江西省鹰潭市2014届高三第二次模拟考试数学(文)试题

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考文科数学试卷（带解析）1．已知i 为虚数单位，复数i z2321+-=的共轭复数为z ，则=+z z （ ）A ．i 2321+-B ．i 2321--C ．i 2321+D ．i 2321- 【答案】D 【解析】 试题分析：=+zz112--+=i 2321-，故选D ． 考点：复数的运算和有关概念． 2．已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-απαα4cos ,31cos sin 2则= （ ） A ．181 B ．91 C ．92 D ．1817【答案】D【解析】试题分析：由已知可得1-2sin cos αα=19，即8s i n 29α=，所以2c o s ()4πα-=1c o s 2()1c o s (2)1s i n 242222ππααα+-+-+===1817 ，故选D ． 考点：1．二倍角公式．2．同角的基本关系式．3．已知0>a 且1≠a ，则1>ba 是0)1(>-b a 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：若1>ba ，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以0)1(>-b a ；若0)1(>-b a ，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以1>ba ，故选C ． 考点：1．指数函数的性质；2．充要条件4．对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子321ln *41e -⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D 【解析】试题分析：因为b a *=(1),(1),a b a b b a b a+≥⎧⎨+<⎩，而lne 3=3>121()24-=,所以321ln *41e -⎪⎭⎫⎝⎛=lne 3(121()4-+1)=3×(2-1)=9,故选D ．考点：1．新定义；2．指数函数和对数函数的性质．5．已知函数()()()x x f x x f -'+=ln 22，则()1f '= （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：对函数()()()x x f x x f -'+=ln 22求导得1()2(2)(1)f x x f x''=+-，令x=1，得1(1)2(2)(1)21f f ''=+-=，故选B ． 考点：导数的计算．6．数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=,n A 表示{}n a 前n 项之积，则2014A = （ ） A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：因为113,1,n n n a a a a +=-=所以a 2=3421,,332a a =-=,数列{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3=-1 ∵2014=3×671+1∴A 2014=（-1）671×3=-3,故答案为-1． 考点：数列递推式．7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，其中甲成绩的中位数为15，极差为12；乙成绩的众数为13，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 （ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =>【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得x=5，y=1，z=3，甲的成绩是9，14，15，15，16，21； 乙的成绩是 8，13，13，15，19，22；所以1x =91415151621156+++++=，2x =81313151922156+++++=；1s =361001363763+++++=，2s =4944016496163+++++=，故选B ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．8．下列命题中的真命题是（ ）①若命题:0,sin p x x x ∃<≥，命题q ：函数()22x f x x =-仅有两个零点，则命题p q ⌝∨为真命题；②若变量,x y 的一组观测数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 均在直线21y x =+上，则y x 与的线性相关系数1r =;③若[],0,1a b ∈，则使不等式21<+b a 成立的概率是41．A ．①②B ．①③C ．②D ．②③ 【答案】A 【解析】试题分析：命题:0,sin p x x x ∃<≥是真命题，所以命题p q ⌝∨为真命题，故①是真命题；由线性相关的定义可知②正确；③不正确，故选A ．考点：1．复合命题真假的判断；2．几何概率；3．线性相关．9．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( ) A ．109 B ．1110 C ．98 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：∵直线m x a y +=121与圆（x-2）2+y 2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称， ∴a 1=2，2－d=0,∴d=2,∴S n =n ×2+(1)2(1)2n n n n -⨯=+, 11111(1)1S n n n n ==-++,所以10111111111 (1223341011)S =-+-+-++-=1 111-=1110，故选B ．考点：1．等差数列的前n 项和；2．直线和圆的方程的应用以及圆的对称性；3．数列前n项和的求法．10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2．5时，y 逐渐变大，当x=2．5时，y 有最大值，当x 从2．5变化到3时，y 逐渐变小， 到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3， 根据二次函数和一次函数的性质．故选：A ． 考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．11．已知向量()()1,2,,4a b m ==-，且a ∥b ，则()a a b ⋅+=________． 【答案】-5 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以 2m=-4，解得m=-2，()a a b ⋅+=（1,2）·（-2+1，-2）=-1-4=-5． 考点：1．向量平行的充要条件；2．向量的坐标运算．12．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为________．【答案】15+2【解析】 试题分析：由已知中的三视图可得该几何体为：下部是由两个棱长为1的正方体和一个棱长为1的正方体的一半组成，上部是棱长为1的正方体；∴根据三视图可知几何体的表面积为：14×1+2×112⨯+1×15+2．故答案为15+2考点：三视图和几何体的表面积．13．已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数，且m 满足不等式()0192≤--m m m ，则实数m 的值为______． 【答案】2π±【解析】试题分析：：因为f （x ）为奇函数，所以f （0）=0，即cosm=0，解得m=k π+2π，k ∈Z ，由()0192≤--m m m 解得 -3≤m≤3且m≠0，m≠1，所以m=2π±．考点：三角函数的奇偶性及分式不等式的解法．14．已知离心率为2的双曲线221x y m n+=()R n m ∈,的右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn=____________ ． 【答案】13【解析】试题分析：由题意可得m+n=1，4m n m +=，解得m=14，n=34，所以m n =13考点：双曲线和抛物线的性质．15． 已知集合(){}M=ln 2x y x x R =-∈，{}N=14,x x x a x R ---<∈ 若MN φ≠,则实的数a 取值范围是____________ ．【答案】()1,-+∞ 【解析】试题分析：M={x ︱x>2},N=R ，而14x x ---=3,(1)25,(14)3,(4)x x x x -<⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩，因为MN φ≠，所以a>2×2=－1．考点：集合中元素的特征和集合间的关系16．已知()322sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈ （1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()f A =3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）π 5,212k x k Z ππ=+∈（2）2【解析】试题分析：（1）f （x ）解析式利用二倍角的正弦、诱导公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期，根据正弦函数的对称性即可确定出对称轴方程；（2）由()f A =f （x ）解析式，求出A 的度数，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出bc 的最小值，将sinA ，bc 的最小值代入三角形面积公式求出△ABC 的面积，然后在求出h 的最大值即可．（1）()2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-=--⎪⎝⎭()f x π∴的最小正周期为52,,32212k x k x k Z πππππ-=+=+∈令得（2）由()f A =sin 20=3223A A πππ⎛⎫⎛⎫-=∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A ，， 由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc =+-+-≥得9bc ≤即（当且仅当b=c 时取等号）设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知11sin ,322ah bc A h ==≤得h ∴≤h 考点：1．余弦定理；2．正弦函数的对称性和周期；2．基本不等式的运用．17．已知箱子里装有4张大小、形状都相同的卡片，标号分别为1,2,3,4． （1）从箱子中任取两张卡片，求两张卡片的标号之和不小于5的概率；（2）从箱子中任意取出一张卡片，记下它的标号m ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的标号n ，求使得幂函数()()nm xn m x f 2-=图像关于y 轴对称的概率．【答案】（1）32（2）316【解析】 试题分析：（1）首先求出从4张卡片中任取2张的取法数，然后再求出两张卡片的标号之和不小于5的取法数，最后根据随机事件的概率公式求解即可． （2）求出数对()n m ,包含的基本事件个数，然后在求出使得幂函数()()nmx n m x f 2-=为偶函数的基本事件个数，最后根据随机事件的概率公式求解即可． （1）P (两张卡片的标号之和不小于5的概率)=325分 （2）数对()n m ,包含16个基本事件，（1,1），（1，2），（1,3），（1,4），（2,1），（2，2），（2,3），（2,4），（3,1），（3，2），（3,3），（3,4），（4,1），（4，2），（4,3），（4,4） 8分其中使得幂函数()()nmxn m x f 2-=为偶函数的基本事件有（2,1），（2，3），（4,3）共3个基本事件，故316P =． 考点：随机事件的概率．18．已知等比数列{}n a 中，54242a a a a +=，前()2m m N *∈项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍． （1）求通项n a ；（2）已知{}n b 满足()()n n b n a n N λ*=-∈，若{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n n a ∴= （2）λ<3 【解析】试题分析：（1）由前()2m m N *∈项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍可求出公比q 的值，再根据等比数列的通项公式和54242a a a a +=，求出a 1的值，即得到通项n a ．（2）首先求出b n 的表达式，然后根据{}n b 是递增数列，列出关于λ的不等式，分离出λ即可求解．（1）由已知得()123224232m m a a a a a a a ++++=+++()135212421,22m m a a a a a a a q -++++=+++∴=2分又由542a a aa +=得222333332,28a q a q a q q a a +=+=∴=即，4分332n nn a a q -∴==6分（2）{}n b 是递增数列，1n n b b *+∴>∈对n N 恒成立且()()1122n n n N n n λλ*+∈+->-时，恒成立9分得2n λλ*<+∈对n N 恒成立,即<3考点： 1．等比数列的性质；2．不等式恒成立问题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点，面PAD ⊥面ABCD ，四边形BCDE 为矩形60PAD ∠=，PB =,22PA ED AE ===． （1）已知()PF PC R λλ=∈,且PA ∥面BEF ，求λ的值; （2）求证：CB ⊥面PEB ,并求点D 到面PBC 的距离．【答案】（1）13（2）32【解析】试题分析：（1） 连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，由直线与平面平行的性质定理可得//FM AP ，由平行线分线段成比例的性质可得12PF AM FC MC ==，故13λ=． （2）根据勾股定理可知PE AD ⊥，由平面与平面垂直的性质可得PE ⊥面ABCD ，即PE CB ⊥，而已知BE CB ⊥，根据直线与平面垂直判定定理可得CB ⊥面PEB ，由D PBC P DBCV V --=可求出点D 到面PBC 的距离．（1） 连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．//PA BEF面//FM AP∴3分//EM CD 12AM AE MC ED ∴== //FM AP ,12PF AM FC MC ∴== 13λ∴=5分（2）2,1,60,AP AE PAD PE PE AD ==∠=∴=∴⊥ 6分又面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD 面ABCD AD =,PE ⊥面ABCD PE CB ∴⊥又BE CB ⊥,且PE BE E ∴=,CB ∴⊥面PEB 9分设点D 到面PBC 的距离为d ，由D PBC P DBC V V --=,得11112233232d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，求得32d =12分考点： 1．直线与平面平行和垂直的判定及性质；2．平行线分线段成比例的性质；3．平面与平面垂直的性质．20．已知1,2F F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2斜率为k（0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，1EFF ∆的周长为8，且椭圆C 与圆223x y +=相切。

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z 满足(1i)i(i )z +=为虚数单位，则z 为（ ） A .1i 2+ B .21-i C .1i - D .1i - 2.已知集合A={}2|1,x x x R ≥∈，B={}2|log 2,x x x R <∈ 则R C A B ⋂= A .[]1,0 B .()1,0 C .()1,3- D .[]1,3-3已知函数2(0)()0)xx f x x ⎧≥⎪=< 则1x = 是()2f x = 成立的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知1sin 3α=，则2cos ()24απ+= A . 16 B .23 C . 13 D .125 .为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为1：3：5 ,第二组的频数为150，则被调查的人数应为 （ ）A .600B .400C .700D .5006．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ,则222z x y =++的最大值( )A ．15B ．17C ．18D ．197. 某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ） A .9214π+ B .8214π+C .9224π+D .8224π+8.已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++ 在x R ∈上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239 .过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 右焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量31OA OB α+=-与向量（，） 共线，则该椭圆的离心率为 （ ）ABCD．310 .如图正方形ABCD 边长为4cm ，E 为BC 的中点，现用一条垂直于AE 的直线l 以0.4m/s 的速度从1l 平行移动到2l ，则在t 秒时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积记为2()()F t m ，则()F t 的函数图像大概是 （ ）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014年江西省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 设全集U =M ∪N =﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N =﹛2，4﹜，则N =( )A {1, 2, 3}B {1, 3, 5}C {1, 4, 5}D {2, 3, 4}2. 设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a 为（ ） A 2 B −2 C −12 D 123. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4=S 9，则a 7=( )A 1B 2C 3D 04. 给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）(1)相关系数r(|r|≤1)，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(2)命题p:∀x ∈R ，x 2−2x +3>0，则¬p:∃x ∈R ，x 2−2x +3<0．(3)若a ，b 为实数，则0<ab <1是b <1a 的充分而不必要条件． A 1 B 2 C 3 D 05. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A i <20B i >20C i <10D i >106. 设e 1→，e 2→是平面内两个不共线的向量，AB →=(a −1)e 1→+e 2→，AC →=be 1→−2e 2→(a >0, b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是（ ）A 14B 12C 16D 18 7. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，若f(x)图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且当x =π6时，f(x)取得最大值，则f(x)在[π6, 7π6]上（ ） A 是减函数 B 是增函数 C 先增后减函数 D 先减后增函数8. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f(x +2)=f(x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1．则函数g(x)=log 6|x|−f(x)的零点的个数是（ ）A 6个B 8个C 10个D 12个9. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若该双曲线左支上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A √2 B √3 C 2 D √510. 如图，三棱锥P −ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60∘．设点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，且DE // BC ，记PD =x ，△ADE 周长为y ，则y =f(x)的图象可能是（ ）A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11. 函数y =f(x)的图象在点P （3, f(3)）处的切线方程为y =x +2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+f′(3)________．12. 从平面区域G ={(a, b)|−1≤a ≤1, −1≤b ≤1}内随机取一点(a, b)，则使得不等式x 2+2bx +a 2≥0对于任意实数x 都成立的概率是________．13. 如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________． 14. 已知MN 是边长为2的正△ABC 内切圆的一条直径，P 为边AB 上的一动点，则PM →⋅PN →的取值范围是________．15. 已知点F 为抛物线y 2=−8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.16. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ⋅cosB −(2a −b)(2cos 2C 2−1)=0．（1）求角C 的大小；（2）若c =2√3，S △ABC =2√3，求边a ，b 的值．17. 在正项数列{a n }中，a 1=1，a 5=16，对于任意的n ∈N ∗，函数f(x)=a n+12x −a n a n+2(cosx +sinx)，满足f′(0)=0．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =2n−1n(n+2)a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <34．18. 某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；(2)假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为12，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？19. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C．(Ⅰ)求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；(Ⅱ)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE // 平面ABC1；若存在，求三棱锥E−ABC1的体积．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，离心率e=√22，A，B是椭圆上的动点．（1）求椭圆标准方程；（2）若直线OA与OB的斜率乘积k OA⋅k OB=−12，动点P满足OP→=OA→+OB→（O为坐标原点）．问是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．21. 已知实数a>0，函数f(x)=e x−ax−1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的单调区间及最小值；（2）若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1 n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n<ee−1，其中n∈N∗．]．2014年江西省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. A3. D4. A5. D6. B7. A8. C9. D10. C11. 612. 1213. 9√314. [0, 1]15. 2√1316. 解：（1）∵ c⋅cosB−(2a−b)(2cos2C2−1)=0．∴ sinCcosB−2sinAcosC+sinBcosC=0，∴ sin(B+C)=2sinAcosC，∴ sinA=2sinAcosC，∴ cosC=12，∵ 0<C<π，∴ C=π3．（2）S=12absinC=2√3，∴ ab=8，①∵ cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−1216=12，∴ a2+b2=20，②由①②求得a=2，b=4或a=4√2，b=√2．17. 解：（1）∵ f(x)=a n+12x−a n a n+2(cosx+sinx)，∴ f′(x)=a n+12−a n a n+2(−sinx+cosx)，由f′(0)=0，得a n+12=a n a n+2，又a n>0，故数列{a n}为等比数列，且公比q>0．…..由a1=1，a5=16，得q4=16，q=2，∴ 通项公式为a n=2n−1．（2）∵ b n=2n−1n(n+2)a n =2n−1n(n+2)2n−1=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴ 数列{b n}的前n项和为S n=12(1−13+12−14+13−15+...+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−1n+1−1n+2<34． 即S n <34成立．18. 解：(1)设三个“非低碳小区”为A ，B ，C ，两个“低碳小区”为m ，n ，用(x, y)表示选定的两个小区，x ，y ∈{A, B, C, m, n}，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是(A, B)，(A, C)，(A, m)，(A, n)，(B, C)，(B, m)，(B, n)，(C, m)，(C, n)，(m, n)．用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们 是：(A, m)，(A, n)，(B, m)，(B, n)，(C, m)，(C, n)．故所求概率为P(D)=610=35． (2)由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”．由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.76>0.75，所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准．19. （I ）证明：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面ABC ．∴ AA 1⊥AC ，又AA 1＝AC ，∴ A 1C ⊥AC 1．又BC 1⊥A 1C ，∴ A 1C ⊥平面ABC 1，∵ A 1C ⊂平面A 1C 1CA ，∴ 平面ABC 1⊥平面A 1C 1CA ．(II)取AA 1中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 中点时，EF // AB ，DF // AC 1．即平面EFD // 平面ABC 1，则有ED // 平面ABC 1．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面A 1B 1C 1．AA 1⊥A 1C 1，A 1C ⊥平面ABC 1，可得A 1C ⊥AB ，又AA 1⊥AB ，AB ⊥平面AC 1，则AB ⊥A 1C 1，故A 1C 1⊥平面AB 1，当E 为中点时，V E−ABC1＝V C1−ABE =13⋅2⋅12⋅1⋅1=13．20. 解：（1）由题意知：{c =1c a=√22，解得a =√2， ∴ b 2=a 2−c 2=1，∴ 椭圆标准方程为x 22+y 2=1．（2）设P(x, y)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由OP →=OA →+λOB →得(x, y)=(x1, y1)+λ(x2, y2)=(x1+λx2, y1+λy2)，即x=x1+λx2，y=y1+λy2．∵ 点A、B在椭圆x2+2y2=2上，∴ x12+2y12=2，x22+2y22=2，故x2+2y2=(x12+λ2x22+2λx1x2)+2(y12+λ2y22+2λy1y2) =(x12+2y12)+λ2(x22+2y22)+2λ(x1x2+2y1y2)=2+2λ2+2λ(x1x2+2y1y2)．∵ k OA⋅k OB=y1x1⋅y2x2=−12，∴ x1x2+2y1y2=0，∴ x2+2y2=2+2λ2．即x22+2λ2+y21+λ2=1．∴ P点是椭圆x22+2λ2+y21+λ2=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|为定值．又∵ c=√1+λ2，∴ 此椭圆的两焦点的坐标为F1(−√1+λ2, 0)，F2(√1+λ2, 0)．∴ 存在两个定点F1(−√1+λ2, 0)，F2(√1+λ2, 0)．使得|PF1|+|PF2|=2√2+2λ2．(III)证明：设A(x1, y1)，D(x2, y2)，由题设可知：x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，x1≠x2，C(x1, 0)，B(−x1, −y1)．由题意可知：k CB=k BD，∴ y12x1=y2+y1x2+x1，③k AB⋅k AD+1=y1x1⋅y2−y1x2−x1+1，④将③代入④得：k AB⋅k AD+1=2(y2+y1)x2+x1⋅y2−y1x2−x1+1=(x22+2y22)−(x12+2y12)x22−x12，⑤点A，D在椭圆x2+2y2=2上，∴ k AB⋅k AD+1=(x22+2y22)−(x12+2y12)x22−x12=2−2x22−x12=0．∴ k AB⋅k AD=−1，∴ AB⊥AD．21. 解：（1）∵ f′(x)=e x−a，当a>0时，若x∈(lna, +∞)，f′(x)>0，得函数f(x)在(lna, +∞)上是增函数；若x∈(−∞, lna)，f′(x)<0，得函数f(x)在(−∞, lna)上是减函数．则当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是(lna, +∞)，单调递减区间是(−∞, lna)．即f(x)在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1．（2）若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f(x)min≥0，由（1）知，f(x)min=a−alna−1，设g(a)=a−alna−1，则g′(a)=1−lna−1=−lna，由g′(a)=0得a=1，由g′(x)>0得，0<x<1，此时函数单调递增，由g′(x)<0得，x>1，此时函数单调递减，∴ g(a)在a=1处取得最大值，即g(1)=0，因此g(a)≥0的解为a=1，∴ a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x−x−1≥0，即1+x≤e x．令(n∈N∗, k=0, 1, 2, 3,…,n−1)，则0<1−kn≤e−k n．∴ (1−kn)n≤(e−k n)n=e−k．∴ (1n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n≤e−（n−1）+e−（n−2）+...+e−2+e−1+1=1−e−n1−e−1<11−e−1=ee−1．∴ (1n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n<ee−1．。

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然后从整体上看，本试卷更侧重于对重点模块的考察，这让大家也感觉比较舒服一些，因为毕竟平时的时候大家把更多的精力都放在这些重点模块上。

试题重点突出，层次分明，逐步深入，使学生解题入手容易，心理状态平和，正常发挥能力，自我满意程度提高。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，若向量2123e e -=，则=⋅1e ()211211123232a e e e e e e e =-=-232cos3π=-【思路点拨】求解两个向量的数量积等于两个向量的模长之积再乘以其夹角的余弦值.2．已知集合{}0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞正确．【思路点拨】先求出A 、B 集合，再求它们的交集. 3．已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．11【思路点拨】a 的值,把a 的值代入z 中用模长公式求出它的模长即可.4．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S A ．2014- B ．1007- C ．1007 D ．2014 【知识点】根与系数的关系;等差数列的性质;等差数列的前n 项和公式．【答案解析】 D 解析 ：解：因为20132,a a 是方程0222=--x x 的两根,则12014220132014()2014()201422a a a a ++==数的关系求得2a +2013a =2,由等质得1201422a a a a +=+,再用等差数列的前n . 5．已知命题:p 直线4π-=x 是曲线1)43sin(2)(++=πx x f 的对称轴；命题:q 抛物线24x y =的准线方程为.1-=x 则下列命题是真命题的是A ．p 且qB ．p 且q ⌝C ．p ⌝且qD ．p ⌝或q6．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①x x x f cos sin )(=，②22sin 2)(+=x x f ，③)4sin(2)(π+=x x f ，④x x x f cos 3sin )(-=，其中属于“同簇函数”的是A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【知识点】三角函数中的恒等变换应用;函数的图象与图象变化;函数y=Asin （ωx+φ）的图【答案解析】 D 解析 ：解：①1()sin 22f x x =,振幅为12.②()22f x x =+,振幅为.③()2sin()4f x x π=+,振幅为2.④()sin 2sin()3f x x x x π=-=-振幅为2.根据“同簇函数”的定义可知，两个函数的振幅必须相同，通过平移之后图象才能进行重合．故只有③④是“同簇函数,答案D 正确．【思路点拨】根据三角函数的关系将三角函数进行化简，结合“同簇函数”的定义进行判断即可.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．316 B ．332 C ．16 D ．32 【知识点】由三视图求面积、体积．8．已知双曲线)0(13222>=-b by x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为 x y 2=，点P 在该双曲线上，且821=⋅PF ，则=∆21F PF SA ．4B ．64C ．8D ．212 【知识点】渐近线方程;余弦定理;三角形的面积公式．【答案解析】 D 解析 ：解：由渐近线方程可求得b =则3c =.设向量1PF 与2PF 的夹角为θ,1212cos 8PF PF PF PF θ==(1),在三角形12PF F 中,由余弦定理得22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=(2),由双曲线的定义的1223PF PF -=联立三式得1220PF PF =,sin 5θ=12121sin 2PF F S PF PF θ== 【思路点拨】先求出b,c 的值,再由向量的数量积、余弦定理和双曲线的定义求出两个向量的模的积和正弦值，最后由面积公式求的即可.9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则 不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为 A ．1(0,) B ．1(0,)(10,)+∞ C ．1(,10) D ．(10,)+∞【思路点拨】设1()(),2g x f x x =-由1()2f x '<得()0g x '<是减函数,将所求不等式变形后,利用()g x 时减函数求出x 的范围.10．如图所示几何体中，AB ∥CD ∥EG ，90=∠ABC ， AB EG CD 21==，平面⊥BCEF 平面ABCD ，点M 为侧面BCEF 内的一个动点，若点M 到直线EG 的距离 与到平面ABCD 的距离相等，则点M 在侧面BCEF 内的轨迹是A ．一条线段B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分 【知识点】轨迹方程;圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案解析】 C 解析 ：解：∵∠ABC=90°，平面BCEF ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面BCEF ，∵AB ∥EG ，∴EG ⊥平面BCEF ，∵EM ⊂平面BCEF ，∴EG ⊥EM ，即ME 为点M 到直线EG 的距离，∵点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，∴M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，∴点M 在侧面BCEF 内的轨迹是抛物线的一部分．【思路点拨】先证明EG ⊥平面BCEF ，可得ME 为点M 到直线EG 的距离，由点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，可得M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()232xf x x m =-+（m 为实常数），则(1)f = . 【思路点拨】先求出m 的值,再利用奇函数的性质得到(1)(1)f f =--,解得即可.12．已知点),(y x P 是满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->-≥+42244x y x y x 的区域内的动点，则12++x y 的取值范围是 .【知识点】简单的线性规划;斜率的坐标公式．【答案解析】 2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 解析 ：解：其可行域如下图所示,设21y k x +=+,由图象可知当过点(4,0)时min 25k =,当过点(0,1)时max 3k =,又因为可行域不含(0,1)点,所以取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭【思路点拨】画出可行域,由所求式子的可知是定点与可行域内点的斜率的取值范围. 13．如图是某算法的程序框图，当输出的结果100>T 时，整数s 的最小值是 .【思路点拨】根据框图依次写出每次循环的k 、T 的结果.14．已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这七个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ． 【知识点】中位数的意义;平均数的意义;最值求法．【答案解析】233 解析 ：解：根据题意235124x x y ≤≤⎧⎨++-=⎩,所以2111y x x x -=-- 15．已知偶函数)(x f 满足()(2)0f x f x -+=，且当]1,0[∈x 时，xe x xf ⋅=)(，若在区间]3,1[-内，函数k kx x f x g 2)()(--=有且仅有3个零点，则实数k 的取值范 围是 .∴f （x ）=f （x+2），即函数的周期是2，三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）先将函数)232cos()(π+=x x f 的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象. （1）求函数)(x g 的解析式和单调递减区间； （2）若A 为三角形的内角，且31)(=A g ，求)2(A f 的值.【知识点】诱导公式;三角函数图象的变换;三角函数单调区间的求法;两角的和与差公式． 【答案解析】 解析 ：(1）x x x f 2sin )232cos()(=+=π，∴依题意，有)6sin()(π-=x x g ，由πππππk x k 223622+≤-≤+得：ππππk x k 235232+≤≤+，.Z k ∈ )6sin()(π-=∴x x g ，且它的单调递减区间为).](235,232[Z k k k ∈++ππππ………………………………………………………………6分（2）由（1）知，31)6sin()(=-=πA A g ， π<<A 0 ， 6566πππ<-<-∴A ， 又2131)6sin(0<=-<πA ，260ππ<-<∴A ， .322)6cos(=-∴πA ∴.6322213222331]6)6sin[(sin )2(+=⨯+⨯=+-==ππA A A f ………………………………………………………………12分．【思路点拨】利用诱导公式化简函数f(x),根据平移变换和伸缩变换得到函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的递减区间求得函数g(x)的减区间；利用（1）的结论求得sin()6A π-和cos()6A π-的值，再利用两角的和与差公式求得即可.17．（本小题满分12分）某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标φ划分为：5.7≥φ为正品，5.7<φ为由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数 据的平均数相等，方差也相等． （1）求表格中x 与y 的值；（2）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求取出的2件都为正品的概率． 【知识点】平均数和方差的计算公式;基本事件;古典概型的应用．17.【答案解析】 解析 ：(1) 8)5.995.777(51=++++=A x ，)5.85.86(51y x x B ++++=，∴由B A x x =得：17x y += ①，又1.1)25.2125.011(512=++++=A s ， ])8(25.025.0)8(4[51222-+++-+=y x s B ， ∴由22B A s s =得：228+8=1x y --（）（）． ②由①②及y x <解得：8,9x y ==． …………………………6分（2）记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:),,(),,(),,(413121B B B B B B).,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251B B B B B B B B B B B B B B记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件： ),,(),,(),,(),,(),,(),,(545343524232B B B B B B B B B B B B ∴63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. …………………………12分．【思路点拨】利用平均数和方差的定义获得关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值;用列举法求出满足题意的概率. 18．（本小题满分12分） 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ， M 是BC 边的中点，F E ,分别是,AB CD 上的点，且EF ∥BC ，设x AE =． 如图，沿EF 将四边形AEFD 折起，使平面AEFD ⊥平面.EBCF （1）当2=x 时，求证：EM BD ⊥； （2）当x 变化时，求四棱锥BCFE D - 的体积)(x f 的函数式．【知识点】面面垂直的性质;线面垂直的判定及性质;锥体的体积公式. 【答案解析】 解析 ：（1）证明：如图，作EF DH ⊥于H ，连结EM MH BH ,,， 平面⊥AEFD 平面EBCF ，⊥∴DH 平面EBCF .又⊂EM 平面EBCF ， .DH EM ⊥∴BC AD EH 21== ，EF ∥BC ， 90=∠EBC ， ∴四边形BMHE 为正方形， .BH EM ⊥∴ ⊥∴EM 平面.BDH又⊂BD 平面BDH ，.BD EM ⊥∴ ………6分（2）由（1）知，x AE DH ==为四棱锥BCFE D -的高，x AE = ， x BE -=∴4，x EF 212+=， 2111()(24)(4)2221212.4B C F ES E F B C B E x x x x ∴=+⋅=++⋅-=--+ .43212131)(23x x x x S x f BCFE +--=⋅=∴……12分 【思路点拨】利用面面垂直的性质作出DH 垂直EF 于H,易得BMHE 为正方形,所以ME 垂直BH,又DH垂直EM,所以EM 垂直平面BHD,所以EM 垂直BD;由比例线段易得EF 的长,再用锥体体积公式得函数f(x)的解析式. 19．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项21=a ，n S 为其前n 项和，若1325,,3S S S成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 2log =，12+=n n n b b c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T . 若对于任意的 *N n ∈，)4(+≤n T n λ恒成立，求实数λ的取值范围.【知识点】等差、等比数列求解基本量；裂项相消法求和；基本不等式.【答案解析】（1）2n n a =；（2）).,92[+∞解析 ：解：（1）设{}n a 的公比为q .∵2313,,5S S S 成等差数列，.352213S S S +=∴即)(35)(21112111q a a a q a q a a ++=++，化简得0622=--q q ，解得：2=q 或.23-=q 由已知，.2=q .2n n a =∴ ……………6分 （2）由n n a b 2log =得.2log 2n b n n ==).111(2)1(221+-=+==∴+n n n n b b c n n n ).111(2)1113121211(2+-=+-++-+-=∴n n n T n …………9分542)4)(1(2)4(++=++≥⇔+≤∴nn n n n n T n λλ 954254=+⋅≥++n n n n ，当且仅当nn 4=即2=n 时等号成立，.92542≤++∴nn ∴实数λ的取值范围是).,92[+∞ ………12分 【思路点拨】（1）先通过2313,,5S S S 成等差数列，解得q,然后写出通项.（2）先用裂项相消法求和n T ，然后利用基本不等式即可. 20．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值．【知识点】直线恒过定点的问题；椭圆方程的求法；根与系数的关系；基本不等式.【答案解析】 （1）.13422=+y x （2）①略；②92解析 ：解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ， 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， 又3=+c a ， 2=∴a ，.3222=-=∴c a b∴椭圆的方程为.13422=+y x ………………………5分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，则可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s ty联立求得交点)523,5285(---s ts s S ，代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s ∴点S 恒在椭圆C 上. ……………………………9分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，则.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m m u u 19+ 在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10..294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………13分【思路点拨】（1）找出直线恒过的定点，再解椭圆中的基本量.（2）①直线方程联立解出坐标后代入进行整理即可. ②直线方程与椭圆方程联立，找出根与系数的关系后利用基本不等式求出最小值. 21．（本小题满分14分）设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （1）若()f x 在14x =处的切线与直线40x y +=平行，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ， 求证：0()0f x '<．【知识点】导数的几何意义；两直线平行的充要条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式.第 11 页 共 11 页【答案解析】 （1）.6-=a （2）)(x f 的单调递增区间为)1,0(a-，递减区间为).,1(+∞-a（3）略 解析 ：解：（1）由题知)(x f 的定义域为),0(+∞，且xx a ax x f 1)4(4)(2+++='．又∵)(x f 的图象在41=x 处的切线与直线04=+y x 平行，∴4)41(-='f ，即.4]141)4(1614[4-=+⨯++⨯a a 解得.6-=a ………4分（2）x ax x x x a ax x f )1)(14(1)4(4)(2++=+++='，由0>x ，知xx 14+>0． ①当0≥a 时，对任意0)(,0>'>x f x ，)(x f 在),0(+∞上单调递增。

2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. (1,3) 12．313．32- 14． 10 15．①②④三、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）甲生产一件产品A ，给工厂带盈利不小于30元的概率为：11911010P =-=……………………………………………………………………………6分 （2）估计甲一天生产的20件产品A 中有120210⨯=件三等品，………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有215310⨯=件三等品，……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分17．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =；………………………………………………6分 （2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分133()39322[()1]344212n n nT +-==--．………………………………………………………12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，…… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ， 则'A O ⊥平面ABCD ………………3分因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==， 得到：'A H CH ==1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==ABCD EF A 'O H所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =⨯-⨯⨯=6分 （2）线段'A C 上存在点M ，使得'//A M 平面'A EF，'A M =．……………7分证明：'A M =1'4A C =，14HO HC =， 所以//'OM A H ，所以//OM 平面'A EF ，……………………………………………9分又//BD EF ，所以//BD 平面'A EF ，…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF ， …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内，所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分 19．解：（1）由2AN AC =，得点N 在射线AC 上， 4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =5分 （2）设BA M x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：AM =，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=- ………………………10分（其中：sin φφφ==为锐角）， 所以当290x φ-=︒时，△ABN12分 20．解：（12,a b c ==， 所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b by x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分 设1122(,),(,)C x y D x y，则12x x +=，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)E t ， 则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆E 过点F，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：2t =-或t =t =23m -=<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(2-．……………………13分21.解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，……………………2分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………3分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；……………… 4分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，(0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增， ……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，猜测()0f x <恒成立，……………7分证明：()0f x <等价于sin 2cos 2x a x x <+，记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则 222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，……………………………10分当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间(0,)+∞上单调递减，……………12分 所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即()0f x <恒成立；……………………………14分。

江西省鹰潭市2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．定义{}B y A x xy z z B A ∈∈==⨯且,，若{}{}|12,1,2A x x B =-<<=-， 则A B ⨯=（ ）A.{}|12x x -<<B.{}1,2-C.{}|22x x -<<D.{}|24x x -<< 【答案】D 【解析】试题分析：解：因为-12x <<，当1y =-时，21z xy -<=<； 当2y =时，24z xy -<=<{}{}{}212424A B z z z z z z ⨯=-<<-<<=-<<故选D.考点：1、不等式的性质；2、集合的表示法；3、集合的运算，4、新定义.2．复数i i i i a (2122014⋅-+是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．14 B ．14- C ．1 D.1-【答案】C 【解析】试题分析：解：因为()()()()()()()20142122241211212125a i i a a i a i i i i i ++-+++⋅=⨯-=---+是纯虚数，所以220a -=，得1a = 故选C.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( )A.158 B.94 C.31 D.91【答案】A【解析】试题分析：解：()11321719202125302266x =+++++== 因为六名工人的日加工零件个数互不相同，可用该数据代表相应的工人，则从他们中任取两人，共有()17,1()17,2()17,2()17,()17,()19,()19()19()19()20,2()20,2()20,3()21,()21,()25,15个基本结果，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，其中恰有一名优秀工人的有()17,25,()17,30,()19,25,()19,30,()20,25,()20,30,()21,25,()21,30,共8个，所以恰有一名优秀工人的概率为815，故选A. 考点：古典概型；2、茎叶图；3、均值的概念. 4．下列四个命题：①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“013>-a ”发生的概率为31； ②“0≠+y x ”是“1≠x 或1-≠y ”的充分不必要条件；③命题“在ABC ∆中，若B A sin sin =，则ABC ∆为等腰三角形”的否命题为真命题； ④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β。

2024届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知全集，，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知，则的虚部为（）A．B．C．D．2(★★) 3. 双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．3B．C．D．(★★★) 4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸(★★★) 5. 质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 在中，角所对应的边为, ，，，是外接圆上一点，则的最大值是（）A．4B．C．3D．(★★★) 7. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）A．1B．3C．5D．7(★★★) 8. 已知函数，，则下列命题不正确的是（）A．有且只有一个极值点B．在上单调递增C．存在实数，使得D．有最小值二、多选题(★★) 9. 下列说法中，正确的是（）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B．两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则C．已知随机变量服从正态分布，若，则D．已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则(★★★) 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（）B．函数的图象关于点A．对称C．D．(★★★) 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A．B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3C．点到直线的距离是D．直线与平面所成角正弦值的最大值为三、填空题(★★) 12. 已知，且，则 ______ .(★★★) 13. 设数列的前项和为，，，，则______ .(★★★★) 14. 已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为 ______ .四、解答题(★★★) 15. 的内角的对边分别为，，，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.(★★★) 16. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.(★★★) 17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.材料材料合计单位：次(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.0.12.706(★★★★) 18. 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.(1)求椭圆的方程：(2)设直线，的斜率分别为，.（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.(★★★★★) 19. “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.(1)证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；(2)已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：(3)求证：.。

2014年江西省师大附中、鹰潭一中、宜春中学等高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知，是夹角为的两个单位向量，若向量=3-2，则•=（）A.2B.4C.5D.7【答案】B【解析】解：∵，是夹角为的两个单位向量，且=3-2，∴•=（3-2）•=3-2=3-2×1×1×cos=4故选：B由题意可得•=（3-2）•=3-2，代入已知数据化简可得．本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．2.已知集合A={x|2x2-x-1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A.（0，1）B.（0，1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】解：A={x|2x2-x-1≥0}={x丨x≥1或x≤}，B={x|y=}={x丨＞}={x丨x＞1}，则A∩B={x丨x＞1}，故选：C求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3.已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：==，若为纯虚数，则，解得a=，则z=（2a+1）+i=z=2+i，则复数z=（2a+1）+i的模为，故选：C根据复数的基本运算，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算求出a的值是解决本题的关键，比较基础．4.已知等差数列{a n}中，a2，a2013是方程x2-2x-2=0的两根，则S2014=（）A.-2014B.-1007C.1007D.2014【答案】D【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2，a2013是方程x2-2x-2=0的两根，∴a2+a2013=2，∴a1+a2014=a2+a2013=2，∴S2014==2014故选：D．由韦达定理和等差数列的求和公式和性质可得S2014==，计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及韦达定理的应用，属基础题．5.已知命题p：直线x=-是曲线f（x）=2sin（3x+）+1的对称轴；命题q：抛物线y=4x2的准线方程为x=-1．则下列命题是真命题的是（）A.p且qB.p且￢qC.￢p且qD.￢p或q【答案】B【解析】解：由正弦函数的性质知，令sin（3x+）=±1，得3x+=kπ+，（k∈Z），即x=+，取k=-1时，x=-，故命题p为真命题．已知抛物线的标准方程为x2=，由抛物线的性质知p=，焦点在y轴上，故其准线方程为y=-，故命题q为假命题，则￢q为真命题故p且q为假命题，p且￢q为真命题命题，￢p且q为假命题，￢p或q为假命题．故选B．先根据正弦函数的性质求出已知函数的对称轴，判断命题P的真假；在根据抛物线的性质求出已知抛物线的准线方程，判断命题q的真假．本题主要考查了学生对复合命题的理解和掌握．要求学生对复合命题的种类和真假性质熟练掌握．6.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）=sinxcosx，②f（x）=sin2x+2，③f（x）=2sin（x+），④f（x）=sinx-cosx，其中属于“同簇函数”的是（）A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】D【解析】解：∵①f（x）=sinxcosx=，②f（x）=sin2x+2，③f（x）=2sin（x+），④f（x）=sinx-cosx=2=，∴只有③经过相右平移个单位可得④．因此③④为“同簇函数”．故选：D．利用三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换，再根据“同簇函数”的意义即可得出．本题考查了三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换、新定义，属于基础题．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C.16 D.32【答案】A【解析】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，四棱锥的底面是对角线长为4的正方形，∴底面正方形的边长为2，∴几何体的体积V=××2=．故选：A．几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，由三视图判断四棱锥的高为4，底面是对角线长为4的正方形，求出正方形的边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．8.已知双曲线-=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P在该双曲线上，且•=8，则=（）A.4B.4C.8D.2【答案】D【解析】解：∵双曲线-=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴，∴b=，∴c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1，PF2的夹角为α，则mncosα=8，∴36=m2+n2-2mncosα，∴m2+n2=52，∵|m-n|=2，∴mn=20，∴cosα=，∴sinα=，∴=mnsinα=×20×=2．故选：D．先求出b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1，PF2的夹角为α，则mncosα=8，利用余弦定理，计算mn=20，可得cosα，求出sinα，利用=mnsinα，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出mn的值是关键．9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）A.（0，）B.（0，）∪（10．+∞）C.（，10）D.（10，+∞）【答案】B【解析】解：令lg2x=t，（t＞0），则不等式＜即为不等式＜，令，则′′＜，所以F（t）=f（t）-在（0，+∞）内单调递减，又，所以＜的解集为（1，+∞），由＞，得＜＜或＞，所以不等式＜的解集为，，∞．故选：B．令lg2x=t，（t＞0），则＜，令，则′′＜，由此利用导数性质能求出不等式＜的解集．本题考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．10.如图所示几何体中，AB∥CD∥EG，∠ABC=90°，CD=EG=AB，平面BCEF⊥平面ABCD，点M为侧面BCEF内的一个动点，若点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，则点M在侧面BCEF内的轨迹是（）A.一条线段B.圆的一部分C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分【答案】C【解析】解：∵∠ABC=90°，平面BCEF⊥平面ABCD，∴AB⊥平面BCEF，∵AB∥EG，∴EG⊥平面BCEF，∵EM⊂平面BCEF，∴EG⊥EM，即ME为点M到直线EG的距离，∵点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，∴M到定点E的距离等于M到直线BC的距离，∴点M在侧面BCEF内的轨迹是抛物线的一部分．故选：C．先证明EG⊥平面BCEF，可得ME为点M到直线EG的距离，由点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，可得M到定点E的距离等于M到直线BC的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用抛物线的定义是关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x-3x+2m（m为实常数），则f（1）= ______ ．【答案】【解析】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1+2m=0，解得m=-，∴f（-1）=-f（1）==，∴f（1）=，故答案为：根据函数是奇函数，由f（0）=0，可得m，然后利用f（-1）=-f（1），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质求出m是解决本题的关键，注意要学会转化．12.已知点P（x，y）是满足＞的区域内的动点，则的取值范围是______ ．【答案】[，）【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是区域内的点M（x，y）与D（-1，-2）的斜率，由图象可知当直线M经过点A（0，1）时，直线MD的斜率最大，此时z=，但此时取不到，当直线M经过点B（4，0）时，直线MD的斜率最小，此时z=，∴＜，即z的取值范围是[，）．故答案为：[，）．作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13.如图是某算法的程序框图，当输出的结果T＞100时，整数s的最小值是______ ．【答案】5【解析】解：由程序框图知：第一次循环k=2，T=2；第二次循环k=3，T=22×2+3=11；第三次循环k=4，T=23×11+4=92；第四次循环k=5，T=24×92+5=1477＞100；∴跳出循环的k值为5，∴条件为k≥5．故答案为：5．根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于100，确定最小的S值．本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．14.已知x是1，2，3，x，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，x2，-y这四个数据的平均数为1，则y-的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵x是1，2，3，x，5，6，7的中位数，∴x∈[3，5]；1，2，x2，-y的平均数为1，∴1+2+x2-y=4×1，∴y=x2-1；∴y-=x2-1-，设t=x2-1-，则t′=x+，当x∈[3，5]时，t′＞0，t是增函数，在x=3时，有最小值t=32-1-=；即y-的最小值是；故答案为：．由x是1，2，3，x，5，6，7的中位数，得x的取值范围，由1，2，x2，-y的平均数为1，得x，y的关系，从而求出y-的最小值．本题考查了中位数，平均数以及函数的性质与应用问题，是一个综合性题目．15.已知偶函数f（x）满足f（x）-f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（，）【解析】解：∵f（x）-f（x+2）=0，∴f（x）=f（x+2），即函数的周期是2，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x•e-x，由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在[-1，3]的图象，由图象可知当x=1时，f（1）=e，当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=，直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=，∴要想使函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB和AC之间，∴此时直线的斜率k满足＜＜，故k的取值范围是（，），故答案为：（，）由f（x）-f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函数的周期是2，由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的应用，利用函数的周期性和单调性之间的关系，将方程转化为两个函数，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值．【答案】解：（1）∵f（x）=cos（2x+）=sin2x，∴依题意，有g（x）=sin（x-），由+2kπ≤x-≤+2kπ得：+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z．∴g（x）=sin（x-），且它的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]k∈Z．（2）由（1）知，g（A）=sin（A-）=，∵0＜A＜π，∴-＜A-＜，又0＜sin（A-）＜，∴0＜A-＜，∴cos（A-）=，∴f（）=sin A=sin[（A-）+]=×+×=．【解析】（1）依题意，易求g（x）=sin（x-），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x）的单调递减区间；（2）由（1）知，g（A）=sin（A-）=，易知0＜A-＜，于是得cos（A-）=，f（）=sin A=sin[（A-）+]，利用两角和的正弦即可求得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式与两角和的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．17.某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如由于表格被污损，数据，看不清，统计员只记得＜，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．【答案】解：（1）∵=（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵=，∴x+y=17…①∵=（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，=[4+（x-8）2+0.25+0.25+（y-8）2]，∵=，∴（x-8）2+（y-8）2=1…②由①②结合x＜y得：x=8，y=9．（2）记被检测的5件B种元件为：A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为正品，从中选取的两件为（x，y）则共有=10种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），故P（A）==，即2件都为正品的概率为．【解析】（1）由已知中A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，可得x+y=17且（x-8）2+（y-8）2=1，结合x＜y，可求出表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，共有=10种不同的情况，记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，进而可求得结果．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，平均数与方差，是统计与概率的综合应用，但难度不大，属于基础题．18.已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）当x变化时，求三棱锥D-BCF的体积f（x）的函数式．【答案】解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH⊂平面AEFD，∴DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH．∵，EF∥BC，∠ABC=90°．∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．又BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．又BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE⊂平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x．又，（0≤x≤4）．∴三棱锥D-BCF的体积f（x）===，（0≤x≤4）．【解析】（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直⇒线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积．19.已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，，记数列{c n}的前n项和T n．若对∀n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：（1）∵5S1，S3，3S2成等差数列，∴2S3=5S1+3S2…（1分）即2（a1+a1q+a1q2）=5a1+3（a1+a1q），化简得2q2-q-6=0…（2分）解得：q=2或q=-…（3分）因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=-不合题意…（4分）所以{a n}的通项公式为：a n=2n．…（5分）（2）由b n=log2a n得b n==n…（6分）∴c n===-…（7分）∴T n=1-+-+…+-==…（8分）∵≤k（n+4）∴k≥=…（9分）=…-（11分）∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立------（12分）∴≤…（13分）∴k的取值范围[，+∞）．…（14分）【解析】（1）由5S1，S3，3S2成等差数列，依题意，可化简求得q=2，首项a1=2，从而可求得数列{a n}的通项公式；（2）依题意，可求得c n=-，从而可得T n=，由≤k（n+4）可求得k≥，利用基本不等式即可求得k的取值范围．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和与基本不等式的综合应用，属于难题．20.已知椭圆C：=1，（a＞b＞0），直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：①点S恒在椭圆C上；②求△MST面积的最大值．【答案】解：（1）直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化为m（x-2y-1）+3x+y-3=0，所以，解得．所以F（1，0）．则c=1，又a+c=3，所以a=2，则b2=a2-c2=3．所以椭圆方程为；（2）①设直线MN的方程为x=s，M的坐标为（s，t），N的坐标为（s，-t）．且s、t满足3s2+4t2=12．MF的直线方程为，NT的直线方程为．联立解得交点S（，），代入椭圆方程3x2+4y2=12得，3（5s-8）2+36t2=12（2s-5）2，化简得：3s2+4t2=12．所以点S恒在椭圆C上；②直线MS过点F（1，0），设方程为x=my+1，M（x1，y1），S（x2，y2）．．联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．，．所以．设m2+1=u（u≥1），则=．由对勾函数可知9u+在（，）上位减函数，（，∞）上为增函数，所以的最小值为10．所以．【解析】（1）化直线方程为直线系方程，然后联立方程组求出定点F的坐标，得到c的值，然后由椭圆上的点到焦点F的最大距离为3得到a+c=3，求出a的值，结合b2=a2-c2可得b得值，则答案可求；（2）①设出直线MN的方程，求出M和N的坐标，然后写出MF和NF所在的直线方程，联立后得到S点的坐标，代入椭圆方程后成立，则问题得到证明．②设出直线MS的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，S两点的纵坐标的和与积，然后代入面积公式，换元后利用“对勾函数”的单调性求得答案．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了利用函数的单调性求最值，该题综合性较强，需要学生具有较好的理解能力和计算能力，是难题．21.设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．【答案】解：（I）由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx，则′．又∵f（x）的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，∴′，即4a×+×（a+4）+1=-1，解得a=-6．…（4分）（Ⅱ）由（I）得，′，由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+∞），由x＞0，得＞0．①当a≥0时，对任意x＞0，f′（x）＞0，∴此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，令f′（x）=0，解得，当＜＜时，f′（x）＞0，当＞时，f′（x）＜0，此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（Ⅲ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，由（Ⅱ）知a＜0，于是要证f'（x）＜0成立，只需证：＞即＞．∵，①，②①-②得，即，∴，故只需证＞，即证明＜，即证明＜，变形为＜，设（0＜t＜1），令，则′=，显然当t＞0时，g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，∴g（t）在（0，+∞）上是增函数．又∵g（1）=0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，命题得证．…（14分）【解析】（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（）=-4，解出a的值即可；（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅲ）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．。

江西省鹰潭市2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷（解析版）一、选择题1．已知i 是虚数单位，则复数2201411i z i i +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的模为（ ）A ．1B ．2 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：解：22014221=i 21i z i i i +⎛⎫=++=- ⎪-⎝⎭所以22z =-=，故选C.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.2．已知条件p ：240x -≤，条件q ：202x x +≥-，则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：解：因为：p ：240x -≤，所以p ⌝：240x ->22x x ⇔<->或而q ：202x x +≥-22x x ⇔≤->或 所以p ⌝是q 的充分不必要条件，故选A.考点：1、一元二次不等式及分式不等式的解法；2、充要条件.3．若平面内两个向量(2cos ,1)a θ=与(1,cos )b θ=共线，则cos 2θ等于 （ ） A ．12B ．1C ．1-D ．0 【答案】D 【解析】试题分析：解：由向量(2cos ,1)a θ=与(1,cos )b θ=共线知：2cos cos 110θθ⋅-⨯= 所以，22cos10,cos20θθ-=∴=，故选D.考点：1、平面向量共线的条件；2、三角函数的二倍角公式.4．某一容器的三视图如右图所示，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：解：由三视图可知该容器是一个倒立的圆锥，若向现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化，增加的越越缓慢，所以可能的图象是B. 考点：1、三视图；2、函数的图象.5．阅读如下程序框图，若输出126S =-，则空白的判断框中应填入的条件是 （ ）A. 4n > B ．5n > C ．6n > D.7n > 【答案】B 【解析】试题分析：解：运行第一次，1,2n s ==- 条件不成立 运行第二次，22,226n s ==--=-条件不成立 运行第三次，233,22214n s ==---=-条件不成立 运行第四次，44,14230n s ==--=-条件不成立 运行第五次，55,30262n s ==--=-条件不成立运行第六次，66,622126n s ==--=-条件成立，输出126S =-所以空白的判断框中应填入的条件是5n > 故选B.考点：循环结构.6．在长为20cm 的线段AB 上任取一点P ，并且以线段AP 为边作正三角形，则这个正三角形2与2之间的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．310【答案】D 【解析】试题分析：解：边长为a 2，2<28a << 在长为20cm 的线段AB 上任取一点P ,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段AP 2与2之间”为事件M ，则包含M 的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以()632010P M == 故选D.考点：几何概型.7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的10.6b =，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）．A ．112.1万元B ．113.1万元C ．111.9万元D ．113.9万元 【答案】C 【解析】试题分析：解：由题设可知：()()114235 3.5,492639584344x y =+++==+++= 所以4310.6 3.5 5.9a y bxx =-=-⨯=所以回归方程为： ˆ10.6 5.9yx =+，当10x =时，ˆ10.610 5.9111.9y =⨯+= 故选C.考点：回归直线方程.8．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3π=．1233,10,21,,S S S =++==++++==++++++=依此规律，那么10S =（ ）A ．210B ．230C ．220D ．240 【答案】A 【解析】试题分析：解：因为12332S ⨯==； 245102S ⨯==367212S ⨯==所以1020212102S ⨯== 故选A.考点：合情推理. 9．设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若()A C A B R λλ=∈()A D A BR μμ=∈且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ） A ．M 可能是线段AB 的中点B ．,M N 可能同时在线段BA 延长线上C ．,M N 可能同时在线段AB 上D ．,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 【解析】 试题分析：解：若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=，所以选项C 不正确.若,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上，，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=，所以选项D 正确.考点：数乘向量的概念与性质.10．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足PM PN =，则PM PN ⋅ 的最小值是（ ） A ．14-B ．12-C ．34-D ．1- 【答案】B 【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点P 的坐标为()1,0,点M 的坐标为()cos ,sin θθ,点N 的坐标为()cos ,sin θθ-,其中0θπ<<则(cos 1,sin ),(cos 1,sin )PM PN θθθθ=-=--所以22(cos 1,sin )(cos 1,sin )(cos 1)sin PM PN θθθθθθ=-⋅--=--=222211cos 2cos 1sin 2cos 2cos 2cos 22θθθθθθ⎛⎫-+-=-=-- ⎪⎝⎭所以当1cos 2θ=时，PM PN 有最小值12- 考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题.二、填空题11．已知集合{|1100},{|lg ,},A x x B y y x x A =≤≤==∈则()U A B ⋂=ð ． 【答案】[)0,1 【解析】试题分析：解：因为x A ∈，所以1100x ≤≤，0lg 2x ≤≤，{}02B y y =≤≤ 而{}1100U A x x x =<>或ð所以，{}{}()110002U A B x x x y y ⋂=<>⋂≤≤或ð={}01y x ≤< 所以答案应填[)0,1考点：1、对数函数；2、集合的运算.12．曲线y lnx =-在点(1,0)处的切线斜率为 ． 【答案】-1 【解析】试题分析：解：因为y lnx =-，所以1y x'=-，1|1x y ='=- 所以答案应填1-.考点：1、导数的几何意义 ；2、基本初等函数的导数公式.13．若ABC ∆三个内角,,A B C 满足 sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则此三角形内角的最大值为 ． 【答案】23π 【解析】试题分析：解：由正弦定理：=sin sin sin a b cA B C= 所以::sin :sin :sin 3:5:7a b c A B C ==所以2223+5-7cos =235C ⨯⨯=1-2又因为0<C<π，所以2C=3π所以答案应填23π 考点：1、正弦定理；2、余弦定理.14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 【答案】1 【解析】试题分析：解：因为数列是{}n a 等比数列，所以1234a a a a +++，5678a a a a +++，9101112a a a a +++，13141516a a a a +++也成等比，由题设知123448a a a a S +++==,5678a a a a +++=84844S S -=-=所以，3131415161=82a a a a ⎛⎫+++⨯ ⎪⎝⎭=1考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比数列的前n 项和公式及等比数殊的性质.15．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的取值范围是 ．【答案】2⎤⎥⎣⎦【解析】试题分析：解：设P 点坐标为2,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭，则||||PF PA ===因为242031162y y y ≥++，所以||1||PF PA ≤ 当0y =时，||1||PF PA ==当y =/时，||||2PF PA ====≥其中等号当且仅当22116y y=即2y =或2y =-时成立所以答案应填：⎤⎥⎣⎦考点：1、抛物线的标准方程；2、基本不等式的应用.三、解答题16．已知函数x x x f sin cos )(+=，())4g x x π=+()x R ∈． （1）求函数)()()()(2x f x g x f x F +⋅=的最小正周期和单调递增区间；（2）若)(2)(x g x f =，求xx x xcos sin cos sin 122-+的值． 【答案】（1）T π=，单调递增区间为[]3,()88k k k Z ππππ-+∈；（2）116. 【解析】 试题分析：（1）由题设可知()()()()2F x f x g x f x =⋅+=2(cos +sin )(cos +sin )4x x x x x π⎛⎫++=⎪⎝⎭214x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭再利用正弦函数的性质求函数()F x 的最小正周期和单调区间；（2）由()()12tan 3f x g x x =⇒=，再将221sin cos sin cos x x x x +-化成212tan 1tan x x+-进而求值. 解：（1）易得 ()cos sin g x x x =-∴2()(cos sin )(cos sin )(cos sin )F x x x x x x x =+-++=)14x π++ （3分）所以，函数()F x 的最小正周期22T ππ== 又由222(),242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以，函数()F x 的单调递增区间为[]3,()88k k k Z ππππ-+∈...........（6分）（2）由题意，cos sin 2(cos sin )x x x x +=-∴1tan 3x =（8分） 所以，2222221sin cos 2sin 12tan 11cos sin cos cos sin cos 1tan 6x x x x x x x x x x x +++===---...........（12分） 考点：1、两角和与差的三角函数公式；2、正弦函数的性质；3、同角三角函数的基本关系式.17．近年，我国很多城市都出现了严重的雾霾天气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2014年1月1日到 2014年3月31日这90天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下（1）在这90天中抽取30天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?（2）在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随 机抽取2天,求至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率. 【答案】（1）第一组抽取8天，第二组抽取16天，第三组抽取4天，第四组抽取2天； （2）35【解析】试题分析：（1）根据题设，应采用分层抽样的方法，抽样比为301=903，依此计算出每一层抽取的天数；（2）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为4321,,,A A A A ,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为12,B B ，从中随机抽取两天，写出所有可能的结果，利用古典概型求出所要求的概率值. 解：（1）这90天中抽取30天,应采取分层抽样,第一组抽取3024890⨯=天； 第二组抽取30481690⨯=天； 第三组抽取41203016=⨯天； 第四组抽取306290⨯=天 ． （4分） （2）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为4321,,,A A A A ,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B .所以6天任取2天的情况有,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种 （8分）记“至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件A,其中符合条件的有,11B A ,21B A ,12B A ,22B A ,13B A ,23B A ,14B A 24B A ，12B B 共9种．所以，所求事件A 的概率93()155P A ==． （12分） 考点：1、分层抽样；2、古典概型. 18．如图，在长方体中，．（1）若点在对角线1BD 上移动，求证：⊥；（2）当为棱AB 中点时，求点到平面的距离。

2014年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则复数z =(1+i 1−i)2+i 2014的模为（ ）A 1B √2C −2D 42. 已知条件p:x 2−4≤0，条件q:x+2x−2≥0，则￢p 是q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 3. 若平面内两个向量a →=(2cosθ, 1)与b →=(1, cosθ)共线，则cos2θ等于（ ） A 12 B 1 C −1 D 04. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度ℎ随时间t 变化的可能图象是（ ）A B C D5. 阅读如图所示程序框图，若输出S =−126，则空白的判断框中应填入的条件是（ ）A n >4B n >5C n >6D n >76. 在长为20cm 的线段AB 上任取一点P ，并且以线段AP 为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于√3cm 2与16√3cm 2之间的概率为（ ） A 15B 25C 35D 3107. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ̂=b̂x +a 中的b =10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）8. [x]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]=3． S 1=[√1]+[√2]+[√3]=3S 2=[√4]+[√5]+[√6]+[√7]+[√8]=10S 3=[√9]+[√10]+[√11]+[√12]+[√13]+[√14]+√15]=21， …，依此规律，那么S 10=( )A 210B 230C 220D 2409. 设A ，B ，C ，D 是平面直角坐标系中不同的四点，若AC →=λAB →(λ∈R)，AD →=μAB →(μ∈R)且1λ+1μ=2，则称C ，D 是关于A ，B 的“好点对”．已知M ，N 是关于A ，B 的“好点对”，则下面说法正确的是（ ）A M 可能是线段AB 的中点 B M ，N 可能同时在线段BA 延长线上C M ，N 可能同时在线段AB 上D M ，N 不可能同时在线段AB 的延长线上10. 已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足|PM →|＝|PN →|，则PM →⋅PN →的最小值是（ ）A −14B −12C −34D −1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知集合A ={x|1≤x ≤100}，B ={y|y =lgx, x ∈A}，则(∁U A)∩B =________． 12. 曲线y =−lnx 在点(1, 0)处的切线斜率为________．13. 若△ABC 三个内角A ，B ，C 满足sinA:sinB:sinC =3:5:7，则此三角形内角的最大值为________．14. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=8，S 8=12，则a 13+a 14+a 15+a 16的值为________．15. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(−1, 0)，则|PF||PA|的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数f(x)=cosx +sinx ，g(x)=√2cos(x +π4)(x ∈R)． （1）求函数F(x)=f(x)⋅g(x)+f 2(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）若f(x)=2g(x)，求1+sin 2x cos 2x−sinxcosx的值．17. 近年来，我国很多城市都出现了严重的雾霾天气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2014年1月1日到 2014年3月31日这90天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（1）在这90天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求至少有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．18. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2．（1）若点E在对角线BD1上移动，求证：D1E⊥A1D；（2）当E为棱AB中点时，求点E到平面ACD1的距离．19. 已知数列{a n}满足a n+1=2a n−n+1(n∈N∗)．（1）若数列{a n}是等差数列，求数列{1a n a n+1}的前n项和S n；（2）证明：数列{a n+2}不可能是等比数列．20. 如图，已知椭圆x225+y216=1的右焦点为F2，点P是椭圆上任意一点，圆M是以PF2为直径的圆．（1）若圆M过原点O，求圆M的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切，请写出你的探究过程．21. 设函数f n(x)=x1n+ax+b(n∈N+, a, b∈R)．（1）当n=2，a=−1，b=1时，求函数f n(x)的极值；（2）若n≥2，a=1，b=−1，证明：f n(x)在区间(0, 12)内存在唯一的零点；（3）在（2）的条件下，设x n是f n(x)在区间(0, 12)内的零点，判断数列x2，x3，…，x n，…的增减性．2014年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科）答案1. C2. A3. D4. B5. B6. D7. C8. A9. D10. B11. [0, 1)12. −113. 2π314. 115. [√22, 1]16. 解：（1）∵ g(x)=√2cos(x+π4)=cosx−sinx，∴ F(x)=f(x)⋅g(x)+f2(x)=(cosx+sinx)(cosx−sinx)+(cosx+sinx)2，=cos2x−sin2x+1+2sinxcosx，=cos2x+sin2x+1，=√2sin(2x+x4)+1，∴ 函数F(x)的最小正周期T=2π2=π，当2kπ−π2≤2x+x4≤2kπ+π2(k∈Z)时，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)时，F(x)单调增，∴ 函数F(x)的单调递增区间为[kπ−3π8x, kπ+π8](k∈Z)，（2）由题意，cosx+sinx=2(cosx−sinx)，得：tanx=13，∴ 1+sin2xcos2x−sinxcosx =cos2x+2sin2xcos2x−sinxcosx=1+2tan2x1−tanx=116．17. 解：（1）∵ 这90天中的数据中，各个数据之间存在差异，∴ 这90天中抽取30天，应采取分层抽样，则k=3090=13，则每一组抽取24×13=8天；第二组抽取48×13=16天；第三组抽取12×13=4天；第四组抽取6×13=2天．…（2）设PM2.5的平均浓度在(75, 115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，则从6天任取2天的情况有：AB ，AC ，AD ，A1，A2， BC ，BD ，B1，B2，CD ，C1，C2，D1，D2，12，共15种 …记“至少有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，12共9种． 所以，所求事件A 的概率P(A)=915=35． …18. （1）证明：由长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，得：AB ⊥面ADD 1A 1． 而A 1D ⊂面ADD 1A 1，∴ AB ⊥A 1D ．又由正方形ADD 1A 1，得：A 1D ⊥AD 1，而AD 1∩AB =A ∴ A 1D ⊥面ABD 1， 于是A 1D ⊥BD 1，∵ E ∈BD 1，∴ D 1E ⊥A 1D ；（2）解：分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，知E(1, 1, 0)，A(1, 0, 0)，C(0, 2, 0)，D 1(0, 0, 1)，则AD 1→=(−1, 0, 1)，AC →=(−1, 2, 0)，设点E 到平面ACD 1的距离为d ，n →=(x, y, z)是平面ACD 1的法向量，则{−x +z =0−x +2y =0，取n →=(2, 1, 2)， 而AE →=(0, 1, 0)， ∴ d =|n →|˙=13为所求．19. 解：（1）∵ 数列{a n }是等差数列，设其首项为a 1，公差为d ，则a n+1=a n +d ∴ 由已知可得：a n +d =2a n −n +1； a n +d =a 1+(n −1)d 即a n =n +d −1 又 a n =a 1+(n −1)d∴ a 1=1，d =1 可得：a n =n ∴ 1an a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1∴ S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=nn+1（2）证明：数列{a n +2}是等比数列， 则(a 2+2)2=(a 1+2)(a 3+2)即∴ a 1=2，a 2=4，a 3=7，a 4=12 于是数列{a n +2}的前4项为4，6，9，14， 它显然不是等比数列，数列{a n +2}不可能是等比数列． 20. 解：（1）因为圆M 过原点O ，所以OP ⊥OF 2，所以P 是椭圆的短轴顶点，P 的坐标是(0, 4)或(0, −4)，于是点M 的坐标为(32, 2)或(32, −2)， ∴ 圆半径r =|MP|=√94+4=52，∴ 圆M 的方程为(x −32)2+(y −2)2=254或(x −32)2+(y +2)2=254．…（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆M 相内切， 定圆的方程为x 2+y 2=25．…探究过程为：设圆M 的半径为r ，定圆的半径为R ， 因为|MO|=12|PF 1|=12(10−|PF 2|)=5−12|PF 2|=5−r ，所以当原点为定圆圆心，半径R =5时， 定圆始终与圆M 相内切．… 21. 解：（1）当n =2，a =−1，b =1时，f 2(x)=√x −x +1，x ≥0， f′2(x)=2√x−1，x ≥0，由f′2(x)>0，解得0<x <14，此时函数单调递增， 由f′2(x)<0，解得x >14，此时函数单调递减，故当x =14时，函数f 2(x)取得极大值，无极小值．（2）若n ≥2，a =1，b =−1，得：f n (x)=x 1n +x −1， ∴ 易得：f n (0)f n (12)<0，于是f n (x)在区间(0, 12)内存在零点； 又当x ∈(0, 12)时，f′n (x)=1n x1−nn+1>0恒成立∴ 函数f n (x)在区间(0, 12)内是单调递增的 故f n (x)在区间(0, 12)内存在唯一的零点．（3）：数列x 2，x 3，…，x n ，…是单调递减的．理由如下： 由（2）设x n (n ≥2)是f n (x)在(0, 12)内唯一的零点， 则f n (x n )=x n 1n+ax n −1=0，又f n+1(x n+1)=x n+11n+1+x n+1−1，x n+1∈(0, 12)，于是f n (x n )=0=f n+1(x n+1)=x n+11n+1+x n+1−1>x n+11n+x n+−1=f n (x n+1)， 即f n (x n )>f n (x n+1)，由（2）f n (x)在(0, 12)上是单调递增的， ∴ 当n ≥2时，x n >x n+1．故数列x 2，x 3，…，x n ，…是单调递减的．。