一亿以内的质数表(三)

一、 质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数)。

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。

要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。

质数有无限多个。

最小的质数是2。

合数有无限多个。

最小的合数是4。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个;除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。

这也是很多题解题思路,需要大家注意。

二、 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q （均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数,用这些质数去除p ,如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、 约数、公约数与最大公约数概念(1）约数：在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数;（2）公约数：如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数;知识框架质数合数、约数倍数(4)0被排除在约数与倍数之外1. 求最大公约数的方法● 分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；● 短除法:先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；● 辗转相除法:每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=;28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数;②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4. 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数四、 倍数的概念与最小公倍数1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数.2. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=;短除法求最小公倍数；例如：2181239632 ，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；[,](,)a b a b a b ⨯=． 3. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a即为所求．例如:35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；(2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第三单元：质数和合数专项练习一、填空题。

1．分一分，把下列各数填入相应的括号内。

1，25，37，39，44，61，94，82，178，111偶数：( )；质数：( )；合数：( )。

【答案】 44，94，82，178 37，61 25，39，44，94，82，178，111【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1；（2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。

【详解】偶数有：44，94，82，178；质数有：37，61；合数有：25，39，44，94，82，178，111。

【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义是解答题目的关键。

2．一个质数有( )个因数，一个合数至少有( )个因数。

【答案】 2 3【分析】一个数（0除外）的因数只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；一个数（0除外）除以1和它本身以外还有其他的因数，这样的数就是合数，所以一个质数有2个因数，一个合数至少有3个因数。

【详解】由分析可知：一个质数有2个因数，一个合数至少有3个因数。

【点睛】本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。

3．20以内的所有自然数中，既是偶数又是质数的是( )，既是奇数又是合数的是( )。

【答案】 2 9和15【分析】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，根据以上定义对20内的数进行分类即可。

【详解】20以内的所有自然数中，既是偶数又是质数的是（2），既是奇数又是合数的是（9和15）。

【点睛】本题主要考查质数与合数、奇数与偶数的定义。

4．既是偶数又是质数的数是( )，10以内的既是奇数又是合数的数是( )。

质数与合数A知识点拨一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑴ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲例题1 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山例题2 著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。

【巩固】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【巩固】 (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？．【巩固】 (2004年全国小学奥林匹克)自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【巩固】 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.【巩固】 A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.【巩固】 已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【巩固】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba ，其中a b ≠，而且ab 和ba 都是质数(a 和b 是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【巩固】 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【巩固】 (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【巩固】 (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【巩固】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【巩固】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【巩固】 从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？【巩固】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................【巩固】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.【巩固】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【巩固】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【巩固】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【巩固】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？模块二、分解质因数【巩固】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【巩固】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.【巩固】把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

沪教版数学三年级知识点篇1：沪教版数学三年级知识点一、年月日：一三五七八十腊(12月)，三十一天永不差;四六九冬(11月)三十日;平年二月二十八，闰年二月把一加。

二、100以内的质数口诀：2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，(十九、二三、二十九)31、37、41，(三一、三七、四十一)43、47、53，(四三、四七、五十三)59、61、67，(五九、六一、六十七)71、73、79，(七一、七三、七十九)83、89、97。

(八三、八.九、九十七)三、多位数读法歌：读数要从高位起，哪位是几就读几，每级末尾若有零，不必读出记心里，其他数位连续零，只读一个就可以，一万结尾读一万，一亿结尾读一亿。

四、多位数写法歌：写数要从高位起，哪位是几就写几，哪一位上没单位，用0占位要牢记。

五、多位数大小比较歌：位数不同比大小，位数多的大，位数少的小，位数与大小相同，高位已知。

数学学习方法技巧追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间=追及路程÷(快速-慢速)追及路程=(快速-慢速)×追及时间例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?例2小明和梁肖在200米环形跑道上跑步。

小明跑了40秒。

他们同时从同一个地方出发，朝同一个方向跑。

小明第一次赶上梁肖时跑了500米。

梁肖每秒的速度是多少？例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

小学五年级数学公开课教案《找质数》教学设计及反思一、教材依据：九年义务教育六年制小学数学北师大版五年级上册第一章“找质数”。

二、设计思路：本节教材按前一节“找因数”的编写思路编写而成，用小正方形拼长方形的方法，引导学生认识质数和合数。

教材用“12个小正方形拼长方形”作为示范，引导学生继续拼长方形，找出2到12各个数的全部因数，并填入表中进行观察和分析。

引导学生发现有的只能拼一种长方形，这样的数只有1和它本身两个因数，有的能拼两种或以上长方形，这样的数有两个以上因数。

在讨论交流的基础上，将这些数分为两类，以揭示质数和合数的意义，进而认识1既不是质数也不是合数。

本节课是在学生已经掌握了2、3、5的倍数的特征、熟练找一个数的因数的方法和初步掌握了合作交流的学习方法的基础上进行教学的。

质数和合数的意义比较抽象，找质数不象找奇数、偶数和找因数那样规律性强，因此学生接受起来会很困难，因此在教学时要注重找质数的方法的多样性和灵活性。

本节课我本着以人的发展为本的教学理念，着眼于学生的可持续发展，注重教学目标的多元化，在价值目标取向上不仅仅局限于学生获得一般的解决问题技能，更重要的是让学生在数学学习过程中感受到数学自身的魅力，获得数学的基本思想，了解数学的价值，体验问题解决的过程。

三、教学目标：1、在用小正方形拼长方形的活动中，经历探索质数和合数的过程，理解质数和合数的意义，并能判断一个数是质数还是合数，会把非0自然数按因数的个数进行分类。

2、培养学生自主探索，独立思考、合作交流的能力。

3、在研究质数的过程中丰富对数学发展的认识，培养学生敢于探索科学之谜的精神，充分展示数学文化的魅力。

四、教学重点：经历探索质数和合数的过程，理解质数和合数的意义。

五、教学难点：判断一个数是质数还是合数的方法。

六、教学准备：多媒体课件。

七、教学过程：以著名的“哥德巴赫猜想”引入。

同学们，你们听说过“哥德巴赫猜想”吗？其实在老师小的时候就听说有人把“哥德巴赫猜想”比作数学王冠上的一颗明珠。

一、年月日一三五七八十腊（12月），三十一天永不差；四六九冬（11月）三十日；平年二月二十八，闰年二月把一加。

二、100以内的质数口诀2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，(十九、二三、二十九）31、37、41，（三一、三七、四十一) 43、47、53,（四三、四七、五十三）59、61、67,（五九、六一、六十七) 71、73、79，（七一、七三、七十九）83、89、97。

（八三、八九、九十七)三、多位数读法歌读数要从高位起，哪位是几就读几，每级末尾若有零,不必读出记心里，其他数位连续零，只读一个就可以,万级末尾加读万，亿级末尾加读亿。

四、多位数写法歌写数要从高位起，哪位是几就写几，哪一位上没单位，用0占位要牢记。

五、多位数大小比较歌位数不同比大小，位数多的大，位数少的小，位数相同比在小，高位比起就知道.六、运算顺序歌打竹板,响连天，各位同学听我言,今天不把别的表，单把四则运算聊一聊，混合试题要计算，明确顺序是关键。

同级运算最好办，从左到右依次算，两级运算都出现,先算乘除后加减。

遇到括号怎么办,小括号里算在先，中括号里后边算，次序千万不能乱，每算一步都检查,又对又快喜心间七、“除”的意义看到“除”，圈一圈，“除”字前面是除数，“除”字后面被除数，位置交换别忘了八、商中间或末尾有0的除法我是0,本事大,除法运算显神通。

不够商1我来补，有了空位我就坐。

别人要想把我除，常胜将军总是我.九、认识钟表跑的最快是秒针，个儿高高，身材好；跑的最慢是时针，个儿短短，身材胖.不高不矮是分针，匀速跑步作用大十、量角中心对顶点0线对一边，一边读刻度内外要分辨十一、计量单位间的换算大化小，用乘好。

小化大,除不差.十二、大月、小月的记忆：七前单月大，八后双月大.十三、我是1厘米1厘米,很淘气,仔细找，才见你。

指甲盖1厘米,伸出手指比一比。

长短和我差不多，大约就是一厘米. 100个我是1米,我是米的小兄弟, 物体长了别用我，要不一定累死你.十四、大于号、小于号的用法大于号、小于号。

1. 利用质数、合数的性质解题．2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p (均为整数)，使得p 能够整除P ，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P ，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P ，如没有能够除尽的那么P 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.第6讲质数、合数3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大4． 找n 个连续合数的方法方法一：(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．方法二：[2,3,4,5,,,(1)]n n ++，[2,3,4,5,,,(1)]3n n ++ ，[2,3,4,5,,,(1)]4n n ++ ， ，[2,3,4,5,,,(1)]n n n ++ ，()[2,3,4,5,,,(1)]1n n n +++ (其中[2,3,4,5,,,(1)]n n + 表示2，3，4，，n ，1n +的最小公倍数)【例 1】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？【分析】 P 是质数，2P 必定是合数，而且大于1．又由于21P +是质数，2P 大于1，21P +一定是奇质数，则2P 一定是偶数．所以P 必定是偶质数，即2P =．55199721997P +=+321997=+2029=［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k =时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：利用质数、合数性质解题［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ． ［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如图．【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1)(1)12b c --=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的b =2、c =13或b =3、c =7或b =4、c =5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．即共有10种不同的方法．［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质34765892数是314159．【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？【分析】 “L 数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L —质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L —质数”是31．【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．【分析】 设这个四位数为abcd ，由题目可知，10a d +=，2d =，所以8a =，四位数是82bc根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得72|82bc ，9|82bc ，即9|(82)b c +++．可以得到9|(1)b c ++．所以b c +的结果有两种可能：8b c +=，17b c +=．bc 可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数． 又因8|2,2100102(968)(422)bc bc b c b c b c =++=++++所以8|422b c ++(968b c +是8的倍数)．把17，53，89代入上式：不能满足8|422b c ++，只有71可以满足上式：8|47212⨯+⨯+【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有 ．【分析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即11⨯101=1111， 11⨯131=1441，11⨯15l =1661．［铺垫］ (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba ，其中a b ≠，而且ab 和ba 都是质数(a 和b 是两个数字)．具有这种形式的数共有 个．［分析］ 若两位数ab 、ba 均为质数，则a 、b 均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．［拓展］ 如果某整数同时具备性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5．我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是 ．［分析］ 条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．【例 8】 一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】 显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．［拓展］ 有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？［分析］ 首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有5-1=4个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．【例 9】 把1988分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是 ．【分析】 如果拆成的数中有1，则将1加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有1；如果拆成的数中有不小于5的数a ，由于3(3)290a a a --=->，即3(3)a a ->，所以将a 再拆成3与3a -会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于5的数；如果拆成的数中有4，由于42222=+=⨯，所以可以将4再拆成两个2，这样乘积不变所以；拆成的数应全为2和3．又因为22233++=+，22233⨯⨯<⨯，所以，如果出现3个以上的2，将3个2换成2个3会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有2个2，其余的全为3．而198836622=⨯+，所以应将1988拆分成662个3和1个2，这时其乘积最大．而此时乘积只有3和2这两个不同的质因数，所以答案是325+=．总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大［巩固］ 若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？［分析］ 2005÷3=6681 ，则拆成：667232⨯．【例11】 将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】 拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果234(1)n a ++++-< ，而234(1)n n a ++++-+≥ ，则234(1)n n ++++-+ 与a 的差只可能为0，1，2，…，1n -．①当差为0时，将a 拆成234(1)a n n =++++-+②当差为1时，将a 拆成34(1)a n n =+++-+③当差为2，3，…，n -1中的数时，就将该数从2，3，…，n -1，n 中删除，其余数即为所拆之数．本题中234567835++++++=，比30大5，故将5去掉，30被拆成234678+++++质数、合数的灵活拆分［巩固］(2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播．A．7天B．8天C．9天D．10天［分析］由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又123456728++++++=，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．【例11】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【分析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【分析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数 第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3， ，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3， ，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4， ，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4， ，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数 11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，4 11的最小公倍数27720，分别加上2，3，4 11，得出十个连续自然数27722，27723，27724 27731，他们分别是2，3，4 11的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11++++(其中n！=1⨯2⨯3⨯ ⨯n)这10个连续合数来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201+++说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．【例12】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是41445=+=+=+=+=+ +=．按题目要求分拆45有如下12种方法：4534254073811341332 =+=+=+=+=+=+=+17281926232229163114378414按题目要求分拆46有如下7种方法：=+=+=+=+=+=+=+462447391135133319273115379按题目要求分拆47有如下14种方法：=+=+=+=+=+=+=+472453444435426417401037=+=+=+=+=+=+=+因47．1136133417301631182919282324［拓展］求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？［分析］考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时，该数可表示为4⨯(2n)+8，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n)+9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n)+10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n )+27，n ＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n )+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n )+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n )+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n )+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351． P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？【分析】 由题意知P 是一个奇数，因为10331÷= ，14342÷= ，所以P 是3的倍数，所以3P =2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【分析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，73． 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(6252525=⨯.而且641都不能被2、3、5、7、11、13、17、19、23整除，所以641是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．【评注】我们注意到(1)!2n ++，(1)!3n ++，(1)!4n ++，…，(1)!(1)n n +++这n 个数分别能被2、3、4、…、(n +1)整除，它们是连续的n 个合数．其中!n 表示从1一直乘到n 的积，即1⨯2⨯3⨯…⨯n ．5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是3⨯3⨯3⨯3⨯3⨯2=486．6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?【分析】 3735292572331123231319513197111925111925131771317271117=++=+++=++=+++=++=++=+++=+++=++=+++ 共10种不同拆法．其中3⨯5⨯29=435最小拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军。

2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之第二单元：质数和合数专项练习1．在自然数1－10中，质数有（________），合数有（________），（________）既不是质数，也不是合数。

2．最小的合数是（________），最小的质数是（________）。

3．在2、3、4、9、10、11、18、54这些数中，质数是（________），合数是（________），既是奇数又是合数的是（________），既是质数又是偶数的是（________）。

4．12的因数有_________个，在这些因数中，质数有_________，合数有_________，奇数有_________，偶数有_________。

5．两个质数的和是15，则这两个质数是（______）和（______）。

6．在（）里填上合适的质数。

65＝（________）×（________）7．两个质数的积是15，这两个质数分别是_________和_________。

8．把20写成两个不同质数和的形式。

20＝（________）＋（________）＝（________）＋（________）9．将下列各数分别填入指定的圈里。

27、5、14、11、1、2、33、62、0、1910．平平今年的年龄是个两位数，个位上既是质数又是偶数，十位上既不是质数也不是合数。

他今年（______）岁，至少再过（______）年，他的年龄数同时是2、3、5的倍数。

11．截至北京时间2021年5月1日17时，全球累计确诊新冠肺炎病例数量已达九位数，最高位和万位上的数都是1，百位上的数是最小的合数，个位上的数既是一个奇数，又是一个合数，千万位上的数比十万位上的数多3，十万位上的数既是一个偶数，又是一个质数，其余各位上是0，这个数写作（______）；这个数读作（______）。

全球新冠肺炎确诊病例超过100万例的国家达24个，88个国家病例超10万例。