos 2C 2－2cos B 2cos C 2sin A 2. 则：若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD ＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA ＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B上的动点，当PA ＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)：某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X为其中空气质量类别为优的天数，求X的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个．(1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项和S n 和通项a n满足S n＝12(1－a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝na n，求证：b1＋b2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g(x)＝2a ln(x＋1)＋x2－2x(1)当a≠0时，讨论函数g(x)的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．(文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x＝13是f (x )的一个极值点． (1)求b a的值； (2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．。

2014年高考数学模拟试题及答案一高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B = ð（ ） A ．{}|14x x -≤≤ B ．{}|14x x -<< C ．{}|23x x <≤ D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B = ð{}23x x <≤．（2）2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人． 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 ( )A ． 5B ． 10C ．15D ．50 【解析】 C ；容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为1203802=．于是抽取不超过45岁的职工人数为325155⋅=人．（3）3．已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠= ，则O 的半径为 （ ）PAA ．1B ．2CD ．【解析】 C；30,tan30PAPCA PAB CA ∠=∠===（4）4．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （ ） A ．2 B ． 43 C ． 32 D ．12【解析】 A ；不妨设等比数列的公比为q ．由2375213a a a q q ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭知50a >．于是228552a a a a ⋅==⇒=代入上式知22q =2q =而数列单调增，于是2q =42q =．（5）5．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【解析】 B ；A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．（6）6．设33,,2x yx y M N P ++===（其中0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为 ( ) A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M << 【解析】 D ；由0x y <<，有2x y+．由指数函数的单调性，有23x y x y P N ++=<==；23332x yx y M N ++=>==．（7）7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60【解析】 C ；不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． ①当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为33212A =；②当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为33424A =．③当甲位于4号位时，情形与①相同．排法总数为33212A =． 综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．（8）8．设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于 （ ） A ． 3 B ．2 C ．1b -- D ．c【解析】 A ；易知()f x 的图像关于直线1x =对称．2()()0f x bf x c ++=的解必有一根使()1f x =．不妨设为1x ．23,x x 关于直线1x =对称．于是1233x x x ++=．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）9．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．（10）10．若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【解析】 1-；由二项式定理4124311212CC rrr rr r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．（11）11．将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．（12）12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【解析】 13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值．．（13）13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩．≥若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．【解析】 11,2;, 1.nT n T T n ⎧⎪⎨⎪=⎩≥，()221,1;, 2.1n n n n =⎧⎪⎨⎪-⎩≥； 由12....n n T b b b =，知()1211...n n n n n T b b b b T b --==．（14）14．定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x <≤≤时，12()()f x f x ≤，则12010f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________________．【解析】 132；容易知道()11,f =于是()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．而1111112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又由()f x 单调增，知()1,2f x =当1152x ≤≤时．而441111155201052⋅⋅≤≤，4411111522232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是11201032f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，满足sin2A ，且ABC ∆的面积为2．⑴求bc 的值；⑵若6b c +=，求a 的值． 【解析】 ⑴∵sin2A =0πA <<．∴cos 2A =． ∴4sin 2sin cos 225A A A ==．∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴5bc =． --------------------6分⑵∵sin 2A ∴23cos 12sin 25A A =-=．∵5bc =，6b c +=，∴2222cos a b c bc A =+-2()2(1cos )b c bc A =+-+20=∴a = -----------12分（16）16．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，错误！未找到引用源。

数学I单元统计I1 随机抽样3．[2014·重庆卷] 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．2503．A[解析] 由题意，得703500＝n3500＋1500，解得n＝100.11．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p33．D[解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为n N.2．、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本2．A[解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A.9．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．9．60[解析] 由分层抽样方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60.15．、[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.I2 用样本估计总体17．、[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．[2014·北京卷] 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图1-6)．图1-6(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)18．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．20．，[2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个．所以所求概率为P (M )＝310.6．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．206．C [解析] 由题意得，分段间隔是100040＝25.17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625.因为x甲＞x乙，s2甲＜s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个，故事件E发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.6．[2014·江苏卷] 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图1-2所示，则在抽测的60株树木中，有____株树木的底部周长小于100 cm.图1-26．24[解析] 由频率分布直方图可得，数据在[80，90]的频率为0.015×10＝0.15，数据在[90，100]的频率为0.025×10＝0.25.又样本容量为60株，故所求为(0.15＋0.25)×60＝24(株)．19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．19．解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．8．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，图1-2是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图1-2A ．6B ．8C ．12D ．188．C [解析] 因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×35＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3 ，所以第三组有 12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.16．，[2014·山东卷] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.9．[2014·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002 C.x －，s 2 D.x －＋100，s 29．D [解析] 由题目中所给的数据可知x x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010，不妨设这10位员工下月工资的均值为y －，则y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋100010＝x －＋100，易知方差没发生变化．2．、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本2．A [解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A. 17．、[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．17．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．故所求概率为P＝310.I3 正态分布I4 变量的相关性与统计案例17．、[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．6．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 6．A [解析]由图像不难得出，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选A.7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量7．D [解析] 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.18．、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋＋，18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.I5 单元综合17．[2014·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差． 1．[2014·株洲模拟]由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 1．A [解析] 因为7.8>6.635，所以选项A 正确．2．[2014·济南期末] 为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6图X33­12．B [解析] 根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.3．[2014·长沙四校联考] 为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图X33­1所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )A ．中位数为83B ．众数为85C ．平均数为85D ．方差为193．C [解析] 易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.8．[2014·湖南长郡中学月考] 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为( )A.0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%8．C [解析] 因为K 2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．9．[2014·衡阳模拟] 已知某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．9．D [解析] 从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故选D.10．[2014·湖南师大附中月考] 某厂对一批元件的长度(单位：mm)进行抽样检测，得到如图X33­2所示的频率分布直方图．若长度在区间[90，96)内的元件为合格品，则估计这批产品的合格率是( )A ．70%B ．75%C ．80%D ．85%图X33­210．C [解析] 易知在区间[90，96)内的直方图的面积S ＝1－(0.027 5＋0.027 5＋0.0450)×2＝0.8，故合格率是80%.。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3³6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33³⎝⎛⎭⎫－33＋63³63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12³3³32³13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12³3³1²sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2³π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12³π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ²sin 2π3EC ＝2³327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12³277＋32³217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ²(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan C tan A tan C－1＝－1，所以B＝135°.14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．14．1[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．17．解：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sin B＝sin⎝⎛⎭⎫A＋π2＝cos A＝63.由正弦定理可得，b＝a sin Bsin A＝3³6333＝3 2.(2)由B＝A＋π2得cos B＝cos⎝⎛⎭⎫A＋π2＝－sin A＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝33³⎝⎛⎭⎫－33＋63³63＝13.因此△ABC的面积S＝12ab sin C＝12³3³32³13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120³222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222³2³52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ²1＋cos B 2＋sin B ²1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2³π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22³⎝⎛⎭⎫－2 55＋22³55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2³55³ ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2³⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32³35＋12³⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ²(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →²BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13³79＋2 23³4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ²cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ²cos π6＋sin 2A ²sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12³3³1²sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2³2³1³14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12³2³2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ²sin 2π3EC ＝2³327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12³277＋32³217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2²12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2³⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →²BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13³79＋2 23³4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ²DA sin A ＋12BC ²CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12³1³2＋12³3³2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°³100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°³1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。

数 学F1 平面向量的概念及其线性运算5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．15．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.7．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算4．[2014·重庆卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.1524．C [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.8．[2014·福建卷] 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)8．B [解析] 由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，能够作为基底，故选B.16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π6. 所以，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 13．[2014·陕西卷] 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．13.12[解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.F3 平面向量的数量积及应用10．[2014·北京卷] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________． 10. 5 [解析] ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5. 11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.14．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．。

数学D单元数列D1数列的概念与简单表示法17. 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n｝, ｛b n｝(b n M 0, n€ N*)满足a n b n+1 一a n+ 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.(1) 令C n= ”，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3厂，求数列｛a n｝的前n项和S n.* a n+1 a n17 .解：(1)因为a n b n+ 1 —a n+ 1b n+ 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n€ N )，所以 b + 1 —b = 2, 即卩C n一C n = 2 ,+ 1所以数列｛ C n｝是以C1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n= 2n— 1.(2) 由b n= 3n—1，知a n = (2n—1)3n—1，于是数列｛a n｝的前n 项和S n= 1 x 30+ 3X 31+ 5X 32 + •••+ (2n—1)x 3n —1, 35= 1 x 31+ 3x 32+ •••+ (2n—3)x 3n—1+ (2n —1)x 3n,将两式相减得—2S n= 1 + 2x (31+ 32+…+ 3n—1) —(2n—1) x 3n=—2 —(2n —2) x 3n,所以S n= (n—1)3n+ 1.17. ［2014新课标全国卷I ］已知数列｛a n｝的前n项和为S n, a1= 1, a n^ 0, a n a n+1=入n —1，其中入为常数.(1) 证明：a n+2—a n=入⑵是否存在入使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.17. 解：(1)证明：由题设，a n a n+1 =入n —1, a n+1a n+2 =入S1 —1,两式相减得a n + 1(a n+2 —a n)=入a 1.因为a n+ 1工0，所以a n + 2 —a n=入(2) 由题设，a1 = 1, a1a2=入1—1，可得a2= 一1,由(1)知，a3= + 1.若｛a n｝为等差数列，则2a2= a1 + a3,解得=4，故a n+ 2—a n= 4.由此可得｛a2n-1｝是首项为1，公差为4的等差数列，a2n—1= 4n—3;｛a2n｝是首项为3,公差为4的等差数列，a2n= 4n — 1.所以a n= 2n—1, a n+1 —a n= 2.因此存在入=4，使得数列｛a n｝为等差数列.17. 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1 = 3a n+ 1.1(1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3(2) 证明匸+丁+…+.a1 a2 a n 21 117.解：(1)由a n+1= 3a n + 1 得a n+1 + ? = 3 a n + -.又a1 +1 = 3,所以a n+ 2是首项为§公比为3的等比数列，所以a n+1 f，因此数n— 13列｛ a n｝的通项公式为a n= ~2~ .1 2(2)证明：由⑴知丛=3n—1.因为当n > 1 时，3n— 1 > 2 x 3n —1,1 1 12 1 所以3^ w 2x 3n_1，即a n=3nT i w 厂. 于是丄+丄+…十丄w 1+3+-+ =31 -3 <2.a1 a2 a n 3 3 2 3 21 , 1 3所以—I ------- --- ----- v二a1 a2 a n 2'22., , ［2014 重庆卷］设a1 = 1, a n+1=<a§—2a n+ 2 + b(n € N*).(1)若b = 1，求a2, a3及数列｛a n｝的通项公式.⑵若b =—1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n€ N*成立？证明你的结论.22.解：(1)方法一：a2= 2, a3= ,2+ 1.再由题设条件知(a n+ 1—1)2= (a n—1)2+ 1.从而｛(a n —1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列，故(a n—1)2= n—1,即卩a n= n— 1 + 1(n€ N*).方法二：a2= 2, a3= 2 + 1.可写为a1= 1—1 + 1, a2= 2— 1 + 1, a3= 3—1 + 1•因此猜想a n= n—1 + 1.下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n= k时结论成立，即a k= ''k—1+ 1,贝Va k+1= , (a k —1) 2+1 + + 1,这就是说，当n= k+ 1时结论成立.所以a n=甘n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设f(x) = . (x—1) 2+1 —1，贝y a n+1= f(a n).令 c = f(c), 即卩c= ( c—1) 2+ 1 —1,解得c=下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n +1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k +1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2, 即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c=;使a2n<C<a2a +1对所有n€ N*成立.4方法二：设f(x) =g ( X — 1 ) 2+ 1 —1，则a n+ 1= f(a n).先证：0w a n w 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k w 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1)w f(ak)w f(0) = ■,2—1<1.即0 w a k+1 w 1.这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n +1(n€ N*). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0)= . 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1) + 1.这就是说，当n= k+ 1时②成立•所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n< a2n —2a2n+ 2— 1 , 即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2,1因此a2n<4*③又由①②及f(x)在(一8, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n+ 1),即a2n + 1>a2n+2. 所以a2n + 1> a2n+ 1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>4・④1综上，由②③④知存在c=4使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.D2等差数列及等差数列前n项和12. _____________ 、［2014安徽卷］数列｛ a n｝是等差数列，若a1 + 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列•又a1+ 1,a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.12. ［2014北京卷］若等差数列｛a n｝满足a7+ a8+ a9>0, a7 + a10<0,则当n = ___________ 时，｛a n｝的前n项和最大.12. 8 ［解析］■/ a7+ a8 + a9= 3a8>0, a7 + a10= a8+ a9<0,，. a8>0, a9<0,「. n= 8 时，数列｛a n｝的前n项和最大.3. ［2014福建卷］等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1 = 2, S3= 12,则a6等于()A. 8B. 10C. 12D. 143. C ［解析］设等差数列｛a n｝的公差为d,由等差数列的前n项和公式，得S3= 3X 23 X 2+ 〒d= 12,解得 d = 2,贝V a6= a1+ (6 —1)d = 2 + 5X 2= 12.18. 、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n｝满足：a1 = 2，且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.⑵记S n为数列｛a n｝的前n项和，是否存在正整数n,使得S n>60n+ 800?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n｝的公差为d,依题意得，2, 2+ d, 2 + 4d成等比数列，故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d2—4d = 0,解得d = 0或d = 4.当 d = 0 时，a n= 2;当 d = 4 时，a n= 2 + (n—1) 4= 4n — 2.从而得数列｛a n｝的通项公式为a n = 2或a n= 4n — 2.(2) 当a n= 2 时，S n = 2n,显然2n<60n+ 800,此时不存在正整数n,使得S n>60n + 800成立.当a n= 4n— 2 时，S = ? = 2n .令2n2>60n+ 800,即n2—30n—400>0,解得n>40或n<—10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n + 800成立，n的最小值为41.综上，当a n= 2时，不存在满足题意的正整数n;当a n= 4n—2时，存在满足题意的正整数n,其最小值为41.20.、［2014 湖南卷］已知数列｛a n｝满足a1= 1, |a n+1—a n|= p n, n€ N*.Kru-n-HIP —fea 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以1 解得p = 3或p = 0. 31当p = 0时，a n +1 = a n ,这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.1 1 、尹<尹刊，所以 |a 2n + 1— a 2n |<|a 2n — a 2n -1|.②1 1 ,,a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n — 1) = 1 + ~ —歹 +…+［2014 •宁卷］设等差数列｛a n ｝的公差为d.若数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列,—a n ) = 2a 1d<1，所得 a 1d<0.18. 、［2014全国卷］等差数列｛a n ｝的前n 项和为3•已知a 1= 10, a 2为整数，且（1）求｛a n ｝的通项公式;18. 解：（1）由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列｛a n ｝的公差d 为整数. 又 S n w S 4，故 a 4》0, a 5 w 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 解得—d w — 5,3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. —1，其中入为常数.（1）若｛a n ｝是递增数列，且a i . 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式.20.解：（1）因为｛a n ｝是递增数列，所以 a n + 1 一 a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a i = 1，因此 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0, ⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1 —a 2n —1>0，于是 (a 2n + 1 — a 2n ) + (a 2n — a 2n -1)>0. 因为2n — 1 由①②知, a2n — a 2n —1>0，因此 a 2n — (—1) 2n a 2n — 1 = 22n -12n 因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得,a 2n + 1 —a 2n <0，故 a 2n +(—1)2n + 1由③④可知, a n +1— a n = (—1) n +2n1 — a 2n = —?2n =4+3- (—1) 2门-1故数列｛a n ｝的通项公式为(—1) 2n(—1) 2门-1 d<0 B . d>0 C . a 1d<0 D . a 1d>0C ［解析］令b n = 2a 1a n ，因为数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列，所以b n +1 2a 1a n +1b n 2a 1a n2a 1(a n +1S n W S .⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .⑵b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n1.于是 T n = b 1 + b 2 + …+ b n =-17.、 10— 3n13— 3n 3 10— 3n 10 10 (10—3n )- ［2014新课标全国卷I ］ 已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S n , a 1= 1, a n ^ 0, a n a n +1=入n⑴证明：a n + 2— a n =入⑵是否存在 入使得｛a n ｝为等差数列？并说明理由. 17. 解：⑴证明：由题设， a n a n + 1 =入 6— 1 , a n +i a n +2=入 S 1 — 1,两式相减得 a n + 1(a n +2 — a n )=入a 1. 因为a n + 1工0，所以a n + 2 — a n =入(2)由题设，a 1 = 1, a 1a 2=入 1— 1，可得 a 2= — 1, 由(1)知，a 3= + 1. 若｛a n ｝为等差数列，则 2a 2= a 1 + a 3,解得 =4，故a n + 2— a n = 4. 由此可得｛a 2n -1｝是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n—1= 4n — 3;｛a 2n ｝是首项为3,公差为4的等差数列，a 2n = 4n — 1. 所以 a n = 2n — 1, a n +1 — a n = 2.因此存在 入=4，使得数列｛ a n ｝为等差数列.19., , [2014山东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S, 比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；—4n ⑵令b n = ( — 1)n 1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a n a n +12X 119. 解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 + ~2~ x 2= 2a 1 + 2,4 x 3®= 4a 1+x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，(—1)n —14n_')(2n — 1)( 2n + 1)=2n 2n + 1.当n 为奇数时, 1+ 1 +•••—亠+亠+ 亠+亠 3 5 2n — 3 2n — 1 2n — 1 2n + 11 2n + 1=(—1)n —112n — 1 12n + 1当n 为偶数时，1V 11 1T n = 1 +1 —3+ 5 十…十 2n — 3+2n — 1 =1- 12n + 11 2n — 11 +2n + 1 S 2, S 4成等 b n = (— 1)n — 14n a n a n + 11Tn= 1 + 316.,[2014陕西卷]△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.(1) 若 a , b , c 成等差数列，证明： sin A + sin C = 2sin(A + C); ⑵若a ， b ，c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16. 解：⑴■/a , b , c 成等差数列，••• a + c = 2b. 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B.■/ sin B= sin[ n — (A + C)] = sin(A + C),• sin A + sin C = 2sin(A + C).(2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 2= ac. 由余弦定理得a 2+ c 2—b 2 a 2+c 2— ac 2ac — ac 1cos B- 2ac 2ac " 2ac 2，当且仅当a = c 时等号成立， 1• cos B 的最小值为》 11.[2014天津卷]设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列，S n 为其前n 项和.若 S 1, S 2,S 4成等比数列，则a 1的值为 ___________________ .1” - 4 X 311. —[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1+ — X (— 1) = 4a 「6, S 1, S 2, S 4成等比数列，1•- (2a 1 — 1尸=a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 = —》22. , [2014 重庆卷]设 a 1 = 1, a n +1=p a §— 2a n + 2 + b(n € N *). (1)若b = 1，求a 2, a 3及数列｛a n ｝的通项公式.⑵若b =— 1，问：是否存在实数 c 使得a 2n <c<a 2n +1对所有n € N *成立？证明你的结论. 22.解：(1)方法一：a 2= 2, a 3=, 2+ 1. 再由题设条件知(a n + 1— 1)2= (a n — 1)2+ 1.从而｛(a n — 1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列， 故(a n — 1)2= n — 1，即 a n = ^j n — 1 + 1(n € N ). 方法二：a 2= 2, a 3= 2 + 1.可写为 a 1= 1 — 1 + 1, a 2= 2— 1 + 1, a 3=、』3— 1 + 1.因此猜想 a n = n — 1+ 1. 下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n = k 时结论成立，即a k = .''k — 1+ 1,贝ya k +1 = \' (a k — 1) 2 +1 + 1 =百(k — 1) + 1 +1 = ：：/ ( k + 1) — 1 + 1, 这就是说，当n = k + 1时结论成立.所以 a n =雪n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设 f(x) = . (x — 1) 2 +1 — 1，则 a n +1= f(a n ). 令 c = f(c),即 c =( c — 1) 2+ 1 — 1,解得 c = 7.4下面用数学归纳法证明命题 2n + 2 2n + 1.所以T n =, n 为奇数,2n + 1 2n冇，n 为偶数.或 “ 2n + 蔦(—;)n—12n + 1a2n<C<a2n + 1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2,即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c= 4使a2n<C<a2a+1对所有n€ N*成立.方法—：设f(x) = '...；( X —1) 2+ 1 —1，贝U an+ 1 = f(an).先证：0w a n W 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k< 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1) w f(a k) w f(0) = 2—1<1.即0 w a k+1 w 1•这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n+ 1(n€ N ). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0) =, 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k 时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1)+1.这就是说，当n= k+ 1时②成立.所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n<:-Ja2n —2a2n+ 2—1 ,即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2 ,因此a2n<：③4又由①②及f(x)在(—g, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n +1), 即卩a2n + 1>a2n+2., _____________ 1所以a2n + 1> , a2n+1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>［. ④综上，由②③④知存在c=1使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.4D3等比数列及等比数列前n项和2. ［2014重庆卷］对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是()A. a1, a3, a9成等比数列B. a2, a3, a6成等比数列C. a2, a4, a8成等比数列D. a3, a6, a9,成等比数列2. D ［解析］因为在等比数列中a n, a2n, a3n,…也成等比数列，所以a3, a6, a9成等比数列.12. 、［2014安徽卷］数列｛a n｝是等差数列，若a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = ______ .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列.又a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.13. 、［2014广东卷］若等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a10an+ a9a12 = 2e5，贝V In a1-3. 12+ In a 2 + …+ In a 20=13.50 ［解析］本题考查了等比数列以及对数的运算性质. + a 9a i2 = 2e 5,cc二 a io a ii + a 9a i2 = 2a io a ii = 2e ,「• a io a ii = e , --|n a i + In a 2+…+ In a 2o = In(a i a 2…a 2o ) = In (a io a ii )io = In (e 5)i0= In e 50= 50.i0. ［20i4全国卷］等比数列｛a n ｝中，a 4= 2, a 5= 5,则数列｛Ig a n ｝的前8项和等于(C . 4的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列,故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2— 4d = 0,解得d = 0或d = 4.又a i + j j 所以a n + 是首项为2■，公比为3的等比数列，所以■/ ｛a ｝10. C ［解析］设数列｛a n ｝的首项为a 1, 公比为q ，根据a i q 3= 2,a i q 4= 5,解得16 a i = 125'所以 a n = a i q n 1=16n—4125，所以 Ig a n = Ig 2 + (n —4)Ig|,所以前8项的和为5 5 58Ig 2 + (— 3 — 2— 1 + 0 + 1+ 2+ 3 + 4)Ig- = 8Ig 2+ 4lg?= 4Ig 4X- = 4.18.、 ［2014湖北卷］已知等差数列｛ a n ｝满足：a i = 2，且a i , a 2, a 5成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式.⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n — 1) 4 = 4n — 2.-3.12⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 解得n>40或n<— 10(舍去),1 117. 解：(1)由 a n +1 = 3a n + 1 得 a n +1 + ? = 3 a n + —.此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41.17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n + 1= 3a n + 1. (1)证明 a n + 2疋等比数列，并求｛a n ｝的通项公式;1 1⑵证明二+ £+…+a n从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. 此时不存在正整数 n ,使得 S n >60n + 800 成立.当 a n = 4n — 2 时, S n =n[2 +( 4n — 2)] =2n 2 令 2n 2>60n + 800, 即 n 2— 30n — 400>0,an + 2 = ，因此数1 2⑵证明：由⑴知a n =3n —i.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 X 3n —1所以2+1+…+丄＜3a 1 a 2 a n 219., , [2014 •东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为S n ,且S 1, S 2, 比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵令b n = ( — 1)n—1—，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . a n a n +119. 解：(1)因为 S 1 = a 1, S 2= 2a 1 +X 2=2a 1+ 2,4 X 3 小S 4= 4a 1 + ~2~X 3= 4a 1 + 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，2 2n + 1 2n + 2 2n + 1.列｛a n ｝的通项公式为3n — 1 a n = 21 a 21 2X 3n —1 即a n =右3 132 1 ― 3n <2.S 4成等 b n = (— 1)n — 14na n a n + 1=(—1)n4n(2n — 1)~( 2n + 1) =(—1)n —11_ + _J_2n — 1 2n + 1当n 为偶数时， 1 V 1 1 丄 1T n = 1 + 3 — 3+ 5 +…+ 廿+乔1 2n — 11 2n + 11 2n + 1=2n 2n + 1. 当n 为奇数时,1Tn= 1 +31 1一 + 一+…— 1 + 1 _L + 1 2n — 3+ 2n — 1 + 2n —1+2n + 1所以a1Kru-n-HIP—fe⑵若a , b , c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16.解：(1) •/a , b , c 成等差数列，••• 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B. • sin A + sin C = 2sin(A + C). (2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 4= ac. 由余弦定理得4 3}，可得 A = {0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}.2n + 2 所以T n =2n + 1 ,n 为奇数, 2n + 1+(— 1)2n 2n + 1,n 为偶数.2n + 116.,, ［2014陕西卷］△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ，b , c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明: sin A + sin C = 2si n(A + C); a + c = 2b.■/ sin B = sin[ 7t —(A + C)] = sin (A + C),cos B =0^^ = a^2—^ , 2ac —ac2ac 2ac2ac2'当且仅当a = c 时等号成立,1• cos B 的最小值为111. ［2014天津卷］设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列, S 1, S 2, S 4成等比数列，贝y a 1的值为2,…，n 证明：若 a n <b n ，贝U s<t.=—1<0, 所以s<t.D4数列求和—a n + 1b n + 2b n +1b n = 0.(2)证明：由 s , t € A , s = a 1 + a 2q +…+ a n q n,t = b 1+ b 2q + •••+ b n q n ai ,b i € M , i=1, 2，…，n 及 a n <b n ，可得 s —1= (a 1 — b 1) + (a 2— b 2)q + …+ (a n -1 —b n -1)q n 2+ (a n — b n )q n 1 w (q — 1) + (q — 1)q + …+ (q — 1)q n —2— qn—1(q — 1)( 1 — q n —9—q n S n 为其前n 项和.若11.[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1 +X (— 1) = 4a 1 — 6, S 1, S 2, S 4成等比数列,•- (2a 1 — 1)2= a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 =—2'19.、［2014天津卷］已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M = ｛0,1 ,2,…, q — 1},集合 A = {x|x =X 1 + x 2q +•••+ x n q n —1 ,X i € M , i = 1, 2，…，n}.(1)当q = 2, n = 3时，用列举法表示集合 A.(2)设 s , t € A , s = a 1+ a 2q +…+ a n q n 1 t = b 1 + b 2q + …+ b n q n 1 ,其中a i , b i € M , i = 1,19.解：(1)当 q = 2, n = 3 时，M = {0 , 1}, A = {x|x = X 1+ X 2 - 2 + X 3 - 22, X i €M , i = 1, 17.、 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列 { a n } , {b n }(b n M 0, n € N *)满足 a n b n + 11b n = (— 1)n —14na n a n + 1 =(—1)n4n(2n — 1)( 2n + 1)=(—1)n2n — 1 + 2n + 1 'n(1)令C n =—，求数列｛ C n ｝的通项公式;(2)若 b n = 3n —1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17.解：(1)因为 a n b n +1 — a n + l b n + 2b n +l b n = 0, b n 工 0(n € N )，所以a n + 1b n + 1an= 2,即 C n + 1b n所以数列｛ C n ｝是以C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故 c n = 2n — 1.(2) 由 b n = 3n ,知 a n = (2 n — 1)3n ，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 3°+ 3X 31 + 5X 32 + …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 32 + …+ (2n — 3)x 3n —1+ (2n — 1)x 3n ,将两式相减得 —2S n = 1 + 2X (31+ 32+…+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2) x 3n ,所以 S n = (n — 1)3n + 1. 18. 、［2014且 S n W S t .(1)求｛a n ｝的通项公式;⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .18.解：(1)由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列 ｛a n ｝的公差又 S n W S 4,故 a 4> 0, a 5< 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 10 5解得一d W — 5, 3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. (2) b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n.于是 T n = b 1 + b 2 +7- 110 +10— 3n 13— 3n 3 10— 3n 1010 (10—3n )'19., ［2014 •东卷］已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S,S 2, S 4成等比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式;⑵令 b n = ( — 1)n 4n a n a n +1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .19.解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 +2X 1x 2= 2a 1+ 2,S 4= 4a 1 +x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1,所以 a n = 2n — 1. (2)由题意可知,=1 +1 —2 4+ 3当n 为偶数时,2n当n 为奇数时,2n + 1 2n + 22n + 120. 、［2014 湖南卷］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, |a n +1— a n |= p n , n € N .因为2n — 1 由①②知, a 2n —a 2n —1>0，因此 a 2n — a 2n —1 = (—1) 2n因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得, a 2n + 1 由③④可知,a n +1— a n =(—1)n +2n22 n —1—a 2n <0，故 a 2n + a 2n =— 2n(—1)?2n2n + 1T n = 1 + 1 1 3+ 52n — 3+ 2n - 12n — 1 + 2n + 1=1-2n + 1 T n = 1 + § ―1+ 12n — 3 + 2n — 12n — 12n + 12n + 2 所以T n =2n + 1‘ n 为奇数, 2n + 1 +(—1) 2n 2n + 1'n 为偶数.2n + 1D5单元综合 (1)若｛a n ｝是递增数列，且 a 1, 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式. 20、解：(1)因为｛a n ｝是递增数列，所以a n + 1 — a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a 1 = 1，因此a 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0,1解得p = 3或p = 0.3当p = 0时, a n +1 =a n ,1这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1— a 2n —1>0，于疋 (a 2n +1 — a 2n )+ (a 2n — a 2n —1)>0.①(—1) 2“-1=1 +1 —24+31 亠a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n T ) = 1 + ? — ?2 + …+(—1)故数列｛a n ｝的通项公式为 a n = (—1)2*-121. 、［2014安徽卷］设实数c >0,整数p > 1, n € N *.⑴证明：当 x >— 1 且 X M 0 时，(1 + x)p> 1 + px ;21.证明：(1)用数学归纳法证明如下.①当p = 2时，(1 + x)2= 1 + 2x + x 2>1 + 2x ，原不等式成立. ②假设p = k(k > 2, k € N *)时，不等式(1 + x)k >1 + kx 成立. =(1 + x)(1 + x)k >(1 + x)(1 + kx)= 1 + (k + 1)x + kx 2>1 + (k + 1)x.所以当p = k + 1时，原不等式也成立.综合①②可得，当x>— 1, X M 0时，对一切整数1 c .1 +"a p— 5.5由此可得，f(x)在［c-,+8 )上单调递增,p1⑵数列｛ a n ｝满足a 1 > cp , a n +1 =pa n + pa n —p，证明: a n > a n +1 > c p. ⑵方法一：先a n >C_. p1①当n =1时，由题设知a1>c 1成立.②假设n = k(k > 1, k € N *)时，不等式 a k > c p 成立. 由 a n + 1 =P — 1丄 c 1a n + a n p p 易知 a >0,当n = k + 1时,a k +1p — 1 , c = +_a kpa k p当 p = k + 1 时，(1 + x)p>1，不等式(1+ x)P >1 + px 均成立.由 a k >cr>0 得一 1< 一 <一-p a p -1<0.由(1)中的结论得 a k +1a k 1+pOr 1>1 + p •—ap.因此a p + 1>c,即a k +1>c —,所以当n = k + 1时，不等式1 an >cp 也成立.综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n >c1均成立.再由a n +1a na p可得a n + 1a n<1,即a n+ 1<a n.因而，当1 1 1 x莓时，蚀>%)=c p.综上所述, a n> a n+1 >Cp ,n€ N*方法二：设f(x)=x+px11x> c1，贝y x p> c,p所以f'x)=p—1 c+p(1 —p)xp—J _c1 —x p >°.Kru-n-HIP —fe1①当n = 1时，由a 1>c _>0 ,即卩a 1>c 可知 p1故当n = 1时，不等式a n >a n +1>c~成立. P所以当n = k + 1时，原不等式也成立.(1)求数列｛a n ｝的通项公式. 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列, 故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2- 4d = 0,解得d = 0或d = 4.解得n>40或n<— 10(舍去),a 2 =p -1 C 1—p 1 c 彳a1+ p a1 p = a1 1 + paT 11<a 1，并且 a 2= f(a 1)>cp ，从而可得 a 1 >a 2②假设n = k(k > 1,k € N *)时，不等式 1)>f(cp),即有a k + 1>a k +2>「p综合①②可得，对一切正整数n ,不等式 a n >a n + 11 >C-均成立. p18.、、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n ｝满足: a 1 = 2，且 a 1, a 2，a 5成等比数列. ⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n ,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n - 1) 4 = 4n — 2.从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. ⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 此时不存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立. 当 an = 4n — 2 时,n[2 +( 4n — 2)]=2n 2令 2n 2>60n + 800,即 n 2— 30n — 400>0,此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41. ,则当 n = k + 1 时，f(a k )>f(a k + a k > a k +1>、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n ｝, ｛b n ｝(b n M 0, n € N *)满足a n b n +1—a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0.+ …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 睜 + …+ (2n — 3)x 3n —1—2S n = 1 + 2X (31+ 32+-+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2)x 3n ,所以S n = (n — 1)3n + 1. 17.、(1)令 C n =a nbn'求数列｛c n ｝的通项公式; (2)若 b n = 3n —1 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17 .解：(1)因为 a n b n + 1 — a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n € N )，所以a n +1 a nb n + 1b n=2, 即 卩 C n1所以数列｛C n ｝是以 C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n = 2n — 1.(2)由 b n = 3n —1 ，知 a n = (2n — 1)3n —1，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 30 + 3X 31 + 5X 32 + (2n — 1)x 3n ,将两式相减得17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 = 3a n + 1.1 , 3 t , n2T n = 1+ 2 + 歹+…+盯，因此，2T n — T n = 1 + 1 + 2^+…+ 21—1-加 2 —十—加 2n 219. [2014浙江卷]已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足a£2a 3…a n = ( . 2)b n (n € N *).若｛a n ｝为等比 数列，且 a 1 = 2, b 3= 6 + b 2.sV1 (1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式; 1 1 1 3(2) 证明一 +—+•••+—<；.a 1 a 2 a n 21 1 17.解：(1)由 a n +1= 3a n + 1 得 a n +1 + ㊁=3 a n +2 .1 3 1 3又a 1 + = 2，所以a n +1是首项为3■，公比为3n— 1列｛a n ｝的通项公式为a n =1 3n3的等比数列，所以a n + 2 = 3，因此数 1⑵证明：由⑴知乳=3n —1.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 x 3n —1,I I 1所以 3n — 1w 2X 3n —1，即 a n = 3n — 1w 3n —1.于是丄+1+…+丄＜ 1+3+…+尙=21— a 1 a 2 a n 3 3 2丄 3耳＜2.所以丄+1 +…+ -＜3. a 1 a 2 a n 219., (n € N *).(1)若 [2014四川卷]设等差数列｛a n ｝的公差为d ，点(a n , b n )在函数f(x) = 2x 的图像上a i =— 2,点(a 8, 4b 7)在函数f(x)的图像上，求数列｛a n ｝的前n 项和S n ； ⑵若1 a na 1= 1，函数f(x)的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2 —花，求数列 厶的前n 项和T n .19.解：(1)由已知得，b 7= 2a 7, b 8= 2a 8= 4b 7，所以 2a 8= 4 x 2a 7 = 2a 7+ 2，解得 d = a 8— a 7= 2,n (n — 1)所以 S n = na 1 + d = — 2n +n(n — 1) = n 2— 3n.⑵函数f(x)= 2x 在点(a 2, b 2)处的切线方程为 y — 2a 2= (2a 2ln 2)(x — a 2), 其在X 轴上的截距为a 2—爲.1 1由题意有a 2— = 2 — ，解得a 2= 2.所以 d = a 2 — a 1= 1. 从而 a n = n , b n = 2n ,a n n_ 所以数列｛和的通项公式为b n = 2n , 所以Tn =1+釘討…+F?+2n ,2nn + 1 所以，T n =2— n — 22n(1)求 a n 与 b n .1 1 *⑵设C n = — — b (n € N ).记数列｛C n ｝的前n 项和为S n . (i) 求 S n ；(ii) 求正整数k ,使得对任意n €均有S k > S n . 19. 解：(1)由题意 a£2a 3 …a n = (,2)b n , b 3 — b 2= 6, 知 a 3= Cj 2)b 3 — b 2= 8.又由a 1 = 2，得公比q = 2(q =— 2舍去)，所以数列｛a n ｝的通项为 所以，a 1a 2a 3…a n = 2“(叮 ° = ( . 2)n(n+"_ *€ N ).2门 、 2：所以，当n > 5时，C n <0. 综上，若对任意 n € N *恒有S k >S n ,则k = 4.4. [2014 •州调研]已知数列｛a n ｝满足a 1 = 5，a n +1 =乙^打，n € N *.a n = 2n (n €2 故数列｛b n ｝的通项为b n = n(n + 1)(n € N *).11111(2)(i)由(1)知 c n = a ；— b ；=列n n + 1(n € N *).(ii)因为 C 1= 0, C 2>0, C 3>0, 1当n > 5时，C n而n （n +1）2nn (n + 1)(n + 1)( n + 2) C 4>0 ,n (n + 1)—1 ,2n(n + 1)( n — 2)得 n ( n + 1)三 5X( 5 + 1)3. [2014闽南四校期末]若数列｛a n ｝的前n 项和为2 1S n = ?a n + "3,则数列｛a ｝为( A .B .C )a n =— 2n 1 a n = (— 2)n —1 a n = (— 2)n a n =— 2n2B ［解析］由 a n = S n — &i -1(n > 2),得 a n = _a n — ^a nT ..，. a n ==(—2)n —1(n >2).又 a 1 = (— 2)1—1 = 1，二 a n = (— 2)n —1.3. —2a n -1.又 a i = 1 ,「• a n a n *6. ［2014南昌联考］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 =匚卫(n € N ).若 b n + 1 = (n —1 ,Z 0_ +1 , a n . b 1=— Z,且数列｛b n ｝是递增数列，则实数 入的取值范围为（ C . 6. v 2 B .入〉3 > 2 D .入v 31 2 1 1［解析］易知—=2 + 1，•— + 1 = 2- + 1."1 J a a a a n + 1 1 1 —又 a 1= 1 ,•••：+ 1 =7+ 12n 1= 2n ,. b n +1 = (n —入)2,' a n a 1 ' '• b n +1 — b n = (n —入)2~ (n — 1 —入)2 1 = (n —入 + 1)2n 1 >0, n —入 + 1 > 0.又 n € N ，二 Z 2.1（1）求证：数列一1为等比数列.a n⑵是否存在互不相等的正整数m, s, t，使m, s, t成等差数列，且a m—1, a s—1, a t —1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m, s, t;如果不存在，请说明理由.m+1+ 2 X 3m + 2 X 3t = 32s + 4 X 3s因为 m + t = 2s ,所以 3m + 3t = 2X 3s . 这与m , s , t 互不相等矛盾,(1)求a 1及数列｛a n ｝的通项公式; 即(a n — 1)2— a 2—1 = 0,所以数列｛a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列,4.解：⑴证3a n 2a n + 1 ，所以a n + 1 3a n所以a n +13a n1.3因为a1 = 5,所以 a 1所以数列 a n2 11是首项为3，公比为£的等比数列.3 3 1 (2)由(1)知，a ；—1= 2X ]n -1 2 3 3 3n ，所以a n = 3n3n + 2假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件,则有m +1 = 2s ,(a s — 1) 2=( a m — 1) (at — 1).由a n = 3n3“+ 2 与(as — 1)2 =(a m — 1)(a t — 1), 3s 2_3m3t3s + 23m + 23t + 2 —1, 又 3m + 3t > 23m+1= 2 X 3s ,当且仅当m = t 时，等号成立,所以不存在互不相等的正整数m , s ,t 满足条件. 2. [2014景德镇质检]已知递增数列、卄1 2{a n }满足 a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n = 2(a n + n).⑵设c n = a n + , n 为奇数,a n —1 • 2 a n — 1 + 1, n 为偶数, 求数列｛ C n ｝的前2n 项和T 2n . 2.解：(1)当 n = 1 时，a 1=*(a 2+ 1)，解得a 1 = 1. a1 + a 2+ a 3+…+ a n — 1=*(a 2—1 +—1),a 1 + a 2 + a 3+…+ a n = 1 22(a n + n),所以a n =詁2—a n - 1+ 1),所以 a n — a n —1 =1 或 a n + a n —1 = 1(n 》2).又因为数列｛a n ｝为递增数列，所以 a n —a n —1 = 1,则 T 2n = (2 + 4 + …+ 2n)+ [1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1)x 22n —1] + n = n(n + 1) + [1 x 21 +3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1记 S n = 1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1,① 则 4S n = 1X 23+ 3X 25+…+ (2n — 1) X 22n +1 由①一②，得—3S n = 2 + 24+ 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1,所以a n = n.(2)由 C n a n + , n 为奇数, a n —1 • 2a n — 1 + 1, n 为偶数, 得C n =n + 1,n 为奇数, (n — 1) 2n —1+ 1, n 为偶数,]+ n. •②=22 + 24 + 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1 — 2, 4(1 — 4n ) 所以一3S n = 4(: 41 — 4 4 (1 — 4n )卜 —(2n — 1)2 2n +1— 2,所以S n = (2n — 1) 22n +1 9即 S n =( 6n - 5)22n +1 2卜2, 9 罟故 T 2n = g 5)22n +17. 比数列, 2 c 109 " + 2n +［2014福建闽南四校期末］已知数列｛ a n ｝是公差为2的等差数列，且a 1, a 2, a 5成等 则a 2的值为( 3A ［解析］T a 1, A . 7. 二 a 2= (a 2— 2)(a 2 + 6)，解得 a 2= 3.)2 D . — 2 a 2, a 5成等比数列，a 2= a 1 - a 5, 10. ［2014郑州质检］已知各项不为0的等差数列｛a n ｝满足a 4— 2a 7 + 3a 8= 0,数列｛b n ｝ 疋等比数列， A . C . 10. 且 b 7= a 7,贝U b 2b 8bn 等于(B . D . ［解析］由已知，得 2a 2= a 4 + 3a 8= a 1+ 3d + 3a 1+ 21d = 4a 1 + 24d = 4(a 1 + 6d)= 4a 7, 2n , D ••• a 7= 2 或 a 7 = 0(舍去), 二 b 7= 2,「. b 2b 8bn = b 1q - b 1q 7 • b 1q 10= b 3q 18 = (b 1q 6)3= b 3= 8. 17. ［2014温州十校联考］1 n € N *，数列｛a n ｝满足 a n + 1 (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵记b n = , a n a n +1,求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 已知二次函数f(x)= ax 2+ bx 的图像过点(一4n , 0)，且f ' (0= =f '丄，且 a 1= 4. a n 17.解： 由题意知 f ' (0) b = 2n , 16n 2a — 4nb = 0, 1• • a = _, 2，1又数列｛a n ｝满足 1 *b = 2n ,「. f(x) = 2X 2+ 2nx , n € N *. 1 f '—, f'x) = x + 2n ,a n +1 a n11 门=一+ 2n , a n +1 a n1 1 c =2n. a na n + 1 1 1由叠加法可得 a n -4= 2+ 4 + 6i ・+ 2(n - 1) = n2- n ，化简可得 a n =(2n — 1)2(n >2). 当 n = 1时，a1= 4 也符合上式，•• a n = ~2(n € N ).=2-1(2n — 1)( 2n + 1) 2n — 1 2n + 1 b n =. a 1a 2+ Ja 2a 3+・・・+ ‘叮 a n a n +1 =1 1 1 4n (2) ■/ b n = . a n a n +1 = --T n = b 1 + b 2+…+11 1 ,,21—：+7—2+…+3 3 5=21 — 2n — 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1'1 3 1 3所以|a2n+ 1—a2n|<|a2n —a2n —11.②2n。

N 单元 选修4系列15．[2014·某某卷] (几何证明选讲选做题)如图1­3所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．图1­315．9 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方． ∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ∽△CDF ，∴△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.15．[2014·某某卷] (选修4­1：几何证明选讲)如图1­3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若．15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝PA ＝2QA ＝4.12．[2014·某某卷] 如图1­3所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．12.32[解析] 设圆的半径为r ，记AO 与BC 交于点D ，依题可知AD ＝1.由相交弦定理可得1×(2r －1)＝2×2，解得r ＝32.22．[2014·某某卷] 选修4­1：几何证明选讲如图1­7所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上—点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4­1：几何证明选讲如图1­6，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图1­6(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4­1：几何证明选讲如图1­4，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.22．证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ， 故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ， ∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2. 15．[2014·某某卷]图1­3B ．(几何证明选做题)如图1­3，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．15． B ．3 [解析] B ．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AE AC ＝EF BC.因为AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.6．[2014·某某卷]图1­2如图1­2所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①② B．③④C．①②③ D．①②④6．D [解析] 如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.∵ABBD＝AFBF，∴AB·BF＝AF·BD.∵AFBF＝BFDF，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．14．[2014·某某卷] 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．14．4 [解析] 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得PA2＝PB·PC＝PB·(PB ＋BC)，即36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3，∴PC＝12.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴ABCA＝PBPA，即AB＝PB·CAPA＝3×86＝4.21．[2014·某某卷] (Ⅰ)选修4­2：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵．(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．21. (Ⅰ)解：(1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且||A－1＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2 －1－1 2＝.(2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1)是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11)是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．13．[2014·某某卷] 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．13．3 [解析] 将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4.∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)．4．[2014·某某卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214C. 2 D ．2 24．D [解析] 直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程是(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝2 2.3．[2014·卷] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上3．B [解析] 曲线方程消参化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线y ＝－2x 上．21． [2014·某某卷](Ⅱ)选修4­4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，某某数a 的取值X 围． 21. (Ⅱ)解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，解得－25≤a ≤2 5. 14．[2014·某某卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．14．(1，1) [解析] 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C 1的方程ρsin2θ＝cos θ化为直角坐标方程为y 2＝x ，将曲线C 2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1，1)．16．[2014·某某卷] (选修4­4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1.11．[2014·某某卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．11．ρcos θ－ρsin θ＝1 [解析] 依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.11．[2014·某某卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π411．(2)A [解析] 依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，整理得ρ＝1cos θ＋sin θ.因为0≤x ≤1，所以 0≤y ≤1，结合图形可知，0≤θ≤π2.23．[2014·某某卷] 选修4­4：坐标系与参数方程 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.23．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4­4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 15．[2014·某某卷] C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．15．C ．1 [解析] C ．点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsinθ＝2sin π6＝1，即点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsin π6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.自选模块2．[2014·某某卷] (1)在极坐标系Ox 中，设集合A ＝{(ρ，θ)|0≤θ≤π4，0≤ρ≤cos θ}，求集合A 所表示区域的面积；(2)在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos π4，y ＝t sin π4(t 为参数)，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，其中a ＞0.若曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值X 围．解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝ρcos θ.化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.所以集合A 所表示的区域为：由射线y ＝x (x ≥0)，y ＝0(x ≥0)，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为π16＋18.(2)由题意知，直线l 因为曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，故对θ∈R ，有a cos θ－2sin θ＋4＞0恒成立，即a 2＋4cos(θ＋φ)＞－4⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝2a 恒成立，所以a 2＋4＜4.又a ＞0，得0＜a ＜2 3. 15．[2014·某某卷] 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．15. 5 [解析] 由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝ 5.21．[2014·某某卷](Ⅲ)选修4­5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 21. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．、[2014·某某卷] 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1308．D [解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据X 围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 25×23种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 35×22种方法；当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 45×2种方法．故总共有C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130种方法， 即满足题意的元素个数为130.9．[2014·某某卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 9．(－∞，－3]∪[2，＋∞) [解析] 本题考查绝对值不等式的解法．|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x ≤－3或x ≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．13．[2014·某某卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．13．－3 [解析] 依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5 ，而－53＜x ＜13，即－1＜－3x ＜5，所以a ＝－3.11．[2014·某某卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(1)C [解析] 易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.24．[2014·某某卷] 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.24．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4­5：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.24.解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝ 2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值X 围．24．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.15．[2014·某某卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．15．A. 5 [解析] A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2的最小值为 5.自选模块1．[2014·某某卷] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1； 当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．16．[2014·某某卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．16.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [解析] 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则①当x <－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1>5；②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3，故52≤f (x )≤5；③当x >12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1>52.综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需a 2＋12a ＋2≤52，解得－1≤a ≤12.1．[2014·某某模拟] 已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( )A ．2 B.4 55＋1C ．1 D.4 55－11．D [解析] 易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝4 55－1.4．[2014·株洲模拟] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为________．4．2 [解析] 由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为一般方程x 24＋y 23＝1，直线C 2的极坐标方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为普通方程x －y ＋1＝0.联立两个方程，消去y 可得x 24＋（x ＋1）23＝1，即7x 2＋8x －8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．5．[2014·某某长郡中学月考] 在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a ＞0，θ为参数)．若圆C 1与圆C 2外切，则实数a ＝____________． 5.2[解析] 依题意，ρ＝4 2cos θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，即该圆的圆心为C 1(2，2)，半径r 1＝2 2.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a >0，θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，即圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝a .由丙点间两圆外切可得|C 1C 2|＝3 2＝2 2＋a ，所以a ＝ 2.6．[2014·某某模拟] 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) [解析] 由曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其普通方程为x2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．7．[2014·某某雅礼中学月考] 已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心的距离为____________．7．2 3 [解析] 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0，2)，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(2 3，2)，由两点间距离公式可得d ＝（2 3）2＋（2－2）2＝2 3.8．[2014·某某十三校联考] 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为________．8．1 [解析] 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1，0)，代入直线y ＝x－a 可得a ＝1.9．[2014·某某师大附中月考] 在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(2，π)，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2，则点A 到直线l 的距离是____________．9．2 2 [解析] 由题意，直线l 的极坐标方程为ρsin θcos π4＋cos θsin π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.又点A 的直角坐标为(－2，0)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|－2－2|2＝2 2.。

数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－126．A [解析] 由已知可得，f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 5π6＝12.2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论准确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C [解析] 由x 2－x >0，得x >1或x <0.3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C.B2 反函数 12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论准确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．21．、[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)． 12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．12．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存有一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存有a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①准确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存有M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存有a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存有一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存有一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③准确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存有正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④准确． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，所以g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存有零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存有零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 所以x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．B4 函数的奇偶性与周期性7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论准确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．C [解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. 3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中准确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 3．C [解析] 因为偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故准确选项为C.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.B5 二次函数16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．B6 指数与指数函数 4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像准确的是( )图1-1A BC D图1-24．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不准确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像准确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不准确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不准确．3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－13．A [解析] g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .2．，[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 2．C [解析] 根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定准确，故选D. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x7．B [解析] 因为f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 11．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．11.10 [解析] 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10.B7 对数与对数函数 5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定准确，故选D.3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像准确的是( )图1-1A BC D图1-24．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不准确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像准确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不准确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不准确．13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a3．C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)4．D [解析] 要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )AC 图1-2 图1-27．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．12．－14 [解析] f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14.B8 幂函数与函数的图像 4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像准确的是( )图1-1A BC D图1-24．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，则其函数图像不准确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像准确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不准确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不准确．10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.所以，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.B9 函数与方程10．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存相关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎫－e ，1e10．B [解析] 依题意，设存有P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．14．(0，1)∪(9，＋∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.6．[2014·浙江卷] (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >96．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.B10 函数模型及其应用 8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－18．D [解析] 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .B11 导数及其运算 18．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p 成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn 易知a n >0，n ∈N *.当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －pk ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫ca p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 所以a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．20．、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存有x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存有x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ，由(2)知，当x >0时，ex>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，所以，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .所以，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .10．、[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x1－2x<0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存有x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证． 19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，所以，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.B12 导数的应用 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，所以g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存有零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存有零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 所以x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． 18．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．18．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存有唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下：因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π.综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.20．、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存有x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 故当x >0时，x 2<c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .②若0<c <1，令k ＝1c >1，要使不等式x 2<c e x 成立，只要e x >kx 2成立．而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x.所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存有x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c ，由(2)知，当x >0时，ex>x 2，所以e x＝e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22，当x >x 0时，e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22＝1c x 2，所以，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3<e x .证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x >0时，x 2<e x ，从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝－1<0，即13x 3<e x .取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13x 3<e x .所以，对任意给定的正数c ，总存有x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .21．、[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)． 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．。