2020年高考数学复习题：对数与对数函数

函数与导数08 函数 对数与对数函数一、具体目标：1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. 二、知识概述：1.对数：如果(0,1)xa N a a =>≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log (01)a x N a a >≠＝且，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数的性质(01,N>0)a a >≠且：①a Na N =log ；②log N a a N =；③换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠；1log (0,1)log a b b b b a=>≠，推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=. 2.对数的运算法则：如果(01,N>0,M>0)a a >≠且，那么()log log M+log a a a MN N =；log log log aa a M M N N =-；log log n a a M n M =n ；log log m n a nM M m= 3.对数函数的概念、图象和性质:定义：形如log (01)a y x a a >≠＝且的函数叫对数函数.定义域(0,)+∞；值域R ；恒过点(1,0)；当1a >时是增函数；当01a <<是减函数.【考点讲解】4.温馨提醒： (1)复合函数的单调性，遵循“同增异减”；(2)注意遵循“定义域优先”的原则.1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题考查的是函数的奇偶性与对数的运算.由题意知()f x 是奇函数，且当0x >时，0x -<，()()e =ax f x f x --=--，所以()()e 0ax f x x -=>又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a -=，两【真题分析】边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【答案】3-2.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________． 【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得()22log 9log 2a +=，即92a +=，所以7a =-.故答案是7-. 【答案】7-3.【2018年高考江苏】函数()2log 1f x x =-的定义域为________．【解析】本题考点偶次根式下被开方数非负及对数函数的真数为正数，要使函数()x f 有意义，则⎩⎨⎧≥->01log 02x x ，解得⎩⎨⎧≥>20x x ，即函数()x f 的定义域为[)∞+，2. 【答案】[2，+∞）4．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．【解析】由题意得()()()()()2222ln11ln11ln 122f x f x x x x x x x +-=+-+++++=+-+=，()()2f a f a ∴+-=,则()2f a -=-.故答案为−2.【答案】2-5.【2015高考四川】16log 01.0lg 2+＝_____________.【解析】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.2422log 10lg 16log 01.0lg 4222=+-=+=+-.【答案】2【变式】错误!未找到引用源。

§2.5对数与对数函数挖命题【考情探究】分析解读 1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交汇点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一对数的概念及运算1.(2018广东深圳高级中学月考,6)设a=log54-log52,b=ln+ln3,c=,则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b答案B2.(2017山西重点协作体一模,8)已知log7[log3(log2x)]=0,那么-等于()A. B. C. D.答案D3.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:=.答案4.计算:-+log2(log216)=.答案考点二对数函数的图象与性质1.(2018湖南张家界三模,6)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A2.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)=log a|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()答案C考点三对数函数的综合应用1.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),5)已知a=-,b=log2,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2018河南新乡一模,7)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案D3.(2018广东模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x对称,点A在函数f(x)=ax-x2为自然对数的底数的图象上,A关于x轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a的取值范围是()A. B.-C.-D.-答案A4.(2017辽宁沈阳二中期中,12)若函数f(x)=log2x在[1,4]上满足f(x)≤m2-3am+2恒成立,则当a∈[-1,1]时,实数m的取值范围是()A.-B.--∪∪{0}C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)∪{0}答案D炼技法【方法集训】方法1对数函数的图象及其应用1.(2017山东烟台期中,6)函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()答案B2.(2017北京海淀期中,5)已知函数y=x a,y=log b x的图象如图所示,则()A.b>1>aB.b>a>1C.a>1>bD.a>b>1答案A3.(2017湖南邵阳一模,7)若函数f(x)=a x-k·a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=log a(x+k)的大致图象是()答案B方法2对数函数的性质及其应用1.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,7)已知lo a<lo b,则下列不等式一定成立的是()A.ln(a-b)>0B.>C.<D.3a-b<1答案C2.(2018湖南张家界三模,9)若函数f(x)=log m(m>0且m≠1)在[2,3]上单调递增,则实数m的取值范围为()A.(1,36]B.[36,+∞)C.(1,16]∪[36,+∞)D.(1,16]答案D3.(2018福建龙岩期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.解析(1)依题可设函数f(x)=logx(a>0且a≠1),a∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1⇒log a4=1⇒a=4,∴f(x)=log4x.(2)∵函数f(x)=log4x在定义域内单调递增,-∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即--∴⇒<m<2,∴m的取值范围是.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B2.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b答案B3.(2018课标全国Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=.答案-7B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一对数的概念及运算1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案D2.(2014四川,7,5分)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案B考点二对数函数的图象与性质1.(2018天津,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案D2.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则()A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案D3.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C5.(2014山东,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D考点三对数函数的综合应用(2014福建,8,5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案BC组教师专用题组考点一对数的概念及运算1.(2013陕西,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c答案B2.(2015浙江,9,6分)计算:log2=,=.答案-;33.(2015四川,12,5分)lg0.01+log216的值是.答案24.(2015安徽,11,5分)lg+2lg2--=.答案-15.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=. 答案6.(2013四川,11,5分)lg+lg的值是.答案1考点二对数函数的图象与性质1.(2014安徽,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案B2.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D3.(2013湖南,6,5分)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C4.(2013课标Ⅱ,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案D5.(2014天津,4,5分)设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C考点三对数函数的综合应用(2013天津,7,5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]答案C【三年模拟】时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届广东佛山第三中学模拟,8)设a=sin,b=lo,c=,则()A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a答案C2.(2019届湖南顶级名校第一次联考,9)设f(x)=--则不等式f(x)>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(,+∞)C.(1,2)∪(,+∞)D.(1,2)答案C3.(2018山东师大附中模拟,4)若a>b>0,c>1,则()A.log a c>log b cB.a c<b cC.c a<c bD.log c a>log c b答案D4.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,10)已知函数f(x)=log2(ax2+2x+3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)=k成立,则实数a的取值范围是()A.-B.C.[3,+∞)D.(-1,+∞)答案B5.(2017山西临汾三模,10)已知函数f(x)=|ln x|,若f(m)=f(n)(m>n>0),则+=()A. B.1 C.2 D.4答案C,若f+f+…+f=503(a+b),则a2+b2的最小值为()6.(2017江西红色七校二模,11)已知函数f(x)=ln-A.6B.8C.9D.12答案B二、填空题(共5分)7.(2017辽宁沈阳一模,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则=. 答案9三、解答题(共20分)8.(2019届辽宁顶级名校联考,17)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求实数a的值.解析(1)由题意得解得-3<x<1,∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.(2)将函数f(x)化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4].∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.∵0<a<1,∴log a[-(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4.由log4=-4,得a-4=4,a∴a=-=.故实数a的值为.9.(2019届辽宁顶级名校联考,21)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)设g(x)=log4·-,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解析(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx.log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-.-(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log(4x+1)-x=log4·-有且只有一个实根,4即方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根.令t=2x,t>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.①a=1⇒t=-,不合题意.②Δ=0⇒a=或-3.若a=⇒t=-,不合题意;若a=-3⇒t=.<0⇒a>1.③一个正根与一个负根,即--以上结果经过验证均满足a·2x-a>0.综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).。

考点09 对数与对数函数1．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 221<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D.2．设23451111log log log log a ππππ=+++，y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】23451111log log log log a ππππ=+++log 2log 3log 4log 5log 120πππππ=+++=，∵481π≈，5243π≈.45a a ∴-<-∴y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为4． 故选：C ．3．若点()1414log 7,log 56在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．34C ．2D ．32【答案】D 【解析】解：根据题意，点1414log 7log 56（，）在函数()3f x kx +＝的图象上，则1414log 56log 73k ⨯+＝，变形可得：2k ＝-，则()=2+3f x x - 若()0f x ＝，则32x =，即()f x 的零点为32， 故选：D ．4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+的解集为（ ） A ．()3,27 B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,9【答案】A 【解析】将关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+变形可得1log 301log 3x x ab +<+， 从而由条件可得113log 3x <<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log 3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A. 5．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】解：由于22log 6log 42a =>=，772log 211log 3,c a c >==+∴> 552log 151log 3b >==+， 33log 7log 5>，可得b c >，综合可得a b c >>，故选B.6．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc = B ．2b ac =C ．c ab =D ．2c ab =【答案】C 【解析】∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选：C ．7．已知120.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C 【解析】由题得1133433aa b b -+-==>，可得11a b -+>，则a b >；因为222442[(1)1]2x x x ++=++≥，则22log 2[(1)1]1c b x -=-++≤-，可得10c b -+≤，因此c b <，所以有a b c >>，故选C 。

第七节对数与对数函数••>必过数材美概念如果a x= N(a>0,且a* 1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= log g N, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x= N? x= log a N log a1= 0, log a a = 1, alog a N = N运算法则log a(M N)= log a M + log a Na > 0,且a * 1, M > 0, N > 0 log a N= lo g a M —log a Nlog a M n= nlog a M(n € R)换底公式换底公式：log a b= j°g：(a> 0，且a * 1, c> 0,且c* 1, b>0)y= log a x a > 10 v a v 1图象yA1=1円叫..v」o((1,0) 屛i I ! r=l叫性质定义域为(0,+^ )值域为R过定点110!，即x= 1时，y= 0当x> 1 时，y> 0;当0v x v 1 时，y v 0当x> 1 时，y v 0;当0v x v 1 时，y> 0在区间(0,+s )上是增函数在区间(0,+s )上是减函数3.反函数指数函数y= a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x(a>0且a* 1)互为反函数，它们的图象关于直线y= x对称.［小题体验］1.函数f(x)= log a(x+ 2)—2(a> 0,且a* 1)的图象必过定点_____________答案：(一1,—2)2.函数f(x)= Iog5(2x+ 1)的单调增区间是答案：（-1 +8 ] 1 2,+丿3. （2015 浙江高考）计算：logT^ = ________ ，2log23+ Iog43 =解析：Io g^22= Io g2 2 —Iog22= 1—1=—2；2log23+ Iog43= 2Iog23 2Iog43= 3X 2Iog43= 3 x 2Iog2 3= 3 3.答案：—1 3 3••>必过易措美1. 在运算性质Iog a M a= aIog a M中，要特别注意条件，在无M > 0的条件下应为Iog a M =a og a|M|( a N*,且a为偶数).2. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1) 务必先研究函数的定义域；(2) 注意对数底数的取值范围.［小题纠偏］1.函数y= 7Iog o.5(4x—3 的定义域为_________.答案：3, 12.函数f(x) = Iog(x+1)(2x—1)的单调递增区间是答案：■，+m考点一对数式的化简与求值基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （易错题）设a, b, c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A. Iog a b Iog c b= Iog c aB. Iog a b Iog c a = Iog c bC. Iog a（bc）= Iog a b Iog a cD. Iog a（b+ c）= log a b+ Iog a c解析：选B利用对数的换底公式进行验证，log a b Iog c a =善盍；Iog c a = Iog c b.25 5 322. （2018 台州模拟）lg16—2lg$ + lg81 等于（）解析：选 A Ig 16-2|g 9 + Ig 81= lg ff —lg 81+ Ig 8H lg 詩21 X 32y = Ig 2’ 故选 A.3•计算 Ig 1-Ig 25 moo — 2= __________答案：—20iog 2X , x >0,—x13 + 1, X w 0,解析：因为 f(1) = Iog 21 = 0，所以 f(f(1)) = f(0) = 2. 因为 Iog 32 v 0,所以 f Iog 3~ = 3 — Iog 31 + 1=3Iog 32 + 1= 2+ 1 = 3.答案：5［谨记通法］对数运算的一般思路(1) 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简； (2) 将同底对数的和、差、倍合并；(3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用.考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］设方程10x = |Ig( — x)|的两个根分别为X 1, X 2,则()A . X 1X 2V 0B . X 1X 2= 0D . 0 v x 1X2v 1解析：选D 作出y = 10x 与y = |Ig(— x)|的大致图象，如图. 显然 X 1< 0, X 2V 0.不妨令 X 1< X 2,贝U X 1V — 1 v X 2V 0,所以 10x 1= Ig( — X 1), 10x 2=— Ig(— X 2), 此时 10x 1v 10x 2, 即 Ig(— X1)v — Ig(— X 2),A • ig 2B . Ig 3 D . Ig 5解析:原式=(Ig 2 2 — Ig 52)X ioo2 = Ig •-—2X 10= Ig 10 X 10= — 2 X 10=— 20.4.已知函数f(x) = 则 f(f(1)) + f Iog 3 1 的值是所以 f(f(1)) + f Iog 31 =2 + 3= 5.C . X 1X 2 > 1由此得Ig(x1X2) v 0,所以0 v X1X2< 1,故选D.［由题悟法］应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间卜值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.［即时应用］1.函数f(x)= ln|x—1|的图象大致是()解析：选 B 当x> 1 时，f(x)= ln(x—1),又f(x)的图象关于x= 1对称，故选 B.2. (2018温州适应性训练)若X1满足2x+ 2x= 5, X2满足2x+ 2log2(x—1) = 5,则刈+ X2=( )5A.QB. 3C.7D. 4解析：选 C 2x= 5—2x,2log2(x —1) = 5 —2x, 即2x—1= 5—x, log2(x —1) = | —x,作出y =2x—1,y炖-」/ 厂121Q' 5/ yy= 2 —x, y= log2(x—1)的图象(如图).由图知y= 2x—1与y= log2(x—1)的图象关于y= x—1对称，它们与y= ；—x的交点A, B的中点为y= 2—x与y= x—1的交点C, Xc = x1^x2= 7,二X1 + X2 = 2，故选 C.考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、 中、高档都有.常见的命题角度有： (1) 比较对数值的大小； (2) 简单对数不等式的解法； (3) 对数函数的综合问题.［题点全练］角度一：比较对数值的大小1.设 a = log 3n b = log2^3, c = log^2，贝U a , b , c 的大小关系是( )A . a >b >cB . a >c >bC . b >a >cD . b >c >a1b2lo g 23解析：选 A 因为 a = log 3 n> log 33 = 1, b = log^'3< log 22 = 1，所以 a > b ;又-=1 -------------c 12log 32 =(log 23)2> 1, c > 0,所以 b > c.故 a > b > c.角度二：简单对数不等式的解法log 2x , x > 0,2•设函数f(x) =1|iog?(— x ) x < 0.A . (— 1,0) U (0,1)C . (— 1,0)U (1 ,+s )a > 0,由题意得*|og 2a >— log 2ara < 0, 或・—log 2(— a > log 2( — a 》解得a > 1或—1 < a < 0.故选C. 角度三：对数函数的综合问题_x3.已知函数 f(x — 3)= log«63X(a >0, a ^ 1). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； ⑵当0< a < 1时，求函数f(x)的单调区间. 解：令 x — 3 = u ,贝U x = u + 3,若f(a)>f(— a),则实数a 的取值范围是(B . ( — 3 — 1) U (1 ,+s )D . ( — 3, — 1) U (0,1)解析：选C3+ u于是f(u)= log a (a> 0, a M 1,—3< u< 3),3 —u所以f(x)= log (a> 0, —3v x v 3).3 —x 3+ x(1)因为f(—x) + f(x)= log a3—+ log a3—=log a1 = 0,3 十x 3—x所以f(—x)=—f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.人3+ x 6⑵令t=尸一1—x—3则t在(—3,3)上是增函数，当0 v a v 1时，函数y= log a t是减函数,所以f(x)= log a^—(0 v a v 1)在(一3,3)上是减函数,即函数f(x)的单调递减区间是(一3,3).［通法在握］1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤:“同增异诚”原则判斷歯数的单调性2.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母, 则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.⑶若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.［演练冲关］1. (2019 杭州模拟)已知函数f(x) = log a(8 —ax)(a> 0,且a^ 1),若f(x) > 1 在区间［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围为__________ .解析：当a> 1时，f(x)> 1等价于8—ax> a在［1,2］上恒成立,即a v x+，min=殳解得1v a v 8.当0 v a v 1时,f(x) > 1等价于0v 8 —ax v a在［1,2］上恒成立，即a> *二max且a vmin ,解得a>4且a v 4，故不存在.答案：1322.已知函数 f(x)= log 4(ax + 2x + 3). (1)若f(1) = 1，求f(x)的单调区间；⑵是否存在实数a ,使f(x)的最小值为0?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为 f(1) = 1,所以 log 4(a + 5) = 1, 因此 a + 5= 4, a = — 1, 这时 f(x)= log 4( - x 2+ 2x + 3). 由一x 2 + 2x + 3>0，得—1 v X V 3, 函数f(x)的定义域为(—1,3). 令 g(x)=— x 2+ 2x + 3,则g(x)在(— 1,1)上递增，在(1,3)上递减. 又y = iog 4x 在(0 ,+s )上递增，所以f(x)的单调递增区间是(一1,1)，递减区间是(1,3).⑵假设存在实数a ,使f(x)的最小值为0,则h(x)= ax 2 + 2x + 3应有最小值 1,<a> 0,因此应有 3a — 1a故存在实数a = 2，使f(x)的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1. (2018金华温州台州高三开学联考 )若2a = 3b = 6：则(1 1 A, b =1 1 D.2a +2b =解析：选A 令2 = 3b = 6：= k ,综上可知，实数a 的取值范围为 =1, 1解得a = *B 2 + 2 = a b8.1 b 1 cig k lg 2’则1+b=去+需=说=:.2. （2019 舟山模拟）设a= log50.5, b= log20.3, c= log0.a2,则a, b, c 的大小关系是（）A . b < a v cB . b < c < aC ：—x e — e - f( — x)= — x 十 e x =— x 十 e —x =一 f(x),e 十e e 十e••• f(x)是单调递增的奇函数,1又 f(lo g4a) = f( — log 4a) = — f(log 4a),1则不等式 2f(log 4a) + f(log4a) + f(1)< 0 化为 f(log 4a) + f(1)< 0, 即即 f(log 4a)< — f(1) = f(— 1 11),则 log 4a < — 1 = log 4^，得 0<a w 45 b a I~t r4. (2016 浙江高考)已知 a > b > 1,若 log a b + log b a = ?, a = b ,贝V a =1 5 1 解析：■/ log a b + log b a = log a b + jog O b = 2，二 lo9a b = 2 或？.1 2 T a > b > 1,二 log a b v log a a = 1, • log a b =?，二 a = b .•/ a b = b a ,「. (b 2)b = bb 2,即 b 2b = bb 2,2•- 2b = b , • b = 2, a = 4. 答案：4 25. (2018杭州模拟)已知函数y = log1(x 2— ax + a)在区间(2,十^ )上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ______________ .解析：令t = x 2— ax + a ，则函数f(x)在区间(2，十^)上是减函数，可得函数t 在区间(2,C . c < b < aD . a < b < c10解析：选 B a = log 50.5> log 50.2 =— 1, b = log 20.3 < Iog 20.5=— 1, c = log 0.32 > log o.r ^一 54^3, log 5°.5 =鬻lg 2 lg 2—g 〒聶2即c < a ，故b < c < a .故选B.3. (2018金华名校联考)已知函数 x — xf(x)=匕，若实数 a 满足 2f(log 4a)十 f(log~a)十f(1) w 0，贝U a 的取值范围是(A . (0,4]D . [1,4]解析：选B-f(x)=e x+ e2xe r — ""2x 1e + 12x —1" + 1p 厂2 = 1 —F 2 ，定义域为 R , e 十1 e 十1s x e x — e x,b =B .w 2,+ s)上是增函数，且t(2) > 0，所以2解得a w 4，所以实数a的取值范围t 2 = 4- a> 0,是(—8 , 4].答案：(一8，4]二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x> 0时，f(x)= 3x+ m(m为常数),则f( - log a5)的值为()A. 4B.- 4C . 6D . - 6解析：选B •••函数f(x)是定义在R上的奇函数，••• f(0) = 0, 即3°+ m= 0，解得m=—1,f(log35) = 3log35—1 = 4,•- f(—log35)=—f(log35) =—4.2. (2018丽水月考)函数f(x) = lg(4x—2x+1+ 11)的最小值是( )A. 10B. 1C . 11D . lg 11解析：选 B 令2x= t, t> 0,贝U 4x—2x+1+ 11 = t2—2t+ 11= (t—1)2+ 10 > 10,所以lg(4x —2x+1+ 11)> 1,即所求函数的最小值为 1.故选B.3. (2019丽水模拟)已知对数函数f(x)= log a x是增函数，则函数f(|x|+ 1)的图象大致是解析：选B由函数f(x)= log a x是增函数知，a> 1.f(|x|+ 1)= log a(|x|+ 1)=l0ga(X + 1 ), x> 0, log a[ —(x—1 J , X V 0.由对数函数性质知选 B.1 一x 14. (2018 金华模拟)已知函数f(x)= lg^^x，若f(a) = ?,则f( —a)=( )A. 2B.—21 一 x解析：选D T f(x)= Ig^L 的定义域为—1v x v 1,1十x4 _I *n *••• f (— x) = Ig =— Ig =— f(x),1—x 1 十x • f(x)为奇函数,1• f(— a) = — f(a) = — 2.5. (2016 浙江高考)已知 a , b >0 且 1, 1,若 log a b > 1,则( )A . (a —1)(b — 1)v0 B . (a — 1)(a — b)>0 C . (b — 1)(b — a) vD .(b — 1)(b — a)>0解析：选 D T a , b > 0 且 a z 1, b ^ 1,•••当 a > 1,即 a — 1> 0时，不等式 log a b > 1 可化为 alog a b >a 1,即卩 b >a > 1, • (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.当 0v a v 1, 即a — 1 v 0时，不等式log a b > 1可化为alog a b v a 1, 即 0 v b v a v 1,• (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.综上可知，选D.6. (2018杭二月考)已知2x = 72y = A ,且^十y = 2，则A 的值是 _____________ . 1 11 1 2解析：由 2x = 72y = A 得 x = lo g 2A , y = 2log 7A ，则［十 y =耐诅十^gA = lo g A 2+ 2log A 72=log A 98= 2, A = 98.又 A >0,故 A = 98= 7 2. 答案：7 27.若方程2log 2X — log 2(x — 1) = m + 1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是 ________ 2 2即x > 1,方程化简为log 2亠 =m + 1,故亠 =2m +1,即x — 1x — 1-m2 >1,1 —2 十 2 > 0,］△= 22m + 2— 4X 2m +1> 0,解得m > 1.答案：(1，十^ )28.已知函数 f(x)= |log 3x|,实数 m , n 满足 0v m v n ，且 f(m)= f(n)，若 f(x)在［m ,n ］上的最大值为2,则m =—解析：由题意知'>0,lx —1> 0, x 2— 2m 十1x + 2m +1= 0,当x > 1时，此方程有两个不同的解,所以$［—log 3x , O v x V 1,解析：因为f(x)= |log 3x|=所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +|lOg 3X , x > 1,O v m v 1,O v m v 1, g )上单调递增，由 O v m v n 且f(m) = f(n)，可得n > 1,贝U n > 1,所log j n =— log ^m,mn = 1,以O v m 2v m v 1,则f(x)在［m 2,i )上单调递减，在(1 , n ］上单调递增，所以f(m 2)>f(m)= f(n), 则f(x)在［m 2, n ］上的最大值为f(m 2)=— log 3m 2= 2,解得m =1，则n = 3，所以十=9.答案：99.已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x > O 时，f(x) = log a (x + 1)(a >O ,且a 丰1). (1) 求函数f(x)的解析式；⑵若一1 v f(1) v 1,求实数a 的取值范围. 解：(1)当 x v O 时，一x >O , 由题意知 f(— x)= log a ( — x + 1),又f(x)是定义在 R 上的偶函数，••• f( — x) = f(x). • ••当 x v O 时，f(x) = log a (— x + 1),loga(x + 1 , x > O ,•函数f(x)的解析式为f(x)=*'‘l !oga ( — x + 1), x v O.(2) •••— 1 v f(1)v 1, •— 1v log a 2v 1, •- log a ~v log a 2v log a a.a、a > 2,a v 2, 1解得O v a v 1综上，实数a 的取值范围为O , 1 U (2, + g ).1O .设 f(x)= log a (1 + x) + log a (3 — x)(a > O , a 丰 1)，且 f(1)= 2. (1)求a 的值及f(x)的定义域； ⑵求f(x)在区间O , ； 上的最大值.①当a >1时，原不等式等价于la v 2,解得a > 2;②当O v a v 1时，原不等式等价于1> 2 <a解：(1) •/ f(1) = 2,•- log a4= 2(a>O, a M 1),a = 2.•••函数f(x)的定义域为(一1,3). (2)f(x) = log 2(1 + x) + log 2(3 — x) =log 2(1 + x)(3 — x) =log 2[ — (x — 1) + 4],•••当x € (— 1,1]时，f(x)是增函数； 当x € (1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在 0, 3上的最大值是f(1) = log 24 = 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州五校联考)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x + 1) = f( — x),当x € (0,1)时, ,log 2 1 1-x 1,X M ,f(x)= i d则f(x)在区间(1, 2 /内是()[0 , x 1=2 ,A .增函数且 f(x)> 0B .增函数且 f(x) VC •减函数且 f(x)> 0D •减函数且f(x) V0 解析：选D 由f(x)为奇■函数，f(x +1) = f( — X)得，f(x)=— f(x + 1) = f(x + 2); • f(x)= f(x + 2),• f(x)是周期为2的周期函数.根据条件，x € 2，1 时，f(x)= log x —1 ,• x — 2 € — 3，— 1 , — (x — 2) € 1, 2 ,设 2 — x = t , t € 1, , x = 2— t , • - f (t )=碣 2- t , • f(t)=— log^3—t , • f (x )=- |o g^ 2—x ,x €1, 3,,1 + x > 0, 由3 — x > 0, 得 x € (— 1,3),• f(x)= f(x — 2) =— f(2 — x) = l 1.可以看出x 增大时，3 — x 减小，logl x 增大，f(x)减小，•••在区间1, 3内，f(x)是减函数， 而由 1 V X V 3得 0< 3— X V 1, •嗨 2 - x >1, • f(x)< 0.2.已知函数 f(x)= log a (3 — ax)(a >0,且 a * 1).(1) 当x € ［0,2］时，函数f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数 a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1?如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：(1) ■/ a >0 且 a 丰 1，设 t(x)= 3 — ax ,则 t(x)= 3 — ax 为减函数，当 x € ［0,2］时，t(x) 的最小值为3— 2a ,•••当x € ［0,2］时,f(x)恒有意义，即 x € ［0,2］时，3— ax > 0恒成立.3--3— 2a > 0,.. a < 3.3又 a > 0 且 a * 1 ,• 0< a < 1 或 1 < a <_, 2•实数a 的取值范围为(0,1) U 1, 3 . (2)由(1)知函数t(x) = 3 — ax 为减函数. ••• f(x)在区间［1,2］上为减函数，• y = log a t 在［1,2］上为增函数，• a > 1,当x € ［1,2］时，t(x)的最小值为3 — 2a , f(x)的最大值为f(1) = log a (3 — a),「 3 a< 2,即3.a=2a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1.3 — 2a > 0, log a 3 — a = 1,故不存在这样的实数。

2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数（一）知识梳理 1．对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log aaa MMN N=- log log n a a M n M=其中a>0,a ≠0,M>0,N>0；log log (0,01,01)log m a m NN N a a m m a=>>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称 指数函数 对数函数一般形式Y=a x(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数性０＜a<1,在(-∞,+ ∞)上为减函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0?4．几个注意点1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则 解：利用中间值和1来比较:372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，2. （江西文4）若01x y <<<，则A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y <3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --=的定义域为 ．4.（2020年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）5.(2020北京春季高考)函数f(x)=|log 2x|的图象是( )解析:f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 答案:A（三）题型剖析考点一：对数函数性质应用例1：取值 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ 3．指对数互化例2．已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小 思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。

考点测试10　对数与对数函数 高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数一、基础小题1．log 225·log 32·log 59＝( )2A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案　D解析　原式＝··＝··＝6．故选D ．lg 25lg 2lg 22lg 3lg 9lg 52lg 5lg 232lg 2lg 32lg 3lg 52．函数y ＝的定义域是( )log 12(3x －2)A ．[1，＋∞) B ．(23，＋∞)C ． D ．[23，1](23，1]答案　D解析　log (3x －2)≥0＝log 1，0<3x －2≤1，<x ≤1．故选D ．1212233．已知log 5[log 3(log 2x )]＝0，那么实数x ＝( )A ．5 B ．3 C ．8 D ．1答案　C解析　由log 5[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，则log 2x ＝3，所以x ＝8．故选C ．4．函数f (x )＝lg (x ＋1)＋lg (x －1)( )A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案　C解析　函数f (x )的定义域为{x |x >1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C ．5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f 的值为( )(12)A ．－log 23B ．－log 32C ．D ．193答案　B解析　由y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，知f (x )＝log 3x ，从而f ＝log 3＝－log 32，故选B ．(12)126．已知log b <－log 2a <－2log 4c ，则( )12A ．b >a >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >b >c 答案　A解析　因为－log 2a ＝log a ，－2log 4c ＝log c ，由log b <－log 2a <－2log 4c ，121212知log b <log a <log c ，又对数函数y ＝log x 在(0，＋∞)上单调递减，从而12121212b >a >c ．故选A ．7．当0<x <3时，下列大小关系正确的是( )A ．x 3<3x <log 3x B ．3x <x 3<log 3x C ．log 3x <x 3<3x D ．log 3x <3x <x 3答案　C解析　在同一坐标系中作出函数y ＝x 3，y ＝3x ，y ＝log 3x ，x ∈(0，3)的图象，由图象可得当x ∈(0，3)时，大小关系是log 3x <x 3<3x ，故选C ．8．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 4256＝( )A ．B ．3＋ab 1＋a ＋ab 3a ＋b a ＋a 2＋bC ．D ．3＋b1＋a ＋b 1＋a ＋ab3＋ab 答案　A解析　log 4256＝＝log256log2423＋log271＋log23＋log27＝＝．故选A ．3＋log23·log371＋log23＋log23·log373＋ab1＋a ＋ab 9．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则x 3，y 5，z 2中最小的是( )A ．z 2B ．y 5C ．x 3D ．三个数相等答案　C解析　因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，不妨设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，所以x 3＝23t ＝8t ，y 5＝35t ＝243t ，z 2＝52t ＝25t ，又y ＝x t 在(0，＋∞)上单调递增，故x 3最小．故选C ．10．计算：9－log95＝________．12答案　35解析　9－log95＝9×9－log95＝3×＝．1212153511．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．答案　433解析　因为a ＝log 43，则4a ＝3，即2a ＝，所以2a ＋2－a ＝＋＝．331343312．若函数f (x )＝Error!(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案　(1，2]解析　当x ≤2时，－x ＋6≥4恒成立，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域包含于[4，＋∞)，故a >1，又f (x )＝3＋log a x 在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )>3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．二、高考小题13．(2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log ，则a ，b ，c 的大小1213关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案　D解析　由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln 2<1，∴c >a >b ，故选D ．14．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x )答案　B解析　函数y ＝ln x 过定点(1，0)，(1，0)关于x ＝1对称的点还是(1，0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B ．15．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与最接近MN 的是(参考数据：lg 3≈0．48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案　D解析　由题意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg1080＝361lg3－80lgMN 3361108010≈361×0．48－80×1＝93．28．又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与最接近的是1093．故选D ．MN 16．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1，0<c <1，则( )A ．a c <b c B ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案　C解析　解法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴b c －1>a c －1，又ab >0，∴ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log bc >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故选C ．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝．易验证A ，B ，D 均是错误的，12只有C 正确．17．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________．答案　－7解析　根据题意，有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7．18．(2016·浙江高考)已知a >b >1．若log a b ＋log b a ＝，a b ＝b a ，则52a ＝________，b ＝________．答案　4　2解析　令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝得，t ＋＝，解521t 52得t ＝或t ＝2(舍去)，即log a b ＝，∴b ＝，又a b ＝b a ，∴a ＝()a ，即1212a a a a ＝a ，亦即＝，解得a ＝4，∴b ＝2．a a2a a2三、模拟小题19．(2018·江西新课程教学质量监测)若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或C ．D ．log 231818答案　D解析　由题意知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)，2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23．故选D ．20．(2018·安徽皖西高中教学联盟期末)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50．25＝( )A ．0B ．2C ．4D ．6答案　D解析　由对数的运算公式和换底公式可得：log 29×log 34＋2log 510＋log 50．25＝2log 23×＋log 5(102×0．25)log24log23＝4＋2＝6．故选D ．21．(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)已知a ＝2－，b ＝log 2，c ＝log ，13131213则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案　D解析　∵a ＝2－∈(0，1)，b ＝log 2<0，c ＝log ＝log 23>1，∴c >a >b ，故选13131213D ．22．(2018·湖南张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )答案　A解析　由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上2a 为单调递减函数；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝<2，且函数g (x )2a ＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递增函数．综上，选A ．23．(2018·安徽安庆二模)设x ，y ，z 均大于1，且log x ＝log y ＝log z ，235令a ＝x ，b ＝y ，c ＝z ，则a ，b ，c 的大小关系是( )121314A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 答案　D解析　令log x ＝log y ＝log z ＝t (t >0)，则x ＝()t ，y ＝()t ，z ＝()235235t ，∴a ＝2，b ＝3，c ＝5，t4t6t8∵23<32，∴23×<32×⇒a <b ，t 12t 12∵34<53，∴34×<53×⇒b <c ，∴a <b <c ，故选D ．t24t2424．(2018·河南普通高中毕业班4月高考适应性考试)已知函数f (x )＝log 0．5(sin x ＋cos 2x －1)，x ∈0，，则f (x )的取值范围是( )π2A ．(－∞，2] B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞) D ．[－2，＋∞)答案　C解析　设g (x )＝sin x ＋cos 2x －1＝sin x ＋1－sin 2x －1＝－sin 2x ＋sin x ，x ∈0，，π2∵0<x <，∴0<sin x <1．π2∵二次函数g (x )＝－sin 2x ＋sin x 图象的对称轴为－＝，12×(－1)12∴sin x ＝时，g (x )取得最大值，为，1214∴0<g (x )≤，14∴log 0．5g (x )≥log 0．5＝log 2＝2，141212∴f (x )的取值范围是[2，＋∞)，故选C．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·辽宁抚顺月考)已知函数y ＝f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈．[19，9](1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．解　(1)由t ＝log 3x ，x ∈，解得－2≤t ≤2．[19，9]∴t 的取值范围为[－2，2]．(2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝2－，t ∈[－2，2]．(t ＋32)14当t ＝－，即log 3x ＝－，即x ＝时，f (x )min ＝－；32323914当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12．2．(2018·浙江宁波九校第一学期联考)已知函数f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并加以证明；(3)若f (x )<log 2(ax )在x ∈，1上恒成立，求实数a 的范围．12解　(1)由Error!得－2<x <2．所以函数f (x )的定义域为(－2，2)．(2)由(1)的结论可知f (x )的定义域关于原点对称，又因为f (－x )＝log 2(2＋x )－log 2(－x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)由f (x )＝log 2(2－x )－log 2(x ＋2)<log 2(ax )，得h (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x －2>0在x ∈，1上恒成立，12又因为a >0，对称轴为x ＝<0，－2a －12a 由图象可得h ＝－>0，得a >．125a432653．(2018·广东深圳调研)已知函数f (x )＝－x ＋log 2．1－x1＋x (1)求f ＋f的值；(12019)(－12019)(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)由f (x )＋f (－x )＝log 2＋log 2＝log 21＝0，∴f ＋f＝0．1－x1＋x 1＋x1－x (12019)(－12019)(2)f (x )的定义域为(－1，1)，∵f (x )＝－x ＋log2，(－1＋2x ＋1)当x ∈(－1，1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0，1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减．∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 2．1－a1＋a 4．(2018·河北石家庄二中模拟)已知函数f (x )＝log 2(1＋2x ＋1＋4x a )＋bx (a ，b ∈R )．(1)若a ＝1，且f (x )是偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在(－∞，－1)上有意义，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝4，且A ＝{x |f (x )＝(b ＋1)(x ＋1)}＝∅，求实数b 的取值范围．解　(1)当a ＝1时，f (x )＝log 2(1＋2x ＋1＋4x )＋bx ＝2log 2(1＋2x )＋bx ．又f (x )是偶函数，则f (x )－f (－x )＝0，即2log 2＋2bx ＝0，1＋2x1＋2－x 即2x ＋2bx ＝0，所以b ＝－1．(2)f (x )在(－∞，－1)上有意义，则对任意的x ∈(－∞，－1)，1＋2x ＋1＋4x a >0恒成立，即对任意的x ∈(－∞，－1)，a >－x －x －1恒成立．1412设g (x )＝－x －x －1，由指数函数的单调性易得g (x )在(－∞，－1)上是增函1412数，所以g (x )<g (－1)＝－8．由a >g (x )对任意的x ∈(－∞，－1)恒成立，得a ≥－8，即实数a 的取值范围是[－8，＋∞)．(3)当a ＝4时，f (x )＝(b ＋1)(x ＋1)⇔log 2(1＋2x ＋1＋4x ＋1)－x ＝b ＋1⇔log 2＋2x ＋2＋2＝b ＋1．12x由A＝∅，可得方程log2＋2x＋2＋2＝b＋1无实根．12x因为＋2x＋2＋2≥2＋2＝6，所以log2＋2x＋2＋2≥log26，12x12x×2x＋212x所以当b＋1<log26，即b<log23时A＝∅，故实数b的取值范围是(－∞，log23)．。

专题08指数与指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型.基础知识融会贯通 1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定-m na＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．重点难点突破【题型一】指数幂的运算【典型例题】若0＜a＜1，b＞0，且，则a b﹣a﹣b等于（）A．B．2或﹣2 C．﹣2 D．2【解答】解：∵，∴a2b+a﹣2b＝8﹣2＝6．∴（a b﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4．∵0＜a＜1，b＞0，∴a b＜a﹣b，则a b﹣a﹣b＝﹣2．故选：C．【再练一题】设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意故选：C．思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【题型二】指数函数的图象及应用【典型例题】函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）A．y B．y＝|x﹣2| C．y＝2x﹣1 D．y＝log2（2x）【解答】解：函数f（x）＝y＝a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，即x﹣1＝0，可得x＝1，那么：y＝1．∴恒过点A（1，1）．把x＝1，y＝1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点．故选：A．【再练一题】函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x），∴x＞0时，图象与y＝a x在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝a x的图象关于x轴对称，故选：C．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【题型三】指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用【典型例题】已知函数f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（）x，则f（x）在R上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log25，则a＞b＞c；故选：B．【再练一题】下列不等关系式正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A幂函数y在（0，+∞）上是增函数，则，故A错误，B．函数y在R上是增函数，则，故B错误，C．幂函数y在（0，+∞）上是减函数，则，故C正确，D．函数y＝0.7x在R上是减函数，则，故D错误，故选：C．命题点2 与指数函数有关的复合函数的单调性【典型例题】已知函数．（1）判断f（x）的单调性；（2）求f（x）的值域；（3）解方程f（x）＝0；（4）求解不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）此函数由y＝t2+t﹣2与t两个函数复合而成，由于t是一个减函数，且其值域为（0，+∞），函数y＝t2+t﹣2在（，+∞）是增函数，此复合函数外增内减，故是单调递减函数；（2）由（1）内层函数的值域是（0，+∞），外层函数在（0，+∞）上是增函数，故函数的值域为（﹣2，+∞）；（3）由f（x）＝0得t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2（舍）或t＝1，令解得x＝0；（4）由f（x）＞0得t2+t﹣2＞0解得t＞1或t＜﹣2（舍），令，解得x＜0，即不等式的解集是（﹣∞，0）．【再练一题】已知函数f（x），（1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值3，求a的值．（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x），令g（x）＝﹣x2﹣4x+3，由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，而y t在R上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．（2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值﹣1，因此1，解得a＝1．即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．（3）由指数函数的性质知，要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a＝0．因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}．命题点3 指数函数性质的综合应用【典型例题】对于函数f（x）＝4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m B．m C．m≤1 D．m≥1【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m•2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴m•m•，∴m（），∴2m，令t，则t≥2，∴2m＝t（t≥2），∵函数y＝t与函数y在[2，+∞）上均为单调递增函数，∴2m＝t（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，∴当t＝2时，2m＝t（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，解得：m．故选：B．【再练一题】函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y故选：A．思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．基础知识训练1．下列说法正确的是（）A．对任意的，必有B．若，对任意的，必有C．若，对任意的，必有D．若，总存在，当时，总有【答案】D【解析】对于选项A，取，则，不满足，故A错误；对于选项B，取，则，，故选项B错误；对于选项C，取，则，故选项C错误；故选项D一定正确。

2020年高考数学一轮复习《对数与对数函数》考纲解读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(01)a a >≠且.命题趋势研究对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.注：①0N >，负数和零没有对数；②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R bb a a bc c a+++=+∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈=>≠>>≠且且（换底公式）特殊地1log (,01,1)log a b b a b a b a=>≠≠且；log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).m a n a a NN a nb b a b m a n R ma N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.（2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.题型26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算例2.56552log 10log 0.25+=（ ）.0A.1B.2C.4D分析log log log log log ().n m n m a a a a a n x m y x y x y +=+=解析225555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯== 故选C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅解析 由y x y x xy lg lg lg lg )lg(2222==+故选D变式2 22(lg2)lg4lg5(lg5)+⋅+= ________..解析 22222)5(lg 5lg 2lg )2(lg )5(lg 5lg 4lg )2(lg +∙+=+∙+ 1)10(lg )5lg 2(lg )5(lg 5lg 2lg 2)2(lg 2222==+=+∙+=变式3 222lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⋅+= ________.. 解析 2322)2(lg )4lg 5(lg 5lg 2lg 325lg 2)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg ++∙++=+∙++22)2(lg 4lg 5lg 2lg 25lg 2)5(lg +∙+++= )2lg 5(lg 2)2(lg 2lg 5lg 2)5(lg 22+++∙+= 32)2lg 5(lg 2=++=例2.57274log 81log 8+=________. .解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322====== 所以原式4317.326=+= 变式1= ________..解析 2222)22(246,)22()2(2222246-=-+=+∙+=+所以4)22()22()22()22(24624622=-++=-++=-++例2.58 lg30lg0.515()3⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg 0.515(),3x ⨯= 则()lg0.5lg30lg0.5lg30111lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg0.5lg 333x ⎡⎤⎛⎫=⨯=+=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+ lg15=所以15x = 二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解.解析（1）11(lg lg 3)lg 5lg(10)22x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg 310x x =-，得25310x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.（2）221log (231)1x x x --+=，222210112311x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1 函数2()l o g (41).x f x a x=+- （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.解析 （1）若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-，得a ++-)41(log 12 a -+=)41(log 2，得24log 45log 5log 2222==-=a ，故1=a 。

专题2.6 对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝132-，b＝log213，c＝log1213，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】 D【解析】∵0<a<1，b<0，c＝log1213＝log23>1.∴c>a>b.3.(必修1P74A7改编)函数y＝log23(2x－1)的定义域是________.【答案】⎝⎛⎦⎥⎤12，1【解析】由log23(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴12<x≤1.∴函数y＝log23(2x－1)的定义域是⎝⎛⎦⎥⎤12，1.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )A.0B.2C.4D.6【答案】 D【解析】原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】 D【解析】由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即log a c>0，所以0<c <1.6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【答案】 －7【解析】 由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【答案】 (1)－20 (2)1【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab ＝N ⇔b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】 (1)D (2)4 2【解析】 (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x＋1)， ∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<1，log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)A (2){0}∪[2，＋∞)【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0， 即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称【答案】 C【解析】 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c<b cD.c a>c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.【答案】 (1)B (2)(0，＋∞)【解析】 (1)由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8【答案】 A【解析】 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b【答案】 D【解析】 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )【答案】 A【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【答案】 D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2). ∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12B.1C.2D.4 【答案】 C【解析】 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【答案】 －1【解析】 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 【答案】 (－1，0)【解析】 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】 －2【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值.【答案】见解析【解析】(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.【答案】见解析【解析】(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )【答案】 A【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.12.设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【答案】 D【解析】 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .13.(2019·衡水中学检测)已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________.【答案】 [1，＋∞)【解析】 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1.14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ).∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数.(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0，∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。