2018年度江苏苏锡常镇四市高三调研数学试题及其内容规范标准答案

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研单项选择题：1.下列各式属于定义式的是A. 加速度a ＝F mB. 电动势E n t ∆Φ=∆C. 电容4S C kd επ=D. 磁感应强度F B IL= 【答案】D【解析】 F a m=是牛顿第二定律的表达式，不是加速度的定义式，故A 错误．电动势E n t ∆Φ=∆是法拉第电磁感应定律的表达式，不是定义式，选项B 错误；电容4S C kdεπ= 是电容的量度公式，是定义式，选项C 错误；磁感应强度F B IL =是磁感应强度的定义式，采用比值法定义，故D 正确．故选D.2.如图所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度—时间图象，关于物体的运动下列说法正确的是( )A. 物体在t ＝6 s 时，速度为0B. 物体在t ＝6 s 时，速度为18 m/sC. 物体运动前6 s 的平均速度为9 m/sD. 物体运动前6 s 的位移为18 m【答案】B【解析】物体在t =6s 时，速度为1v 66/18/2at m s m s ==⨯⨯=，选项B 正确，A 错误；因物体做变加速运动，无法求解前6s 的位移和平均速度，故选B.3.高空滑索是勇敢者的运动．如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A 位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B 位置时轻绳竖直向下．不计空气阻力，下列说法正确的是A. 在A位置时，人的加速度可能为零B. 在A位置时，钢索对轻绳的作用力可能小于人的重力C. 在B位置时，钢索对轻环的摩擦力为零D. 若轻环在B位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力等于人的重力【答案】B【解析】在A位置时，人受到重力和线的拉力，合力沿斜面向下，不为零，则加速度不可能为零；拉力T=mgtanθ，当θ<450时，T<mg，故A错误，B正确；在B位置时，细绳的拉力竖直，则人匀速下滑，此时钢索对轻环的摩擦力等于重力的分力mgsinθ，选项C错误；若轻环在B位置突然被卡住，则此时人将做圆周运动，根据T-mg=m2vL可知，轻绳对人的拉力大于人的重力，选项D错误；故选B.4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能E p与位移x的关系如图所示，下列图象中合理的是【答案】D【解析】粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场力做功等于电势能的减小量，故：F P E x=，即pE x ﹣图象上某点的切线的斜率表示电场力； A 、pE x ﹣ 图象上某点的切线的斜率表示电场力，故电场力逐渐减小，根据EF q=，故电场强度也逐渐减小，A 错误； B 、根据动能定理，有：k F?x E =，故kE x ﹣图线上某点切线的斜率表示电场力；由于电场力逐渐减小，与B 图矛盾，B 错误；C 、按照C 图，速度随着位移均匀增加，根据公式2202v v ax -=，匀变速直线运动的2x v ﹣图象是直线，题图v x ﹣图象是直线；相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要的时间逐渐减小，故加速度逐渐增加；而电场力减小导致加速度减小；故矛盾，C 错误；D 、粒子做加速度减小的加速运动，D 正确；故选D 。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A B = ▲ ．2．设2iz =-（i是虚数单位），则||z =▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m =▲ ． 4．样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计 样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲ ．（第4题）5． “π2ϕ=”是“函数()sin y x ϕ=+的图象关于y的▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 6，则S 6 = ▲ ． 7． 函数()1e ln y x x=≥的值域是 ▲ ． 8． 执行右面的程序图，那么输出n 的值为 ▲ ．9．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“a b是整数”的概率为 ▲ ．10． 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ ．11． 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ ．12． 已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ⋅=，3OB CA ⋅=，则OC AB ⋅= ▲ ．13． 已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ． 14． 已知x ，y ∈R ，满足24y x -≤≤，x ≥1，则222221x y x y xy x y ++-+-+-的最（第8题）大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足A = B + 30°．（1）若c = 1，sin b B =，求B ． （2）若22212a c acb +-=，求sin A 的值．16．（本小题满分14分）如图，正四棱锥P - ABCD 的高为PO ，PO = AB = 2．E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点，Q 是棱PC 上的点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若PC ⊥平面QDB ，求PQ ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F：(225x y +=．C（第16题）（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标； （2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH18．（本小题满分16分）如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上，OA = 10 km ，OB = 20 km ，C 在O 的北偏西45° 方向上，CO =km ．（1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）．（第17题）①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tan 的值．19．（本小题满分16分）若存在实数x 0与正数a ，使0x a +，0x a -均在函数()f x 的定义域内，且()()00f x a f x a +=-成立，则称“函数f （x ）在x = x 0处存在长度为a 的对称点”．（1）设32()321f x x x x =-+-，问是否存在正数a ，使“函数f （x ）在x = 1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由．（2）设()b g x x x=+（x > 0），若对于任意x 0∈（3，4），总存在正数a ，使得“函数()g x 在x = x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．江苏省苏锡常镇四市2018届高三5月教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题） 命题单位：苏州市教育科学研究院 A521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与⊙O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE = EB = 4，AD = 5，求AP 的长．PB ．选修4—2：矩阵与变换已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在 矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系中，设极径为ρ（0ρ>），极角为θ（02πθ<≤）．⊙A 的极坐标方程为2cos ρθ=，点C 在极轴的上方，∠AOC =π6．△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C 为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D ．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++= 的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ． （1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内，求点E 的坐标．23．（本小题满分10分）如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ． （1）写出a 2，a 3，a 4的值；（2）写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．1DA A。

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ． 6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0xx f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b +的最小值为 ． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b +-. （1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A ，ABCDP EB ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，1 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；2 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)nn n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求mn ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，． （1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6． 14π 7．π2 8．2 9． 10．411．⎡⎢⎣⎦ 12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又POCO O =，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B 又0πB <<，所以π3B =．（2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦．所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t t αβ===，，由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--，化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去），所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x .则22()60[](500)ab abL x x x =+-，且(0,500)x ∈，即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈-记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-，令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增；所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得21c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+.（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ②联立①②得212xx=，从而12x x=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3），由C,M,D三点共线得31311yx x x=--，所以3131xxy=-，①由B,D,N，将2212y x=+代入可得2x，②①和②相乘得，231231xx xy=-33332)2x y x==-+-+.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-. 要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-.所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322， 又bn m a n mn m n m n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数，所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， 所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-．综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n nn b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -．当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-， 因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M .21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, 由a=-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=.依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－≤c ≤1.所以－≤c ≤1. 22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---=()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(5104⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ， 则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++， 显然(2)(2)f f --∈N *.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=.。

江苏省苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查（一）数 学注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上．在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}(,)2M x y x y =+=，{}(,)4N x y x y =-=，则MN =A ．{}3,1x y ==-B ．(3,1)-C ．{}3,1-D ．{}(3,1)- 2．设向量a =(1,2)-，b =(1,1)-，c =(3,2)-，且p q c =a +b ，则实数p,q 的值为 A ．41p =,q = B ．14p =,q = C ．04p =,q = D ．14p =,q =- 3．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ对任意x 都有()()66f x f x ππ+=-，则()6f π等于 A ．2或0 B ．2-或2 C ．0 D ．2-或0 4．等差数列{}n a 的公差10,d a d ≠≠，若这数列的前40项的和是20m ，则m 等于 A ．1030a a + B ．20a C ．40a d + D ．1526a a + 5．已知,a b ∈R ，则“,0a b ab >>”是“11a b<”成立的是 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 6．已知平面α、β和直线a 、b ，若,,l a b =⊂⊂αβαβ，且平面α与平面β不垂直，直线a 与直线l 不垂直，则A ．直线a 与直线b 可能垂直，但不可能平行B ．直线a 与直线b 可能垂直，也可能平行C ．直线a 与直线b 不可能垂直，但可能平行D ．直线a 与直线b 不可能垂直，也不可能平行7．已知双曲线2221x y a-=的一条准线与抛物线26y x =-的准线重合，则该双曲线的离心率为 AB ．32 CD8．已知函数()(0,)(,2)f x x =∈πππ，则A ．函数图象关于直线x =π对称B ．函数图象关于点(,0)π对称C ．函数在区间(,)2ππ上递减 D ．函数在区间3(,)2ππ上递减 9．已知(,)(0)M a b ab ≠是圆O ：222x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l ：2ax by r +=，则A ．//m l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．//m l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离 10．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且1212,1,,1x x x x +≠≠-=+λλαλ211x x +=+λβλ，若12()()()()f x f x f f -<-αβ，则A ．0<λB ．0=λC ．01<<λD ．1>λ11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，先将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种 12．函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答卷纸相应位置上． 13．5(12)x -展开式中的倒数第三项是 ．14．已知三角形两边长分别为1，第三边上的中线长为 ．15．在正三棱锥P ABC -中，侧棱PC ⊥侧面PAB，侧棱PC =接球的表面积为 ．16．变量,x y 满足20400x y x y y ++⎧⎪-+⎨⎪⎩的最小值为 ． ≤ ≤≤17．某电脑公司计划在2018 年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每个10天平均日销售量减少两台，现准备用38天的时间销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均销售量是 台． 18．已知函数()sin()()2x f x =+ϕϕ为常数,有以下命题：①不论ϕ取何值，函数()f x 的周期都是π； ②存在常数ϕ，使得函数()f x 是偶函数； ③函数()f x 在区间[2,32]πϕπϕ--上是增函数； ④若0,ϕ<函数()f x 的图象可由函数sin2xy =的图象向右平移|2|ϕ个单位得到． 其中，所有正确命题的序号是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共66分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．(本小题满分12分) 已知函数3()3f x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 在3[3]2-，上的最大值和最小值；（Ⅱ）过点26P-(，)作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程．20．(本小题满分12分)加工某种零件需经过四道工序．已知第一、二、三、四道工序的合格率分别为910、89、 78、67，且各道工序互不影响． （Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率；（Ⅲ） 假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率．（用最简分数表示结果）21．(本小题满分14分)正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 是棱AC 的中点，E 是棱1CC 的中点，AE 交1A D 于点H ．（Ⅰ）求证：1AE A BD⊥平面； （Ⅱ）求二面角1D BA A --的大小；（用反三角函数表示结果） （Ⅲ）求点1B 到平面1A BD 的距离．22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点,,,F T M P 满足(1,0)OF =，(1,)OT t =-，FM MT =，PM FT ⊥，//PT OF ．（Ⅰ）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若过点F 的直线交曲线C 于,A B 两点，求证：直线,,TA TF TB 的斜率依次成等差数列．23．(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足12115,5,6(n nna a a a a n +-===+≥2,)n *∈N ，若数列{}1n n a a λ++ 是等比数列．（Ⅰ）求出所有λ的值,并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<； （Ⅲ）求证：121111()2n n a a a *+++<∈N ．1苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查（一）数学答题卡苏、锡、常、镇四市2018年高三教学情况调查（一）数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23ab a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1 ()4,1xa e xf xx xx⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e是自然对数的底）.若函数()y f x=的最小值是4，则实数a的取值范围为．12.在ABC∆中，点P是边AB的中点，已知3CP=，4CA=，23ACBπ∠=，则CP CA⋅=．13.已知直线l：20x y-+=与x轴交于点A，点P在直线l上，圆C：22(2)2x y-+=上有且仅有一个点B满足AB BP⊥，则点P的横坐标的取值集合为．14.若二次函数2()f x ax bx c=++(0)a>在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)fa的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin,1)aα=，(1,sin())4bπα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b⋅的值；（2）若//a b，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C-的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱11A C，AC的中点，点D是棱1CC上靠近C的三等分点.求证：（1）1//B M平面1A BN；（2）AD⊥平面1A BN.17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}nb前n项和是nT，且满足：对任意的正整数n，都有等式12132n n na b a b a b--++113nna b++⋅⋅⋅+=33n--成立.求满足等式13nnTa=的所有正整数n. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA DC=.（1）求证：2AB BC=；（2）若2AB=，求线段CD的长.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量aXb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB；（2）若1151B A X--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a，b的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点(22,)4Pπ，圆心为直线sin()33πρθ-=-点，求圆C的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知x，y都是正数，且1xy=，求证：22(1)(1)9x y y x++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 2y x =±4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，16AA =，2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --， 设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD，BD.因为AB是圆O的直径，所以90ADB∠=，2AB OB=. 因为CD是圆O的切线，所以90CDO∠=，又因为DA DC=，所以A C∠=∠，于是ADB CDO∆≅∆，得到AB CO=，所以AO BC=，从而2AB BC=.（2）解：由2AB=及2AB BC=得到1CB=，3CA=.由切割线定理，2133CD CB CA=⋅=⨯=，所以3CD=.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151B A X--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为aXb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a=，5b=.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=，所以圆C的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C的半径PC22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=，于是圆C过极点，所以圆的极坐标方程为4cosρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x，y都是正数，所以223130x y xy++≥>，223130y x yx++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =， 49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题1. 若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．2. 设集合，其中，若，则实数____．3. 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．4. 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为____．5. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．7. 已知函数在时取得最大值，则____．8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．9. 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．10. 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．12. 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．13. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．14. 已知为正实数，且，则的最小值为____．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．16. 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．17. 下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．（I）（II）18. 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．19. 已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．20. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．23. 已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．【参考答案】一、填空题1.【答案】.【解析】先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-12.【答案】【解析】：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：3.【答案】4【解析】先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:44. 【答案】【解析】先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.85. 【答案】.【解析】先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：6. 【答案】.【解析】根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.7.【答案】.【解析】解方程即得解.详解：由题得故答案为：8.【答案】2【解析】先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得，故答案为：29.【答案】.【解析】先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以故答案为：10.【答案】4【解析】利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cos A cos B可得解.详解：a cos B﹣b cos A=c，由正弦定理得sin A cos B﹣sin B cos A=sinC=sin（A+B）=（sin A cos B+cos A sin B），整理得sin A cos B=4cos A sin B，两边同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，故.故答案为：411.【答案】【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：12. 【答案】【解析】先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：13.【答案】.【解析】根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）ln c，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）ln c，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣1214.【答案】.【解析】先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值. 详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．16. 解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17. 解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.18. 解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，因为点在直线BD上，所以，①直线AC方程为，因为点在直线AC上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.19. 解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为. 要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.20. 解：（1）设数列的公差为，由，①，②①-②得，③即，所以为常数，所以为等差数列．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以，则，即．所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. A．解：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B.解：由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C.解：消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.D.证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.所以：≤c≤1.【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以23. 解：（1）当时，，所以，所以.（2）因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.假设，则，而，，矛盾.所以满足条件的是唯一的.下面我们求及的值：因为，显然.又因为，故，即.所以令，，则，又，所以.。

2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2018．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B = ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ． 5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440xy x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=VVp ，则12SS的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x xx=+，若1(1)(log3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若19m S-=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a =▲ ．13．已知函数2()f x x xa=-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CDm OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在△ABC中，角A B C，，的对边分别是a b c，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值； （2）若c =，△ABC的面积S ，求a b，的值．16．（本小题满分14分） 在直三棱柱111A B C A B C -中，C A C B =，1A A A B =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，C B 1A 1PD CBA求证：AP 平面A CD．117．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F的位置关系，并说明理由﹒119．（本小题满分16分） 已知数列{}na 的前n 项和为nS ，13a=，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn na b =()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}nb 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n nn ca λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3nb ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分） 已知函数2()exf x a x bx=⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0xm ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题） 2018．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能．．选做两题．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．（第21-A 题）B．选修4—2：矩阵与变换已知变换T把平面上的点(34)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求，，(5 0)-变换T对应的矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l过点(12)M，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6c o sCρθ=﹒若直线l与圆C相交于A B，两点，求M A M B⋅的值．D．选修4—5：不等式选讲设x为实数，求证：()()2242≤﹒++++131x x x x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23．（本小题满分10分） 设实数12na a a ，，，满足120n aa a +++= ，且12||||||1n a aa +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．654．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]，10 11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-， 化简，得sin()4sin cos B C A C+=﹒ …………4分∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分 由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =， ∴a b ==．…………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C是矩形，∴O是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分 又∵OD ⊂平面1AC D，1BC ⊄平面1A C D ， ∴1BC ∥平面1A CD ．…………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC，∴CD ⊥平面11AA B B﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA，∴CD AP ⊥．…………9分∵1BB ，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBAAA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1AA D ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D⊥．…………12分又∵1CD A D D = ，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP⊥平面1A CD．…………14分17．解：（1）当20180x≤≤时，由60a ba b⎧-⎪⎨-=⎪⎩，，得90ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，…………2分故1260,020,1()90180,0,180xxq x xx⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤…………4分（2）设总利润()()f x x q x=⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xxxf x x xx⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，，…………6分当020x<≤时，126000126000()12600011xf xx x==-++，()f x在[020]，上单调递增，所以当20x=时，()f x有最大值120000．…………8分当20180x<≤时，()90005f x x x-＝()90005f x'-＝令()0f x'＝，得80x =． (10)分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000．…………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒由题设，得ab=，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*）…………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a -==， ∵点P在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c -=+--，令x =，得22b c y a c=+，所以点22(0,)+b c Q a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b c FQ c a c， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P FQ ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n SS λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13n nn S S λ=+，从而123n n n aa λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时，1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n aa ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， (7)分又163(1)3033c-=+=≠--λλλ， 所以{}nc 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0nc=也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠．…………10分 当3λ≠时，112()333n nbλλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1nn bb +<，n *∈N ，[1,)nb∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b=>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3nb≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤．…………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()exf x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R恒成立﹒ …………1分由e20xx b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e2xF x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln 22b -≥．…………3分（2）当0b =时，2()exf x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2exx a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e xx x G x -'=， 令()0G x '=，得x =或2x =．…………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，，当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，， 由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e2xf x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x m x m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----， ∴0020(e e )ex mx m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e e x m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒ 两边同除以em，得2e 1e t t t-=，即2e e 1t t t =-，…………12分令2()e e 1t tg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt tg t '=-+=--， 令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数x （0x m≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE是O的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC∠=∠．…………4分又∵BEA ACD ∠=∠， ∴△BEA∽△ACD．…………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅．…………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设ab c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)，…………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=，…………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121tt ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222xx x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．…………4分（2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ，1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， (8)分∴X 的分布列为………10分23．证明：（1）当2n =时，12aa =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤， ∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++= ，且12||||||1k a a a +++ ≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k aa a a +++++= ，且121||||||1k a a a ++++ ≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++ ≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k aa a a a -++++++= ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++ ≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++- ≤， …………7分∴1121121|||1k k k k k a a b bb b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题1. 1-2. 2-3. 44. 20.85. [0,1]6.14π 7. 2π8. 2 9. 9 10. 411. [ 12. 1,1] 13. 22e 12- 14. 二、解答题15. 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，因为CD =CB ，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD ⊥CO ． 因为PB =PD ，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD ⊥PO ． 又PO ∩CO =O ，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ⊥BD ． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO ∥PD ， 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由∠ADB =90︒，以及BD ⊥CO ，所以CO ∥AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又COEO O =，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16. 解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b +-⨯，则sin B =，所以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B又0＜B ＜π，所以B =π3．（2）由向量m =(sin2A ,3cos A )，n =(3,−2cos A )，得m ·n =3sin2A −6cos 2A =3sin2A −3cos2A −3=()π24A -−3．由（1）知B =π3，所以A +C =2π3，所以0＜A ＜2π3．所以π24A -∈()π13π,412-． 所以()πsin 24A -∈(⎤⎥⎦．所以m ·n ∈(−−3]．即取值范围是(−−3]．17. 解（1）设)0(421>==t t BP t AP ，，，记,APB CPD αβ∠=∠=，则60206015tan tan 2174t t t tαβ====，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- （注：不写定义域扣1分） 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1.得21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y =+， ② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值. 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① 由B ,D ,N2212y x =+ 代入可得2x =②①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d-=时，3d =，符合题意；②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式， 所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ． 21.B 解 由2104x，得(2)()40x 的一个解为3，代入得1x ， 因为2141M，所以111662133M . 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为22324x y ,cos()4a ，得cossin 0a , 所以直线l 的直角坐标方程为0x ya .依题意，圆心C 到直线l2，解得13a 或.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---=()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C =+=++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-+=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. （2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. 下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=++021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-+=∈.所以令021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-+=-=.。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 已知集合，，则集合__________．【答案】【解析】2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．【答案】5【解析】因为，所以，即，.3. 双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为,即.4. 某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则__________．【答案】63【解析】5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为__________．【答案】【解析】两次数字之和等于有三种基本事件，所以概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是__________．【答案】25【解析】执行循环得：结束循环，输出25.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为__________．【答案】【解析】设侧面斜高为，则，因此高为8. 设是等差数列的前项和，若，，则__________．【答案】8【解析】因为，，所以，因此9. 已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________．【答案】【解析】因为，所以11. 已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此12. 在中，点是边的中点，已知，，，则__________．【答案】6【解析】,所以点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．13. 已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为__________．。

2018届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题（解析版）一、填空题1．若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．【答案】.【解析】分析：先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.2．设集合，其中，若，则实数____．【答案】.【解析】分析：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：点睛：本题主要考查集合相等的概念，集合中求出参数的值之后，一定要代入原题检验，保证参数的值满足已知的每一个条件和集合元素的互异性.3．在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．【答案】4.【解析】分析：先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:4点睛：（1）本题主要考查抛物线的基本几何性质，意在考查学生抛物线的基础知识的掌握能力.（2）注意不要把抛物线的方程写成x=2了，最好先画图再写准线方程.4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为____．【答案】.【解析】分析:先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.8点睛：本题主要考查茎叶图和数据方差的计算，意在考查统计的基础知识的掌握能力. 5．下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．【答案】.【解析】分析：先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图功能的阅读和分段函数的值域.(2)对于分段函数的问题，一般是先分段处理再综合.所以本题先分别求每一段的范围，再求整个函数的值域. 6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．【答案】.【解析】分析：根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.点睛：本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力.7．已知函数在时取得最大值，则____．【答案】.【解析】分析：解方程即得解.详解：由题得故答案为：点睛：本题主要考查三角函数的最值，意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.8．已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．【答案】2.【解析】分析：先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得，故答案为：2点睛：本题主要考查等差数列的性质，意在考查等差数列基础知识的掌握能力和基本运算.9．在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．【答案】.【解析】分析：先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以故答案为：点睛：（1）解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积，点D到底面的高不是很好计算，所以考虑利用体积变换求体积，由于变到点M时，点M到底面的高计算比较方便，所以转化成求三棱锥M-BDC的体积.（2）求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换，要根据具体情况，灵活选择.10．设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．【答案】4.【解析】分析：利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cosAcosB可得解.详解：acosB﹣bcosA=c，由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得sinAcosB=4cosAsinB，两边同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，故.故答案为：4点睛：该题考查正弦定理、同角三角函数的关系以及两角和的正弦，考查学生灵活运用公式的能力．11．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．【答案】.【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.12．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.13．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．【答案】.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf （b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.14．已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】分析：先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.二、解答题15．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）取的中点，连结，先证明平面，再证明．(2)先证明平面平面，再证明平面．详解：证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用.16．在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)即得．(2)先求出，再利用三角函数的图像和性质求其取值范围.详解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．点睛：本题在求的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.17．（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【答案】(1)500米.(2)两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.【解析】分析:(1) 设，，记，利用和角的正切得到t 的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．(2) 设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.详解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.点睛：本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.18．如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．【答案】(1).(2) 或.(3)见解析.【解析】分析: (1)由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1,列方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出点D的坐标，再根据点C，D的坐标求直线l的斜率，即得直线l的方程. (3)设D坐标为(x3，y3）,先求出直线BD和AC的方程，再联立两个方程化简即得=2为定值.详解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，因为点在直线BD上，所以，①直线AC方程为，因为点在直线AC上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.点睛：本题主要考查直线和椭圆方程的求法，考查解析几何中的定值问题，意在考查解析几何的基础知识的掌握能力、基本的运算能力和推理能力.对于解析几何中的定值问题，一般是先求出其表达式，再利用已知条件化简得到一个常数即可.19．已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．【答案】(1) ①的极大值为，的极小值为.②存在这样实数满足条件.(2) .【解析】分析：（1）①先求导，再求函数的极大值和极小值. ②先，再化简式子得到a的值. （2）先求出，再根据，求满足的关系式.详解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.② 当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.点睛：(1)本题有两个难点，一个是得到，要通过计算化简得到，这个计算化简比较复杂，一个是求出，这个计算也比较复杂.(2)本题主要考查利用导数求极值、导数的几何意义及利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生的导数基础知识的掌握能力及分析推理转化的能力，同时考查计算能力.20．已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．【答案】(1)见解析.(2)或．(3)见解析.【解析】分析：（1）直接利用定义证明为等差数列．(2)由数列为等比数列得到是与n无关的常数，分析得到d的值.(3)先求出，，再假设，分析证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．详解：（1）设数列的公差为，由，①，②①-②得，③即，所以为常数，所以为等差数列．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以，则，即．所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．点睛：本题的难点在第3问，由于直接证明比较困难，所以它用到的是假设分析法，先假设存在，再分析能否找到这样的，最终完成解题目标.这种处理问题的策略，在高中数学中有时用到，大家要理解掌握并灵活运用.21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】A.见解析.B. .C. .D.见解析.【解析】分析：直接利用平面几何、矩阵、极坐标和参数方程、柯西不等式解答.详解：A．连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B 解由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C解消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.D 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.所以：≤c≤1.点睛：本题主要考查平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识，意在考查学生平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识的掌握能力和基本的运算能力.22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．【答案】(1),(2)【解析】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值.（2）先计算出a,b的值再求的数学期望．详解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.23．已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．【答案】（1）。